Aula 1 - Engenharia Econômica

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CEDERJ – CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR A DISTÂNCIA 
DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO 
 
 (MATERIAL DIDÁTICO IMPRESSO) 
 
Curso: Engenharia da Produção Disciplina: Engenharia Econômica 
 
Aula 1 – Introdução à Matemática Financeira: juros e fluxo de caixa 
 
 
Meta 
 
Introduzir os conceitos básicos de juros e fluxo de caixa. 
 
Objetivos 
 
1. Identificar a nomenclatura utilizada na matemática financeira. 
2. Identificar o conceito de taxa de juros e fluxo de caixa. 
3. Reconhecer a importância da taxa de juros nas transações financeiras. 
4. Calcular taxas de juros em diferentes situações apresentadas. 
5. Representar graficamente um fluxo de caixa. 
 
Pré-requisitos: Antes de começar essa aula separe calculadora científica, régua, lápis e 
borracha, pois esse material será útil não só nesta, mas em todas as aulas dessa 
disciplina. 
 
 
 
1. Introdução 
 
Prezado aluno, antes de iniciarmos o estudo da matemática financeira sugiro 
que, primeiro, façamos algumas reflexões sobre situações cotidianas como 
empréstimos bancários, realização de compras a prazo, parcelamento do cartão de 
crédito, etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1 No dia a dia estamos realizando muitos gastos que, nem sempre, fazem 
parte do planejamento das despesas da família e para os quais nem sempre temos 
dinheiro para pagar. Um lanche no shopping ao final do dia, uma peça nova de roupa, 
um chopp com os amigos no fim de semana, um presente para alguém querido... 
Enfim, diversos gastos que nem sempre são tão necessários e que podem 
comprometer nossa capacidade de pagamento e de compras futuras. Devemos ficar 
atentos à necessidade de comprar e a possibilidade de pagamento das compras, 
considerando ainda que o pagamento dessas compras pode inviabilizar a execução de 
projetos de longo prazo na sua vida, pois os gastos transformam-se em dívidas e 
dependerão de empréstimos e financiamentos para serem quitadas. 
 
 Quando observamos essas situações podemos identificar diferentes momentos: 
os que ocorrem quando o tomador dos recursos recebe o dinheiro, o bem ou o 
parcelamento da dívida do cartão e aqueles momentos em que o mesmo (tomador) 
deve fazer o pagamento do dinheiro recebido, do bem adquirido ou da parcela do 
cartão de crédito. 
 Essas operações indicam que podemos fazer uso do recurso financeiro em 
determinado momento, ainda que não tenhamos a disponibilidade do mesmo (ou seja, 
o dinheiro no bolso, na conta corrente, na conta poupança, etc.). Então, pode-se 
acabar pensando: “Oba! Posso gastar mesmo sem ter o dinheiro na hora”. Porém, 
deve-se ter cuidado com essa interpretação, já que, conforme será discutido ao longo 
da disciplina, essas transações envolvem dois fatores importantes: o tempo e os juros. 
Vejamos um exemplo prático para ilustrar melhor nosso tema. 
 
Exemplo 1.1: João precisava atender uma necessidade financeira e recorreu a um 
empréstimo bancário. Solicitou ao gerente um empréstimo no valor de $10.000, que 
deveria, segundo o gerente, ser quitado ao final de 6 meses em parcela única de 
$12.000. 
 
Nota-se que, nesse caso, o tempo envolvido na transação foi de 6 meses e que João, 
apesar de receber a quantia de $10.000 no ato do empréstimo se comprometeu a 
pagar $12.000, valor maior do que o recebido. Fica claro que a quantia paga por João 
repõe o valor recebido ($10.000) acrescido de $2.000, sendo esses $2.000 
considerados uma remuneração paga ao banco, que abriu mão do recurso por um 
período (6 meses) para possibilitar o uso desse recurso por terceiros (no caso, o João). 
 
