Integral - Texto 2 - A Integral Definida

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UNIFACS – Universidade Salvador 
Disciplina: Cálculo Integral 
Curso: Engenharias 
Professora: Ilka R. Freire 
 
 
A Integral Definida – Área de regiões planas 
 
 
A Integral Definida 
 
Vamos voltar à questão colocada no texto que introduz o conceito de integral: Calcular a 
área de uma figura plana. 
 
A definição da área de uma figura plana qualquer é feita aproximando-se a figura por 
polígonos cujas áreas podem ser obtidas pelos métodos da Geometria Elementar e, como já 
foi citado, está baseada no chamado método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 AC) 
e aperfeiçoado por Arquimedes ( 287-212 AC). 
 
Consideremos y = f(x)  0 uma função contínua em [a,b] e R a região do plano limitada 
por y = f(x); y = 0; x = a e x = b. 
 
 
O método da exaustão está basicamente descrito a seguir: 
 
Seja a = x0 < x1 < x2<...<xn = b uma partição do intervalo [a,b], ou seja, uma divisão de 
[a,b] em n subintervalos. 
Consideremos i um ponto qualquer do subintervalo [xi-1, xi ] Seja xi = xi  xi-1 e Ri o 
retângulo de base xi e altura f(i); i = 1, 2, 3, ..., n. 
A área do retângulo Ri é dada por A(Ri) = f(i) xi. 
Consideremos agora a soma das áreas de todos os retângulos 


n
1i
iinn2211n xΔ)f(εxΔ)f(ε...xΔ)f(εxΔ)f(εA
. A soma das áreas desses pequenos 
retângulos nos dá uma aproximação cada vez melhor da área procurada. 
A interpretação geométrica dessas somas nos sugere que a medida que n cresce (xi 
decresce ) os valores de An se aproximam da área da região R que indicamos por A(R), ou 
seja, 
 

n
1i
ii
n
x)f(εlimA(R)
 
Esta definição de área nos leva à seguinte 
 2 
Definição: Seja f uma função contínua em [a,b] e consideremos uma partição de [a,b]. Se 


n
1i
ii
0ixΔmax
xΔ)f(ε lim
=
 

n
1i
ii
n
x)f(ε lim
 existe e é finito, independentemente da escolha 
dos i´s, então este limite é chamado de integral definida de f em [a,b] e indicado 
por


n
1i
ii
0ixΔmax
xΔ)f(ε lim
= 
 

b
a
n
1i
ii
n
f(x)dxx)f(εlim
 
A integral 
b
a
f (x)dx
 é calculada através de um “limite de somas”, chamadas de “somas de 
Riemann da função f no intervalo [a ,b]. 
 
Observações 
1) Na integral definida 

b
a
f(x)dx
 a e b são chamados de limite inferior e limite superior da 
integral, respectivamente, ou limite inferior e limite superior de integração e o intervalo 
[a,b] é chamado de segmento ou intervalo de integração 
2) Como conseqüências imediatas da definição temos que 
i) Se a = b 

b
a
f(x)dx
= 0 
ii) Se a > b 

b
a
f(x)dx
= 

a
b
f(x)dx
 
3) Se b n
i i
n i 1a
f (x) dx = lim f (x ) x
 

 existe, dizemos que f é integrável em [a,b] 
4) Em alguns casos este limite não existe, ou seja, a função não é integrável. Isso é devido 
ao grande número de pontos de descontinuidades da função f. Não abordaremos estes 
exemplos aqui neste texto. Temos o seguinte resultado: 
Teorema: Se f é uma função contínua em [a,b], então f é integrável em [a,b] 
 3 
 
Interpretação Geométrica da Integral Definida 
Seja y = f(x) contínua em [a,b] e R a região do plano limitada por y = f(x) ; y = 0; x = a 
e x = b. Seja A(R) a área dessa região. 
1. Se f(x)  0,  x  [a,b], então 

b
a
f(x)dxA(R)
 
2. Se f(x)  0,  x  [a,b], então 

b
a
f(x)dxA(R)
 
Propriedades 
Uma vez que a integral definida é definida como um limite ela “herda” muitas das 
propriedades dos limites. Além disso, a partir da interpretação geométrica da integral 
definida como uma área podemos também justificar algumas propriedades 
P1) 

b
a
b
a
f(x)dxccf(x)dx
 
P2) 
   
b
a
b
a
b
a
g(x)dxf(x)dxdxg(x)f(x)
 
