9 Energia de Deformação II

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Prof. José Renato de Castro Pessôa
jrenatopessoa@gmail.com
Energia de Deformação III 
Métodos Energéticos Aplicados a Estruturas Isostáticas
Método das forças virtuais aplicados a treliças
Método das forças virtuais aplicados a vigas
Teorema de Castigliano
Teorema de Castigliano aplicado a treliças
Teorema de Castigliano aplicado a vigas
Estruturas Estaticamente Indeterminadas ( Hiperestáticas)
Resistência dos Materiais II
2
Método das forças virtuais aplicados a treliças
Vamos determinar o deslocamento vertical na
articulação A da treliça mostrada.
Esse deslocamento é provocado pelas cargas
reais P1 e P2. Como elas provocam apenas
força axial nos elementos estruturais, basta
considerar o trabalho virtual interno devido à
carga axial:
Para obter esse trabalho virtual, consideraremos
que cada elemento da treliça tem área de seção
transversal constante A e que a carga virtual n e
a carga real N são constantes em todo o
comprimento do elemento. Assim, teremos:
Portanto a equação do trabalho virtual para toda a treliça será:
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Nessa expressão teremos:
1 = carga virtual externa unitária que age sobre a
articulação da treliça na direção declarada de ∆;
n = força virtual interna em um elemento da treliça provocada pela carga
virtual externa unitária;
∆ = deslocamento da articulação provocado pelas
cargas reais sobre a treliça;
N = força interna em um elemento da treliça provocada pelas cargas reais;
L = comprimento de um elemento;
A = área da seção transversal de um elemento;
E = módulo de elasticidade de um elemento.
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Observar que a carga virtual externa unitária cria
forças 'n' virtuais internas em cada um dos
elementos da treliça, como mostrado.
Assim o trabalho virtual externo 1.∆ é igual ao trabalho virtual interno ou à
energia de deformação (virtual) interna armazenada em todos os elementos
da treliça, ou seja:
Quando as cargas reais são aplicadas à treliça,
provocam um deslocamento ∆ na articulação da
treliça na mesma direção da carga virtual unitária,
também mostrado.
Cada elemento sofre um deslocamento NL/AE na
mesma direção de sua respectiva força 'n'.
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Para determinar o deslocamento de qualquer articulação em uma treliça pelo
método da força virtual pode-se seguir os seguintes passos:
Forças virtuais N
Coloque a carga virtual unitária sobre a treliça na articulação na qual se deve
determinar o deslocamento desejado. A carga deve estar orientada ao longo
da linha de ação do deslocamento.
Com a carga unitária assim posicionada e todas as cargas reais removidas
da treliça, calcule a força n interna em cada elemento dela. Considere que as
forças de tração são positivas e as de compressão negativas.
Forças reais N
Determine as forças N em cada elemento. Essas forças são provocadas
somente pelas cargas reais que agem sobre a treliça. Novamente, considere
que as forças de tração são positivas e as de compressão negativas.
Equação do trabalho virtual
Aplique a equação do trabalho virtual para determinar o deslocamento
desejado. É importante conservar o sinal algébrico de cada uma das forças n
e N correspondentes, ao substituir esses termos na equação.
Se a soma resultante ∑nNL/AE for positiva, o deslocamento ∆ estará na
mesma direção da carga virtual unitária. Se resultar um valor negativo, ∆
estará na direção contrária à da carga virtual unitária.
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Exemplo
Determine o deslocamento vertical da
articulação C da treliça de aço
mostrada. A área da seção transversal
de cada elemento é A = 400mm2 e
Eaço = 200GPa.
Solução
Visto que o deslocamento vertical na
posição C deve ser determinado, somente
uma carga virtual vertical de 1kN é colocada
na articulação C e a força em cada elemento
é calculada pelo método dos nós.
Observar pelo nó B que os membros AB e BC
são membros de força zero.
Os resultados são mostrados e é utilizada a convenção de sinais que tem
forças de tração positivas e forças de compressão negativas.