Outra situação cotidiana refere-se ao planejamento feito pelas pessoas com 
intuito de programar compras e realizar investimentos futuros. Ao contrário do 
raciocínio anterior, nessa situação as pessoas dispõem do recurso financeiro no 
presente para realizar compras e pagamentos no futuro, ou seja, elas abrem mão do 
consumo presente para consumirem no futuro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1.2: O João pretende comprar uma motocicleta daqui a 12 meses e começa, a 
partir de agora, a depositar mensalmente uma quantia fixa em sua caderneta de 
poupança. Nessa situação, o João deixa de consumir no presente, para consumir no 
futuro, estando envolvidos novamente na transação os fatores tempo e juros. 
 
 Resumindo, no dia-a-dia são realizadas, por pessoas físicas e jurídicas, 
transações comerciais e financeiras que tomam por base os conceitos da matemática 
financeira, permitindo que necessidades (aquisição de bens e serviços, pagamento de 
dívidas, entre outros) e objetivos comerciais (obtenção do lucro) sejam atendidos. 
 Para que possamos entender melhor o funcionamento dessas operações e a 
importância dos juros e do tempo nas mesmas faz-se necessário o conhecimento de 
alguns conceitos. Esses conceitos serão trabalhados nesse capítulo, juntamente com a 
nomenclatura adotada na matemática financeira. 
 
No Site http://www.vidaedinheiro.gov.br/, do Governo Federal, você encontra a 
Estratégia Nacional de Educação Financeira – ENEF – que é uma mobilização 
multisetorial em torno da promoção de ações de educação financeira no Brasil. O 
objetivo da ENEF, criada através do Decreto Federal 7.397/2010, é contribuir para o 
fortalecimento da cidadania ao fornecer e apoiar ações que ajudem a população a 
tomar decisões financeiras mais autônomas e conscientes. 
 
 
 
O tema também foi discutido na Semana Nacional de Educação Financeira. Confira a 
entrevista da diretora do Departamento de Educação Financeira, do Banco Central, 
Elvira Cruvinel, em 12 de maio de 2014. 
https://www.youtube.com/watch?v=s2nvGdAs-B4 
 
2. Trabalhando os conceitos básicos: 
 
Juro ou Juros (J): 
 
Define-se juro como o valor pago pelo uso do dinheiro que se toma 
emprestado, ou seja, é o valor pago por se utilizar dinheiro de terceiros. Do outro lado 
o juro é a remuneração recebida pelo dinheiro que se empresta a terceiros. 
No exemplo prático 1.1, sabe-se que o valor do juro pago por João ao banco é 
de $2.000, sendo para João o custo e para o banco o lucro embutido na transação. 
 
 
Tempo (n): 
 O conceito de juros deve estar associado a um período, podendo ser ao dia, ao 
mês, ao ano, ao semestre, etc. 
 
Principal (P): 
 Nome dado aos recursos ou capital desembolsado no início de um 
investimento. 
 No exemplo 1.1, o valor principal seria de $10.000, sendo P = 10.000. 
 
Montante (S): 
Valor pago pelo tomador de capital ao final da operação, sendo igual ao valor 
do capital (P) emprestado mais a parcela de juros (J) pagos. 
 
S = P + J 
 
No exemplo prático 1.1, o montante é de $12.000, já que: 
 
S = 10.000 + 2.000 
 
Atividade 1 – Atende ao objetivo 1. 
Identifique, no texto abaixo, os conceitos: Principal (P), Montante (S) e Juros (J). 
 
“A cada dia está ficando mais caro fazer empréstimos ou comprar a prazo no Brasil. 
Mesmo que o valor recebido inicialmente pelo tomador do empréstimo seja pequeno, 
o valor final pago pelo mesmo ao “dono do capital” está cada vez maior, pois a parcela 
paga pelo uso desse capital está cada vez maior. 
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Resposta comentada 
Com base nas definições já apresentadas: 
Principal (P): “valor recebido inicialmente pelo tomador do empréstimo" 
Montante (S): “valor final pago aodono do capital" 
Juro (J): “parcela paga pelo uso do capital" 
 
Atividade 2 – Atende ao objetivo 1 
Considere a seguinte situação: 
Marina decidiu adquirir um “aparelho de televisão para presentear seu pai. Ao 
procurar uma loja, encontrou as seguintes condições de compra do aparelho: para 
pagamento à vista $ 1.300,00 e para pagamento a prazo seriam 12 parcelas iguais de $ 
187,00. 
 
