AULA 5 FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA

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CCE0005 – Cálculo Vetorial e geometria Analítica 
Aula 5: Formas de representação da reta 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Conteúdo desta aula 
EQUAÇÃO VETORIAL 
 DA RETA 
1 
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 
DA RETA 
2 
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS 
DA RETA 
3 
EQUAÇÕES REDUZIDAS 
DA RETA 
4 
PRÓXIMOS 
PASSOS 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Equação Vetorial da Reta 
Equação que é capaz de gerar todos os pontos pertencentes à reta e utiliza: 
• um vetor para especificar a direção da reta (vetor diretor). 
 
 
 
 
 
 
Formas de representação da reta 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Formas de representação da reta 
vetor diretor: define infinitas retas paralelas. 
Equação Vetorial da Reta 
Equação que é capaz de gerar todos os pontos pertencentes à reta e utiliza: 
• um vetor para especificar a direção da reta (vetor diretor). 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Equação que é capaz de gerar todos os pontos pertencentes à reta e utiliza: 
• um vetor para especificar a direção da reta (vetor diretor); 
• um ponto conhecido pertencente à reta. 
 
 
 
 
 
 
 
Formas de representação da reta 
ponto da reta: apenas uma das retas passa por ele. 
Equação Vetorial da Reta 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Equação que é capaz de gerar todos os pontos pertencentes à reta e utiliza: 
• um vetor para especificar a direção da reta (vetor diretor); 
• um ponto conhecido pertencente à reta; 
• o produto do vetor por um escalar para atingir qualquer ponto da reta a partir 
do ponto conhecido. 
Formas de representação da reta 
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido 
𝒗 =(a,b,c) – vetor diretor 
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer 
Equação Vetorial da Reta 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Considerando o ponto A(x1, y1 e z1) e o vetor v=(a,b,c), não nulo, 
existe somente uma reta que passa pelo ponto e tem a direção do vetor. 
Formas de representação da reta 
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido 
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer 
Equação Vetorial da Reta 
𝒗 =(a,b,c) – vetor diretor 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Um ponto qualquer P(x,y,z), pertencente a esta reta pode ser determinado 
através do vetor AP, que vai do ponto conhecido até o ponto desejado. 
Formas de representação da reta 
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido 
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer 
Equação Vetorial da Reta 
𝒗 =(a,b,c) – vetor diretor 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
P = A + t v 
(x,y,z) = (x1, y1, z1) + t (a, b, c) 
onde P é um ponto qualquer da reta, A é um ponto conhecido e v é o vetor diretor. 
Formas de representação da reta 
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido 
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer 
Equação Vetorial da Reta 
𝒗 =(a,b,c) – vetor diretor 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
P = A + t v 
Existe um escalar t que, multiplicado por v, define o vetor AP. 
Formas de representação da reta 
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido 
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer 
𝒗 =(a,b,c) – vetor diretor 
Equação Vetorial da Reta 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Equações Paramétricas da Reta: obtidas a partir da eq. Vetorial, separando as coordenadas. 
(x,y,z) = (x1,y1,z1) + t (a,b,c) 
𝐱 = 𝒙𝟏 + 𝐚 𝐭 
𝐲 = 𝒚𝟏 + 𝐛 𝐭 
𝐳 = 𝒛𝟏 + 𝐜 𝐭 
 
Formas de representação da reta 
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido 
𝒗 =(a,b,c) – vetor diretor 
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Equações Simétricas da Reta: obtidas a partir da equações paramétricas, isolando o parâmetro t. 
 
𝐱 = 𝒙𝟏 + 𝐚 𝐭 
𝐲 = 𝒚𝟏 + 𝐛 𝐭 
𝐳 = 𝒛𝟏 + 𝐜 𝐭 
 
Formas de representação da reta 
𝐭 =
𝐱 − 𝐱𝟏
𝐚
= 
𝐲 − 𝐲𝟏
𝐛
= 
𝐳 − 𝐳𝟏
𝐜
 
A(x1,y1,z1) – ponto conhecido 
𝒗 =(a,b,c) – vetor diretor 
P(x1,y1,z1) – ponto qualquer 
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Equações Reduzidas da Reta: obtidas a partir das equações simétricas, expressando 
duas variáveis em função de uma terceira. 
Formas de representação da reta 
x − x1
a
= 
y − y1
b
 
x − x1
a
= 
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
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Formas de representação da reta 
𝒂 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒃(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝒂𝒚 = 𝒃𝒙 − 𝒃𝒙𝟏 + 𝒂𝒚𝟏 𝒂 𝒛 − 𝒛𝟏 = 𝒄(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝒂𝒛 = 𝒄𝒙 − 𝒄𝒙𝟏 + 𝒂𝒛𝟏 
Equações Reduzidas da Reta: obtidas a partir das equações simétricas, expressando 
duas variáveis em função de uma terceira. 
x − x1
a
= 
y − y1
b
 
x − x1
a
= 
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
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Formas de representação da reta 
𝒚 =
𝒃
𝒂
𝒙 −
𝒃
𝒂
 𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 𝒛 =
𝒄
𝒂
𝒙 −
𝒄
𝒂
 𝒙𝟏 + 𝒛𝟏 
Chamando 
𝒃
𝒂
 de m e 𝒃
𝒂
𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 𝒅𝒆 𝒏, todos conhecidos: Chamando 
𝒄
𝒂
 de p e 𝒄
𝒂
𝒙𝟏 + 𝒛𝟏 𝒅𝒆 𝒒, todos conhecidos: 
𝒂 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒃(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝒂𝒚 = 𝒃𝒙 − 𝒃𝒙𝟏 + 𝒂𝒚𝟏 𝒂 𝒛 − 𝒛𝟏 = 𝒄(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝒂𝒛 = 𝒄𝒙 − 𝒄𝒙𝟏 + 𝒂𝒛𝟏 
Equações Reduzidas da Reta: obtidas a partir das equações simétricas, expressando 
duas variáveis em função de uma terceira. 
x − x1
a
= 
y − y1
b
 
x − x1
a
= 
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
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Formas de representação da reta 
x − x1
a
= 
y − y1
b
 
