TRIGONOMETRIA - TEORIA E EXERCICIOS

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LISTA DE EXERCÍCIOS – BASES MATEMÁTICAS PARA ENGENHARIA 
(CAPÍTULO 10 – TRIGONOMETRIA) 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
 
 
1) Uma pessoa de 1,50m de altura, situada a 100m de uma torre, avista o seu topo sob um ângulo de 
60º com a horizontal. Determine a altura desta torre: 
(Dados: sen 60º = 0,86; cos60º = 0,50 e tg60º = 1,73) 
 
a) 174,5m 
b) 173,2m 
c) 86,6m 
d) 50,0m 
e) 173,0m 
 
Resolução 
 
 
Vamos esboçar um desenho referente ao problema: 
Para resolver esse problema, devemos escolher a melhor relação trigonométrica que nos fornecerá aquilo que 
a questão pede. 
 
Sabemos que a tangente de um ângulo é a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Assim: 
 
 
 
tg60º = 
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
 = b100 = 1,73 
 
Portanto, temos que a altura H será: 
 
H = b+1,5 = 100 . 1,73 + 1,50 = 173 + 1,50 = 174,5m 
 
 
Não podemos nos esquecer de somar a altura do indivíduo que observa a torre. Por isso, somamos 1,50m a b. 
 
Logo, a alternativa correta é a letra a. 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
2) Qual é o valor da expressão E = 
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙
𝒄𝒐𝒔²𝟐𝒙
 , para x=15°? 
 
Resolução 
 
Substituindo x=15°, temos: 
 
 
Note que cos²2x = (cos2x )(cos2x). 
 
Portanto, E = 
𝟒
𝟑
. 
 
3) Qual é o sinal da expressão E= sec
9𝜋
8
 . (tg
7𝜋
6
 +cotg
𝜋
7
) 
 
Resolução 
 
 
Para solucionarmos este tipo de problema, devemos estudar o sinal dos dois fatores que compõem a 
expressão. Vamos a eles: 
 
 
Logo, temos a multiplicação de um fator menor do que zero por um fator maior do que zero. 
 
Portanto, a expressão E tem o sinal negativo. 
 
 
3 
 
4) Qual é o valor numérico de 𝑘 = (𝑠𝑒𝑛 𝑥 + cos 𝑥)² + 
𝑠𝑒𝑛 𝑥
cos 𝑥
 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 =
2𝜋
3
? 
 
 
 
Resolução 
 
Devemos ter em mente que o arco trigonométrico de 
𝜋
7
 rad é do 1º quadrante. 
Vamos estudar os arcos individualmente, até encontrarmos a alternativa correta: 
 
 
 
Logo, a alternativa correta é a letra d. 
 
 
 
 
4 
 
5) Qual é o valor do sen (25π+β) - sen(88π-β), em que sen β=
𝟏
𝟑
 ? 
a) 0 
b) - 1 3 
c) 1 3 
d) -3 2 
e) 2 3 
 
Resolução 
 
Através das reduções a quadrantes aprendidas e da propriedade de arcos côngruos podemos inferir que: 
sen (25π+β) = sen (2.12.π+π+β) = sen (π+β) = -sen β (k=12) 
sen (88π-β) = sen(2.44.π- β) = sen (-β) = -sen β (k=44) 
 
Logo, temos que: 
 
 
sen (25π+β) - sen(88π-β) = -sen β - (-sen β) = -sen β + sen β = 0 
 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra a. 
 
 
6) Simplifique a expressão abaixo, respeitando as condições de existência: 
 
 
Resolução 
 
Conforme as reduções a quadrantes estudadas, verificamos em K o seguinte: 
 
 
sen (π-x) = sen x; cos(π/2-x) = sen x; cos(3π/2+x) = sen x e sen-x = -sen x 
 
 
 
 
5 
 
Portanto, substituindo essas relações simplificadas, temos: 
 
 
Assim, a simplificação da expressão resulta em 1. 
 