Avaliando a situação apresentada, responda: 
a) Identifique qual é o montante da transação caso Marina faça a opção por 
comprar a prazo. 
 
 
 
b) Identifique a parcela de Juros incluída nessa transação. 
 
 
 
 
 
Resposta comentada 
a) Sabendo-se que o Montante se refere ao valor total pago, nesse caso, pelo 
comprador da televisão ao final da operação tem-se que: 
Se a televisão for comprada em 12 parcelas de $187,00, o montante será igual a: 
 
S = 12 x 187,00 = $ 2.244,00 
 
b) Sabendo-se que o Montante (S) é igual a soma do valor principal (P) com a parcela 
de Juro (J), tem-se que: 
 
S = P + J, 
Rearranjando a equação, temos: 
J = S – P, 
Sendo, para o problema proposto, 
J = 2.244,00 – 1.300,00 
J = $ 944,00. 
 
 
Taxa de Juros (i): 
 
 O cálculo do valor pago pelo uso do dinheiro se dá por meio da taxa de juros, 
definida por alguns autores como o “preço” do dinheiro cobrado por aqueles que 
emprestam e também o preço pago por aqueles que tomam os empréstimos. 
 Conforme já apresentado, a ocorrência das transações depende da existência 
de pessoas (físicas ou jurídicas) dispostas a abrir mão do consumo no presente para 
dispor do dinheiro no futuro em troca de pagamento monetário 
(credores/investidores) e da existência de pessoas (físicas ou jurídicas) dispostas a 
antecipar o consumo com recursos de terceiros e dispostas a pagar por isso 
(devedores). 
 Aqueles que emprestam recursos devem avaliar se o preço pago pelo tomador 
compensa: os riscos (possibilidade do tomador não realizar o pagamento do valor 
devido), as despesas operacionais, o lucro que está disposto a receber, entre outros. 
Quanto maior for o valor recebido maior tende a ser a rentabilidade da operação e 
maior a disposição a emprestar. 
 Quanto àqueles que tomam os recursos emprestados, a decisão de aceitar o 
valor cobrado depende da necessidade a ser atendida naquele momento. Os que têm 
necessidades urgentes normalmente aceitam as condições oferecidas pelos agentes 
financeiros, mesmo que tenham que pagar valores abusivos. Já aqueles que podem 
aguardar para realizar a compra ou o pagamento num momento futuro têm a 
possibilidade de negociar ou aguardar melhores condições quanto a taxa de juros, 
prazos, custos da operação (tarifas, impostos), etc. 
 A taxa de juros é a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no final de um 
certo período de tempo e o capital inicialmente aplicado (ou emprestado), sendo 
(Vieira, 2000): 
 
i = J/P, 
 
Onde: 
i = taxa de juros, 
J = valor dos juros, 
P = valor emprestado (capital ou principal). 
 
Exemplo 1.3: Retornando à operação apresentada no exemplo 1.1: João precisava 
atender uma necessidade financeira e recorreu a um empréstimo bancário. Solicitou 
ao gerente um empréstimo no valor de $10.000, que deveria, segundo o gerente, ser 
quitado ao final de 6 meses em parcela única de $12.000. Pode-se agora, calcular a 
taxa de juros paga por João ao banco. 
 
Primeiro, calcula-se os juros: 
J = S – P 
J = 12.000 – 10.000 
J = 2.000. 
 
Com base no valor pago de juros, pode-se calcular a taxa de juros: 
 
i = 2.000/10.000 
i = 0,2 ou 20 % ao semestre. 
 
