Matrizes

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0.1. MATRIZES 1
0.1 Matrizes
Definic¸a˜o 0.1.1 Uma matriz real A, m× n (m por n), e´ uma tabela retan-
gular com mn nu´meros reais dispostos em m linhas e n colunas:
A =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
am1 am2 · · · amn

A i-e´sima linha de A e´ [
ai1 ai2 · · · ain
]
para i ∈ {1, . . . ,m} e a j-e´sima coluna de A e´
a1j
a2j
...
amj

para j ∈ {1, . . . , n}.
Usa-se tambe´m a notac¸a˜o A = (aij)m×n ou simplesmente A = (aij) para
indicar a matriz A de ordem m×n. Se m = n, dizemos que A e´ uma matriz
quadrada de ordem n. Os nu´meros reais a11, a22, · · · , ann formam a diagonal
principal da matriz A. Os nu´meros reais a1n, a2(n−1), · · · , an1 formam a
diagonal secunda´ria da matriz A. O nu´mero real aij ocupa a i-e´sima linha
e j-e´sima coluna de A e e´ chamado termo geral da matriz ou (i, j)-e´simo
elemento de A.
Exemplo 0.1.1 Considere as seguintes matrizes:
A =
[
1 9 6
−1 0 5
]
, B =
[
1 5√
2 4
]
, C =
[ −1 20 0 −1
2
]
,
D =

1
1
1
1
1
 , E = [0] .
A matriz A e´ 2 × 3 com a11 = 1, a12 = 9, a13 = 6, a21 = −1, a22 = 0 e
a23 = 5. A matriz B e´ 2 × 2, a matriz C e´ 1 × 4, a matriz D e´ 5 × 1 e E e´
1× 1.
2
Definic¸a˜o 0.1.2 Duas matrizes de mesma ordem A = (aij)m×n e B =
(bij)m×n sa˜o iguais quando aij = bij, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n.
Observac¸a˜o 0.1.1 Ressaltamos que, apesar de nos restringirmos ao estudo
das matrizes reais, os elementos de uma matriz poderiam ser nu´meros com-
plexos.
Vamos introduzir agora alguns tipos especiais de matrizes.
0.1.1 Tipos Especiais de Matrizes
1. Matriz diagonal e´ uma matriz quadrada A = (aij)n×n cujos elementos
fora da diagonal principal sa˜o todos iguais a zero, isto e´, aij = 0 se i 6= j,
para i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , n. Exemplificando:
A =

1 0 0 0
0 2 0 0
0 0
√
3 0
0 0 0 −1

2. Matriz escalar e´ uma matriz diagonal A = (aij)n×n cujos elementos
da diagonal principal sa˜o todos iguais, isto e´, aii = c, i ≤ i ≤ n e aij = 0
se i 6= j, para i = 1, . . . , n e j = 1, . . . , n. Exemplificando:
A =

2 0 0 0
0 2 0 0
0 0 2 0
0 0 0 2

A matriz escalar n× n em que os elementos da diagonal principal sa˜o
iguais a um e´ chamada matriz identidade ou matriz unidade e e´
representada pela notac¸a˜o In×n. Exemplificando, I2×2 =
[
1 0
0 1
]
e´ a
matriz identidade de ordem 2× 2.
3. Matriz triangular superior e´ uma matriz quadrada A = (aij)n×n em
que os elementos abaixo da diagonal principal sa˜o todos nulos, isto e´,
aij = 0 se i > j. Exemplificando: 1 −1 20 0 2
0 0 3
 ,
 0 −1 20 0 2
0 0 0
 ,
 0 0 00 0 0
0 0 0

0.1. MATRIZES 3
4. Matriz triangular inferior e´ uma matriz quadrada A = (aij)n×n em
que os elementos acima da diagonal principal sa˜o todos nulos, isto e´,
aij = 0 se i < j. Exemplificando: 1 0 0−1 7 0
4 0 3
 ,
 0 0 00 0 0
0 0 0

