recta acabada e análises

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RETA ACABADA E ANÁLISES 
QUERIA SABER QUANDO SE PODE DIZER QUE NASCEU CADA UMA DELAS E QUEM SÃO OS RESPECTIVOS FUNDADORES.QUERIA SABER AS DIFERENÇAS E SEMELHANÇAS ENTRE A ANÁLISE NÃO STANDARD, A RECTA ACABADA E A ANÁLISE MATEMÁTICA.
 	
 	Olá, tentarei dar algumas respostas breves, apesar de a primeira questão não fazer muito sentido, estritamente falando, mas ser suficiente ( creio ) para entender o que se pretende como resposta...
  	A Análise "clássica" teve a sua "rigorização" ( também dita "aritmetização" ) no último quartel do séc. XIX com os trabalhos sobre teoria dos conjuntos e construções do corpo (ordenado completo) dos números reais R, por Cantor, Dedekind, Weierstrass, etc. (mas, é claro, apoiando-se também em trabalhos de análise de Cauchy e outros). Nesta versão "clássica" de R e da análise os "números" infinitamente grandes e pequenos dos analistas mais antigos ( de Arquimedes [ indivisíveis ] a Cauchy, passando por Cavalieri, Galileu, Pascal, Kepler, Wallis, Euler, Newton, Leibniz, L. Carnot e muitos outros ) foram abolidos (por causa da incompatibilidade com o axioma de Arquimedes), porque não se conseguiu rigorizá-los com os mesmos padrões de rigor que serviram para os reais "ordinários". 
 	A reta acabada é simplesmente um expediente conveniente na teoria dos limites, ou de natureza topológica, mas não sai do quadro clássico
 	Desde finais do séc. XIX, todavia, alguns matemáticos permaneceram interessados em fazer análise em corpos ordenados não-arquimedianos ( Du Bois-Reymond, por exemplo ) e continuou a haver algum interesse em geometria não-arquimediana ( Veronese, Hilbert ). Refira-se que nos Elementos de Euclides já se encontram ângulos infinitamente pequenos (não nulos!), como um ângulo formado por um arco de circunferência e a semi-tangente num ponto, mas nunca chegaram a ser usados.
 	A análise não-arquimediana nunca teve grande sucesso por causa de algumas limitações inultrapassáveis.
 	Mas nos anos 60 do séc. XX A. Robinson, utilizando construções especiais da teoria dos modelos ( ramo da lógica matemática ) conseguiu construir extensões não-arquimedianas de R nas quais já se pode desenvolver uma análise não-arquimediana sem as limitações anteriores. Tais extensões têm o nome de modelos não-standard da análise ( por razões históricas que remontam aos anos 30 e aos modelos não-standard da aritmética formal construídos por Skolem: não-standard significava não isomorfos ao modelo canônico, padrão ou standard dos números naturais 0, 1 , 2, ... ). Em tais extensões há infinitamente pequenos e grandes atuais.
 	Mas a grande bola que é o mundo continua a girar e, entretanto, surgiram outras versões da análise não-stnadard, nomeadamente versões axiomáticas ( E. Nelson, por exemplo ) que estendem a axiomática dos conjuntos de Zermelo - Fraenkel. Em todas as versões da análise não-standard, todavia, passa-se o seguinte: a análise clássica permanece como está ( nada se deita fora ) mas há um enriquecimento quer conceptual que em termos de objetos e de métodos com os quais se continua a fazer análise e, inclusivamente, a análise clássica fica até bastante simplificada e mais intuitiva, em muitos aspectos. Só para terminar com um exemplo: a definição em ANS de continuidade de uma função f: R ( R num ponto  c fica: para todo x ( se x é infinitamente próximo de c então f( x ) é infinitamente próximo de f(c) ). "Infinitamente próximo" é definido com todo o rigor: x é inf. prox. de y se x - y é infinitamente pequeno.