APRESENTACAO DA AULA 12

Prévia do material em texto

CCE0005 – CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Aula 12: Cônicas – circunferência 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Conteúdo desta aula 
CÔNICAS 
1 
CIRCUNFERÊNCIA 
2 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
As curvas ditas cônicas são as: 
• Circunferências 
• Elipses 
• Parábolas 
• Hipérboles 
 
Por que o nome CÔNICAS? 
Cônicas 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Por que o nome CÔNICAS? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Porque são definidas a partir da interseção de um plano com um cone. 
 
Cônicas 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Cônicas 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Considere: 
• O plano cartesiano xy; 
• Um ponto fixo conhecido C (xC, yC) deste 
plano, denominado centro; 
• O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano equidistantes de C é denominado 
circunferência. 
• A distância comum dos pontos (x, y) ao centro 
C denomina-se raio R da circunferência. 
 
Vamos construir a equação da circunferência? 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Vamos construir a equação da circunferência? 
 
Definição: “O lugar geométrico (L.G.) dos pontos 
equidistantes de C é denominado circunferência.” 
 
A distância comum dos pontos (x, y) ao centro C, 
denominada R da circunferência, pode ser calculada 
por: 𝑅 = (𝑥 − 𝑥𝑐)2+(𝑦 − 𝑦𝑐 )2 
 
𝑹𝟐 = (𝒙 − 𝒙𝒄)
𝟐 +(𝒚 − 𝒚𝒄 )
𝟐 
(Eq. reduzida da circunferência) 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Caso particular: circunferência a origem 
 
𝑅2 = (𝑥 − 𝑥𝑐)
2 +(𝑦 − 𝑦𝑐 )
2 
 
𝑹𝟐 = 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 
 
 
 
 
Explore a equação da circunferência no 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Equação Geral da Circunferência 
 
𝑅2 = (𝑥 − 𝑥𝑐)
2 +(𝑦 − 𝑦𝑐 )
2 
 
 
• Desenvolvendo-se os quadrados: 
 
𝑥2-2𝑥𝑐𝑥 + 𝑥𝑐
2 + 𝑦2 − 2𝑦𝑐𝑦 + 𝑦𝑐
2 − 𝑅2 = 0 
 
• Organizando: 
𝑥2 +𝑦2 −2𝑥𝑐𝑥 − 2𝑦𝑐𝑦 + 𝑥𝑐
2 + 𝑦𝑐
2
− 𝑅2 = 0 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Equação Geral da Circunferência 
 
𝑥2 +𝑦2 −2𝑥𝑐𝑥 − 2𝑦𝑐𝑦 + 𝑥𝑐
2 + 𝑦𝑐
2
− 𝑅2 = 0 
 
Dado que o centro 𝑥𝑐 , 𝑦𝑐 e o raio 𝑅 são conhecidos, podemos assumir que: 
• 𝐴 = −2𝑥𝑐 
• 𝐵 = −2𝑦𝑐 
• 𝐶 = 𝑥𝑐
2 + 𝑦𝑐
2
− 𝑅2 
 
Desta forma, a equação geral da circunferência é: 
 
 
𝒙𝟐 +𝒚𝟐 + 𝐀𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Equação Geral da Circunferência 
 
𝒙𝟐 +𝒚𝟐 + 𝐀𝒙 + 𝑩𝒚 + 𝑪 = 𝟎 
Onde 
 𝒙𝒄 = −
𝑨
𝟐
 ou 𝑨 = −𝟐𝒙𝒄 
 
𝒚𝒄 = −
𝑩
𝟐
 ou 𝑩 = −𝟐𝒚𝒄 
 
𝑹 = 𝒙𝒄𝟐 + 𝒚𝒄𝟐 − 𝑪 ou 𝑪 = 𝒙𝒄
𝟐 + 𝒚𝒄
𝟐 − 𝑹𝟐 
 
Explore a equação da circunferência no 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Determinar a equação geral da circunferência de raio 5 e centro com coordenadas (1, –3). 
 