5. Matriz nula ou matriz zero e´ uma matriz retangular O = (oij)m×n
cujos elementos sa˜o todos nulos, isto e´ oij = 0, para i = 1, . . . ,m e
j = 1, . . . , n. As matrizes
O2×3 =
[
0 0 0
0 0 0
]
, O3×4 =
 0 0 0 00 0 0 0
0 0 0 0

sa˜o exemplos de matrizes nulas.
6. Matriz linha e´ uma matriz retangular constitu´ıda de uma u´nica linha.
Exemplos: [ −1 2 3 ] , [ −1 2 3 3 5 ]
7. Matriz coluna e´ uma matriz retangular constitu´ıda de uma u´nica
coluna. Exemplos:  −12
3
 ,

−1
2
3
3
5

8. Matriz sime´trica e´ uma matriz quadrada A = (aij)n×n cujos ele-
mentos sime´tricos em relac¸a˜o a` diagonal principal sa˜o iguais, isto e´,
aij = aji, para todo i, j ∈ {1, . . . , n}. Exemplificando: 1 −1 4−1 7 0
4 0 3
 ,
 0 0 00 0 0
0 0 0

9. Matriz anti-sime´trica e´ uma matriz quadrada A = (aij)n×n cujos
elementos verificam a relac¸a˜o aij = −aji, para todo i, j ∈ {1, . . . , n}.
Nesse caso, observe que aii = 0, para todo i ∈ {1, . . . , n}. Exemplifi-
cando:
4
 0 1 −4−1 0 −2
4 2 0
 ,
 0 0 00 0 0
0 0 0

0.1.2 Operac¸o˜es com Matrizes
Podemos realizar, sob certas condic¸o˜es, as seguintes operac¸o˜es com matrizes:
Adic¸a˜o de Matrizes
A soma de duas matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)m×n e´ definida como sendo
a matriz C = (cij)m×n obtida somando-se os elementos correspondentes de
A e B, isto e´, cij = aij + bij, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos
C = A + B.
Exemplo 0.1.2 Se A =
 1 −2 −12 −3 4
0 −4 5
 e B =
 1 5 01 2 4
6 −4 4
 enta˜o
A+B =
 2 3 −13 −1 8
6 −8 9
 .
Observac¸a˜o 0.1.2 So´ podemos somar matrizes de mesma ordem.
Multiplicac¸a˜o de matrizes
O produto das matrizes A = (aij)m×n e B = (bij)n×p e´ a matriz C = (cij)m×p
definida por
cij = ai1b1j + ai2b2j + . . .+ ainbnj
cij =
n∑
k=1
aikbkj
( leˆ-se somato´rio de aikbkj com k variando de 1 ate´ n), para i = 1, . . . ,m e
j = 1, . . . , p. Portanto, o elemento (i, j)-e´simo da matriz C, denotado por cij,
e´ o produto da i-e´sima linha de A com a j-e´sima coluna de B. Escrevemos
C = AB.
Observac¸a˜o 0.1.3 So´ podemos efetuar o produto AB de duas matrizes se o
nu´mero de colunas de A for igual ao nu´mero de linhas de B.
0.1. MATRIZES 5
Exemplo 0.1.3 Se A e´ uma matriz 2 × 3 e B e´ uma matriz 3 × 5, enta˜o
AB e´ uma matriz 2× 5.
Exemplo 0.1.4 Se A e´ uma matriz 3× 5 e B e´ uma matriz 2× 3, enta˜o o
produto AB na˜o esta´ definido, pois o nu´mero de colunas da primeira matriz
e´ diferente do nu´mero de linhas da segunda matriz.
Exemplo 0.1.5 A multiplicac¸a˜o de matrizes na˜o e´, em geral, comutativa.
Vamos exibir um exemplo para justificar essa afirmac¸a˜o. Sendo A =
[
1 2
−1 3
]
e B =
[
2 1
0 1
]
, enta˜o AB 6= BA. De fato, tem-se
AB =
[
1 2
−1 3
]
.
[
2 1
0 1
]
=
[
2 3
−2 2
]
BA =
[
2 1
0 1
]
.
[
1 2
−1 3
]
=
[
1 7
−1 3
]
Multiplicac¸a˜o por escalar
A multiplicac¸a˜o de uma matriz A = (aij)m×n por um escalar (nu´mero real)
r e´ definida como sendo a matriz B = (bij)m×n obtida multiplicando cada
elemento da matriz B pelo escalar r, isto e´, bij = raij, para i = 1, . . . ,m e
j = 1, . . . , n. Escrevemos B = rA.
Usamos a notac¸a˜o (−1)A = −A e esta matriz e´ chamada matriz sime´trica
(ou oposta) da matriz A . A diferenc¸a entre duas matrizes de mesmo tamanho
A e B e´ definida por A−B = A+ (−B), ou seja, e´ a soma da matriz A com
a sime´trica da matriz B.
Transposta de uma matriz
A transposta de uma matriz A = (aij)m×n e´ definida como sendo a matriz
B = (bji)n×m obtida trocando-se a posic¸a˜o relativa das linhas e colunas de
A,isto e´, bji = aij, para i = 1, . . . ,m e j = 1, . . . , n. Escrevemos B = A
T ou
B = At.
Exemplo 0.1.6 A transposta da matriz A =