Forças virtuais n.
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A carga de 100 kN aplicada provoca forças
nos elementos que podem ser calculadas
pelo método dos nós.
Forças reais N
Os resultados da análise são mostrados.
Equação do trabalho virtual
Reunindo os dados em uma tabela teremos:
Logo:
8
Determinaremos o deslocamento ∆ do ponto A sobre a viga mostrada.
Método das forças virtuais aplicados a vigas
Esse deslocamento é provocado pela carga distribuída real w e, visto que
essa carga provoca cisalhamento e também momento no interior da viga ,
consideraremos o trabalho virtual interno decorrente de ambas as cargas.
Como já visto anteriormente, as deflexões em vigas provocadas por
cisalhamento são desprezíveis em comparação com as provocadas por
flexão, em particular se a viga for comprida e esbelta. Na análise será apenas
considerada a energia de deformação virtual decorrente da flexão.
A equação do trabalho virtual utilizada será:
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Nessa expressão teremos:
1 = carga virtual externa unitária que age
sobre a viga na direção de ∆ ;
∆ = deslocamento provocado pelas cargas
reais que agem sobre a viga;
m = momento virtual interno na viga, expresso em função de x e provocado
pela carga virtual externa unitária;
M = momento interno na viga, expresso em função de x e provocado pelas
cargas reais;
E = módulo de elasticidade do material;
I = momento de inércia da área da seção transversal, calculado em torno do
eixo neutro.
De modo semelhante, se tivermos que determinar a inclinação θ da
tangente em um ponto sobre a linha elástica da viga, um momento virtual
unitário deve ser aplicado ao ponto, e o momento virtual interno
correspondente mθ tem de ser determinado.
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Nesse caso, também desprezando o efeito
da deformação por cisalhamento, teremos:
Observa-se que a carga virtual externa
unitária cria um momento virtual interno m
na viga na posição x, como mostrado.
Quando a carga real w é aplicada, ela
provoca uma deformação dx, ou uma
rotação por um ângulo dθ no elemento em
x.
Contanto que o material responda elasticamente, então dθ é igual a (M/EI)dx.
Por consequência, o trabalho virtual externo 1.∆ é igual ao trabalho virtual
interno para a viga inteira:
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Observar que o lado direito das duas equações
representam a quantidade de energia de
deformação virtual por flexão que é armazenada
na viga.
Se forças concentradas ou momentos agirem
sobre a viga ou a carga distribuída for
descontínua, não poderemos efetuar uma
integração única em todo o comprimento da viga.
Teremos que escolher coordenadas x separadas dentro de regiões que
não apresentam descontinuidade de carga.
Essas coordenadas não precisam ter a mesma origem , todavia, a
coordenada x selecionada para determinar o momento real M em uma
determinada região deve ser a mesma coordenada x selecionada para
determinar o momento virtual m ou mθ dentro da mesma região.
Para determinar o deslocamento em D na viga
mostrada podemos usar: x1 para determinar a energia
de deformação na região AB, x2 para região BC, x3 para
região DE e x4 para região DC.
Em qualquer caso, cada coordenada x deve ser
selecionada de modo que ambos M e m (ou mθ)
possam ser facilmente formulados.
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Para determinar o deslocamento e a inclinação em um ponto sobre a linha
elástica de uma viga usando o método do trabalho virtual pode-se seguir os
seguintes passos:
Momentos virtuais m ou m
θ
Coloque a carga virtual unitária sobre a viga no ponto e oriente-a ao longo da
linha de ação do deslocamento desejado.
Se a inclinação tiver que ser determinada, coloque um momento unitário
virtual no ponto.
Considere que m ou mθ age na direção positiva de
acordo com a convenção de sinal estabelecida para
vigas.
Determine coordenadas x adequadas válidas dentro de regiões da viga onde
não houver nenhuma descontinuidade na carga real, nem na virtual.
