UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL CPAR

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO DO SUL- CPAR
Curso de Licenciatura em Matemática
A Geometria Analítica e outros desenvolvimentos Pré-Cálculo
Álisson Gustavo Mendes Soares
Prof.ª. Dra. Sabrina Helena Bonfim
Paranaíba 
2017
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Geometria Analítica
Não existiam ainda organizações de matemáticos profissionais, mas na Itália, França e Inglaterra havia grupos científicos mais ou menos organizados: a Accademia dei Lincei (a que Galileu pertencia) e a Accademia del Cimento, na Itália; o Cabinet Du Puy, na França; e o Invisible College, na Inglaterra.
Descartes
René Descartes nasceu perto de Tours em 1596. Aos oito anos foi enviado a uma escola jesuíta em Lá Flèche. 
A principal contribuição de Descartes à matemática, a fundação da geometria analítica, foi motivada por uma tentativa de voltar ao passado. E criando a obra com o título “La Géométrie” não deve levar ao engano de pensar que a obra é primariamente geométrica.
La Géométrie é dividido em três partes:
A primeira parte contém ainda instruções detalhadas para resolver equações quadráticas, não no sentido algébrico dos antigos babilônios, mas geometricamente, um tanto à maneira dos gregos.
A segunda parte, uma classificação de curvas agora superada e um método interessante de construir tangentes a curvas que, em linhas gerais
A terceira parte de La géométrie trata da resolução de equações de grau maior que dois. Diz como descobrir raízes racionais, se existem, como abaixar o grau de equação quando se conhece uma raiz, como aumentar ou diminuir as raízes de uma equação de qualquer quantidade, ou multiplicá-la ou dividi-las por um número, como eliminar o segundo termo, como determinar o número de possíveis raízes "verdadeiras" ou "falsas" (isto é, positivas ou negativas) pela bem conhecida regra de sinais de Descartes e como achar a solução algébrica de equações cúbicas ou quárticas. O uso do princípio de identidade de polinômios também começou com Descartes.
História de Descartes
Fermat	
Segundo um registro aparentemente confiável, Fermat nasceu em Beaumont de Lomagne, perto de Toulouse, a 17 de agosto de 1601. Sabe-se que morreu em Castres ou Toulouse a 12 de janeiro de 1665. Fermat era filho de um comerciante de couro e recebeu sua educação inicial em casa
A Introdução aos lugares de Fermat começa com a equação linear. Usando a notação de
Viète, Fermat esboçou primeiro o caso mais simples de equação linear - dado em latim como "D in A aequetur B in E" (isto é, Dx = By em simbolismo moderno). O gráfico, é claro, é uma reta pela origem - ou antes, semi-reta com a origem como extremidade, pois Fermat, como Descartes, não usava abscissas negativas.
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É possível que Fermat desde 1629 estivesse de posse de sua geometria analítica, pois por essa época ele fez duas descobertas significativas que se relacionam de perto com seu trabalho sobre lugares. A mais importante dessas foi descrita alguns anos depois em um tratado, também não publicado durante sua vida, chamado Método para achar máximos e mínimos. 
Durante os anos em que Fermat estava desenvolvendo sua geometria analítica, ele descobriu também como aplicar seu processo de valores vizinhos para achar a tangente a uma curva algébrica da forma y = f(x).
Dentre as várias contribuições de Fermat à matemática, a mais importante é a fundação da moderna teoria dos números. Nesse campo a intuição e o talento de Fermat eram extraordinários. Sua atenção para a teoria dos números provavelmente foi despertada pela tradução latina da Aritmética de Diofanto, feita por Bachet de Méziriac em 1621. 
Pascal foi a única pessoa, que não Mersenne, com quem Fermat discutiu idéias. Isto levou à criação de um novo ramo na matemática, a teoria da probabilidade. O eremita matemático ficou conhecendo o assunto através de Pascal, e assim, apesar do seu desejo de isolamento, ele se sentiu obrigado a manter o diálogo.
É impressionante, e mesmo algo surpreendente, que os matemáticos tenham sido capazes de desenvolver uma ciência (a teoria matemática das probabilidades) que estabelece leis racionais para reger situações determinadas puramente pelo azar. 
História de Fermat 
Roberval e Torricelli
Um francês e um italiano, respectivamente Gilles Persone de Roberval e Rvangelista Torricelli, contemporâneos, ambos geômetras e físicos competentes, dotados das mesmas preferências e talentos matemáticos e que acabaram se envolvendo em disputas sobre prioridades. 
Gilles Persone, um indivíduo rixento, nasceu em Roberval, perto de Beauvais, em 1602, e falesceu em 1675. Tornou-se bastante conhecido por seu método de traçar tangentes e por sua descobertas no campo das curvas planas superiores. Roberval também reivindicou para si a invenção do método pré-cálculo dos indivisíveis e a primazia de ter quadrado a ciclóide antes de Torricelli.O interesse principal de Roberval era a física.