P3) Se f(x)  g(x) x  [a,b], então 

b
a
b
a
g(x)dxf(x)dx
 
P4) Se M e m são respectivamente os valores máximos e mínimos de f em [a,b], isto é, 
m  f(x)  M, então 
a)M(bf(x)dxa)m(b
b
a

 
P5) Se f é integrável em [a,b], [a,c] e [c,b], então 

b
c
c
a
b
a
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
 
Observação: O resultado vale geralmente quaisquer que sejam a, b e c 
 
Teorema da Média para Integrais: Seja f contínua em [a,b]. Então existe c  [a,b ], 
tal que 
a)f(c)(bf(x)dx
b
a

 
 4 
Interpretação Geométrica: a área limitada por y = f(x); y = 0; x = a e x = b é igual à área 
de um retângulo de base ( b  a ) e altura f(c) 
Observações: 
1. f(c) é chamado de valor médio de f em [a,b] 
2. c pode não ser único 
 
O conceito de integral definida é razoavelmente fácil de compreender, pelo menos para 
funções contínuas em intervalos. Mesmo nestes casos, o cálculo dessas integrais não é 
simples, pois envolve a divisão do intervalo [a, b] em n partes, o cálculo das somas 
n
n i i
i 1
A f (x )Δx


, e posteriormente o limite dessas somas. Tendo em vista estas 
dificuldades, daremos a seguir um mecanismo de cálculo dessas integrais, mais conhecido 
como o Teorema Fundamental do Cálculo 
 
O Teorema Fundamental do Cálculo – Fórmula de Newton-Leibniz: 
Na integral 

b
a
f(x)dx
 suponhamos que o limite inferior a está fixado e o limite superior b 
varie. Nesse caso temos que o valor da integral variará, ou seja, a integral passa a ser uma 
função do seu limite superior 

1x
a
dt)t(f
; 

2x
a
dt)t(f
; etc 
Vamos designar a variável de integração por t e o limite superior por x. Definimos, então, a 
seguinte função 

x
a
dt)t(f)x(G
. Temos o seguinte resultado: 
Teorema: Se f é contínua em [a,b] então 

x
a
dt)t(f)x(G
 é uma primitiva de f, ou seja, 
G´(x) = f(x) em [a,b]. 
O teorema afirma que toda função contínua tem uma primitiva dada por 

x
a
dt)t(f)x(G
 
 
 
 5 
Exemplos: 
1) 
x
x
0
t e)x(Gdte)x(G 
 
2) 
)1x(sen)x(Gdt)1t(sen)x(G 2
x
0
2  
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo: Se f(x) é uma função contínua em [a,b] e F(x) é uma 
primitiva de f em [a,b], então 
F(a)F(b)f(x)dx
b
a

 
Usamos a notação 
b
a
F(x)F(a)F(b) 
 
Demonstração: 
Como f é contínua em [a,b], pelo resultado assumido anteriormente, temos que 

x
a
dt)t(f)x(G
 é uma primitiva de f nesse intervalo. Logo, se F(x) é uma primitiva 
qualquer de f sobre [a,b], então F(x) = G(x) + C,  x  [a,b]. Como G(a) = 0 e 

b
a
dt)t(f)b(G
 temos que F(b)  F(a) = ( G(b) + C )  ( G(a) + C ) = 

b
a
dt)t(f)b(G
. 
Podemos também escrever 
F(a)F(b))x(Ff(x)dx
b
a
b
a

 
Exemplos: 
1) Calcule as seguintes integrais definidas 
a) 
2
b
2
x
xdx
2
b
0
2b
0

 
b) 
1
1
1
x
1
1
x eeedxe 



 
 6 
c)
0
2
x2sen
xdx2cos
00


 
 
Observação: Devemos ter cuidado com os limites de integração quando a técnica de 
integração envolvida é substituição. 
Se y = f(x) é contínua em [a,b] e x = g(t) é derivável e inversível em [,], sendo g() = a 
e g() = b, então 
 