Momentos reais
Coma carga virtual no lugar e todas as cargas reais removidas da viga,
calcule o momento interno m ou mθ em função de cada coordenada x.
Usando as mesmas coordenadas x estabelecidas
para m ou mθ, determine os momentos internos M
provocados pelas cargas reais.
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Visto que consideramos que m ou mθ positivo age na direção positiva
convencional, é importante que M positivo aja nessa mesma direção.
Equação do trabalho virtual
Aplique a equação do trabalho virtual para determinar o deslocamento ∆ ou a
inclinação θ desejada. É importante conservar o sinal algébrico de cada
integral calculada dentro de sua região especificada.
Se a soma algébrica de todas as integrais para a viga inteira for positiva, ∆ ou
θ está na mesma direção da carga virtual unitária ou do momento virtual
unitário, respectivamente. Se resultar um valor negativo, ∆ ou θ estão na
direção oposta à carga virtual unitária ou momento.
Isso é necessário uma vez que o trabalho virtual positivo ou negativo
depende do sentido da direção da carga virtual definida por ±m ou ±mθ, bem
como do deslocamento , provocado por ±M.
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Exemplo
Determine o deslocamento do ponto B
sobre a viga mostrada. Considerar EI
constante.
Solução
Momento virtual
O deslocamento vertical do ponto B é
obtido colocando-se uma carga virtual
unitária em B como mostrado.
Não há nenhuma descontinuidade de carga sobre a viga para a carga real,
nem para a virtual. Dessa forma pode-se usar uma única coordenada x para
determinar a energia de deformação virtual.
Essa coordenada será selecionada com origem em B, visto que as reações
em A não precisam ser determinadas para encontrar os momentos internos m
e M. O momento m é calculado pelo método das seções, como mostrado.
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Momento real M
Usando a mesma coordenada x, o
momento interno M é calculado como
mostrado.
Equação do trabalho virtual
O deslocamento vertical em B será:
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Exemplo
Determine a inclinação no ponto B da viga
mostrada . Considerar EI constante.
Momentos virtuais m
θ
A inclinação em B é determinada
colocando-se um momento virtual unitário
em B.
Duas coordenadas x devem ser
selecionadas para determinar a energia de
deformação virtual total na viga.
A coordenada x1 representa a energia de
deformação dentro do segmento AB e a x2
representa a energia de deformação no
segmento BC.
Os momentos internos mθ dentro de cada
um dos segmentos são calculados pelo
método das seções como mostrado.
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Momentos reais M
Usando as mesmas coordenadas x1 e x2
os momentos internos M são calculados
como mostrado.
Equação do trabalho virtual
A inclinação em B será:
O sinal negativo indica que θB está na
direção oposta à do momento virtual
considerado inicialmente.
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Teorema de Castigliano
Desenvolvido por Alberto Castigliano em 1879. O teorema aplica-se somente
a corpos que tenham temperatura constante e cujo material tenha
comportamento linear elástico.
Se o deslocamento em um ponto tiver de ser determinado, o teorema afirma
que o deslocamento é igual à derivada parcial de primeira ordem da energia
de deformação no corpo em relação a uma força que age no ponto e na
direção do deslocamento.
De modo semelhante, a inclinação da tangente em um ponto em um corpo é
igual à derivada parcial de primeira ordem da energia de deformação no
corpo com relação a um momento que age no ponto e na direção do ângulo
da inclinação.
Considere um corpo de forma arbitrária, que é
submetido a uma série de n forças, P1, P2, ..., Pn
como mostrado.
Visto que o trabalho externo realizado por essas
forças equivale à energia de deformação interna
armazenada no corpo, podemos aplicar a
conservação da energia, isto é:
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Todavia, o trabalho externo é função das cargas
externas;
Portanto o trabalho interno também é função das
cargas externas. Assim, teremos:
Se qualquer uma das forças externas, digamos Pj, aumentar de uma
quantidade diferencial dPj, o trabalho interno também aumentará, de modo
tal que a energia de deformação será:
Vê-se na equação a taxa de variação de Ui em relação a Pj :
Uma vez que Ui é função de todos os carregamentos, a derivada com
relação a qualquer um dos carregamentos é uma derivada parcial.
