Mecanismos_01

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MECANISMOS CAPÍTULO 1 
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1. INTRODUÇÃO 
1.1 Introdução ao Estudo de Mecanismos. O estudo de mecanismos é muito importante. 
Com o enorme avanço realizado no projeto de instrumentos, controles automáticos e 
equipamentos automatizados, o estudo de mecanismos tomou novo significado. Mecanismo pode 
ser definido como a parte de projeto de máquinas relacionadas com o projeto cinemático de 
sistemas articulados, cames, engrenagens e trens de engrenagens. O projeto cinemático se 
baseia nos requisitos relativos ao movimento, diferindo do projeto baseado em requisitos de 
resistência. Será apresentado um exemplo de cada mecanismo acima mencionado, a fim de 
proporcionar uma descrição compreensiva dos componentes a serem estudados. 
A Fig. 1.1 representa o esboço de um mecanismo conhecido por mecanismo cursor-manivela. 
A peça 1 é o suporte e é estacionária, a peça 2 é a manivela, a peça 3 é a biela e a peça 4 o 
cursor. Uma aplicação comum deste mecanismo aparece no motor de combustão interna, onde a 
peça 4 é o pistão (Fig. 1.2a). Essa figura também demonstra quão difícil pode ser para discernir o 
dispositivo cinemático básico quando se olha para uma fotografia ou um desenho de uma 
máquina completa. A figura 1.2b mostra o diagrama cinemático do mecanismo cursor-manivela, 
correspondente ao conjunto manivela-biela-pistão do lado esquerdo da fotografia 1.2a. O 
diagrama cinemático facilita o trabalho e permite ao projetista separar as considerações 
cinemáticas do problema maior referente ao projeto da máquina. 
 
Figura 1.1 Mecanismo cursor-manivela 
 
Figura 1.2a Motor V-8 onde se vê o mecanismo biela-manivela 
 
Figura 1.2b Diagrama cinemático do mecanismo do motor 
A figura 1.3 mostra o esboço de uma came com seguidor. A came gira a uma velocidade 
angular constante e o seguidor se movimenta para cima e para baixo, em movimento alternativo. 
A elevação do seguidor é comandada pelo excêntrico e o retorno por ação da gravidade ou de 
uma mola. As cames são usadas em muitas máquinas e um dos empregos mais comuns aparece 
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no motor de automóvel, onde são empregadas duas cames em cada cilindro para acionar as 
válvulas de admissão e de escapamento, também mostradas na Fig. 1.2a. Uma came 
tridimensional é apresentada na Fig. 1.4. Nesse mecanismo, o movimento do seguidor depende 
não somente da rotação da came, mas, também de seu movimento axial. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.3 Came bidimensional Figura 1.4 Came tridimensional 
As engrenagens são usadas em muitas aplicações para transmitir movimento entre eixos com 
uma razão de velocidades angulares constante. A Fig. 1.5 mostra algumas engrenagens 
comumente empregadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.6 
 
 Figura 1.5 
Em dispositivos tais como instrumentos e controles automáticos, a obtenção do movimento 
correto é de suma importância. A potência transmitida pelos elementos pode ser muito pequena, 
chegando a ser desprezível, o que permite que os componentes sejam dimensionados 
inicialmente apenas por seu aspecto cinemático, passando a ter importância secundária o 
problema da resistência das peças. 
Há outras máquinas, entretanto, onde a análise cinemática é somente uma fase do projeto. 
Depois que for determinado como as diversas peças da máquina funcionarão para a realização do 
trabalho desejado, as forças que atuam nessas peças devem ser analisadas, permitindo em 
seguida o dimensionamento de seus elementos. Uma máquina operatriz é um bom exemplo: sua 
resistência e sua rigidez são mais problemáticas do que os movimentos desejados. 
É importante, nesta altura, definir os termos empregados no estudo de mecanismos, o que 
será feito nos parágrafos seguintes. 
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1.2 Mecanismo, Máquina. No estudo de mecanismos esses termos serão empregados 
repetidamente e são definidos da seguinte maneira: 
Mecanismo é uma combinação de corpos rígidos ou resistentes de tal modo compostos e 
ligados que se movem entre si com movimento relativo definido. 
Um exemplo é o sistema cursor-manivela de um motor de combustão interna mostrado 
esquematicamente na Fig. 1.1. 
Máquina é um mecanismo, ou conjunto de mecanismos, que transmite força de uma fonte de 
potência para a resistência a ser superada. Um exemplo é o motor de combustão interna. 
1.3 Movimento. Tratando-se de estudo de mecanismos, é necessário definir os vários tipos 
de movimento produzidos por estes mecanismos. 
Movimento plano. TRANSLAÇÃO. Um corpo tem movimento de translação quando uma reta, 
definida por dois pontos quaisquer desse corpo, fica constantemente paralela a si mesma. 
1. Translação retilínea. Todos os pontos do corpo têm como trajetórias retas paralelas. Quando 
o corpo se move desta forma, de um lado para o outro, diz-se que tem movimento alternativo. Isto 
está ilustrado na Fig. 1.7, onde a peça 4 desliza alternadamente entre os limites B' e B". 
 
