MATRIZES - TEORIA E EXERCICIOS

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MATRIZES 
 
1) Construa uma matriz A = (aij) 2 x 3 definida por aij = resto da divisão do produto ij 
por 3. 
 
2) Na matriz A = (aij)3 x 3, cada elemento da matriz representa o número de passes que o 
jogador i fez ao jogador j, ambos do mesmo time, durante uma partida de futebol 
realizada pelo campeonato estadual. Nessa matriz, os jogadores escolhidos para serem 
avaliados foram representados pelos números 1, 2 e 3; assim sendo, o elemento da 
matriz a23 = 5, por exemplo, significa que o jogador 2 realizou 5 passes para o jogador 3. 
 
a) Qual o jogador que realizou o maior número de passes? 
b) Qual o jogador que recebeu o maior número de passes? 
3) Na matriz A = (aij)3 x 3, cada elemento aij da matriz significa o número de vezes que 
uma aeronave decolou do aeroporto i tendo aterrissado no aeroporto j. Sabe-se que uma 
aeronave nunca aterrissa no mesmo aeroporto do qual tenha decolado. Com base na 
matriz: 
 
e sabendo que esses aeroportos foram designados pelos números 1, 2 e 3, determine x e 
y sabendo que o triplo do número de decolagens do aeroporto 1 é igual ao número de 
decolagens do aeroporto 2 e que o número de decolagens e aterrissagens no aeroporto 3 
é o mesmo. 
4) (UFRJ) Uma confecção vai fabricar três tipos de roupas utilizando materiais 
diferentes. Considere a matriz A= (aij) a seguir, em que aij representa quantas unidades 
do material j serão empregadas para fabricar uma roupa do tipo i: 
 
a) Quantas unidades do material 3 serão empregadas na confecção de uma roupa do tipo 
2? 
b) Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco 
roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3. 
 
 
 
 
5) (FGV) Três ônibus levaram alunos de uma escola para uma excursão. Em uma 
parada, todos os alunos saíram dos ônibus. Todos prosseguiram a viagem, mas não 
necessariamente no ônibus de onde tinham saído. Na matriz abaixo, aij representa o 
número de pessoas que saiu do ônibus i e subiu no ônibus j após a parada. 
 
Então, podemos concluir que: 
a) Participaram da excursão 75 alunos. 
b) Um dos ônibus permaneceu com o mesmo número de passageiros. 
c) O ônibus 1 perdeu 6 passageiros. 
d) O ônibus 2 ganhou 4 passageiros. 
e) O ônibus 3 ganhou 6 passageiros. 
 
6) Três pessoas, que chamaremos de 1, 2 e 3, se comunicam invariavelmente por e-mail. 
Na matriz abaixo, cada elemento aij significa o número de e-mails que i enviou para j no 
mês passado. 
 
Podemos concluir que: 
a) Quem mais enviou e-mails foi 1. 
b) Duas pessoas enviaram o mesmo número de e-mails. 
c) Quem mais recebeu e-mails foi 2. 
d) Quem mais recebeu e-mails foi 3. 
e) Duas pessoas receberam o mesmo número de e-mails. 
 
7) (FGV) A organização econômica Merco é formada pelos países 1, 2 e 3. O volume 
anual de negócios realizados entre os três parceiros é representado em uma matriz A, 
com 3 linhas e 3 colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa quanto o país 
i exportou para o país j, em bilhões de dólares. Se: 
 
então o país que mais exportou e o que mais importou no Merco foi, respectivamente: 
a) 1 e 2 b) 2 e 2 
c) 2 e 3 
d) 3 e 1 
e) 3 e 2 
 
8) (UNESP) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A 
matriz a seguir descreve a quantidade de cada produto vendido por cada loja na primeira 
semana de dezembro. Cada elemento aij da matriz indica a quantidade do produto 
Pi vendido pela loja Lj, i, j = 1,2,3. 
 