Aqui foi utilizada a regra da cadeia para derivadas parciais.
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Esse valor não depende da sequência na qual as n
forças são aplicadas ao corpo.
Se for aplicado primeiramente dPj ao corpo e depois as
cargas P1, P2, ..., Pn, dPj provocaria o deslocamento do
corpo por uma quantidade diferencial d∆j na direção de
dPj .
Pela equação Ue = 1/2Pj∆j o incremento de energia de
deformação é igual a: Ui(j)=1/2dPjd∆j .
Quando todos os carregamentos são aplicados (P1, P2, ..., Pn), a força dPj
se move através do deslocamento ∆j.
Fazendo isso ela produz trabalho adicional igual ao produto da força e da
distância através da qual ela se move, ou seja, dPj∆j.
A energia de deformação final para a segunda sequência de carregamento
será:
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Igualando as duas equações teremos:
O último termo desta equação pode ser descartado
pois ele contém o produto de dois diferenciais e é
infinitesimalmente pequeno comparado aos outros
termos.
Teremos então:
Essa é a equação conhecida como teorema de Castigliano.
A derivada parcial da energia de deformação de uma estrutura com relação
a qualquer carregamento é igual ao deslocamento correspondente àquele
carregamento.
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Teorema de Castigliano aplicado a treliças
Visto que um elemento de treliça está sujeito a uma
carga axial, a energia de deformação é dada pela
equação:
Substituindo essa equação na equação do teorema de Castigliano,
teremos:
Geralmente é mais fácil efetuar a diferenciação antes do somatório. Além
disso L, A e E são constantes para um dado elemento de treliça e, portanto,
podemos escrever:
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Nesta expressão teremos:
∆ = deslocamento da articulação da treliça;
P = força externa de intensidade variável aplicada a uma articulação de
treliça na direção de ∆;
N = força axial interna em um elemento provocada por ambas, a força P e
as cargas sobre a treliça;
L = comprimento de um elemento;
A = área da seção transversal de um elemento;
E = módulo de elasticidade do material.
Para determinar a derivada parcial , será necessário tratar P como
uma variável, e não como uma quantidade numérica específica. Ou seja,
cada força axial interna N deve ser expressa em função de P.
A derivada parcial representa a taxa de variação da força axial
interna em relação à carga P ou seja, a força axial por carga unitária. É o
mesmo n na equação usada para o método do trabalho virtual.
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O seguinte procedimento pode ser usado para determinar o deslocamento
de qualquer articulação em uma treliça aplicando-se o teorema de
Castigliano.
Força Externa P
Coloque uma força P sobre a treliça na articulação onde o deslocamento
deve ser determinado. Considera-se que essa força tem intensidade
variável e deve ser orientada ao longo da linha de ação do deslocamento;
Determine a derivada parcial respectiva para cada elemento;
Depois que N e a derivada parcial foram determinadas, atribua a P o seu
valor numérico, se ela realmente substituiu uma força real na treliça. Caso
contrário P é zero;
Segundo teorema de Castigliano
Aplique o teorema de Castigliano para determinar o deslocamento
desejado ∆. É importante conservar os sinais algébricos para os valores
correspondentes de N e quando substituirmos esses termos na
equação.
Se a soma resultante for positiva, ∆ está na mesma
direção de P, caso contrário ∆ está na direção contrária à de P.
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Exemplo
Determine o deslocamento vertical da
articulação C da treliça de aço mostrada.
A área da seção transversal de cada
elemento é A = 400mm2 e Eaço=200GPa.
Solução
Aplica-se a força vertical P à treliça na
articulação C,já que é nesse lugar que o
deslocamento vertical deve ser
determinado.
Força externa P
Forças internas N
As reações de apoio A e D da treliça são
calculadas e os resultados mostrados.