𝑥2 +𝑦2 + A𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 
Onde 
𝐴 = −2𝑥𝑐=-2 
 
𝐵 = −2 −3 = 6 
 
5 = 12 + −32 − 𝐶 
25 = 1 + 9 − 𝐶 
𝐶 = −15 
 
𝒙𝟐 +𝒚𝟐 −𝟐 𝐀𝒙 + 𝟔𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Explore o exercício no 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Para a circunferência 𝑥2 +𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0, determine: 
 
a) As coordenadas do centro desta circunferência. 
b) O raio R desta circunferência. 
c) Se o ponto A (4, 2) pertence à circunferência. 
d) Se o ponto B (1, –3) pertence à circunferência. 
 
 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Para a circunferência 𝑥2 +𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0, determine: 
 
Inicialmente retira-se da expressão que A = -2, B = -4 e C = -4 
 
a) As coordenadas do centro desta circunferência. 
 
 
𝑥𝑐 = −
𝐴
2
= −
−2
2
= 1 
 
𝑦𝑐 = −
𝐵
2
= −
−4
2
= 2 
 
Centro C (1,2) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Para a circunferência 𝑥2 +𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0, determine: 
 
b) O raio R desta circunferência. 
𝑹 = 𝒙𝒄𝟐 + 𝒚𝒄𝟐 − 𝑪 
 
𝑹 = (−𝟏)𝟐 + −𝟐 𝟐 + 𝟒 
 
𝑹 = 𝟗 
 
𝑹 = 𝟑 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Para a circunferência 𝑥2 +𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0, determine: 
 
c) Se o ponto A (4, 2) pertence à circunferência. 
 
42 +22 − 2 . 4 − 4 . 2 − 4 = 
16 + 4 − 8 − 8 − 4 = 
20 − 20 = 0 
 
Como o ponto atendeu à equação, conclui-se que ele 
pertence à circunferência. 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Para a circunferência 𝑥2 +𝑦2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 4 = 0, determine: 
 
d) Se o ponto B (1, –3) pertence à circunferência. 
 
12 +(−3)2 − 2 . 1 − 4 . (−3) − 4 = 
1 + 9 − 2 + 12 − 4 = 
22 − 6 = 16 
 
Como o ponto atendeu à equação, conclui-se que ele 
pertence à circunferência. 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Como saber se um ponto é interno, externo ou pertence a uma circunferência? 
 
 
 
 
 
 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Basta calcular a distância do ponto ao centro círculo e 
comparar com o raio. 
 
Como saber se uma reta corta o círculo, é tangente ao círculo, 
ou não o intercepta? 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Como saber se um ponto é interno, externo ou pertence a uma circunferência? 
 Basta calcular a distância do ponto ao centro círculo e comparar com o raio 
ou 
Aplicar o ponto na equação da circunferência e verificar o valor obtido. 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Como saber se uma reta corta o círculo, é tangente ao círculo, ou não o intercepta? 
• Basta calcular a distância do ponto à reta e comparar com o raio. 
 
 
 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Tangente 
(distância = raio) 
Secante 
(distância < raio) 
Exterior 
(distância > raio) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Posição relativa entre 2 circunferências. 
Circunferências exteriores 
𝑑 > 𝑅1 + 𝑅2 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Posição relativa entre 2 circunferências. 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Circunferências tangentes externas 
𝑑 = 𝑅1 + 𝑅2 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Posição relativa entre 2 circunferências. 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Circunferências secantes 
𝑅1 + 𝑅2 < 𝑑 < 𝑅1 + 𝑅2 
𝑅1 𝑅2 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Posição relativa entre 2 circunferências. 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Circunferências tangentes interiores 
𝑑 = 𝑅1 − 𝑅2 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
Posição relativa entre 2 circunferências. 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Circunferências interiores 
𝑑 < 𝑅1 − 𝑅2 
Cálculo Vetorial e GeometriaAnalítica 
AULA 12: CIRCUNFERÊNCIA 
 
Cônicas: circunferência (círculo) 
Dicas, textos, vídeos e cursos: 
 
 
 
 
O uso do GeoGebra poderá ajudá-lo(a) muito na manipulação das cônicas. 
 
www.geogebra.org 
 
Assuntos da próxima aula: 
1. Elipse.