Mecanismos_05
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Mecanismos_05


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do dente do pinhão, aumentada em sua circunferência primitiva de corte, pode ser 
determinada a partir do vão do dente da cremalheira em sua linha primitiva de corte. Da Fig. 5.2b, 
esta espessura pode ser expressa pela seguinte equação: 
 2/2 tptgxms += \u3b1 (5.1) 
A Eq. 5.1 pode então ser usada para calcular a espessura do dente na circunferência primitiva 
de referência ou de corte de uma engrenagem gerada por uma ferramenta afastada de uma distância 
xm: xm será negativa se a ferramenta avançar sobre o disco da engrenagem. 
Esta equação pode também ser usada para determinar quanto uma ferramenta deve avançar em 
um disco de engrenagem para resultar um jogo primitivo especificado. 
Na Fig. 5.2 a cremalheira foi afastada de uma distância suficiente para que a linha de cabeça 
passasse pelo ponto da interferência do pinhão. É possível desenvolver uma equação tal que a 
correção xm possa ser determinada para satisfazer esta condição. 
OPOAABxm \u2212+= 
rr
p
k
b \u2212+= \u3b1cos 
 
Então, 
 )cos1( 2\u3b1\u2212\u2212= r
p
kxm 
 \uf8f7\uf8f8
\uf8f6\uf8ec\uf8ed
\uf8eb \u2212= \u3b12
2
1 senzk
p
 (5.2) 
Há duas equações que foram desenvolvidas na seção 4.2 (Capítulo 4) que encontram aplicação 
particular no estudo de engrenagens não normalizadas. 
 A
B
A
B r
r \u3b1\u3b1 coscos = (5.3) 
 \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2212+= BA
A
A
BB EvEvr
srs \u3b1\u3b1
2
2 (5.4) 
Através destas equações é possível determinar o ângulo de incidência frontal e a espessura de 
dente em qualquer raio rB se ambos são conhecidos em outro raio rA. Para engrenagens não 
normalizadas, a espessura de referência que corresponde à espessura sA na Eq. 5.4 é a espessura 
de dente na circunferência primitiva de corte, que pode ser calculada para qualquer afastamento da 
ferramenta pela Eq. 5.1. O ângulo de incidência frontal de referência que corresponde a \u3b1A é o 
ângulo de pressão da ferramenta. O raio neste ângulo de pressão é o raio da circunferência primitiva 
de corte. 
Quando duas engrenagens, engrenagem 1 e engrenagem 2, que foram usinadas com correções 
xm1 e xm2 respectivamente, forem montadas, operarão em novas circunferências primitivas de raios 
r\u20191 e r\u20192; e com um novo ângulo de pressão \u3b1'. As espessuras dos dentes nas circunferências 
primitivas de funcionamento podem ser expressas como s\u20191 e s\u20192 e podem ser facilmente calculadas 
com a Eq. 5.4. Estas dimensões são mostradas na Fig. 5.3 juntamente com a espessura dos dentes 
s1 e s2 nas circunferências primitivas de raios r1 e r2. 
Agora será desenvolvida uma equação para determinar o ângulo de pressão \u3b1 em que estas 
duas engrenagens operarão. 
 
2
1
2
1
1
2
'
'
r
r
z
z ==\u3c9
\u3c9
 (5.5) 
e 
 
2
2
1
1
21
'2'2''
z
r
z
rss \u3c0\u3c0 ==+ (5.6) 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
114 
 
Figura 5.3 
Substituindo s\u20191 e s\u20192 pela Eq. 5.4, 
( ) ( )
1
1
2
2
2
1
1
1
'2
'
2
'2'
2
'2
z
rEvEv
r
srEvEv
r
sr \u3c0\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 =\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2212\u2212\u2212\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2212+= 
Dividindo por 2r\u20192, 
( ) ( )
12
2
1
2
1
1 '
2'
'
'
2 z
EvEv
r
s
r
rEvEv
r
s \u3c0\u3b1\u3b1\u3b1\u3b1 =\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2212++\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2212+ 
( )\u3b1\u3b1\u3c0 EvEv
r
r
zr
s
r
r
r
s \u2212\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb ++=+ '
'
'
1
2'
'
2 1
2
12
2
1
2
1
1 
Usando a Eq. 5.5 e fazendo 2r = z/p, 
( )\u3b1\u3b1\u3c0 EvEv
z
zz
zz
ps
z
z
z
ps \u2212++=+ '
1
21
12
2
1
2
1
1 
Multiplicando por 
( )\u3b1\u3b1\u3c0 EvEv
p
zz
p
ss \u2212++=+ '2121 
Usando a equação 5.1 para s1 e s2, 
( )\u3b1\u3b1\u3c0\u3b1\u3b1 EvEv
p
zz
p
ptgxmptgxm tt \u2212++=+++ '
2
2
2
2 2121 
( ) ( )\u3b1\u3b1\u3c0\u3b1 EvEv
p
zz
p
pxmxmtg t \u2212++=++ '2 2121 
Substituindo pt = \u3c0/p e resolvendo para Ev \u3b1'. 
 
