Integral - Texto 2 - A Integral Definida
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Integral - Texto 2 - A Integral Definida


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UNIFACS \u2013 Universidade Salvador 
Disciplina: Cálculo Integral 
Curso: Engenharias 
Professora: Ilka R. Freire 
 
 
A Integral Definida \u2013 Área de regiões planas 
 
 
A Integral Definida 
 
Vamos voltar à questão colocada no texto que introduz o conceito de integral: Calcular a 
área de uma figura plana. 
 
A definição da área de uma figura plana qualquer é feita aproximando-se a figura por 
polígonos cujas áreas podem ser obtidas pelos métodos da Geometria Elementar e, como já 
foi citado, está baseada no chamado método da exaustão atribuído a Eudoxo (406-355 AC) 
e aperfeiçoado por Arquimedes ( 287-212 AC). 
 
Consideremos y = f(x) \uf0b3 0 uma função contínua em [a,b] e R a região do plano limitada 
por y = f(x); y = 0; x = a e x = b. 
 
 
O método da exaustão está basicamente descrito a seguir: 
 
Seja a = x0 < x1 < x2<...<xn = b uma partição do intervalo [a,b], ou seja, uma divisão de 
[a,b] em n subintervalos. 
Consideremos \uf065i um ponto qualquer do subintervalo [xi-1, xi ] Seja \uf044xi = xi \uf02d xi-1 e Ri o 
retângulo de base \uf044xi e altura f(\uf065i); i = 1, 2, 3, ..., n. 
A área do retângulo Ri é dada por A(Ri) = f(\uf065i) \uf044xi. 
Consideremos agora a soma das áreas de todos os retângulos 
\uf0e5\uf03d\uf02b\uf02b\uf02b\uf03d
\uf03d
n
1i
iinn2211n x\u394)f(\u3b5x\u394)f(\u3b5...x\u394)f(\u3b5x\u394)f(\u3b5A
. A soma das áreas desses pequenos 
retângulos nos dá uma aproximação cada vez melhor da área procurada. 
A interpretação geométrica dessas somas nos sugere que a medida que n cresce (\uf044xi 
decresce ) os valores de An se aproximam da área da região R que indicamos por A(R), ou 
seja, 
\uf0e5 \uf044\uf03d
\uf03d\uf02b\uf0a5\uf0ae
n
1i
ii
n
x)f(\u3b5limA(R)
 
Esta definição de área nos leva à seguinte 
 2 
Definição: Seja f uma função contínua em [a,b] e consideremos uma partição de [a,b]. Se 
\uf0e5
\uf03d\uf0ae
n
1i
ii
0ix\u394max
x\u394)f(\u3b5 lim
=
\uf0e5 \uf044
\uf03d\uf02b\uf0a5\uf0ae
n
1i
ii
n
x)f(\u3b5 lim
 existe e é finito, independentemente da escolha 
dos \uf065i´s, então este limite é chamado de integral definida de f em [a,b] e indicado 
por
\uf0e5
\uf03d\uf0ae
n
1i
ii
0ix\u394max
x\u394)f(\u3b5 lim
= 
\uf0f2\uf03d\uf0e5 \uf044
\uf03d\uf02b\uf0a5\uf0ae
b
a
n
1i
ii
n
f(x)dxx)f(\u3b5lim
 
A integral 
b
a
f (x)dx\uf0f2
 é calculada através de um \u201climite de somas\u201d, chamadas de \u201csomas de 
Riemann da função f no intervalo [a ,b]. 
 