Usando o método dos nós, as forças N em
cada elemento são determinadas.
Observar que como P na realidade não
existe como uma carga real sobre a treliça,
exige-se P = 0.
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Os valores encontrados para N, ,
bem como para o valor de N
considerando P = 0 estão tabulados com
o objetivo de facilitar o somatório.
Pode ser mais conveniente analisar a treliça
com apenas a carga de 100kN sobre ela, e
então analisar a treliça com a carga P sobre
ela. A seguir os resultados podem ser
somados para dar as forças N.
Segundo teorema de Castigliano
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Teorema de Castigliano aplicado a vigas
A energia de deformação interna para uma viga é provocada por ambas,
flexão e cisalhamento. Todavia se a viga for comprida e esbelta, a energia de
deformação decorrente do cisalhamento pode ser desprezada em
comparação com a de flexão.
Considerando esse caso, a energia de
deformação interna para uma viga é dada
por:
Substituindo essa equação na equação do teorema de Castigliano,
teremos:
Em vez de elevar a expressão ao quadrado para o momento interno M,
integrar e então calcular a derivada parcial, em geral é mais fácil derivar
antes da integração. Com E e I constantes teremos:
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Nesta expressão teremos:
∆ = deslocamento do ponto provocado pelas cargas reais que agem sobre
a viga;
P = força externa de intensidade variável aplicada a viga na direção de ∆;
M = momento interno na viga, expresso em função de x e provocado por
ambas, a força P e as cargas sobre a viga;
E = módulo de elasticidade do material;
I = momento de inércia da área da seção transversal, calculado em torno
do eixo neutro.
Se tivermos que determinar a inclinação da tangente θ em um ponto sobre
a linha elástica, temos que determinar a derivada parcial do momento
interno em relação a um momento externo M' que age no ponto. Assim
teremos:
29
Se a carga que age sobre um elemento provocar energia de deformação
significativa dentro do elemento devido a carga axial, cisalhamento,
momento fletor e momento de torção, então os efeitos de todas essas
cargas devem ser incluídos quando da aplicação do teorema de
Castigliano.
Usaremos as funções de energia de deformação já desenvolvidas,
juntamente com suas derivadas parciais associadas. Teremos então:
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O seguinte procedimento pode ser usado para se aplicar o teorema de
Castigliano.
Força externa P ou momento M'
Coloque a força P sobre a viga no ponto e oriente-a ao longo da linha de ação
do deslocamento desejado.
Se a inclinação da tangente tiver de ser determinada, coloque um momento M'
no ponto.
Considere que ambos P e M' têm intensidade variável.
Momentos Internos M
Estabeleça coordenadas x adequadas que sejam válidas dentro de regiões da
viga onde não há nenhuma descontinuidade de força, carga distribuída ou
momento.
Calcule os momentos internos M em função de P ou M' e as derivadas
parciais para cada coordenada x.
Depois que M e forem determinados, atribua a P ou M' seu
valor numérico se, de fato, ela (ou ele) substitui uma força ou momento real.
Caso contrário iguale P ou M' a zero.
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Segundo teorema de Castigliano
Aplique as equações relativas ao teorema de Castigliano para determinar o
deslocamento ∆ ou θ. É importante conservar os sinais algébricos
correspondentes de M e .
Se a soma resultante de todas as integrais definidas for positiva, ∆ ou θ estará
na mesma direção de P ou M'. Se resultar um valor negativo, ∆ ou θ estará na
direção contrária à de P ou M'.
Observar que estamos utilizando o segundo teorema de
Castigliano. O primeiro assemelha-se ao segundo; todavia
relaciona a carga Pj com a derivada parcial da energia de
deformação em relação ao deslocamento correspondente,
ou seja:
Sua aplicação é limitada, razão pela qual nos concentramos
no segundo teorema.
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Exemplo
Determine o deslocamento do ponto B
sobre a viga mostrada . E e I são
constantes.