 
 
I) Equações envolvendo seno, cosseno e tangente 
 
 
1) Qual é o menor valor positivo de α, para o qual 9−𝑐𝑜𝑠𝛼 = 
1
3
? 
 
 
 
 
 
Resolução 
 
Para resolver essa equação exponencial trigonométrica, devemos colocar ambos os lados da igualdade na 
mesma base. Assim, perceba que: 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
Lembre-se de que, em igualdade de potências de mesma base, os expoentes devem ser iguais. Logo: 
 
 
Como o problema pede o menor valor positivo, temos que o valor de α deverá ser 
𝜋
3
. 
 
Assim, a alternativa correta é a letra c. 
 
 
 
2) Qual é a soma das raízes da equação 1-4.cos²x = 0, pertencentes ao intervalo [0,π] ? 
 
 
 
Resolução 
 
 
Temos uma equação trigonométrica do 2º grau. 
A técnica de resolução é solucionar essa equação, fazendo uma mudança na variável trigonométrica por: cosx 
= t. 
Assim, temos que: 
 
 
 
Retornando à variável original, temos que cosx = ±
1
2
. 
 
Como as raízes devem estar no intervalo [0,π], temos que x poderá ser 
𝜋
3
 e 
2𝜋
3
. 
 
Assim, a soma das raízes será: 
𝜋
3
 + 
2𝜋
3
 = π. 
 
 
3) Qual é o número de raízes da equação tg x=4, no intervalo [0,2π]? 
 
a) 2 
b) 1 
c) 3 
d) 4 
e) 0 
 
 
7 
 
 
Resolução 
 
Trata-se de um problema bem interessante. Podemos facilmente chegar à resposta se pensarmos no sinal da 
tangente nos diversos quadrantes. 
Vamos explicar: para que a tangente de um arco seja positiva, é necessário que tal arco seja do 1º ou do 4º 
quadrante, pois os senos e os cossenos dos arcos nesses quadrantes possuem mesmo sinal. 
Logo, chegamos à conclusão de que, no intervalo [0,2π], a equação tem duas soluções: a do 1º e a do 4º 
quadrante. 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra a. 
 
 
II) Equações de forma fatorada 
 
1) A equação 2 . senx . cosx = sen x, no intervalo -
𝝅
𝟒
 ≤ x ≤ 
𝟓𝝅
𝟒
, tem: 
 
a) nenhuma raiz 
b) duas raízes 
c) três raízes 
d) quatro raízes 
e) cinco raízes 
 
Resolução 
 
Aqui, é importante ter uma especial atenção ao intervalo que está sendo estudado. A presença de sen x, em 
ambos os lados da equação, nos tenta a simplificar a expressão encontrada. Porém, ao realizar a operação de 
divisão, estamos ignorando os valores de sen x=0. Então, devemos proceder da seguinte forma: 
 
2 . senx . cosx = sen x ⇒ 2 . senx . cosx - senx = 0(2.cosx-1)senx = 0 
∴ ou senx = 0 ou 2.cosx-1 = 0 ⇒ cosx= 
𝟏
𝟐
 
 
Então, dentro do intervalo dado, temos as seguintes raízes: 
 
 
8 
 
 
 
Portanto, percebemos que a equação possui no total 3 raízes. 
 
 
Logo, a alternativa correta é a letra c. 
 
 
2) Resolva a equação sen³x . cosx + senx.cos³x = 0, para x ∈ [0,2π]: 
 
Resolução 
 
 
Devemos fatorar a expressão. Perceba que: 
 
∴ senx . cosx = 0 
 
Logo, temos que: 
 
x1 = 0 e x2 = π são raízes de sen x = 0 
x3 = π2 e x4 = 3π2 são raízes de cosx = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
III) Equações trigonométricas através de equações polinomiais 
 
1) Qual é a solução da equação 
625𝑐𝑜𝑠
2𝑥
25𝑐𝑜𝑠𝑥
= 1, 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑥 ≤
𝜋
2
? 
 