Figura 1.7 
2. Translação curvilínea. As trajetórias dos pontos são curvas idênticas, paralelas a um plano fixo. 
A Fig. 1.8 mostra o mecanismo que era usado na ligação das rodas motrizes de uma 
locomotiva a vapor. Neste mecanismo a barra 3 tem translação curvilínea e todos os seus pontos 
determinam trajetórias cicIoidais durante o movimento de rolamento das rodas 2 e 4 sobre o trilho 
1. A peça 5 se move em translação retilínea. 
 
Figura 1.8 
ROTAÇÃO. Se cada ponto de um corpo rígido, em movimento plano, permanece a uma 
distância constante de um eixo fixo, normal ao plano do movimento, diz-se que esse corpo tem 
movimento de rotação. Se o corpo gira de um lado para o outro dentro de um determinado ângulo, 
o movimento é de oscilação. Isto é mostrado na Fig. 1.9 onde a manivela 2 gira e a barra 4 oscila 
entre as posições B' e B". 
 
Figura 1.9 
ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO. Muitos corpos têm movimento que é uma combinação de 
rotação e translação. A biela 3 na Fig. 1.7, as rodas 2 e 4 na Fig. 1.8 e a barra 3 na Fig. 1.9 são 
exemplos deste tipo de movimento. 
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Movimento helicoidal. Quando um corpo rígido se move de modo que seus pontos tenham 
movimento de rotação em torno de um eixo fixo e ao mesmo tempo possua uma translação 
paralela a esse eixo, diz-se que o corpo tem movimento helicoidal. Um exemplo deste movimento 
é o de uma porca sendo atarraxada a um parafuso. 
Movimento esférico. Quando um corpo rígido se move de modo que todos os seus pontos 
girem em torno de um ponto fixo, mantendo uma distância constante desse ponto, diz-se que o 
corpo tem movimento esférico. 
Movimento espacial. Um corpo se movendo com rotação sobre três eixos não paralelos e 
translação em três direções independentes é dito como estando em movimento espacial geral. 
1.4 Ciclo, Período e Fase do Movimento. Quando as peças de um mecanismo, partindo de 
uma posiçãoinicial, tiverem passado por todas as posições intermediárias possíveis e retornarem 
à mesma posição inicial, essas peças terão completado um ciclo do movimento. O tempo 
necessário para completar um ciclo é chamado período. As posições relativas de um mecanismo 
em um determinado instante, durante um ciclo, constituem uma fase. 
1.5 Pares de Elementos. São as formas geométricas pelas quais dois membros de um 
mecanismo são articulados de modo que o movimento relativo entre estes dois membros seja 
coerente. Se o contato entre os dois membros for uma superfície tal como um eixo e um mancal, 
essa articulação é denominada de par inferior. Se o contato for realizado segundo um ponto ou ao 
longo de uma linha tal como em um rolamento de esferas ou entre dois dentes de engrenagens 
em contato, essa articulação é chamada de par superior. Um par que permite somente rotação 
relativa é chamado de par rotativo e o que permite somente deslizamento é um par deslizante. Um 
par rotativo pode ser inferior ou superior dependendo da articulação empregada, se um eixo e um 
mancal ou rolamento de esferas. Um exemplo de par deslizante inferior é o existente entre o 
pistão e as paredes do cilindro de um motor. 
1.6 Peça, Cadeia Cinemática. Uma peça é um corpo rígido que tem dois ou mais pares de 
elementos pelos quais pode ser ligada a outros corpos para transmitir força ou movimento. 
Geralmente uma peça é um elemento rígido que pode ser ligada em cada extremidade a dois ou 
mais outros elementos. Isto pode ser estendido de modo a incluir três, quatro ou mais 
articulações. As Figuras 1.10a, b e c mostram esses arranjos. Talvez o caso extremo de uma peça 
com articulações múltiplas seja a biela mestra de um motor radial de nove cilindros apresentada 
na Fig. 1.10d. 
 
