Mecanismos_03
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Mecanismos_03


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a 
produção da came. O desenvolvimento dessas características é apresentado a seguir. 
A Fig. 3.21 mostra uma came com seguidor radial de face plana. A came gira com 
velocidade angular constante. O ponto de contato entre a came e o seguidor tem coordenadas x 
e y e está a uma distância l da linha de centro do seguidor. O deslocamento do seguidor em 
relação à origem é dado pela seguinte equação: 
R = C + f(\u3b8) (3.1) 
onde o raio mínimo da came é representado por C e f(\u3b8) representa o movimento desejado para 
o seguidor como uma função do deslocamento angular da came. 
MECANISMOS CAPÍTULO 3 
55 
 
Figura 3.21 
A equação para o comprimento de contato l pode ser facilmente determinada pela geometria 
da Fig. 3.21. Dos triângulos mostrados, 
R = y sen \u3b8 + x cos \u3b8 (3.2) 
e 
l = y cos \u3b8 - x sen \u3b8 (3.3) 
O membro da direita da Eq. 3.3 é a derivada em relação a \u3b8 do membro da direita da Eq. 
3.2. Portanto, 
( )[ ]\u3b8\u3b8\u3b8 fCd
d
d
dRl +== 
e 
( )\u3b8'fl = (3.4) 
Se o diagrama de deslocamento é dado por uma equação matemática S = f(\u3b8), então R e l 
são determinados facilmente das Equações 3.1 e 3.4. Da Eq. 3.4, pode-se ver que o 
comprimento mínimo da face do seguidor independe do raio mínimo da came. Também, o ponto 
de contato está na posição mais afastada da linha de centro do seguidor quando a velocidade 
do seguidor é máxima. Quando o seguidor se afasta do centro da came com velocidade positiva, 
l é positivo e o contato ocorre acima do eixo do seguidor da Fig. 3.21. Quando o seguidor se 
move em direção ao centro da came, a velocidade é negativa e o valor negativo de l indica que 
o contato se realiza abaixo do eixo do seguidor. 
Para determinar as equações de x e y para o contorno da came, é necessário somente 
resolver as Equações 3.2 e 3.3 simultaneamente, o que resulta 
x = R cos \u3b8 - l sen \u3b8 
e 
y = R sen \u3b8 + l cos \u3b8 
Substituindo os valores de R e l das Eqs. 3.1 e 3.4, respectivamente, 
x = [C + f(\u3b8)] cos \u3b8 - f ' (\u3b8) sen \u3b8 (3.5) 
y = [C + f(\u3b8)] sen \u3b8 + f ' (\u3b8) cos \u3b8 (3.6) 
MECANISMOS CAPÍTULO 3 
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O raio mínimo C para evitar uma ponta ou bico sobre a superfície da came pode ser 
determinado analiticamente com facilidade. Uma ponta ocorre quando dx/d\u3b8 e dy/d\u3b8 forem 
iguais a zero. Quando isto acontece, forma-se uma ponta na came conforme mostrado em x, y 
na Fig. 3.22. Para demonstrar isto, consideremos que a linha de centro do seguidor tenha girado 
de um ângulo \u3b8 e que o contato entre a face do seguidor e a came ocorra no ponto (x, y). Mais 
adiante, quando o seguidor for girado de um pequeno ângulo d\u3b8, o ponto de contato (x, y) não 
mudará por causa da ponta, ficando ainda em x, y. Assim, pode-se ver que dx/d\u3b8 = dy/d\u3b8 = 0. 
 
