3.3 Cônicas - Hipérbole

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Prof(a): Dra. Fabíola Sperotto
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE – FURG
INSTITUTO DE MATEMÀTICA, ESTATÍSTICA E FÍSICA – IMEF
SEÇÕES CÔNICAS
Parte 3: Hipérbole
Professora: Dra. Fabíola Sperotto
Hipérbole
• É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja
diferença das distâncias, em valor absoluto, a dois pontos
fixos (focos) desse plano é uma constante (2a).
• Onde 2a < d(F1,F2).
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• Onde 2a < d(F1,F2).
• A hipérbole é uma curva com dois ramos e o valor
absoluto pode ser desconsiderado desde que adotemos a
diferença entre a maior e a menor distância.
aPFPF 221 =−
Hipérbole: eixo real sobre eixo Ox
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Elementos:
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Equações
• Para a hipérbole de eixo real ou transverso sobre o eixo 
Ox:
221 =− aPFPF
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1
2)0()()0()(
2
2
2
2
2
2222
21
=−
=−+−−−++
=−
b
y
a
x
aycxycx
aPFPF
Equações: 12
2
2
2
=−
b
y
a
x
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Eixo real sobre o eixo Oy:
12
2
2
2
=−
b
x
a
y
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ba
Assíntotas da Hipérbole 
• Nó próximo gráfico observem a hipérbole e o retângulo, 
cujos lados são 2a e 2b. As retas r e s que cortam as 
diagonais do retângulo são chamadas assíntotas da 
hipérbole.
• Fornecem uma orientação de que precisamos para 
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• Fornecem uma orientação de que precisamos para 
desenhar as hipérboles.
• Os ramos da hipérbole se aproximam cada vez mais 
destas retas à medida que os pontos se afastam dos 
focos.
Assíntotas
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Hipérbole Equilátera
É aquela em que seus eixos real e imaginário são
iguais, ou seja, a=b
xy
yx
=
=−
:Assíntotas
4 :Equação 22
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xy
xy
−=
=
Excentricidade
5,1==
a
c
e
Abertura dos ramos da hipérbole: 
como c>a, então e>1.
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a
15,1==
a
c
e
Equação da hipérbole com centro (h,k),
eixo real paralelo ao eixo x
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Equação da hipérbole com centro (h,k),
eixo real paralelo ao eixo y
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Observações
• Um exemplo de uma aplicação óptica é o chamado telescópio
de reflexão. É constituído basicamente por dois espelhos, um
maior, chamado primário, que é parabólico, e outro menor, que
é hiperbólico. Os dois espelhos dispõem-se de modo que os
eixos da parábola e da hipérbole coincidam e que o foco da
primeira coincida com um dos focos da segunda.
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• O sistema de localização de navegação denominado por
LORAN (LOng RAnge Navigation), faz uso das hipérboles,
onde os radares estão nos focos. A ideia é baseada na
diferença de tempo de recepção dos sinais emitidos
simultaneamente pelos dois pares de radares, sendo um dos
radares comum aos dois pares. O mapa assim construído
apresenta curvas hiperbólicas.
Propriedade de Reflexão
• Na figura a seguir observe que um dos focos da hipérbole
coincide com o foco da parábola, os raios que iriam
formar a imagem no foco F1 são refletidos pelo espelho
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formar a imagem no foco F1 são refletidos pelo espelho
hiperbólico e formarão a imagem no foco F2.
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Espelho 
hiperbólico
Espelho 
parabólico
Com relação a excentricidade
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Equações Paramétricas da Hipérbole
• Considere a equação: 
• reescrevendo como:
Significa que x/a e y/b são números reais cuja diferença 
12
2
2
2
=−
b
y
a
x
1
22
=





−





b
y
a
x
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• Significa que x/a e y/b são números reais cuja diferença 
de quadrados é sempre igual a 1.
• Sabendo que 
θθ
θθθ
22
222
sec1
)cos(1cos
=+
÷=+
tg
sen
1sec 22 =− θθ tg
Onde:
secθ=
a
x
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}
2
3
,
2
{20sec pipiθpiθ
θ
θ
θ
≠≤≤



=
=
=
e
tgby
ax
tg
b
y
a
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Catedral de Brasília
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