Evangelista Torricelli, nasceu perto de Faenza, Itália, em 1608 e morreu em Florença em 1647. A primeira demonstração de matemática publicada de que a área é exatamente três vezes a do círculo gerador foi dada em 1644 por Torricelli, seu discípulo, usando métodos infinitesimais primitivos. 
Torricelli é muito mais conhecido por suas contribuições à física, na qual desenvolveu a teoria do barômetro e trabalhou em questôes como o valor da aceleração da gravidade, a teoria dos projéteis e o movimento dos fluidos.
Huygens
O grande gênio holandês Christiaan Huygens (1629-1695) levou uma vida rotineira mas notavelmente produtiva. Nasceu em Haia em 1629 e estudou em Leiden sob a orientação de Frans van Schooten. Em 1651, quando tinha vinte e dois anos de idade, publicou um artigo apontando argumentos falsos usados por Saint-Vincent em seu trabalho sobre a quadratura do círculo.
A maior de suas publicações, Horologium oscillatorium, apareceu em Paris em 1673. Trata-se de um trabalho em cinco capítulos. O primeiro diz respeito ao relógio de pêndulo; o segundo se dedica à discussão de corpos em queda livre no vácuo, deslizando num plano inclinado liso ou ao longo de uma curva lisa; o terceiro inclui um tratamento de evolutas e evolventes; no quarto encontrasse um tratamento do pêndulo composto; e o último nos diz respeito à teoria dos relógios.
Huygens retornou à Holanda em 1681 onde publicou um tratado em que expunha a teoria ondulatória da luz. Com base nessa teoria foi capaz de deduzir geometricamente as leis da reflexão e da refração e explicar o fenômeno da refração dupla. Como Newton, porém, defendia a teoria de emissão da luz.
Alguns matemáticos franceses e italianos do século XVII
O francês Claude-Gaspar Bachet, Sieur de Méziriac(1581-1638), comumente conhecido como Bachet de Méziriac. Como intelectual seus interesses foram múltiplos: matemático, filósofo, teólo­go, poeta e escritor que foi. Seu encantador e clássico Problèmes Plaisants et Délectables que apareceu em 1612 e foi republicado, com ampliações, em 1624. 
Marin Mersenne (1588-1648). Manteve correspondência constante com os maiores matemáticos de seus dias e funcionou admiravelmente, numa época em que não havia revistas especializadas. . Ele é especialmente conhecido hoje devido aos chamados primos de Mersenne, os números primos da forma 2p 1, que discutiu em alguns pontos de seu trabalho Cogitata physico-mathematica, de 1644. O primo de Mersenne correspondente a p = 4253 foi o primeiro número primo conhecido com mais de 1000 dígitos em sua expansão decimal e o primo de Mersenne correspondente a p = 216 091 era o maior número primo conhecido em 1986.
Claude Mydorge (1585-1647), nascido em Paris e parisiense por predileção, era amigo íntimo de Descartes. Foi geômetra e físico. Deixou um interessante manuscrito com os enunciados e soluções de mais de mil problemas de geometria e editou a popular Récréations Mathématiques de Leurechon.
O francês Phillipe de la Hire (1640-1718). Homem de gênio multiface, foi pintor, arquiteto, astrônomo e matemático. Escreveu sobre métodos gráficos, curvas de ordem superior e quadrados mágicos. Construiu
mapas da introdução à história da matemática 401 Terra por projeção globular na qual o centro de projeção não é um polo da esfera, como na projeção estereográfica de Ptolomeu, mas sim um ponto no prolongamento do raio por um polo, à distância r sen 45° da esfera
Vicenzo Viviani (1622-1703), outro discípulo de Galileu, que se dedicou à física e à geometria. Dentre seus feitos geométricos figura a determinação da tangente à cicloide; porém, vários outros matemáticos resolveram esse problema antes. Um domo hemisférico tem quatro janelas iguais e de tamanho tal que o resto da superfície pode ser quadrado exatamente; mostrar como isso é possível. Um domo hemisférico tem quatro janelas iguais e de tamanho tal que o resto da superfície pode ser quadrado exatamente; mostrar como isso é possível
A notável família Cassini. Ítalo-franceses. Giovanni Domenico Cassini, que nasceu em Perinaldo, Itália, em 1625, e faleceu em Paris em 1712. A oval de Cassini, que é o lugar geométrico dos pontos cujo produto das distâncias a dois pontos fixos é constante, foi estudada por Giovanni Cassini em 1680 no contexto de seu trabalho sobre os movimentos relativos da Terra e Sol
Alguns matemáticos da Alemanha e Países baixos 
Ehrenfried Walther von Tschirnhausen (1651-1708). Tschirnhausen dedicou grande parte de seu tem­po à matemática e à física, deixando sua marca no estudo das curvas e na teoria das equações. Em 1682 ele introduziu e estudou as curvas catacáusticas, definidas como envol­tórias de raios de luz, emitidos de uma fonte pontual, após refletirem-se numa curva dada.