Resolução 
 
Como já realizamos anteriormente, vamos colocar toda a equação na mesma base: 
 
 
 
Multiplicando toda a equação por 52cosx, temos: 
 
 
Assim, temos que ou cosx = 0 ou 2cosx-1 = 0, ou seja: 
 
 
 
2) Qual é o número de raízes da equação sen4 x + cos4x = 1, para 0≤x<2π ? 
 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
 
10 
 
Resolução 
 
Para resolver este exercício, vamos usar alguns recursos algébricos. O primeiro deles é reparar que: 
sen4 x + cos4x = 1 ⇔ (sen2x)2 + (cos2x)2 = 1. 
 
 
 
Assim, da relação fundamental estudada sen²x + cos²x = 1, temos que: 
 
sen²x = 1 - cos²x 
 
 
 
Vamos deixar toda a equação em função de uma só variável trigonométrica, ou seja: 
 
(1-cos²x )² + (cos²x)² = 1. 
 
 
 
Vamos ao segundo recurso: fazer uma mudança de variáveis na equação t = cos²x. 
 
Assim: (1-t)²+(t)²=1 ⇒ 1 - 2t + t² + t² = 1 ⇒ 2t² - 2t = 0 → 2t(t-1) = 0, cujas raízes são t=0 e t=1. 
 
Desfazendo a troca de variáveis, encontramos: 
{cos²x = 0cos²x = 1 ⇒ 
{cosx = 0cosx = ±1 
 
Como o intervalo a ser analisado é 0≤x<2π, temos: 
 
x1 = 
𝝅
𝟐
; x2 = 
𝟑𝝅
𝟐
; x3 = 0; e x4 = π 
 
 
 
Logo, temos, no total, 4 soluções possíveis. 
 
 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra d. 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
IV) Inequações trigonométricas em seno, cosseno e tangente 
 
1) Resolvendo o sistema {senx ≥ 0cosx < 12, para x ∈ {0,2π), obtém-se:Resolução 
 
 
Para resolver um sistema de inequações, é necessário que estudemos a interseção entre as inequações. Assim, 
vamos estudar uma a uma: 
 
 
(i) sen x≥0: 
 
 
Para que isto aconteça, o ângulo x deverá pertencer ao 1º ou 2º quadrante, isto é, x ∈ [0,π]. 
(ii) cosx < 
𝟏
𝟐
: 
 
 
 
12 
 
 
 
 
 
(iii) Interseção: 
 
 
 
De posse dos intervalos definidos em (i) e em (ii), percebemos que a interseção dos intervalos, que é a solução 
do sistema, será (
𝜋
3
, π). 
 
Portanto, a alternativa correta é a letra e. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
2) Se 0 ≤ θ ≤ π e, para todo x ∈ ℝ, tem-se que x² + x + tg θ > 
𝟑
𝟒
, então: 
 
a) 0 < θ < π4 
b) 
𝜋
4
≤ θ < 
𝜋
4
 
c) 
𝜋
2
 < θ < 
3𝜋
4
 
d) θ = 
3𝜋
4
 
e) não há θ nessas condições 
 
Resolução 
 
 
O enunciado nos diz que x é um número real. Logo, a inequação de 2º grau dada possui solução no conjunto 
dos números reais. Para isso, devemos estudá-la: 
𝑥2 + 𝑥 + 𝑡𝑔𝜃 >
3
4
⇒ 𝑥2 + 𝑥 + (𝑡𝑔𝜃 −
3
4
) > 0 
 
 
 
Para que haja solução real, é necessário que o valor de 1-tgθ seja maior do que ou igual a zero. 
Assim: 1-tgθ ≥ 0 → tgθ ≥ 1. 
 
