AsDUPLA Exercicio Resolvido

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Exercício com As dupla
Outubro de 2005
Problema - roteiro
• Dados 
• bw, h, d, fck, fyd e Md
• Solução:
• Se Md for maior que Md1 usa-se Asdupla
• Md1 é resistido pelo concreto e As1
• Md1 é calculado usando um valor de x1 qualquer 
dentro do domínio 2 ou 3
• A proposta é usar x1= 0,5d
• 1) Md1= 0,85fcd.bw.0,8.x1( d - 0,4.x1)
• 2) Md1= 0,85fcd. bw 0,8.0,5d(d – 0,4 .0,5d)
• 3) Md1 = 0,32. (0,85fcd. bw.d2 )
Problema - roteiro
• 4)Com Md1 calcula-se As1 através da expressão
• 5)As1= Md / (z. fyd) 
• 6) Lembrando que z=d-0,4x1 e que fs = fyd
porque estamos no domínio 2 ou 3
• 7) Como Md é maior que Md1 calcula-se a diferença 
Md - Md1 chamando-a de Md2
• 8) Md2 será equilibrado por armaduras: 
uma de tração chamada de As2
e outra de compressão chamada de As’
• 9) As2= Md2 / ( fyd . (d-d’))
• 10)As’= Md2 / ( fs’. ( d’d’))
• 11) O calculo de fs’ é feito usando fs’= Es. εs’
(lei de de Hooke) e o gráfico de de deformação 
Flexão Simples Armadura dupla
Forças e tensões:
d
As
As’
h
0,8x 0,4x
0,85fcd
Fc
fyd
z
Fs1
Fs’
d’
d-d’
Fs2
Md = Md1 + Md2
Md1 Md2Md = +
Exercício de FS com Asdupla
• Uma viga de seção 
transversal 15x50
• com d= 45cm.
• Concreto C20
• e aço CA50
• Deseja-se saber as 
áreas de armaduras
• As e As’
• necessárias para resistir 
ao momento 
• Md=156kN.m
As’
h d
As
Md
bw
Calculo de Md1 • Calculo de Md1 para um x1 = 0,5 x 45 = 22,5cm 
• Fazendo x1= 22,5cm calcula-
se : Md1 e As1
• Da figura ao lado:
• Md1= Fc .z1
• onde: z1 = d - 0,4 x1
• z1 = 45 – 0,4 . 22.5
• z1= 36cm
• Fc= 0,85fcd .bw.0,8x1
• Fc = 0,85 .(2/1,4). 15 .0,8.22,5=
• Fc = 327,86kN
• Com z1= 36 e Fc = 327,86 temos:
• Md1= Fc . z1 = 22,5 .327,86
• Md1 = 11802,86 kN.cm
d
As1
0,8x1 0,4x1
0,85fcd
Fc
fyd
z1
Fs1
Md1
Md1
Calculo de As1 • Com 
Md1 =11802,86 kN.cm
• Calcula-se As1 :
• Da figura ao lado:
• Md1= Fs1 .z1
• onde: z1 = 36cm
• Fs1= As1 . Fyd
onde :
• fyd= 43,478kN/cm2
• Pode-se escrever :
• Md1= As1 . fyd. z1 e As1 = Md1 / (fyd z1)
• As1= 11802,86 / (43,478 . 36 ) = 7,54 cm2
d
As1
0,8x1 0,4x1
0,85fcd
Fc
fyd
z1
Fs1
Md1
Md1
Calculo de Md2 e As2
• Com Md1 = 11802,86
• Calcula-se: Md2
• Md2 = Md – Md1
• = 15600-11802,86 
• Md2 =3797,04 kN.cm
• Pela figura :
• Md2 = Fs2 . (d – d’)
• Como Fs2 = As2. fyd , temos:
• As2 = Md2 / fyd (d- d’)
• d-d’= 45-5 =40cm
• Sabendo-se que d-d’= 45 - 5 =40cm
• As2 = 3797,14 / (43,478 . 40) = 2,18cm2
h d
As2
As’
εc
εs’
εs
x1
Deformações
d-d’
Fs’
Fs2
d’
Md2
Calculo de As’ • Com Md2 = 3797,14
• Pela figura:
• Md2 = Fs’. (d – d’)
• Onde:
As’= As’. fs’, então:
• As’ = Md2 / fs’ (d- d’)
• Como d-d’= 40cm
• Precisamos calcular fs’
• fs’ é calculado pela expressão ( Lei de Hooke) 
• fs’= 21000. ε s’ onde:
• εs’ é calculada no diagrama de deformações 
� εs’ = εc ( x1 - d’) /x1 = 3,5 / ( 22,5 – 5) / 22,5=
� εs’= 2,72 %0
h d
As2
As’
εc
εs’
εs
x1
Deformações
d-d’
Fs’
Fs2
d’
Md2
Justificativa do 
Cálculo de fs’
εc
εs’
εs
x1
d
d-x
x-d’
d’
Usando a semelhança de triângulos:
εc εs’=
x1 x1-d’
=εs’ 3,5 . 17,522,5
εc = 3,5%o
x1 = d/2 = 22,5cmOnde:
d’= 5cm
εs’ = 2,72 %o
Como εs’ > 2,07%o 
então: 
fs’= fyd =43,48 kN/cm2
2,07 10
εs’3,5 2,07
2,72
fyd= 43,478
fs
Compressão
Tração
fyd
εs’
22,5 - 5
3,5
22,5
=
Calculo de As’ • Como εs’ =2,72%0
fs’= 43,478
• Substituindo em :
As’ = Md2 / fs’ (d- d’)
•
Com d-d’= 40cm e
Md2= 3797,14kN.cm
• As’= 3797,14 / ( 43,478 . 40)
• As’= 2,18cm2
h d
As2
As’
εc
εs’
εs
x1
Deformações
d-d’
Fs’
Fs2
d’
Md2
Respostas
• A area de aço para flexão 
• As= As1 +As2 = 7,54 + 2,18 = 9,72cm2
• As’= 2,28cm2
• Consumo de aço = As + As’= 9,72 + 2,18=
= 11,9 cm2