Observações 
1) Na integral definida 
\uf0f2
b
a
f(x)dx
 a e b são chamados de limite inferior e limite superior da 
integral, respectivamente, ou limite inferior e limite superior de integração e o intervalo 
[a,b] é chamado de segmento ou intervalo de integração 
2) Como conseqüências imediatas da definição temos que 
i) Se a = b 
\uf0f2
b
a
f(x)dx
= 0 
ii) Se a > b 
\uf0f2
b
a
f(x)dx
= \uf02d
\uf0f2
a
b
f(x)dx
 
3) Se b n
i i
n i 1a
f (x) dx = lim f (x ) x
\uf0ae\uf0a5 \uf03d
\uf044\uf0e5\uf0f2
 existe, dizemos que f é integrável em [a,b] 
4) Em alguns casos este limite não existe, ou seja, a função não é integrável. Isso é devido 
ao grande número de pontos de descontinuidades da função f. Não abordaremos estes 
exemplos aqui neste texto. Temos o seguinte resultado: 
Teorema: Se f é uma função contínua em [a,b], então f é integrável em [a,b] 
 3 
 
Interpretação Geométrica da Integral Definida 
Seja y = f(x) contínua em [a,b] e R a região do plano limitada por y = f(x) ; y = 0; x = a 
e x = b. Seja A(R) a área dessa região. 
1. Se f(x) \uf0b3 0, \uf022 x \uf0ce [a,b], então 
\uf0f2\uf03d
b
a
f(x)dxA(R)
 
2. Se f(x) \uf0a3 0, \uf022 x \uf0ce [a,b], então 
\uf0f2\uf02d\uf03d
b
a
f(x)dxA(R)
 
Propriedades 
Uma vez que a integral definida é definida como um limite ela \u201cherda\u201d muitas das 
propriedades dos limites. Além disso, a partir da interpretação geométrica da integral 
definida como uma área podemos também justificar algumas propriedades 
P1) 
\uf0f2\uf03d\uf0f2
b
a
b
a
f(x)dxccf(x)dx
 
P2) 
\uf028 \uf029 \uf0f2\uf02b\uf0f2\uf03d\uf0f2 \uf02b
b
a
b
a
b
a
g(x)dxf(x)dxdxg(x)f(x)
 
P3) Se f(x) \uf0a3 g(x) \uf022x \uf0ce [a,b], então 
\uf0f2\uf0a3\uf0f2
b
a
b
a
g(x)dxf(x)dx
 
P4) Se M e m são respectivamente os valores máximos e mínimos de f em [a,b], isto é, 
m \uf0a3 f(x) \uf0a3 M, então 
a)M(bf(x)dxa)m(b
b
a
\uf02d\uf0a3\uf0f2\uf0a3\uf02d
 
P5) Se f é integrável em [a,b], [a,c] e [c,b], então 
\uf0f2\uf02b\uf0f2\uf03d\uf0f2
b
c
c
a
b
a
f(x)dxf(x)dxf(x)dx
 
Observação: O resultado vale geralmente quaisquer que sejam a, b e c 
 
Teorema da Média para Integrais: Seja f contínua em [a,b]. Então existe c \uf0ce [a,b ], 
tal que 
a)f(c)(bf(x)dx
b
a
\uf02d\uf03d\uf0f2
 
 4 
Interpretação Geométrica: a área limitada por y = f(x); y = 0; x = a e x = b é igual à área 
de um retângulo de base ( b \uf02d a ) e altura f(c) 
Observações: 
1. f(c) é chamado de valor médio de f em [a,b] 
2. c pode não ser único 
 
O conceito de integral definida é razoavelmente fácil de compreender, pelo menos para 
funções contínuas em intervalos. Mesmo nestes casos, o cálculo dessas integrais não é 
simples, pois envolve a divisão do intervalo [a, b] em n partes, o cálculo das somas 
n
n i i
i 1
A f (x )\u394x
\uf03d
\uf03d\uf0e5
, e posteriormente o limite dessas somas. Tendo em vista estas 
dificuldades, daremos a seguir um mecanismo de cálculo dessas integrais, mais conhecido 
como o Teorema Fundamental do Cálculo 
 