 A taxa de juros paga por João na operação contratada com o banco foi de 20% 
ao semestre. Como pode ser observada, uma novidade foi introduzida na resposta do 
exercício: ao semestre, indicando o período associado à transação. 
 
Passe, a partir de agora, a observar com mais atenção as notícias veiculadas 
sobre o comportamento das taxas de juros e seu impacto nos preços dos empréstimos, 
dos financiamentos... Pense no impacto que ela tem na sua vida, nas suas decisões de 
consumo/investimento e de sua família. Pense, por exemplo, que a elevação da taxa 
de juros (“preço do dinheiro”) no mercado financeiro faz com que as compras feitas a 
prazo ou os empréstimos feitos junto às instituições financeiras também fiquem mais 
caros. Ao contrário, ao cobrarem taxas de juros mais baixas as instituições financeiras 
emprestam dinheiro a um preço mais baixo. 
Suponha que você queira comprar um carro para se deslocar entre seus 
compromissos, mas não dispõe da quantia em dinheiro para fazer a compra à vista. A 
decisão de comprar o veículo dependerá, então, da obtenção de um financiamento 
para realizar a compra. A instituição financeira estará disposta a fazer o financiamento 
caso você esteja disposto a pagar por ele, através do pagamento de taxa de juros sobre 
o valor financiado. Quanto maior for a taxa de juros maior será o valor das prestações 
a serem pagas e menor será sua renda disponível para gastar com suas outras 
despesas. 
 
 ATIVIDADE 2 – Essas atividades têm como objetivo fixar os conceitos apresentados e 
exercitar o cálculo da taxa de juros. 
 
a) Calcule a taxa de juros embutida na seguinte operação: Joana solicitou um 
empréstimo de $ 3.500,00 a ser pago em um única parcela após 3 meses. O valor a ser 
pago é de $ 4.800,00. 
 
b) O valor dos juros pagos em uma transação foi de $ 7.800,00 para a retirada de um 
empréstimo de $ 32.000,00 a ser pago ao final de 12 meses. Calcule o Montante pago 
pelo tomador de empréstimo ao final da operação e a taxa de juros da operação. 
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Respostas: 
 
a) Sendo o montante pago de $ 4.800,00 e o valor Principal de $ 3.500,00, tem-se o 
juros de J = 4.800 – 3.500 = 1.300,00. 
i = 1.300/3.500 = 0,3714 ou 37,1% ao trimestre. 
 
b) Para o cálculo do Montante (S): 
S = P + J 
S = 32.000 + 7.800,00 
S = $ 39.800,00 
 
i = 7.800/32.000 
i = 0,24375 ou 24,4% ao ano. 
 
 
Fluxo de Caixa: 
 
 Denomina-se fluxo de caixa qualquer sucessão de pagamentos e/ou 
recebimentos de uma empresa ou indivíduo. Ná prática, o fluxo de caixa serve para 
que possamos representar as séries de pagamentos e recebimentos realizados em 
operações de compra e venda ou financeiras. 
 Eles podem ser feitos em forma de tabelas ou de diagramas, favorecendo muito 
o entendimento das situações que envolvem pagamentos e recebimentos. 
 
 
 
 
Veja um esboço de um fluxo de caixa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De maneira geral, seguem-se as seguintes padronizações: 
 
• No momento 0 (zero) registra-se a saída de recursos com uma seta para baixo 
e/ou uma entrada de recursos com uma seta para cima. 
• Em cada período devem ser registradas as entradas (setas para cima) ou saídas 
(setas para baixo) de recursos para o período. 
• Os fluxos de caixa podem representar operações em períodos de tempo: diário, 
mensal, semestral, anual, etc. 
• Podem ser representados os valores de entradas e saídas no mesmo período 
ou oresultado entre entradas e saídas no mesmo período. 
• Os fluxos de caixa devem representar a situação daquele que está fazendo o 
registro, por exemplo, se quem faz a análise é o tomador do recurso haverá, no 
início, entrada de recursos e nos demais períodos saídas de recurso. 
 Se a análise é feita por quem emprestou o recurso haverá, no início, saída de 
recursos e nos demais períodos entradas de recurso 
 
 A princípio, neste curso, para facilitar o entendimento do conteúdo, será 
adotada a forma de diagrama para os fluxos de caixa. 
 