Figura 3.22 
Diferenciando as Equações 3.5 e 3.6, 
dx/d\u3b8 = - [C + f(\u3b8) + f''(\u3b8)] sen \u3b8 (3.7) 
dy/d\u3b8 = [C + f(\u3b8) + f''(\u3b8)] cos \u3b8 (3.8) 
As Eqs. 3.7 e 3.8 podem se anular simultaneamente somente quando 
C + f(\u3b8) + f"(\u3b8) = 0 
Portanto, para evitar pontas, 
C + f(\u3b8) + f''(\u3b8) > 0 
A soma f(\u3b8) + f"(\u3b8) deve ser inspecionada para todos os valores de \u3b8 para determinar seu valor 
algébrico mínimo. É necessário usar o valor mínimo de modo que C seja suficientemente grande 
para assegurar que a Eq. 3.9 não se anule para qualquer valor de \u3b8. Essa soma pode ser 
positiva ou negativa. Se for positiva, C será negativo e não terá significado prático. Neste caso, o 
raio mínimo será determinado pelo cubo da came ao invés de sê-Io pela função f(\u3b8). 
Pode-se determinar os pontos do contorno da came pelas Equações 3.5 e 3.6, que dão as 
coordenadas cartesianas, ou calculando R e l para diversos valores de \u3b8. Em geral, o segundo 
método é mais fácil, mas em ambos os casos os pontos devem ser ligados com o auxílio de uma 
curva francesa para a obtenção do contorno da came. Na prática, entretanto, raramente é 
necessário desenhar o perfil da came em escala. Depois que o raio mínimo C tenha sido 
determinado e os deslocamentos R tenham sido calculados, a came pode ser confeccionada. 
Para tal, o comprimento da fresa deve ser maior do que o dobro do valor máximo de l. Durante a 
usinagem, o eixo da fresa deve estar paralelo ao plano da came. 
MECANISMOS CAPÍTULO 3 
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Exemplo 3.2. A fim de ilustrar o método de escrever as equações de deslocamento, consideremos as 
seguintes condições: um seguidor de face plana é acionado em um deslocamento total de 37,5 mm. No 
início do ciclo (deslocamento zero), o seguidor repousa durante \u3c0/2 radianos. Em seguida eleva-se de 
37,5 mm com movimento cicloidal (Curva C-5 de Kloomok e Muftley) em \u3c0/2 radianos. Depois repousa 
durante \u3c0/2 radianos e então retorna 37,5 mm com movimento cicloidal (C-6) em \u3c0/2 radianos. A Fig. 3.23 
mostra um esboço do diagrama de deslocamento. 
 
Figura 3.23 
Para a ciclóide C-5 as curvas de Kloomok e Muffley fornecem 
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212= \u3b2
\u3c0\u3b8
\u3c0\u3b2
\u3b8 2
2
1 senLS 
Deve-se mencionar, ao se escrever a relação S = f(\u3b8), que o valor de S sempre deve ser medido a partir 
do eixo das abscissas e o valor de \u3b8 a partir do eixo das ordenadas. Na equação precedente, entretanto, 
na Fig. 3.23 \u3b8 é medido a partir do ponto A ao invés do ponto O. Portanto, reescrevendo a equação 
usando \u3b8 conforme mostrado na Fig. 3.23: 
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2032\u2212\u2032= \u3b2
\u3b8\u3c0
\u3c0\u3b2
\u3b8 2
2
1 senLS AB 
É possível transladar a origem do ponto A para o ponto O, substituindo a relação 
2
\u3c0\u3b8\u3b8 \u2212=\u2032 
Portanto, 
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212
\u2212
\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212
= \u3b2
\u3c0\u3b8\u3c0
\u3c0\u3b2
\u3c0\u3b8
2
2
2
12 senLS AB 
Substituindo L = 37,5 mm e \u3b2 = \u3c0/2 radianos, 
( )\u3c0\u3b8\u3c0
\u3c0\u3b8\u3c0 244
75
2
75 \u2212\u2212\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212= senS AB 
Para a ciclóide C-6 
 
\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2032\u2032+\u2032\u2032\u2212= \u3b2
\u3b8\u3c0\u3c0\u3b2
\u3b8 2
2
11 senLSCD 
onde 
2
3\u3c0\u3b8\u3b8 \u2212=\u2032\u2032 
L = 75 mm 
MECANISMOS CAPÍTULO 3 
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2
\u3c0\u3b2 = 
Portanto, 
( )\u3c0\u3b8\u3c0\u3c0
\u3b8 64
4
7575150 \u2212+\u2212= senSCD 
 
Deve-se observar que com as combinações de repouso e movimento cicloidal usadas, as 
velocidades e as acelerações são igualadas nas extremidades de cada trecho não havendo, portanto, 
segunda aceleração infinita em qualquer ponto do ciclo. 
 
Exemplo 3.3. Como um exemplo de como são determinados o raio mínimo C e o comprimento da face 
do seguidor, consideremos um seguidor radial de face plana que se eleva de 50 mm e retorna, com 
movimento harmônico simples, durante meia-volta da came. Dois ciclos do seguidor ocorrem durante uma 
volta da came. 
É necessária somente uma equação de deslocamento (H-5) para especificar o movimento do 
seguidor do começo ao fim do ciclo, 
\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212= \u3b2
\u3b8\u3c0cos1
2
LS 
onde 
L = 50 mm 
e 
\u3b2 = \u3c0/2 
Portanto, 
S = f(\u3b8) = 25 (1 \u2013 cos 2\u3b8) 
f\u2019(\u3b8) = 50 sen 2\u3b8 
e 
f\u2019\u2019(\u3b8) = 100 cos 2\u3b8 
Para determinar o raio mínimo, a soma C + f(\u3b8) + f\u2019\u2019(\u3b8) deve ser maior que zero. Substituindo os