Para que a tangente de um ângulo seja não negativa, ele deverá ser do 1° ou 3° quadrantes. Como o 
intervalo a ser estudado é 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋, devemos nos concentrar apenas no 1° quadrante. 
 
Sabemos que tg
𝜋
4
 não está definida. 
 
Assim, a alternativa correta é a letra b. 
 
 
14 
 
3) Resolva em ℝ a inequação sen 4x > 
𝟏
𝟐
. 
 
Resolução 
 
Para este exercício, devemos estar atentos ao conjunto a ser estudado: Reais. Assim, não temos um intervalo 
definido como nos exercícios anteriores. Podemos “dar” infinitas voltas na circunferência trigonométrica e, 
ainda assim, encontrar soluções. 
 
Pois bem, vamos realizar a transformação 4x = θ. 
 
Assim, temos que: senθ > 
1
2
. 
 
Ora, sabemos que o seno de um ângulo é positivo nos 1º e 2º quadrantes. E sabemos que o sen
𝜋
6
= 
1
2
. Portanto, 
para o intervalo [0, π], a solução, em θ, será: 
 
𝜋
6
 < θ < 
5𝜋
6
 
 
 
Por consequência, no conjunto dos Reais, usando a noção de arcos côngruos, a solução será: 
 
 
 
 
É como se estivéssemos realizando quantas voltas quiséssemos (k voltas) na circunferência trigonométrica e, 
ainda assim, teríamos uma solução da inequação. 
Porém, não podemos esquecer que 4x = θ. Então, a solução em x no mesmo intervalo será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
15 
 
 
II) Para que a sentença senθ = 
𝒙−𝟏
𝟓
 tenha sentido, os valores de x devem pertencer a qual intervalo? 
 
 
Resolução 
 
 
Aprendemos que o seno de um ângulo deverá estar entre -1 e 1. Assim, o que devemos resolver é: 
 
-1 ≤ 
𝒙−𝟏
𝟓
≤ 1 
 
 
Portanto, resolvendo a inequação de ambos os lados, temos que: -4 ≤ x ≤ 6 
 
 
 
Logo, o intervalo procurado é -4≤x≤6. 
 
 
 
 
III) Sabendo que 
𝝅
𝟐
 ≤ x ≤ π, quais são os valores reais de k, de modo que cosx = 
𝟑𝒌−𝟏
𝟐
 ? 
 
 
 
Resolução 
 
 
Para resolver este problema devemos ver o intervalo dado para x: quando x assume o valor de 
𝜋
2
, o valor do 
cosseno de x será 0. Quando x assume o valor π, sua imagem será -1. 
 
Então, ficamos com a seguinte inequação: 
 
-1 ≤ cosx ≤ 0 → -1 ≤ 
3𝑘−1
2
 ≤0 
 
 
 
Portanto, temos: 
 
 
Portanto, a solução será: 𝑺 = {𝒙 ∈ ℝ| −
𝟏
𝟑
≤ 𝒌 ≤
𝟏
𝟑
} 
 
 
 
16 
 
 
IV) Qual conjunto é o domínio da função dada por f(x)=tg2x ? 
 
 
Resolução 
 
O arco que deve ser estudado é 2x. Então, pelo estudo do domínio da função de f, temos que: 
 
2x ≠ 
𝝅
𝟐
+ kπ, k∈ℤ 
 
Então: 
 
x ≠ 
𝜋
4
+ 
𝑘𝜋
2
, k∈ℤ 
 
Portanto, o conjunto que representa o domínio da função é: 
 
S={x∈ℝ | x ≠ 
𝝅
𝟒
 + 
𝒌𝝅
𝟐
, k∈ℤ} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
EXERCÍCIOS A RESOLVER 
 
 
1) (UFPI) Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º 
(suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1000 metros, qual a altura 
atingida pelo avião? 
 