Willebrord Snell (1580 ou 1581-1626) já foi mencionado por seu trabalho envolvendo a medida da circunferência. O nome loxodroma para a curva sobre uma superfície esférica que faz um ângulo constante com os meridianos foi introduzido por Snell que, também, foi um dos primeiros a investigar as propriedades dos triângulos esféricos polares. Esse último assunto já fora discutido por Viète.
Albert Girard (1595-1632), que parece ter vivido principalmente na Holanda, também se interessou por geometria esférica e trigonométrica. Em 1626 ele publicou um tratado de trigonometria que contém o mais antigo uso das abreviações sin, tan e sec para seno, tan­gente e secante. Ele deu a expressão da área de um triângulo esférico em termos de seu excesso esférico. Girard foi também um algebrista de méritos consideráveis. Editou as obras de Simon Stevin.
Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667) foi um eminente quadrador do círculo do século XVII. Aplicou métodos do pré-cálculo a vários problemas de quadratura
Frans van Schooten, o filho (1615-1660 ou 1661), foi professor de matemática de Huygens, Hudde e Sluze e foi o responsável por duas edições latinas de La géométrie de Descartes. Escreveu sobre perspectiva e editou também os trabalhos de Viète. Seu pai, Frans van Schooten, e seu meio irmão, Petrus van Schooten, também foram professores de matemática
Johann Hudde (1633-1704) foi burgomestre de Amsterdam. Escreveu sobre máximos e mínimos e sobre teoria das equações. Nesse último assunto ele obteve uma regra engenhosa para encontrar as raízes múltiplas de um polinômio, regra essa equivalente ao método que se usa presentemente e que utiliza a derivada do polinômio.
René François Walter de Sluze (1622-1685), cônego de sua Igreja, escreveu vários opúsculos sobre matemática. Discutiu espirais, pontos de inflexão e determinação de médias geométricas. As curvas da família y^n = k(a – x)^p x^m, onde os expoentes são inteiros positivos, chamam-se pérolas de Sluze.
Concluímos com Nicolaus Mercator (c. 1620-1687) que nasceu em Holstein, então uma localidade da Dinamarca, mas que passou a maior parte de sua vida na Ingla­terra. Editou os Elementos de Euclides e escreveu sobre trigonometria, astronomia, cálculo de logaritmos e cosmografia
Alguns matemáticos britânicos do século XVII
William Brouncker (1620-1684). Ele foi um dos fundadores e o primeiro presidente da Royal Society de Londres e mantinha rela- ções com Wallis, Fermat e outros matemáticos de primeira linha. Escreveu sobre a retificação da parábola e da cicloide e não tinha escrúpulos em usar séries infinitas para expressar quantidade que não podia determinar de outra maneira. Brouncker foi o primeiro britânico a investigar e usar as propriedades das frações contí- nuas.
O matemático escocês James Gregory (1638-1675) também já foi mencionado. Ele se tornou sucessivamente, em 1668 e 1674, professor de matemática das Universidades de Saint Andrews e Edimburgo. Gregory se interessava igualmente por física e publicou um trabalho em óptica em que descreveu o telescópio refletor hoje conhecido pelo seu nome. 
Christopher Wren (1632-1723) teria se tornado mais conhecido como matemático do que como ar­quiteto. Foi professor saviliano de astronomia e ensinou geometria em Oxford de 1661 a 1673. Foi também um dos fundadores da Royal Society da qual, por algum tempo, foi presi­dente. Escreveu sobre as leis que regem o choque de corpos, sobre assuntos ligados com a óptica, resistência dos fluidos e outros tópicos de física-matemática e mecânica celeste. Credita-se a ele a descoberta, em 1669, dos dois sistemas de retas geradoras de um hiperboloide de uma folha
Robert Hooke (1635-1703), por mais de 40 anos foi professor de geometria do Gresham College. Todo estudante de física elementar o conhece por sua lei relacionando as defor­mações e as tensões a que se submete um corpo elástico. Ele inventou o pêndulo cônico e tentou achar a lei que expressa a força de atração entre dois corpos (que Newton mostrou, mais tarde, ser inversamente proporcional ao quadrado da distância), sob a qual os planetas giram em torno do Sol. Tanto ele como Huygens projetaram relógios regulados por uma mola de compensação
Edmund Halley (1656-1742), sucedeu Wallis como professor saviliano de geometria e mais tarde tornou-se astrônomo real. Restaurou, por inferência, o desaparecido Livro VIII da obra Secções cônicas de Apolônio e editou vários trabalhos dos gregos antigos, tendo traduzido alguns desses do árabe, embora não conhecesse uma palavra sequer dessa língua. Coligiu também um conjunto de tábuas de mortalidade, do tipo daquelas básicas agora no negócio dos seguros de vida