O Teorema Fundamental do Cálculo \u2013 Fórmula de Newton-Leibniz: 
Na integral 
\uf0f2
b
a
f(x)dx
 suponhamos que o limite inferior a está fixado e o limite superior b 
varie. Nesse caso temos que o valor da integral variará, ou seja, a integral passa a ser uma 
função do seu limite superior 
\uf0f2
1x
a
dt)t(f
; 
\uf0f2
2x
a
dt)t(f
; etc 
Vamos designar a variável de integração por t e o limite superior por x. Definimos, então, a 
seguinte função 
\uf0f2\uf03d
x
a
dt)t(f)x(G
. Temos o seguinte resultado: 
Teorema: Se f é contínua em [a,b] então 
\uf0f2\uf03d
x
a
dt)t(f)x(G
 é uma primitiva de f, ou seja, 
G´(x) = f(x) em [a,b]. 
O teorema afirma que toda função contínua tem uma primitiva dada por 
\uf0f2\uf03d
x
a
dt)t(f)x(G
 
 
 
 5 
Exemplos: 
1) 
x
x
0
t e)x(Gdte)x(G \uf03d\uf0a2\uf0de\uf0f2\uf03d
 
2) 
)1x(sen)x(Gdt)1t(sen)x(G 2
x
0
2 \uf02b\uf03d\uf0a2\uf0de\uf0f2 \uf02b\uf03d
 
 
Teorema Fundamental do Cálculo: Se f(x) é uma função contínua em [a,b] e F(x) é uma 
primitiva de f em [a,b], então 
F(a)F(b)f(x)dx
b
a
\uf02d\uf03d\uf0f2
 
Usamos a notação 
b
a
F(x)F(a)F(b) \uf03d\uf02d
 
Demonstração: 
Como f é contínua em [a,b], pelo resultado assumido anteriormente, temos que 
\uf0f2\uf03d
x
a
dt)t(f)x(G
 é uma primitiva de f nesse intervalo. Logo, se F(x) é uma primitiva 
qualquer de f sobre [a,b], então F(x) = G(x) + C, \uf022 x \uf0ce [a,b]. Como G(a) = 0 e 
\uf0f2\uf03d
b
a
dt)t(f)b(G
 temos que F(b) \uf02d F(a) = ( G(b) + C ) \uf02d ( G(a) + C ) = 
\uf0f2\uf03d
b
a
dt)t(f)b(G
. 
Podemos também escrever 
F(a)F(b))x(Ff(x)dx
b
a
b
a
\uf02d\uf03d\uf03d\uf0f2
 
Exemplos: 
1) Calcule as seguintes integrais definidas 
a) 
2
b
2
x
xdx
2
b
0
2b
0
\uf03d\uf03d\uf0f2
 
b) 
1
1
1
x
1
1
x eeedxe \uf02d
\uf02d
\uf02d
\uf02d\uf03d\uf03d\uf0f2
 
 6 
c)
0
2
x2sen
xdx2cos
00
\uf03d\uf03d\uf0f2
\uf070
\uf070 
 
Observação: Devemos ter cuidado com os limites de integração quando a técnica de 
integração envolvida é substituição. 
Se y = f(x) é contínua em [a,b] e x = g(t) é derivável e inversível em [\uf061,\uf062], sendo g(\uf061) = a 
e g(\uf062) = b, então 
\uf0f2 \uf0a2\uf03d\uf0f2
\u3b2
\u3b1
b
a
dt)t(g))t(g(fdx)x(f
 
Exemplo: 
\uf028 \uf029 xdx21x
1
0
32
\uf0f2 \uf02b
 
x
2
 + 1 = t \uf0de 2xdx = dt 
x = 0 \uf0de t = 1 
x = 1 \uf0de t = 2 
 
Temos assim que 
\uf028 \uf029 dxx21x
1
0
32
\uf0f2 \uf02b
= 
4
15
4
1
4
4
t
dtt
2
1
42
1
3 \uf03d\uf02d\uf03d\uf03d\uf0f2
 
 
Cálculo de Área 
Algumas observações sobre a integral definida e a área: 
1) A Integral definida de uma função y = f(x) é um número real, e nem sempre representa