( )
21
212'
zz
tgxmxmpEvEv +
++= \u3b1\u3b1\u3b1 (5.7) 
ou 
 
( ) ( )
\u3b1
\u3b1\u3b1
tgp
EvEvzzxmxm
2
'21
21
\u2212+=+ (5.7a) 
MECANISMOS CAPÍTULO 5 
115 
Usando a Eq. 5.7 é possível determinar o ângulo de pressão \u3b1\u2019 em que as duas engrenagens 
operarão depois de terem sido cortadas por uma fresa afastada de xm1 e xm2, respectivamente. Para 
calcular o acréscimo na distância entre eixos (sobre a distância de referência a) devido ao ângulo de 
pressão aumentado, a Eq. 4.15 pode ser usada e é repetida aqui: 
 \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee \u2212=\u2206 1
'cos
cos
\u3b1
\u3b1aa (5.8) 
Freqüentemente é necessário projetar engrenagens para serem montadas com uma distância 
entre eixos predeterminada. Neste caso, o ângulo de pressão é fixado pelas condições do problema 
e é necessário determinar as correções xm1 e xm2 da ferramenta. A soma (xm1 + xm2) pode ser 
determinada pela Eq. 5.7a. Entretanto, deve ser observado que a soma de xm1 e xm2 não é igual ao 
acréscimo na distância entre eixos em relação à distância entre eixos de referência. Infelizmente não 
há maneira de determinar racionalmente xm1 e xm2 independentemente. Por isto, os valores são 
usualmente selecionados supondo um deles através de alguma relação empírica tal como variá-los 
inversamente (ou diretamente se xm1 + xm2 é negativo) com o número de dentes nas engrenagens, 
em uma tentativa de reforçar os dentes do pinhão. Entretanto, este método de selecionar xm1 e xm2 
geralmente não leva os dentes do pinhão e engrenagem a terem resistências próximas. Em uma 
tentativa para corrigir esta situação, Walsh e Mabie desenvolveram um método para determinar a 
correção xm1 da ferramenta a partir do valor de xm1 + xm2 para um par de engrenagens de dentes 
retos projetado para operar a uma distância entre eixos diferente da de referência. Usando um 
computador digital, foi possível ajustar xm1 e xm2 para várias relações de velocidades e variações na 
distância entre eixos de modo que a tensão nos dentes do pinhão fosse aproximadamente igual a 
nos dentes da engrenagem. 
Devido à complexidade do problema, os resultados tiveram que ser apresentados em forma de 
gráficos. Estes mostram curvas de xm1/(xm1 + xm2) versus z2/(z1 + z2) para várias alterações na 
distância entre eixos. Estes gráficos foram desenvolvidos para um ângulo de pressão da ferramenta 
\u3b1 de 20°, dentes normais (k = 1) e passo frontal grande. Embora as curvas tenham sido plotadas 
para dados baseados em um diametral pitch igual a um, elas podem ser usadas para qualquer 
diametral pitch até 19,99 (limite do passo frontal grande). As curvas foram também plotadas para z1 = 
18 e z2 de 18 a 130 dentes. Quando z1 toma outros valores, introduz-se um erro muito pequeno 
(menos de 4%). Um exemplo está apresentado na Fig. 5.4 para alterações na distância entre eixos 
de AC = 1,175 a 1,275 pol, para p = 1. 
 
Figura 5.4 
MECANISMOS
Maria
Maria fez um comentário
olá você teria o capitulo oito? Estou precisando mt
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