p1.2011.2

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PUC-RIO
CICLO BÁSICO DO CTC.
MAT1161 - CÁLCULO A UMA VARIÁVEL
P1 - 20-09-2011
Nome:
Assinatura:
Matricula: Turma:
Questão Valor Grau Revisão
1a. 1,5
2a. 1,5
3a. 2,0
4a. 1,0
5a. 2,0
Teste 2,0
Total 10,0
- MANTENHA A PROVA GRAMPEADA.
- É proibido a utilização de calculadoras.
- RESPOSTAS SEM JUSTIFICATIVA NÃO SERÃO ACEITAS.
- Desligue o telefone celular.
- NÃO É PERMITIDO SAIR DA SALA DURANTE A PROVA.
Questão 1 (Justifique todas as suas respostas): (1,5)
(a) (1,0) Considere a seguinte proposição:
Se a
n
→∞ e b
n
→ −∞, então lim
n→∞
a
n
b
n
= −1.
Decida se a proposição é verdadeira ou falsa.
(b) (0,5) Dê um exemplo de sequência a
n
monótona crescente que converge
ao número real −pi.
Questão 2 (Justifique todas as suas respostas): (1,5)
Considere a = 23, 42683...
Decida quais afirmações abaixo são verdadeiras (justificando cada uma):
(a) x = 23, 427 é o truncamento na 3o casa decimal do número a.
(b) x = 23, 4261 é uma aproximação para a com erro menor do que 10−3.
(c) Se 23, 425 < x < 23, 427 então x é uma aproximação para a com erro
menor do que 10−2.
(d) Se 23, 425 < x < 23, 427 então x é uma aproximação para a com erro
menor do que 10−3.
Questão 3 (Justifique todas as suas respostas): (2,0).
Considere f(x) =


ax2 + 2x+ 1 se x < −1
1 se x = −1
bx+ c se x > −1
(a) Determine valores para a, b, c de forma que NÃO exista lim
x→−1
f(x)
(b) Determine valores para a, b, c de forma que exista lim
x→−1
f(x), mas f
não seja contínua em x = −1.
(c) Determine valores para a, b, c de forma que f seja contínua em x = 1,
mas não exista f ′(−1).
(d) Determine valores para a, b, c de forma que exista f ′(−1).
Questão 4 (Justifique todas as suas respostas): (1,0).
Considere f a função definida por f(x) =
6x4 − 4x3
3− 2x
.Determine a equação
da reta tangente ao gráfico da f em x = 1.
Questão 5 (Justifique todas as suas respostas): (2,0).
Considere f a função definida pelo gráfico abaixo. Sabendo que a reta r
é tangente ao gráfico da f em x = −1 e a reta s é tangente ao gráfico da f
em x = 2.
(i) Determine a equação da reta r.
(ii) Determine f(−1) e f
′
(−1).
(iii) Determine a equação da reta s (Obs: a reta s passa pela origem).
(iv) Determine f(2) e f
′
(2).