Figura 1.10 
Um exemplo bem conhecido de uma peça com três articulações é a alavanca mostrada nas 
Figuras 1.11a e b. Esta peça é usada geralmente para redução de movimento e pode ser 
dimensionada para uma determinada relação de deslocamentos com um mínimo de distorção 
desses movimentos. 
 
Figura 1.11 
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Quando um número de peças for ligado através de pares, o sistema resultante é chamado de 
cadeia cinemática. Se as peças forem ligadas de tal maneira que não seja possível haver 
movimento, esse sistema será denominado de estrutura. Obtém-se uma cadeia restrita quando as 
peças forem ligadas de modo que o movimento relativo entre as peças seja sempre o mesmo, 
independendo do número de ciclos realizados. É possível também a ligação de peças de modo a 
resultar uma cadeia livre, o que significa que o tipo de movimento irá variar dependendo do atrito 
existente nas articulações. Se fixarmos uma das peças de uma cadeia restrita, o resultado será 
um mecanismo. 
1.7 Inversão. Em um mecanismo, se for liberada uma peça que originalmente era fixa e a 
outra peça passar a ser fixa, diz-se que esse mecanismo está invertido. A inversão de um 
mecanismo não altera o movimento relativo entre suas peças, entretanto modifica seus 
movimentos absolutos. 
1.8 Transmissão de Movimento. No estudo de mecanismos é necessário investigar o 
método pelo qual o movimento pode ser transmitido de um membro para outro. Pode-se transmitir 
movimento de três maneiras: (a) contato direto entre dois corpos, tal como entre um excêntrico e 
um seguidor ou entre duas engrenagens, (b) através de um elemento rígido intermediário ou uma 
biela e (c) por uma ligação flexível, como uma correia ou uma corrente. 
Pode-se determinar a razão de velocidades angulares para o caso de dois corpos em contato. 
A Fig. 1.12 mostra a came 2 e o seguidor 3 em contato no ponto P. A came gira no sentido horário 
e a velocidade do ponto P, considerado como um ponto da peça 2, é representada pelo vetor PM2. 
A linha NN' é a normal às duas superfícies no ponto P e é conhecida por normal comum, linha de 
transmissão ou linha de ação. A tangente comum é representada por TT’. O vetor PM2 é 
decomposto em duas componentes Pn ao longo da normal comum e Pt2, ao longo da tangente 
comum. A came e o seguidor são corpos rígidos e devem permanecer em contato, por isso, a 
componente da velocidade de P, considerado como um ponto da peça 3, deve ser igual à 
componente normal da velocidade de P, considerado como pertencente à peça 2. Portanto, 
conhecendo-se a direção do vetor velocidade P como pertencente à peça 3 e sabendo-se que ela 
é perpendicular ao raio O3P, e conhecendo-se também sua componente normal, é possível a 
determinação do vetor velocidade PM3, conforme mostrado na Fig. 1.12. A partir desse vetor, 
pode-se determinar a velocidade angular do seguidor através da relação V = Rω, onde V é a 
velocidade linear de um ponto que se move ao longo de uma trajetória de raio R e ω é a 
velocidade angular do raio R. 
 
