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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Aula 7 – Integral Tripla NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Conteúdo Programático desta aula Integração Tripla: Mudança de Variáveis Comprimento de arco; Integral de linha; Integral de linha de função escalar. NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração Tripla: Mudança de Variáveis As coordenadas retangulares (ou cartesianas) e esféricas do ponto P estão relacionados por: NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração Tripla: Mudança de variáveis NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração Tripla: Mudanças de Variáveis Assim sendo, feita a devida transformação temos Lembrar: Esta mudança é realizada com base em uma transformação e parte desta transformação é dada pelo determinante do Jacobiano da transformação T. NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração Tripla: Mudanças de Variáveis Calcular a integral onde W é o sólido no primeiro octante limitada pela esfera e os cones e Solução: Sendo (x,y,z) W o sólido limitado pelas superfícies a seguir: NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração Tripla: Mudanças de Variáveis NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração Tripla: Mudanças de Variáveis Temos que NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração Tripla: Mudanças de Variáveis Temos que NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração de linha Seja C uma curva em R3 parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b]. Qual é o comprimento desta curva quando t varia de a até b? Definição. O comprimento da curva C ⊂ R3 é definido por NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração de linha de função escalar Sejam f : R3 → R uma função real e C uma curva em R3 que é parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b] Definição. A integral de linha ao longo da curva C ⊂ R3 é definido por NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração de linha de função escalar NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração de linha de função escalar Calcule ,onde C é o quarto de círculo do primeiro quadrante parametrizado por α(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, π ]. Solução: Sendo α(t) de classe C1, temos Logo, NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração de linha de função escalar Calcule ,onde C é o quarto de círculo do primeiro quadrante parametrizado por α(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, π ]. Solução: Sendo f contínua, temos NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração de linha de função escalar Seja f : R3 → R definida por e o segmento de reta que une (0, 0, 0) e (1, 1, 1). Calcular Solução: Uma parametrização deste segmento é r (t) = (t, t, t), t ∈ [0, 1] Então, NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração de linha de função escalar Seja f : R3 → R definida por e o segmento de reta que une (0, 0, 0) e (1, 1, 1). Calcular Solução: Sendo a integral, Temos como solução NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração de linha de função escalar Calcule , onde C é a hélice parametrizada pela função α(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π] . Solução: Sendo α(t) de classe C1, temos Logo, NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração de linha de função escalar Calcule , onde C é a hélice parametrizada pela função α(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π] . Solução: Como f é contínua então NOME DA AULA – AULA1 NOME DA DISCIPLINA Integração Tripla
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