1 2 3
6 5 4
−3 −2 −1
−4 −5 −6
 e´
AT =
 1 6 −3 −42 5 −2 −5
3 4 −1 −6
 .
6
Observac¸a˜o 0.1.4 Observe que uma matriz A e´ sime´trica se, e so´ se, A =
AT ; A e´ anti-sime´trica se, e so´ se, A = −AT .
Denotamos por Mm×n(R) o conjunto constitu´ıdo de todas as matrizes
reais de ordem m× n.
Exemplo 0.1.7 A matriz A =
 1 4 54 2 0
5 0 3
 e´ sime´trica, pois A = AT .
Exemplo 0.1.8 A matriz A =
 0 4 −5−4 0 1
5 −1 0
 e´ anti-sime´trica, pois
A = −AT .
Propriedades da aritme´tica matricial
Sejam A, B e C matrizes de ordens apropriadas e r e s escalares. Sa˜o va´lidas
as seguintes propriedades:
1. Comutatividade da adic¸a˜o: A+B = B + A;
2. Associatividade da adic¸a˜o: A+ (B + C) = (A+B) + C;
3. Elemento neutro da adic¸a˜o: A+O = A;
4. Matriz oposta da adic¸a˜o: A+ (−A) = O;
5. Associatividade da multiplicac¸a˜o: A(BC) = (AB)C;
6. Distributividade: A(B + C) = AB + AC e (A+B)C = AC +BC;
7. r(sA) = (rs)A;
8. (r + s)A = rA+ sA;
9. r(A+B) = rA+ sB;
10. (AT )T = A;
11. (A+B)T = AT +BT ;12. (AB)T = BTAT ;
13. A.I = I.A, para toda matriz quadrada A.
0.1. MATRIZES 7
Definic¸a˜o 0.1.3 (Poteˆnciac¸a˜o de matrizes) Seja A uma matriz quadrada.
Denotamos por An o produto AA . . . A︸ ︷︷ ︸
n vezes
.
0.1.3 Lista de Exerc´ıcios
1. Se A e´ a matriz 4× 3 definida pela lei aij =
{
i+ j se i ≤ j
i− j se i > j , calcule
a matriz A e AT .
2. Sendo A = (aij) a matriz 2× 2 com aij = j − i2, calcule AAT .
3. Se A e´ a matriz 2 × 2 definida pela lei aij =
{
sin
(
pi
2
i
)
, se i = j
cos(pij), se i 6= j ,
calcule a matriz A2.
4. Seja a matriz A = (aij), de ordem 3, tal que aij =