Figura 1.12 
Nos mecanismos em que há contato direto, é necessário determinar a velocidade de 
deslizamento. Da figura pode-se ver que a velocidade de deslizamento é a diferença vetorial entre 
as componentes tangenciais das velocidades dos pontos em contato. Essa diferença é dada pela 
distância t2t3 porque a componente Pt3 tem direção contrária à de Pt2. Se t2 e t3 estiverem do 
mesmo lado de P, a velocidade relativa será dada pela diferença dos segmentos Pt3 e Pt2. Se o 
ponto de contato estiver na linha de centros, os vetores PM2 e PM3 serão iguais e, em 
conseqüência, terão a mesma direção. Portanto, as componentes tangenciais serão iguais e a 
velocidade de deslizamento será nula. As duas peças terão, portanto, um movimento de 
rolamento puro. Assim pode-se dizer que a condição para que exista rolamento puro é que o 
ponto de contato permaneça sobre a linha de centros. 
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Para o mecanismo da Fig. 1.12, o movimento entre a came e o seguidor será uma 
combinação de rolamento e deslizamento. O rolamento puro somente poderá ocorrer quando o 
ponto de contato P cair sobre a linha de centros. Entretanto, o contato nesse ponto poderá não ser 
possível devido às proporções do mecanismo. Também poderá não ocorrer deslizamento puro 
entre a came 2 e o seguidor 3. Para tal acontecer, um ponto de uma das peças, dentro dos limites 
de seu curso, deverá entrar em contato com todos os pontos sucessivos da superfície ativa da 
outra peça. 
É possível determinar uma relação de modo que a razão de velocidades angulares de duas 
peças em contato direto possa ser calculada sem a necessidade da construção geométrica 
delineada acima. A partir dos centros O2 e O3 baixam-se perpendiculares à normal comum 
cruzando-a nos pontos e e f, respectivamente. As seguintes relações são obtidas da Fig. 1.12: 
ω2 = PM2 / O2P e ω3 = PM3 / O3P 
Logo, 
ω3 / ω2 = ( PM3 / O3P ) x ( O2P/ PM2 ) 
Como os triângulos PM2n e O2Pe são semelhantes, 
PM2 / O2P = Pn / O2e 
Também os triângulos PM3n e O3Pf são semelhantes; portanto, 
PM3 / O3P = Pn / O3f 
Assim, 
ω3 / ω2 = ( Pn / O3f ) x ( O2e / Pn ) = O2e / O3f 
 
Figura 1.13 
Com a normal comum cruzando a linha de centros no ponto K, os triângulos O2Ke e O3Kf são 
semelhantes também e, portanto, 
ω3 / ω2 = O2e / O3f = O2K / O3K (1.1) 
Assim, para um par de superfícies curvas em contato direto, as velocidades angulares são 
inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha de centros por sua intersecção 
com a normal comum. Conclui-se então que, para haver uma razão de velocidades angulares 
constante, a normal comum deve cruzar a linha de centros em um ponto fixo. 
 
Figura1.14 
É possível também a obtenção das relações acima para a transmissão de movimento através 
de uma peça intermediária ou biela e para a transmissão de movimento por elemento flexível. As 
Figuras 1.13 e 1.14 mostram os dois casos, respectivamente, onde a velocidade é dada por: 
ω4 / ω2 = O2K / O4K (1.2) 
Na Fig. 1.14 a razão ω4/ω2 independe da distância entre centros O2O4. 
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1.9 Mobilidade ou número de graus de liberdade. Mobilidade é um dos conceitos mais 
fundamentais para o estudo da cinemática. Por definição, a mobilidade de um mecanismo é o 
número de graus de liberdade que possui. Uma definição equivalente para mobilidade é o número 
mínimo de parâmetros dependentes requeridos para especificar a posição de qualquer peça em 
um mecanismo. 
 