𝒂 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒃(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝒂𝒚 = 𝒃𝒙 − 𝒃𝒙𝟏 + 𝒂𝒚𝟏 
𝒚 =
𝒃
𝒂
𝒙 −
𝒃
𝒂
 𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 
x − x1
a
= 
𝑧 − 𝑧1
𝑐
 
𝒂 𝒛 − 𝒛𝟏 = 𝒄(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝒂𝒛 = 𝒄𝒙 − 𝒄𝒙𝟏 + 𝒂𝒛𝟏 
𝒛 =
𝒄
𝒂
𝒙 −
𝒄
𝒂
 𝒙𝟏 + 𝒛𝟏 
Chamando 
𝒃
𝒂
 de m e 𝒃
𝒂
𝒙𝟏 + 𝒚𝟏 𝒅𝒆 𝒏, todos conhecidos: Chamando 
𝒄
𝒂
 de p e 𝒄
𝒂
𝒙𝟏 + 𝒛𝟏 𝒅𝒆 𝒒, todos conhecidos: 
y=mx+n z=px+q 
Equações Reduzidas da Reta: obtidas a partir das equações simétricas, expressando 
duas variáveis em função de uma terceira. 
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AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Construa as representações da reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem 
a direção do vetor 𝒗 =(2,2,-1) 
Formas de representação da reta 
Equação vetorial: (x,y,z) = (3,0,-5)+t(2,2,-1) 
• Como encontrar um ponto pertencente à reta? 
 Basta atribuir um valor qualquer para t e calcular (x,y,z). 
 
• Como saber se um ponto fornecido pertence à reta? 
Basta substituir as coordenadas do ponto fornecido em (x,y,z) e 
calcular o valor de t, que deve ser único para todas as coordenadas. 
Se não for possível, o ponto não pertence à reta. 
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AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Formas de representação da reta 
Equações paramétricas: 
• Como encontrar um ponto pertencente à reta? 
Basta atribuir um valor qualquer para t (igual nas 3 equações) e calcular 
(x,y,z). 
 
• Como saber se um ponto fornecido pertence à reta? 
Basta substituir as coordenadas do ponto fornecido em (x,y,z) e 
calcular o valor de t, que deve ser único para todas as coordenadas. 
Se não for possível, o ponto não pertence à reta. 
 
𝐱 = 𝟑 + 𝟐 𝐭𝐲 = 𝟐 𝐭 
𝐳 = −𝟓 − 𝐭 
 
Construa as representações da reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem 
a direção do vetor 𝒗 =(2,2,-1) 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Formas de representação da reta 
Equações simétricas: 
• Como encontrar um ponto pertencente à reta? 
 Basta atribuir um valor qualquer para t e calcular (x,y,z) 
 ou atribuir um valor inicial para x, y ou z e encontrar os outros. 
 
• Como saber se um ponto fornecido pertence à reta? 
Basta substituir as coordenadas do ponto fornecido em (x,y,z) e 
calcular o valor de t, que deve ser único para todas as coordenadas. 
Se não for possível, o ponto não pertence à reta. 
𝐭 =
𝐱 − 𝟑
𝟐
= 
𝐲
𝟐
= 
𝐳 + 𝟓
−𝟏
 
Construa as representações da reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem 
a direção do vetor 𝒗 =(2,2,-1). 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
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Formas de representação da reta 
Equações reduzidas (em função de x): 
𝐱 − 𝟑
𝟐
= 
𝐲
𝟐
 
𝐱 − 𝟑
𝟐
= 
𝐳 + 𝟓
−𝟏
 
y = 2(x-3)/2 y = x-3 
Z+5 = -1(x-3)/2 z = -5 + (3-x)/2 z = (-7-x)/2 
Construa as representações da reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem 
a direção do vetor 𝒗 =(2,2,-1). 
Cálculo Vetorial e Geometria Analítica 
AULA 5: FORMAS DE REPRESENTAÇÃO DA RETA 
Formas de representação da reta 
Equações reduzidas: 
• Como encontrar um ponto pertencente à reta? 
 Basta atribuir um valor qualquer para x, y ou z e encontrar os outros. 
 
• Como saber se um ponto fornecido pertence à reta? 
Basta substituir as coordenadas do ponto fornecido em (x,y,z) e 
verificar se as equações são atendidas. 
y = x-3 
z = (-7-x)/2 
Construa as representações da reta que passa pelo ponto A(3,0,-5) e tem 
a direção do vetor 𝒗 =(2,2,-1). 
Assuntos da próxima aula: 
1. Prática de equação vetorial da reta; 
2. Prática de equações paramétricas da reta; 
3. Prática de equações simétricas da reta; 
4. Prática de equações reduzidas da reta.