1, se i < j
2, se i = j
−1, se i > j
.
Calcule A2.
5. Resolva o sistema {
X + Y = A+B
X − Y = 2A−B
sendo A =
[
3
−2
]
e B =
[ −1
5
]
.
6. Sejam A =
[
1 2 0
5 1 3
]
, B =
[
0 3 6
8 7 3
]
e C =
[
4 4 5
1 2 0
]
. Calcular
5
(
A− 1
3
B
)
+ C.
7. Se A e B ∈Mn×n(IR) e se AB = BA, prove que:
(a) (A−B)2 = A2 − 2AB +B2;
(b) (A−B)(A+B) = A2 −B2;
(c) (A−B)(A2 + AB +B2) = A3 −B3.
8. Determinar todas as matrizes que comutam com a matriz
[
1 1
0 0
]
.
9. Se A e B ∈Mn×n(IR) sa˜o tais que AB = 0 (matriz nula), pode-se con-
cluir que BA tambe´m e´ a matriz nula? Prove ou contra-exemplifique.
8
10. Se A =
 21
x
 e B =
 12
1
, calcule o valor de x para que Y = ATB
seja a matriz nula. Para este valor de x calcule BTA, ABT .
11. Para um nu´mero real α consideremos a matriz Tα =
[
cosα − sinα
sinα cosα
]
.
(a) Mostre que TαTβ = Tα+β.
(b) Calcular T−α.
12. Uma matriz quadrada A tal que A2 = A e´ chamada matriz idem-
potente. Mostre que a matriz A =
 2 −1 1−3 4 −3
−5 5 −4
e´ uma matriz
nilpotente. Calcule A3, A4, ..., An.
13. Dada uma matriz quadrada A, se existir um nu´mero inteiro p > 0,
tal que Ap = 0, diz-se que A e´ uma matriz nihilpotente. Mostre que
A =
 1 −1 1−3 3 −3
−4 4 −4
e´ uma matriz nilpotente.
14. Calcule o valor de x, para que o produto da matriz A =
[ −2 x
3 1
]
pela matriz B =
[
3 −2
4 0
]
seja uma matriz sime´trica.
15. Mostre que a soma de duas matrizes triangulares superior (inferior)de
mesma ordem e´ uma matriz triangular superior (inferior).
16. Mostre que a produto escalar de um matriz triangular superior (infe-
rior) por um nu´mero real e´ uma matriz triangular superior (inferior).
17. Dadas as matrizesA =

1 5 −1 3
−1 2 0 4
6 7 3 −1
5 3 0 4
 eB =

−1 3 13 15
3 −4 20 33
1 2 1 44
2 1 3 2

determinar os elementos (AB)12, (BA)23.
18. A soma de duas matrizes sime´tricas de mesma ordem e´ uma matriz
sime´trica? Justifique sua resposta. O produto de um escalar por uma
matriz sime´trica resulta numa matriz sime´tica? Justifique sua resposta.
Administrador
Nota
Sim.null Produto de um escalar: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.null
0.1. MATRIZES 9
19. O produto de duas matrizes sime´tricas de mesma ordem e´ uma matriz
sime´trica? Justifique sua resposta.
20. A soma de duas matrizes anti-sime´tricas de mesma ordem e´ uma ma-
triz anti-sime´trica? Justifique sua resposta. O produto de um escalar
por uma matriz anti-sime´trica resulta numa matriz anti-sime´tica? Jus-
tifique sua resposta.
21. O produto de duas matrizes anti-sime´tricas de mesma ordem e´ uma
matriz anti-sime´trica? Justifique sua resposta.
22. (Custo de Produc¸a˜o) Um fabricante de mo´veis faz cadeiras e mesas,
cada uma das quais passa por um processo de montagem e outro de
acabamento. O tempo necessa´rio para esses processos e´ dado (em ho-
ras) pela matriz
A =
Montagem Acabamento[
2
3
2
4
]
Cadeira
Mesa
O fabricante tem uma fa´brica em Belo Horizonte e outra em Uba´. As
taxas por hora para cada um dos processos sa˜o dadas (em do´lares) pela
matriz
B =
BH Uba´[
9
10
10
12
]
Montagem
Acabamento
Qual o significado dos elementos do produto matricial AB?
Administrador
Nota
Os elementos da primeira linha representam o custo em horas/dolares de produção de uma cadeira em BH(1ªcoluna) e em Ubá(2ªcoluna).nullJá a segunda linha representa o custo de produção de uma mesa em Bh e Ubá,respectivamente.