β
α
b
a
dt)t(g))t(g(fdx)x(f
 
Exemplo: 
  xdx21x
1
0
32
 
 
x
2
 + 1 = t  2xdx = dt 
x = 0  t = 1 
x = 1  t = 2 
 
Temos assim que 
  dxx21x
1
0
32
 
= 
4
15
4
1
4
4
t
dtt
2
1
42
1
3 
 
 
Cálculo de Área 
Algumas observações sobre a integral definida e a área: 
1) A Integral definida de uma função y = f(x) é um número real, e nem sempre representaa 
área limitada por esta curva e o eixo Ox. Por exemplo, se f(x) = x, 1  x  1 temos que 
entre 0 e 1 os valores de f(x) são positivos, enquanto entre 1 e 0 os valores são 
respectivamente os mesmos, só que negativos. 
É fácil visualizar então que 
0
2
1
2
1
2
x
xdx
1
1
21
1


 
No entanto, a área da região é igual a 1 unidade de área 
que corresponde á soma das áreas dos dois 
triângulos sombreados. 
Para calcularmos a área da região devemos 
dividir a região em duas e considerar o módulo 
da integral na região em que a função é negativa. 
 
 
 7 
Assim, a área da região é igual a 
1
2
1
2
1
2
x
2
x
xdxxdx
1
0
2
0
1
21
0
0
1
 

) A integral 
b
a
f (x)dx
 é o “saldo da função f”, ou seja, é o resultado das contribuições positivas e 
negativas ao longo do intervalo [a, b] . 
Por exemplo, 
314xxdx2
2
1
2
2
1



 
 
No entanto, a área da região é 
541xxxdx2xdx2
2
0
2
0
1
2
2
0
0
1



 
 
 
2) Se a região R é limitada pelos gráficos de f e g , sendo f e g funções contínuas em [a,b]; 
pelas retas x = a e x = b e f(x)  g(x) para todo x em [a,b], então a área é calculada pela 
diferença entre a área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico de g, ou seja, 
A( R ) = 
dx))x(g)x(f(dx)x(gdx)x(f
b
a
b
a
b
a
  
 
O resultado acima vale mesmo que as funções assumam valores negativos. Analise 
graficamente as situações apresentadas nos gráficos a seguir 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 8 
Exercícios Resolvidos: 
Calcule a área A( R ) das seguintes regiões R 
1) Região limitada pela curva y = x, e o eixo Ox no intervalo [1, 3 ] 
 
A( R ) = 
4
2
1
2
9
2
x
xdx
3
1
23
1

unidades de área 
 
 
 
2) Região limitada pela curva y = x
2
 e o eixo Ox 
no intervalo [ 1, 1 ] 
 
A( R ) = 
3
2
3
1
3
1
3
x
dxx
1
1
31
1
2 

 unidade de área 
 
3) Região limitada pelas curvas
2 xy e xy 
 
Vamos inicialmente encontrar as intersecções entre as curvas para estabelecer os limites de 
integração: 
1 x ou 0x0)1x(xxxxx 342 
 
 
 
 
 
 
A área da região corresponde à diferença entre a área da região limitada pela curva 
xy 
 
o eixo Ox e as retas x = 0 e x = 1 e a área da região limitada pela curva y = x
2
, o eixo Ox e 
as retas x = 0 e x = 1 
 
 
 
 9 
Logo, A( R ) = 
3
1
3
1
3
2
3
x
x
3
2
dx)xx(
1
0
3
2/3
1
0
2 





 
 unidade de área 
 
 
4) Região limitada pelas curvas xy = 4 e x + y = 5 
 
 
Vamos encontrar inicialmente as intersecções entre as curvas 
4 x ou 1x04x5x5
x
4
x
x
4
y 2 
 
A(R) 
=
4ln4
2
15
)1ln4
2
1
5()4ln4
2
16
20(xln4
2
x
x5dx)
x
4
)x5((
4
1
24
1






 
 
 
 
5) Região limitada pelas curvas y = 2  x2 e y = x 
 
 
 
Encontrando as interseções entre as curvas: 
1 x ou 2x02xxxx2 22 
 
A(R) = 
2
9
2
4
3
8
4
2
1
3
1
2
2
x
3
x
x2dx)x)x2((
1
2
231
2
2 

















 


 
 
 
Referências Bibliográficas: 
1. Cálculo – Um Novo Horizonte – H. Anton (vol 1) 
2. Cálculo A – Diva Fleming 
3. Cálculo com Geometria Analítica – Swokowski ( vol 1)