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Exercício com As dupla Outubro de 2005 Problema - roteiro • Dados • bw, h, d, fck, fyd e Md • Solução: • Se Md for maior que Md1 usa-se Asdupla • Md1 é resistido pelo concreto e As1 • Md1 é calculado usando um valor de x1 qualquer dentro do domínio 2 ou 3 • A proposta é usar x1= 0,5d • 1) Md1= 0,85fcd.bw.0,8.x1( d - 0,4.x1) • 2) Md1= 0,85fcd. bw 0,8.0,5d(d – 0,4 .0,5d) • 3) Md1 = 0,32. (0,85fcd. bw.d2 ) Problema - roteiro • 4)Com Md1 calcula-se As1 através da expressão • 5)As1= Md / (z. fyd) • 6) Lembrando que z=d-0,4x1 e que fs = fyd porque estamos no domínio 2 ou 3 • 7) Como Md é maior que Md1 calcula-se a diferença Md - Md1 chamando-a de Md2 • 8) Md2 será equilibrado por armaduras: uma de tração chamada de As2 e outra de compressão chamada de As’ • 9) As2= Md2 / ( fyd . (d-d’)) • 10)As’= Md2 / ( fs’. ( d’d’)) • 11) O calculo de fs’ é feito usando fs’= Es. εs’ (lei de de Hooke) e o gráfico de de deformação Flexão Simples Armadura dupla Forças e tensões: d As As’ h 0,8x 0,4x 0,85fcd Fc fyd z Fs1 Fs’ d’ d-d’ Fs2 Md = Md1 + Md2 Md1 Md2Md = + Exercício de FS com Asdupla • Uma viga de seção transversal 15x50 • com d= 45cm. • Concreto C20 • e aço CA50 • Deseja-se saber as áreas de armaduras • As e As’ • necessárias para resistir ao momento • Md=156kN.m As’ h d As Md bw Calculo de Md1 • Calculo de Md1 para um x1 = 0,5 x 45 = 22,5cm • Fazendo x1= 22,5cm calcula- se : Md1 e As1 • Da figura ao lado: • Md1= Fc .z1 • onde: z1 = d - 0,4 x1 • z1 = 45 – 0,4 . 22.5 • z1= 36cm • Fc= 0,85fcd .bw.0,8x1 • Fc = 0,85 .(2/1,4). 15 .0,8.22,5= • Fc = 327,86kN • Com z1= 36 e Fc = 327,86 temos: • Md1= Fc . z1 = 22,5 .327,86 • Md1 = 11802,86 kN.cm d As1 0,8x1 0,4x1 0,85fcd Fc fyd z1 Fs1 Md1 Md1 Calculo de As1 • Com Md1 =11802,86 kN.cm • Calcula-se As1 : • Da figura ao lado: • Md1= Fs1 .z1 • onde: z1 = 36cm • Fs1= As1 . Fyd onde : • fyd= 43,478kN/cm2 • Pode-se escrever : • Md1= As1 . fyd. z1 e As1 = Md1 / (fyd z1) • As1= 11802,86 / (43,478 . 36 ) = 7,54 cm2 d As1 0,8x1 0,4x1 0,85fcd Fc fyd z1 Fs1 Md1 Md1 Calculo de Md2 e As2 • Com Md1 = 11802,86 • Calcula-se: Md2 • Md2 = Md – Md1 • = 15600-11802,86 • Md2 =3797,04 kN.cm • Pela figura : • Md2 = Fs2 . (d – d’) • Como Fs2 = As2. fyd , temos: • As2 = Md2 / fyd (d- d’) • d-d’= 45-5 =40cm • Sabendo-se que d-d’= 45 - 5 =40cm • As2 = 3797,14 / (43,478 . 40) = 2,18cm2 h d As2 As’ εc εs’ εs x1 Deformações d-d’ Fs’ Fs2 d’ Md2 Calculo de As’ • Com Md2 = 3797,14 • Pela figura: • Md2 = Fs’. (d – d’) • Onde: As’= As’. fs’, então: • As’ = Md2 / fs’ (d- d’) • Como d-d’= 40cm • Precisamos calcular fs’ • fs’ é calculado pela expressão ( Lei de Hooke) • fs’= 21000. ε s’ onde: • εs’ é calculada no diagrama de deformações � εs’ = εc ( x1 - d’) /x1 = 3,5 / ( 22,5 – 5) / 22,5= � εs’= 2,72 %0 h d As2 As’ εc εs’ εs x1 Deformações d-d’ Fs’ Fs2 d’ Md2 Justificativa do Cálculo de fs’ εc εs’ εs x1 d d-x x-d’ d’ Usando a semelhança de triângulos: εc εs’= x1 x1-d’ =εs’ 3,5 . 17,522,5 εc = 3,5%o x1 = d/2 = 22,5cmOnde: d’= 5cm εs’ = 2,72 %o Como εs’ > 2,07%o então: fs’= fyd =43,48 kN/cm2 2,07 10 εs’3,5 2,07 2,72 fyd= 43,478 fs Compressão Tração fyd εs’ 22,5 - 5 3,5 22,5 = Calculo de As’ • Como εs’ =2,72%0 fs’= 43,478 • Substituindo em : As’ = Md2 / fs’ (d- d’) • Com d-d’= 40cm e Md2= 3797,14kN.cm • As’= 3797,14 / ( 43,478 . 40) • As’= 2,18cm2 h d As2 As’ εc εs’ εs x1 Deformações d-d’ Fs’ Fs2 d’ Md2 Respostas • A area de aço para flexão • As= As1 +As2 = 7,54 + 2,18 = 9,72cm2 • As’= 2,28cm2 • Consumo de aço = As + As’= 9,72 + 2,18= = 11,9 cm2
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