 
 
2) (CEFET–PR) A Rua Tenório Quadros e a Avenida Teófilo Silva, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um 
ângulo de 30º. O posto de gasolina Estrela do Sul encontra-se na Avenida Teófilo Silva a 4000m do citado 
cruzamento. Portanto, determine, em quilômetros, a distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a Rua 
Tenório Quadros. 
 
 
 
 
3) (CEFET) Assinale a alternativa falsa: 
a) sec x= 3 
b) tg x = 50.000 
c) cos x = 
3
4
 
d) sen x = 1 
e) cos x = 50 
 
 
 
4) (UCSAL) Qualquer que seja o número real x, a expressão cos4x - sen4x é equivalente a: 
a) sen2 x-1 
b) 2senx cosx 
c) 2cos2x -1 
d) 2-cos2x 
e) (senx + cosx) cosx 
 
 
 
 
 
 
18 
 
5) (UF VIÇOSA) Sabendo que 𝑠𝑒𝑛 𝑥 =
𝑥
3
 𝑒 
𝜋
2
< 𝑥 < 𝜋, 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 
𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝑥−𝑠𝑒𝑐𝑥
𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥−1
 é: 
 
e) 3 
 
 
 
 
GABARITO 
 
 
 
1) 
 
sen30º = 
𝑥
1000
 
π2 = 
𝑥
1000
 
2x = 1000 
x = 500m 
 
 
Assim, a altura do avião será de 500m. 
 
 
 
19 
 
 
A distância entre o posto de gasolina Estrela do Sul e a Rua Tenório Quadros é de, aproximadamente, 2.266,7 
km. 
 
 
3) Vamos analisar cada uma das alternativas: 
 
a) Se secx = 3, então temos que cos x = 
1
3
 < 1. Sendo assim, verdadeira. 
 
b) A tangente de x pode assumir valores elevados. Basta, para isso, que o arco se aproxime do ponto 
(1,0). Sendo, então, verdadeira. 
 
c) O valor do cosseno é 
3
4
, que pertence ao intervalo [-1, 1]. Portanto, é verdadeira. 
 
d) O valor do seno é 1 que corresponde ao arco de 
𝜋
2
 rad. Logo, é verdadeira. 
 
e) O valor do cosseno informado é maior do que 1. Portanto, trata-se na alternativa falsa. 
 
 
Logo, a resposta correta é a alternativa e. 
 
 
 
 
 
 
4) Fatorando a expressão cos4x - sen4x utilizando a diferença de dois quadrados (a² - b²) = (a + b).(a – b), 
obtemos: 
 
cos4x - sen4x = (cos2x - sen2x)(cos2x - sen2x) 
 
 
20 
 
Substituindo, temos: 
 
sen²x = 1-cos²x 
cos4x - sen4x = (cos2x - sen2x)(cos2x - sen2x) 
= (cos²x - (1-cos²x))(cos²x+sen²x) 
= (cos²x-1 + cos²x)(cos²x +sen²x) 
 
 
Porém: 
 
cos²x + sen²x = 1 
 
cos4x - sen4x = (cos²x - 1 + cos²x) 
 
cos4x - sen4x = 2cos²x – 1 
 
 
Logo, a resposta correta é a alternativa c. 
 
 
 
 
5) Como 
𝜋
2
 < x < π, x pertence ao 2º quadrante. Assim, o seno e a cossecante são positivos, e o cosseno, 
secante, tangente e cotangente são negativos. 
 
 
Calculando a cossecante de x, temos: 
 
 
cossec x = 
𝝅
𝒔𝒆𝒏𝒙
 
 
cossec x = 3 
 
Para determinarmos a secante de x, precisamos do cosseno de x: 
 
 
sen²x + cos²x = 1 
cos²x = 1 - sen²x 
 
 
21 
 
 
 
 
Para determinar a cotangente, precisamos achar a tangente: 
 
 
 
 
Resolvendo a expressão: 
 
 
 
 
Logo, a resposta correta é a alternativa c.