APRESENTACAO DA AULA 13

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CCE0005 – CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Aula 13: Cônicas – elipse 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 13: ELIPSE 
Conteúdo desta aula 
ELIPSE 
1 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 13: ELIPSE 
Considere: 
• O plano cartesiano xy; 
• Dois pontos fixos conhecidos F1 e F2 deste 
plano, denominados focos da elipse; 
• O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano cujas distâncias aos focos, somadas, se 
mantêm constantes é denominado elipse; 
• A soma das distâncias de P a F1 e de P a F2 é 
dada por 2a (distância de A1 até A2). 
 
Vamos ver como se constrói a elipse? 
Cônicas: elipse 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 13: ELIPSE 
Cônicas: elipse 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 13: ELIPSE 
Cônicas: elipse 
Considere: 
• O plano cartesiano xy; 
• Dois pontos fixos conhecidos F1 e F2 deste 
plano, denominados focos da elipse; 
• O lugar geométrico (L.G.) dos pontos deste 
plano cujas distâncias aos focos, somadas, se 
mantém constantes é denominado elipse; 
• A soma das distâncias de P a F1 e de P a F2 é 
dada por 2a (distância de A1 até A2). 
 
Vamos ver como se constrói a elipse? 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 13: ELIPSE 
Seguindo a lógica da construção geométrica: 
 
A distância PF1 somada a PF2 é igual a 2a. 
PF1+PF2=2a, 
onde 2a é o tamanho do eixo horizontal (A1A2). 
 
Conhecidos os pontos C(0,0), F1(-c,0) e F2(c,0) 
 
PF1
= (𝒙 − (−𝒄))𝟐+(𝒚 − 𝟎)𝟐 
PF2
= (𝒙 − 𝒄)𝟐+(𝒚 − 𝟎)𝟐 
Equação da elipse com centro na origem 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 13: ELIPSE 
PF1
= (𝒙 − (−𝒄))𝟐+(𝒚 − 𝟎)𝟐 
PF2
= (𝒙 − 𝒄)𝟐+(𝒚 − 𝟎)𝟐 
 
(𝒙 − (−𝒄))𝟐+(𝒚 − 𝟎)𝟐+ (𝒙 − 𝒄)𝟐+(𝒚 − 𝟎)𝟐=2a 
(𝒙 + 𝒄)𝟐+𝒚𝟐+ (𝒙 − 𝒄)𝟐+𝒚𝟐=2a 
 
Equação da elipse com centro na origem 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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(𝑥 + 𝑐)2+𝑦2+ (𝑥 − 𝑐)2+𝑦2=2a 
 
𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2+ 𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 2a 
 
𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 2a- 𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 
 
 
 
 
Equação da elipse com centro na origem 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 2a- 𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 
 
Elevando os 2 lados ao quadrado: 
 
𝑥2 + 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2=4𝑎2 − 4𝑎 𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2+𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 
 
 
 
 
Equação da elipse com centro na origem 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 13: ELIPSE 
𝑎 𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2 = 𝑎2 − 𝑐𝑥 
 
Elevando os 2 lados ao quadrado: 
 
𝑎2(𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2)=𝑎4 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2 
 
 
 
Equação da elipse com centro na origem 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 13: ELIPSE 
𝑎2(𝑥2 − 2𝑐𝑥 + 𝑐2 + 𝑦2)=𝑎4 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2 
 
𝑎2𝑥2 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑎2𝑐2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 − 2𝑎2𝑐𝑥 + 𝑐2𝑥2 
 
𝑎2𝑥2 − 𝑐2𝑥2 + 𝑎2𝑦2 = 𝑎4 − 𝑎2𝑐2 
 
𝑥2 𝑎2 − 𝑐2 + 𝑎2𝑦2= 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) 
 
 
 
 
Equação da elipse com centro na origem 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 13: ELIPSE 
𝑥2 𝑎2 − 𝑐2 + 𝑎2𝑦2= 𝑎2(𝑎2 − 𝑐2) 
 
Como 𝑎2 − 𝑐2=𝑏2 (Pitágoras – triângulo retângulo), então: 
 
𝑥2𝑏2 + 𝑎2𝑦2= 𝑎2𝑏2 
 
Dividindo os 2 lados por 𝑎2𝑏2: 
𝒙𝟐
𝒂𝟐
+
𝒚𝟐
𝒃𝟐
= 𝟏 
 
 
 
Equação da elipse com centro na origem 
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A inversão dos eixos resulta em: 
 
𝒙𝟐
𝒃𝟐
+
𝒚𝟐
𝒂𝟐
= 𝟏 
 
 
 
Equação da elipse com centro na origem e maior eixo na direção vertical 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 13: ELIPSE 
Determine para a elipse da figura: 
 
a) As medidas dos semieixos; 
b) A equação reduzida da elipse; 
c) A excentricidade da elipse. 
Equação da elipse com centro na origem e maior eixo na direção vertical 
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AULA 13: ELIPSE 
 
a) 2a = 10 (a=5) e 2b=6 (b=3) 
 
 
 
 
Determine para a elipse da figura: 
 
a) As medidas dos semieixos; 
b) A equação reduzida da elipse; 
c) A excentricidade da elipse. 
Equação da elipse com centro na origem e maior eixo na direção vertical 
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b) 
x2
a2
+
y2
b2
= 1, logo 
x2
52
+
y2
32
= 1 
 
então, a equação reduzida é: 
𝐱𝟐
𝟐𝟓
+
𝐲𝟐
𝟗
= 𝟏 
Determine para a elipse da figura: 
 
a) As medidas dos semieixos; 
b) A equação reduzida da elipse; 
c) A excentricidade da elipse. 
Equação da elipse com centro na origem e maior eixo na direção vertical 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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𝑒 =
𝑐
𝑎
 
𝑒 =
4
5
= 0,8 
Determine para a elipse da figura: 
 
a) As medidas dos semieixos; 
b) A equação reduzida da elipse; 
c) A excentricidade da elipse. 
Equação da elipse com centro na origem e maior eixo na direção vertical 
c) A excentricidade é dada pela relação: 
 
Como 𝑎2 − 𝑐2=𝑏2, 𝑐 = 𝑎2 − 𝑏2 =
52 − 32= 16 = 4 
 
 
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Equação reduzida da elipse com centro fora da origem 
𝑥 − 𝑥0
2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑦0
2
𝑏2
= 1 
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No caso de os eixos se inverterem: 
Considerando o centro em C(x0, y0), 
a equação reduzida genérica é da forma: 
 
 
 
𝑥 − 𝑥0
2
𝑎2
+
𝑦 − 𝑦0
2
𝑏2
= 1 
Equação reduzida da elipse com centro fora da origem 
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Cônicas: circunferência (círculo) 
Dicas, textos, vídeos e cursos: 
 
 
 
 
O uso do GeoGebra poderá ajudá-lo(a) muito na manipulação das cônicas. 
www.geogebra.org 
 
Assuntos da próxima aula: 
1. Parábola.