 
Exemplo 1.4: 
Retornando à operação apresentada no exemplo 1.1: João precisava atender uma 
necessidade financeira e recorreu a um empréstimo bancário. Solicitou ao gerente um 
empréstimo no valor de $10.000, que deveria, segundo o gerente, ser quitado ao final 
de 6 meses em parcela única de $12.000. 
 Para que seja elaborado o fluxo de caixa que perceberá melhor visualização da 
situação apresentada devem ser observados o tempo (prazo), os valores e a forma de 
pagamento definida na operação. 
Fluxo de Caixa do João: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fluxo de Caixa da Instituição Bancária: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Como pode ser observado para esse exemplo, constam no fluxo de caixa de 
João o recebimento do empréstimo no momento 0 no valor de $10.000 (seta para 
cima) e o desembolso no 6 mês de $12.000 (seta para baixo). Não constam 
pagamentos e/ ou recebimentos nos meses 1, 2, 3, 4 ou 5 pois os mesmos não 
ocorreram na transação, já que o pagamento foi feito de uma única vez. 
 No fluxo de caixa da instituição bancária ocorre a situação inversa, já que no 
momento 0 a instituição desembolsou $10.000 (seta para baixo) e ao final do 6 mês ela 
recebeu $12.000 (seta para cima). 
 
Exemplo 1.5: 
 
 Manuela precisou de dinheiro para quitar um tratamento médico realizado 
pelo seu filho. Para tanto, teve que realizar um empréstimo junto a uma instituição 
bancária no valor de $ 2.000, que seria pago em 5 parcelas de $ 452,00. 
 
 
Fluxo de caixa da Manuela 
 
 
 
 
 
Fluxo de caixa da Instituição Bancária 
 
 
 Nesse caso, para Manuela, no momento 0 (momento em que ela recebeu o 
valor do empréstimo) tem-se a entrada de $2.000,00 (seta para cima) e nos 5 meses 
seguintes tem-se o desembolso de $452,00 (seta para baixo), já que nesses meses 
deverão ser pagas as parcelas referentes ao empréstimo feito. 
 No caso da instituição bancária ocorre a situação oposta. No momento 0 tem-
 se a saída de $2.000,00 (seta para baixo) e nos 5 meses seguintes tem-se a 
entrada de $452,00, já que Manuela deve pagar nesses meses o pagamento pelo 
crédito tomado. 
 
ATIVIDADE 3 – O objetivo dessa atividade é fixar o conceito de fluxo de caixa. 
 
Érika decidiu reformar sua casa e, para isso, precisou recorrer a um empréstimo 
bancário. Após analisar as taxas de juros ela optou por um banco e fez a seguinte 
operação: tomou um empréstimo de $15.000,00 a ser pago em 10 parcelas mensais de 
$1.785,00. Represente em um fluxo de caixa (diagrama) a operação realizada por Érika. 
Faça os fluxos para Érika e para a Instituição Bancária. 
 
 
 
 
 
Resposta: 
 
Fluxo de Caixa da Érika. 
 
Fluxo de Caixa do Banco: 
 
 
 
ATIVIDADES FINAIS 
Prezado aluno, espero que você tenha entendido as lições passadas nessa aula. Essas 
atividades têm como objetivo favorecer o entendimento dos conceitos ministrados e 
estimular seu raciocínio na aplicação dos mesmos. 
 
 
1) Analise a seguinte situação e responda às questões apresentadas: 
“Lucas decidiu adquirir uma nova máquina para sua padaria mas não possuía recursos 
próprios para isso. Decidiu então, procurar um financiamento bancário. O valor do 
financiamento foi de $4.500,00 (valor da aquisição da máquina mais a instalação da 
mesma) e Lucas deveria pagá-lo em 10 parcelas mensais de $487,00.” 
 