Figura 1.15 
Uma peça simples limitada a se mover com movimento plano, como mostrado na Fig. 1.15a, 
possui três graus de liberdade. As coordenadas x e y do ponto P ao longo do ângulo θ formam um 
conjunto de três parâmetros independentes descrevendo sua posição. Duas peças desconectadas 
com movimento plano são mostradas na Fig. 1.15b. Desde que cada peça possui três graus de 
liberdade, essas duas peças possuem um total de seis graus de liberdade. Se as duas peças 
estão conectadas por um pino como uma junta de rotação, conforme mostrado na Fig. 1.15c, o 
sistema de duas peças possui quatro graus de liberdade. Quatro parâmetros independentes 
descrevendo a posição das duas peças poderiam, por exemplo, ser as coordenadas x e y do 
ponto P1, o ângulo θ1, e o ângulo θ2. Existem muitos outros parâmetros que poderiam ser 
utilizados para especificar a posição dessas peças, mas apenas quatro podem ser independentes. 
Desde que os valores dos parâmetros independentes sejam especificados, a posição de cada 
ponto em ambas as peças pode ser determinada. 
No exemplo simples descrito acima, conectar duas peças com uma junta de rotação tem o 
efeito de remover dois graus de liberdade do sistema. Por outro lado, uma junta de rotação 
permite um grau de liberdade (rotação pura) entre duas peças conectadas. Usando esse tipo de 
lógica, é possível desenvolver uma equação geral que auxiliará a predizer a mobilidade de 
qualquer mecanismo plano. 
Por exemplo, um mecanismo plano possuindo n peças deverá ser projetado. Antes de se 
fazer qualquer conexão, o sistema de n peças deverá ter o total de 3n graus de liberdade. O 
reconhecimento de que pelo menos uma peça de qualquer mecanismo deverá ser sempre 
considerada como fixada a uma base remove três graus de liberdade. Isso deixa o sistema com 
um total de 3n – 3, ou 3(n – 1), graus de liberdade. Cada junta com um grau de liberdade remove 
dois graus de liberdade do sistema. Similarmente, cada junta de dois graus de liberdade remove 
um grau de liberdade do sistema. A mobilidade total do sistema é dada pela equação de Grubler 
M = 3(n – 1) – 2f1 – f2 (1.3) 
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Onde 
M = mobilidade ou número de graus de liberdade 
n = número total de peças incluindo a base 
f1 = número de juntas com um grau de liberdade 
f2 = número de juntas com dois graus de liberdade 
Deve ser tomado cuidado ao se utilizar essa equação porque existem algumas geometrias 
especiais de mecanismos onde ela não funciona. Embora não exista uma regra para predizer 
onde a equação de mobilidade fornecerá um resultado incorreto, casos especiais freqüentemente 
ocorrem quando muitas peças do mecanismo são paralelas. Por exemplo, ao ser aplicada a 
equação de Grubler no mecanismo da Fig. 1.16 o resultado será 
M = 3(5 – 1) – 2(6) = 0 
 
Figura 1.16 
Entretanto, esse dispositivo pode se mover como resultado de uma geometria especial e 
possui três graus de liberdade. Deve também ser notado que uma junta conectando k peças em 
um único ponto deve ser contada como k – 1 juntas. Por exemplo, uma junta de rotação 
conectando três peças em um único ponto é contada como duas juntas. 
Apenas quatro tipos de juntas são normalmente encontrados em mecanismos planos. Essas 
são as juntas de rotação, prismáticas, e de contato de rolamento (cada uma com um grau de 
liberdade), e as juntas de came ou engrenagens (com dois graus de liberdade). Essas juntas são 
mostradas na Fig. 1.17. As seguintes definições são aplicadas para a mobilidade de um 
dispositivo: 
M ≥ 1: o dispositivo é um mecanismo de M graus de liberdade 
M = 0: o dispositivo é uma estrutura estaticamente determinada 
M ≤ –1: o dispositivo é uma estrutura estaticamente indeterminada 
 
Tipo de Junta 
(Símbolo) 
Forma 
Física 
Representação 
Esquemática 
Graus de 
Liberdade 
Rotativa 
(R) 
 
1 
(rotação pura) 
Prismática 
(P) 
 
 
1 
(escorregamento puro) 
Came ou 
Engrenagem 
 
2 
(rolamento e escorregamento) 
Contato de 
Rolamento 
 
1 
(rolamento sem 
escorregamento) 
Figura 1.17 
MECANISMOS CAPÍTULO 1 
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Exemplo 1.1. Determine a mobilidade do mecanismo de quatro barras da Fig. 1.18. 
 
Figura 1.18 
São 4 peças e quatro juntas de rotação, cada qual com um grau de liberdade. A mobilidade é dada por 
M = 3(4 – 1) – 2(4) 
M = 1 
Portanto esse é um mecanismo de um grau de liberdade. 
Exemplo 1.2. Determine a mobilidade do dispositivo da Fig. 1.19. 
 
Figura 1.19 
São quatro peças conectadas por cinco juntas de um grau de liberdade (a junta que conecta três peças 
conta como duas). A mobilidade é dada por 
M = 3(4 – 1) – 2(5) 
M = – 1 
Essa é uma estrutura estaticamente indeterminada. 
Exemplo 1.3. Determine a mobilidade do dispositivo da Fig. 1.20. 
 