Analisando a matriz, podemos afirmar que: 
 
a) A quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela loja L2 é 11. 
b) A quantidade de produtos do tipo P1vendidos pela loja L3 é 30. 
c) A soma das quantidades de produtos do tipo P3 vendidos pelas três lojas é 40. 
d) A soma das quantidades de produtos do tipo Pi vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 
52. 
e) A soma das quantidades dos produtos dos tipos P1 e P2 vendidos pela loja L1 é 45. 
9) (CESGRANRIO) Na área de informática, as operações com matrizes aparecem com 
grande frequência. Um programador, fazendo levantamento dos dados de uma pesquisa, 
utilizou as matrizes: 
 
O elemento C23 da matriz C é igual a: 
a) 18 
b) 15 
c) 14 
d) 12 
e) 9 
10) (VUNESP) Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Em que 
condição pode-se afirmar que (A + B)2 = A2 + 2 A B + B2? 
a) Sempre, pois é uma expansão binomial. 
b) Se e somente se uma delas for a matriz da identidade. 
c) Sempre, pois o produto de matrizes é associativo. 
d) Quando o produto AB for comutativo com BA. 
e) Se e somente se A = B. 
11) (FGV) A matriz A é do tipo 5 x 7 e a matriz B, do tipo 7 x 5. Assinale a alternativa 
correta. 
a) A matriz AB tem 49 elementos. 
b) A matriz (AB)2 tem 625 elementos. 
c) A matriz AB admite inversa. 
d) A matriz BA tem 25 elementos. 
e) A matriz (BA)2 tem 49 elementos. 
12) (UNIRIO) Considere as matrizes: 
 
A adição da transposta de A com o produto de B por C é: 
a) Impossível de se efetuar, pois não existe o produto de B por C. 
b) Impossível de se efetuar, pois as matrizes são todas de tipos diferentes. 
c) Impossível de se efetuar, pois não existe a soma da transposta de A com o produto de 
B por C. 
d) Possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 2 x 3. 
e) Possível de se efetuar e o seu resultado é do tipo 3 x 2. 
13) (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto 
no sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um 
consumiu e como a despesa foi dividida: 
 
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo. 
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o 
número 1, Bernardo o número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da 
linha i e coluna j de cada matriz). 
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo 
e 4 de Cláudio (primeira linha da matriz S). 
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana? 
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio? 
14) (UFF) Toda matriz de ordem 2 x 2, que é igual à sua transposta, possui: 
a) Pelo menos dois elementos iguais 
b) Os elementos da diagonal principal iguais a zero. 
c) Determinante nulo. 
d) Linhas proporcionais. 
e) Todos os elementos iguais a zero. 
15) (IBMEC) Considere as matrizes: 
A3 x 3, tal que: aij = i – 2j 
B3x4, tal que: bij = 3i -2j 
Se C = A.B, então, C23 é igual a: 
a) –4 
b) –6 
c) –8 
d) –10 
e) –12 
 
 
 
16) (UEL-PR) Uma matriz quadrada A se diz antissimétrica se At = –A. Nessa 
condição, se a matriz 
 
é uma matriz antissimétrica, então x + y + z é igual a: 
a) 3 
b) 1 
c) 0 
d) –1 
e) –3 
17) (ITA) Seja A uma matriz real 2 x 2. Suponha que α e β sejam dois números distintos 
e V e W duas matrizes reais 2 x 1 não nulas, tais que AV = αV e AW = βW. Se a, b ∈ R 
são tais que V + bW é igual à matriz nula 2 x 1, então a + b vale: 
a) 0 
b) 1 
c) –1 
d) ½ 
e) –½ 
18) (UNIFESP) Uma indústria farmacêutica produz diariamente p unidades do 
medicamento X e q unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e s reais, 
respectivamente. Considere as matrizes 
 
A matriz produto M x N representa o custo da produção de: 
a) 1 dia 
b) 2 dias 
c) 3 dias 
d) 4 dias 
e) 5 dias 
19) (FATEC-SP) Sendo A uma matriz quadrada, define-se A^n=A.A.A…A. No caso de 
A ser a matriz(FATEC-SP) Sendo A uma matriz quadrada, define-se An = A.A.A … A. 
No caso de A ser a matriz: 
 
É correto afirmar que a soma A + A2 + A3 ++ A4 + ... + A39 + A40 é igual à matriz: