APRESENTACAO DA AULA 10

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CCE0005 – CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA 
Aula 10: Posições relativas entre planos e retas 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Conteúdo desta aula 
POSIÇÕES RELATIVAS 
ENTRE 2 PLANOS 
1 
POSIÇÕES RELATIVAS 
ENTRE RETAS E PLANOS 
2 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Dois planos: 
• Podem ser paralelos 
 
 
 
 
 
 
• Podem se interceptar 
Posições relativas entre 2 planos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Dois planos podem ser paralelos 
• Vetores normais paralelos 
Como verificar? 
Dados 2 planos através das suas equações gerais: 
• Extrair os vetores normais de cada plano 
• Verificar se os vetores são paralelos: 
• Proporcionalidade entre as coordenadas; 
• Cálculo do ângulo pelo produto escalar; 
• Produto vetorial nulo. 
Posições relativas entre 2 planos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Dois planos podem se interceptar 
• Vetores normais não paralelos 
• Caso particular: planos ortogonais (vetores normais ortogonais) 
• O ângulo entre dois planos pode ser medido pelo ângulo entre os seus vetores 
normais; 
• Geram uma reta na interseção. 
Posições relativas entre 2 planos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Dois planos podem se interceptar 
• Vetores normais não paralelos 
• Caso particular: planos ortogonais (vetores normais ortogonais) 
• O ângulo entre dois planos pode ser medido pelo ângulo entre os seus vetores 
normais (por convenção, adota-se o menor deles) 
 
Θ: menor ângulo entre os planos 
 plano π 
 plano β 
 normal a β 
 normal a π 
 
Posições relativas entre 2 planos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Ângulo entre 2 planos 
• Medido pelo ângulo formado entre seus vetores normais 
• Extrair os vetores normais das equações gerais dos planos 
• Calcular o ângulo pelo produto escalar 
• Como o ângulo entre dois planos é assumido como o menor deles, deve-se considerar 
que θ ≤ 900 (considerar 180 − θ, caso o ângulo calculado seja superior a 900) 
Θ: menor ângulo entre os planos 
 plano π 
 plano β 
 normal a β 
 normal a π 
 
Θ: menor ângulo entre os planos 
 plano π 
 plano β 
 normal a β 
 normal a π 
 
Posições relativas entre 2 planos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Dois planos podem se interceptar 
• Vetores normais não paralelos 
• Geram uma reta na interseção 
• Como determinar a equação da reta? 
Posições relativas entre 2 planos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Determine a equação da reta formada pela interseção dos planos: 
𝜋1: 𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 4 = 0 
𝜋2: 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 − 1 = 0 
 
Considerar um sistema com as 2 equações, pois os pontos da reta pertencem aos 2 planos: 
 
 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 4 = 0 
𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 − 1 = 0 
 
 
Objetivo: representar a reta gerada pela interseção dos planos pela eq. reduzida em x 
 
Posições relativas entre 2 planos 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 4 = 0 
𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 − 1 = 0 
 
 
Objetivo: representar a reta gerada pela interseção dos planos pela eq. reduzida em x 
Posições relativas entre 2 planos 
1. Eliminar z: multiplicar a 1ª equação por 2 e somá-las. 
2(𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 4) + 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 − 1 = 0 
3𝑥 − 𝑦 + 7 = 0 
𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟕 
2. Eliminar y: multiplicar a 1ª equação por 3, a 2ª por 2 e somá-las. 
3(𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 4) +2 𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 − 1 = 0 
(3𝑥 − 6𝑦 + 3𝑧 + 12) + 2𝑥 + 6𝑦 − 4𝑧 − 2 = 0 
5𝑥 − 𝑧 + 10 = 0 
𝒛 = 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 
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AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
 
𝒚 = 𝟑𝒙 − 𝟕 
𝒛 = 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 
 
Posições relativas entre 2 planos 
 
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 4 = 0 
𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 − 1 = 0 
 
 
Objetivo: representar a reta gerada pela interseção dos planos pela eq. reduzida em x 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Um plano e uma reta podem: 
• Não se tocar (paralelos); 
• Se interceptar (secante ou contida). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Posições relativas entre um plano e uma reta 
P 
Reta contida 
no plano 
Reta secante 
ao plano 
Reta paralela ao plano 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Um plano e uma reta podem: 
• Não se tocar (paralelos) 
• O vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano; 
A reta é paralela ao plano (não toca o plano ou está contida no plano); 
• Para não tocar basta verificar que um ponto da reta não pertença ao plano. 
Posições relativas entre um plano e uma reta 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Um plano e uma reta podem: 
• Se interceptar 
• A interseção de um plano com uma reta pode ser: 
• A própria reta, se ela pertencer ao plano (o vetor diretor da reta é 
ortogonal ao vetor normal do plano e um ponto da reta pertence ao plano); 
• Um ponto (o vetor diretor da reta não é ortogonal ao vetor normal do 
plano). 
Posições relativas entre um plano e uma reta 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Determine o ponto de interseção entre o plano π e a reta r, cujas equações são respectivamente: 
π: 2x – 3y + z + 5 = 0 
 
𝑟: 
y = –x + 8 
z = 2x + 5
 
Posições relativas entre um plano e uma reta 
O ponto de interseção deve atender a equação do plano e a da reta. 
Substituir a equação da reta no plano: 
 2𝑥 − 3 −𝑥 + 8 + 2𝑥 + 5 + 5 = 0 
2𝑥 + 3𝑥 − 24 + 2𝑥 + 5 + 5 = 0 
7𝑥 − 14 = 0 
7𝑥 = 14 
𝑥 = 2 
O ponto da reta com 𝑥 = 2 é o mesmo ponto do plano com 𝑥 = 2. 
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AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
O ponto da reta com x=2 é o mesmo ponto do plano com x=2 
 
Verificação: 
Na equação da reta: 𝑟: y = –2 + 8=6 
z = 2.2 + 5=9
, ponto (2,6,9) 
 
Na equação do plano: π: 2.2 – 3.6 + 9 + 5 = 4 – 18 + 9 + 5 = 0 (ok) 
 
Ponto de interseção: (2,6,9) 
Posições relativas entre um plano e uma reta 
Determine o ponto de interseção entre o plano π e a reta r, cujas equações são respectivamente: 
π: 2x – 3y + z + 5 = 0 
 
𝑟: 
y = –x + 8 
z = 2x + 5
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Determinar a equação geral do plano que contém os pontos A (1, –2, 2) e B (–3, 1, –2) e é 
perpendicular ao plano 2x + y – z + 8 = 0 
 
 
 
Posições relativas entre um plano e uma reta 
Vetor normal ao plano dado: (2,1,-1) (paralelo ao plano que se quer determinar) 
vetor normal ao plano que se quer determinar: produto vetorial entre (2,1,-1) e AB = (-4,3,-4) 
 
𝑖 𝑗 𝑘
2 1 −1
−4 3 −4
= −4i + 4j + 6k − −4k − 3i − 8j = −i + 12j + 10k 
 
−𝑥 + 12𝑦 + 10𝑧 + 𝑑 = 0 
Aplicando um ponto, tem-se: 
 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 10: POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PLANOS E RETAS 
Determinar a equação geral do plano que contém os pontos A (1, –2, 2) e B (–3, 1, –2) e é 
perpendicular ao plano 2x + y – z + 8 = 0 
 
−𝑥 + 12𝑦 + 10𝑧 + 𝑑 = 0 
Aplicando um ponto, tem-se: −1 + 12 −2 + 10 2 + 𝑑 = 0 
 
−1 − 24 + 20 + 𝑑 = 0 
−5 + 𝑑 = 0 
𝑑 = 5 
Equação do plano: −𝑥 + 12𝑦 + 10𝑧 + 5= 0 
 
 
 
Posições relativas entre um plano e uma reta 
Assuntos da próxima aula: 
1. Distâncias entre pontos; 
2. Distâncias entre pontos e retas; 
3. Distância entre retas paralelas; 
4. Distância entre um ponto e um plano.