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AULA 7   INTEGRAIS DE LINHA

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
Aula 7 – Integral Tripla 
 
NOME DA AULA – AULA1 
NOME DA DISCIPLINA 
Conteúdo Programático desta aula 
 
 Integração Tripla: Mudança de Variáveis 
 
 Comprimento de arco; 
 
 Integral de linha; 
 
 Integral de linha de função escalar. 
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Integração Tripla: Mudança de Variáveis 
 As coordenadas retangulares (ou cartesianas) e esféricas do ponto P 
estão relacionados por: 
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Integração Tripla: Mudança de variáveis 
 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
 Assim sendo, feita a devida transformação temos 
 
 
 
 
 
 
 Lembrar: 
 
 Esta mudança é realizada com base em uma transformação e parte 
desta transformação é dada pelo determinante do Jacobiano da 
transformação T. 
 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
 Calcular a integral onde W é o sólido no 
 
 
 primeiro octante limitada pela esfera 
 
 
 e os cones e 
 
 
 Solução: Sendo (x,y,z)  W o sólido limitado pelas superfícies a seguir: 
 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
 Temos que 
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Integração Tripla: Mudanças de Variáveis 
 Temos que 
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Integração de linha 
 Seja C uma curva em R3 parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)), 
t ∈ [a, b]. 
 
 Qual é o comprimento desta curva quando t varia de a até b? 
 
 Definição. O comprimento da curva C ⊂ R3 é definido por 
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Integração de linha de função escalar 
 Sejam f : R3 → R uma função real e C uma curva em R3 que é 
parametrizada por 
 
 α(t) = (x(t), y(t), z(t)), t ∈ [a, b] 
 
 
 Definição. A integral de linha ao longo da curva C ⊂ R3 é definido por 
 
 
 
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Integração de linha de função escalar 
 
 
 
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Integração de linha de função escalar 
 Calcule ,onde C é o quarto de círculo do primeiro 
 
 quadrante parametrizado por α(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, π ]. 
 
 Solução: Sendo α(t) de classe C1, temos 
 
 
 Logo, 
 
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Integração de linha de função escalar 
 Calcule ,onde C é o quarto de círculo do primeiro 
 
 quadrante parametrizado por α(t) = (cos t, sen t), t ∈ [0, π ]. 
 
 Solução: Sendo f contínua, temos 
 
 
 
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Integração de linha de função escalar 
 Seja f : R3 → R definida por 
 
 e o segmento de reta que une (0, 0, 0) e (1, 1, 1). Calcular 
 
 
 Solução: Uma parametrização deste segmento é 
 
 r (t) = (t, t, t), t ∈ [0, 1] 
 
 Então, 
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Integração de linha de função escalar 
 Seja f : R3 → R definida por 
 
 e o segmento de reta que une (0, 0, 0) e (1, 1, 1). Calcular 
 
 
 Solução: Sendo a integral, 
 
 Temos como solução 
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Integração de linha de função escalar 
 Calcule , onde C é a hélice parametrizada pela 
 
 função α(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π] . 
 
 Solução: Sendo α(t) de classe C1, temos 
 
 
 Logo, 
 
 
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Integração de linha de função escalar 
 Calcule , onde C é a hélice parametrizada pela 
 
 função α(t) = (cos t, sen t, t), t ∈ [0, 2π] . 
 
 Solução: Como f é contínua então 
 
 
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