Resolva: 
a) Qual é o valor Principal da transação? 
b) Qual é o Montante da transação? 
c) Qual é o valor dos juros pagos na operação? 
d) Qual é a taxa de juros embutida na transação? 
e) Represente a operação bancária realizada por Lucas por meio do fluxo de caixa 
(diagrama) 
 
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Respostas 
a) O valor principal nesse caso é o valor recebido por Lucas na realização do 
empréstimo, ou seja, $4.500,00. 
 
b) O montante é o valor total pago ao final da operação. Sendo o empréstimo pago em 
10 parcelas de $ 487,00, o montante seria calculado: 
S = 487,00 x 10 = 4.870,00 
O valor total pago por Lucas, incluindo o valor pego emprestado mais os juros é de 
$4.870,00 sendo, portanto, o custo da nova máquina para seu negócio. 
 
c) O valor dos juros seria dado por: 
J = S – P 
J = 4.870,00 – 4.500,00 
J = 387,00 
Lucas deverá pagar ao final da transação juros de $387,00. 
 
d) A taxa de juros é dada pela razão entre o Juros e o Principal, sendo: 
i = J/P 
i = 387/4.500 
i = 0,086 ou 8,6% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) Fluxo de caixa para Lucas 
 
 
 
Fluxo de Caixa para o Banco 
 
2) Represente o Fluxo de caixa da Ana para a seguinte situação: 
Ana pretende se casar daqui a 9 meses e quer fazer uma festa. Para tanto, ela deve 
fazer uma poupança mensal até o casamento, depositando o valor de 350,00. Assim, 
dada a taxa de juros vigente, ela poderá receber na data do casamento um valor de $ 
4.200,00. 
 
 
 
Resposta 
 
 Fluxo de caixa para Ana 
 
 Como a Ana vai se casar dentro de 9 meses seu fluxo de caixa deverá 
desembolsar o primeiro depósito no momento 0 e os demais sucessivamente até o 
mês 8, totalizando 9 depósitos. Ao final do 9 mês será retirado por Ana o valor de 
$4.200,00, para que ela possa realizar o pagamento de sua festa. 
 
3) Uma loja de departamentos está anunciando uma promoção com redução dos juros 
em toda linha de aparelhos celulares. Uma das ofertas mais atraentes foi escolhida por 
Nilo, que comprou um celular pagando $100 de entrada + 9 parcelas mensais de 87,00. 
À vista o aparelho custaria $720,00. Calcule, nesta transação realizada por Nilo, o valor 
dos juros pagos. 
 
Resposta: 
Para se calcular os juros (J) deve-se aplicar a seguinte fórmula: 
J = S – P 
Nesse caso, o P = $720,00 
e o S = 100,00 + 9 x 87,00 
S = $883,00 
Substituindo-se tem-se que: 
J = 883,00 – 720,00 
J = $163,00 
 
 
RESUMINDO 
 Prezado aluno, no geral vimos nesse capítulo que para que as transações 
financeiras possam ocorrer muitas vezes faz-se necessária a existência de pessoas 
dispostas a abrir mão do consumo presente para emprestar seus recursos a terceiros 
(recebendo os juros) e a existência de pessoas dispostas a antecipar seu consumo 
utilizando recursos de terceiros (pagando juros pelos mesmos). 
 Nesse contexto, introduz-se nessas operações o fator tempo e o fator juros, 
demandando o estudo de ferramentas da matemática financeira (e da engenharia 
econômica) para possibilitar análises custo-benefício ea avaliação do valor do dinheiro 
no tempo. 
 Os conceitos apresentados possibilitam o entendimento inicial dessas 
operações, sendo nos capítulos posteriores muito importantes para o entendimento 
dos demais conteúdos. 
 
3. Referências Bibliográficas: 
Sobrinho, J. D. V. Matemática Financeira. São Paulo: Atlas, 2000.