Solução
A força vertical P é colocada sobre a
viga em B como mostrado.
Força externa P
Momentos internos M
É necessário apenas uma única coordenada x para a
solução, visto que não há nenhuma descontinuidade de
carga entre A e B.
Usando o método das seções, o momento interno e a
derivada parcial serão determinadas.
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Fazendo P = 0 teremos:
Segundo teorema de Castigliano
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Exemplo
Determine a inclinação no ponto B da
viga mostrada. E e I são constantes.
Solução
Visto que a inclinação no ponto B deve
ser determinada, um momento externo
M' é colocado sobre a viga nesse ponto.
Momento externo M'
Momentos internos M
Duas coordenadas x1 e x2, devem ser
usadas para determinar os momentos
internos dentro da viga, visto que há uma
descontinuidade, M', em B.
Usando o método das seções, os
momentos internos e as derivadas
parciais serão determinadas.
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Para x1:
Para x2:
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Segundo teorema de Castigliano
Fazendo M' = 0 e aplicando a equação
teremos:
O sinal negativo indica que θB está na direção oposta à do momento M'.
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Estruturas Estaticamente Indeterminadas ( Hiperestáticas)
O teorema de Castigliano pode ser usado na determinação das reações
de apoio de estruturas estaticamente indeterminadas.
Igualamos a zero essa derivada parcial e resolvemos a equação obtida,
encontrando o valor da reação redundante. Se for permitida deformação no
apoio essa derivada deve ser igualada à essa deformação. As demais
reações podem ser obtidas das equações da estática.
Por exemplo, no caso de uma estrutura com um grau de hiperestaticidade,
escolhemos uma das reações de apoio como sendo redundante e
modificamos ou eliminamos o apoio correspondente.
A reação de apoio redundante é tratada então como um carregamento
desconhecido, que, em conjunto com os outros carregamentos, deve
produzir nos apoios deformações compatíveis.
Calculamos inicialmente o trabalho de deformação U da estrutura devido à
ação combinada dos carregamentos dados e da reação redundante.
Sabemos que a derivada parcial de U em relação à reação redundante
representa a deflexão (ou a rotação) do apoio que foi modificado ou
eliminado.
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Exemplo
Determinar as reações de apoio da viga
prismática com o carregamento indicado. E
e I constantes.
Solução
A viga possui um grau de
indeterminação.
Escolhemos como redundante a reação
em A e retiramos esse apoio da viga.
A reação RA passa a ser considerada como uma carga desconhecida, como
mostrado, que será determinada com a condição de que a flecha ∆A em A
deve ser nula.
Pelo teorema de Castigliano teremos:
No nosso caso teremos:
A
A
R
U
∂
∂
=∆
U é o trabalho de deformação da viga sob a ação da carga distribuida e da
reação redundante.
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Teremos então:
EI
dx
R
M
M
R
U L
0
AA
A ∫










∂
∂
=
∂
∂
=∆
Pelo método das seções o momento
fletor a x de A será:
2
A wx
2
1
xRM −=
A derivada parcial em relação a RA será: xR
M
A
=
∂
∂
Substituindo os valores encontrados teremos:








−=








−= ∫
8
wL
3
LR
EI
1
dxwx
2
1
xR
EI
1 43AL
0
32
AA∆
40
Teremos então:








−=
8
wL
3
LR
EI
1 43A
A∆
Fazendo ∆A=0 e resolvendo a equação
teremos:
8
wL3
L8
wL3
R
EI8
wL
EI3
LR
0
8
wL
3
LR
EI
1
3
4
A
43
A
43
A
A
==⇒
⇒=⇒=








−=∆
O sinal positivo indica que o sentido de
RAestá correto.
Das condições de equilíbrio da viga, conclui-se queas reações em B são a
força e o momento de valores:
8
wL
M
8
wL5
R
2
BB ==