Figura 1.20 
Existem três ligações, duas juntas de rotação com um grau de liberdade e uma junta tipo par superior com 
dois graus de liberdade. Na junta tipo par superior, as duas peças de contato podem transladar ao longo da 
linha de tangência comum ou rotacionar sobre o ponto de contato, resultando em dois graus de liberdade. A 
mobilidade é dada por 
M = 3(3 – 1) – 2(2) – 1(1) 
M = 1 
Esse é um mecanismo de um grau de liberdade. 
 
MECANISMOS CAPÍTULO 1 
10 
Problemas 
1.1 Na Fig. 1.21, se ω2 = 20 rad/min, calcular a velocidade angular da peça 3 e os ângulos 
máximo e mínimo entre o seguidor e a horizontal para os dois casos mostrados. 
 
Figura 1.21 
1.2 Determinar a velocidade de escorregamento entre as peças 2 e 3 do Problema 1.1. 
1.3 Se ω2 = 20 rad/min para o mecanismo apresentado na Fig. 1.21, determinar as 
velocidades angulares da peça 3 para uma volta completa da came empregando acréscimos de 
60° a partir da posição em que ω3 = 0. Calcular ω3 em função do ângulo de rotação θ da came. 
1.4 Para mecanismo mostrado na Fig. 1.22, se ω2 = 1800 rad/s, calcular a velocidade 
angular da peça 3 e os ângulos mínimo e máximo do seguidor em relação a horizontal. 
 
Figura 1.22
MECANISMOS CAPÍTULO 1 
11 
 
1.5 Determinar ω4 e VB para o mecanismo mostradona Fig. 1.23. 
 
 O2A = 100 mm 
 O2B = 130 mm 
 ω2 = 100 rad/s ah 
 
 
 
 
Figura 1.23 
1.6 Determinar ω4 e VB para o mecanismo mostrado na Fig. 1.24. 
 
 O2O4 = 4 pol 
 O2A = 2,828 pol 
 AB = 2 pol 
 O4B = 2 pol 
 ω2 = 14,14 rad/s ah 
 
 
 
 
Figura 1.24 
1.7 Provar que, para o mecanismo mostrado na Fig. 1.13, as velocidades angulares das 
peças conduzida e condutora são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na 
linha de centros por sua interseção com a linha de transmissão. 
1.8 Provar que, para as polias e correia mostradas na Fig. 1.14, as velocidades angulares 
das polias são inversamente proporcionais aos segmentos determinados na linha de centros por 
sua interseção com a linha de transmissão. 
1.9 No mecanismo da Fig. 1.13, a manivela 2 tem 19 mm de comprimento e gira a uma 
velocidade angular constante de 15 rad/s. A barra 3 tem 38 mm de comprimento e a barra 4 tem 
25 mm de comprimento. A distância entre os centros O2 e O4 é de 51 mm. Determinar a 
velocidade angular da peça 4 quando a manivela 2 tiver girado de 45° no sentido anti-horário, a 
partir da horizontal. Dizer se ω4 é constante ou não. 
1.10 Uma polia de 100 mm de diâmetro aciona outra de 200 mm de diâmetro através de 
uma correia. Se a velocidade angular da polia condutora é de 65 rad/s e a distância entre os 
centros das polias é de 400 mm, determinar a velocidade angular da polia conduzida. Sua 
velocidade será constante? 
1.11 Determinar a mobilidade (número de graus de liberdade) dos dispositivos mostrados 
nas Figuras 1.25 a 1.32. 
MECANISMOS CAPÍTULO 1 
12 
 
 
 
 
 Figura 1.25 
 Figura 1.27 
 
 
 
 Figura 1.26 
 
 
 Figura 1.28 Figura 1.29 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.30 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.31 Figura 1.32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS DE ALGUNS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
1.1 (a) ω3 = 2,86 rad/min; (b) θmax = 30°, θmin = 9,6° 
1.11 Fig. 1.25, M = 0; Fig. 1.26, M = 2; Fig. 1.27, M = -2; Fig. 1.28, M = 2; Fig. 1.29, M = 1; Fig. 1.30, M =3; Fig. 1.31, M = 1; Fig. 1.32, M=1.