Mecanismos_07

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MECANISMOS CAPÍTULO 7 
154 
7. TRENS DE ENGRENAGENS 
 
7.1. Introdução a Trens de Engrenagens. Muitas vezes é necessário combinar diversas 
engrenagens e assim obter o que é conhecido como um trem de engrenagens. Dada a velocidade 
angular de entrada, é importante saber determinar facilmente a velocidade angular de saída e seu 
sentido de rotação. A relação entre as velocidades angulares de entrada e saída é conhecida como 
relação de velocidades angulares e é expressa como ωe/ωs. 
A Fig. 7.1 mostra um pinhão comandando uma engrenagem cilíndrica externa de dentes retos e 
uma interna. Em ambos os casos, a relação de velocidades angulares é inversamente proporcional ao 
número de dentes como indicado. As engrenagens externas giram em sentidos opostos e a interna no 
mesmo sentido de seu pinhão. Isto é indicado por um sinal menos na relação de velocidades do primeiro 
caso, e por um sinal mais no segundo. Até aqui não foi necessário apor um sinal algébrico à relação de 
velocidades de um par de engrenagens. Entretanto, quando se combinam engrenagens para formarem 
um trem de engrenagens, é importante considerar o sinal porque ele indica o sentido de rotação. Isto é 
especialmente verdadeiro na análise de trens de engrenagens planetárias. 
Ocasionalmente é necessário mudar o sentido de rotação de uma engrenagem sem variar sua 
velocidade angular. Isto pode ser feito colocando uma engrenagem intermediária entre a motora e a 
movida. Quando se usa uma engrenagem intermediária, muda-se o sentido de rotação, mas a relação 
de velocidades permanece a mesma. 
 
Figura 7.1 
Pode-se mostrar que a relação de velocidades angulares de um trem de engrenagens, onde todas 
engrenagens têm eixos fixos de rotação, é o produto dos números de dentes de todas as engrenagens 
movidas dividido pelo produto dos números de dentes das motoras. Esta relação é dada sob forma de 
equação por 
 
motorasdasdentesdenúmerosdosoduto
movidasdasdentesdenúmerosdosoduto
movida
motora
s
e
Pr
Pr== ω
ω
ω
ω
 (7.1) 
Para ilustrar o uso da Eq. 7.1, considere o trem de engrenagens da Fig. 7.2 onde as engrenagens 2 
e 3 são montadas no mesmo eixo. A relação de velocidades é dada por 
31
42
4
1
zz
zz
s
e
×
×+== ω
ω
ω
ω
 
O sinal positivo é determinado por observação. Pode-se mostrar facilmente que a equação anterior é 
correta 
1
2
2
1
z
z−=ω
ω
 e 
3
4
4
3
z
z−=ω
ω
 
3
4
1
2
4
3
2
1
z
z
z
z ×+=× ω
ω
ω
ω
 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
155 
 
Figura 7.2 
mas 
32 ωω = 
logo 
3
4
1
2
4
1
z
z
z
z ×+=ω
ω
 
Quando duas engrenagens estão fixas no mesmo eixo, como as engrenagens 2 e 3 na Fig. 7.2, 
formam uma engrenagem composta. 
 
Figura 7.3 Redutor triplo de velocidade. 
Embora a relação de velocidades angulares seja usada para cálculos envolvendo um par de 
engrenagens, é mais conveniente, com um trem de engrenagens, usar o inverso desta relação. A razão 
é que a velocidade angular da motora é obtida da velocidade do motor e só é necessário multiplicá-la 
por um fator para encontrar a velocidade da última engrenagem do trem. Este inverso é conhecido como 
o valor do trem e é dado por 
 
movidassdasdentesdenúmerosdosoduto
motorasdasdentesdenúmerosdosoduto
motora
movida
Pr
Pr=ω
ω
 (7.2) 
Em geral, as velocidades diminuem de modo que este valor será menor do que 1,00. Um trem de 
engrenagens típico está ilustrado no redutor de velocidades triplo da Fig. 7.3. 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
156 
7.2. Trens de Engrenagens Planetários. A fim de obter uma relação de engrenagens desejada, é 
freqüentemente vantajoso projetar um trem de engrenagens tal que uma das engrenagens tenha 
movimento planetário. Com este movimento, uma engrenagem não só gira em torno de seu centro, 
como este gira em torno de um outro. 
As Figuras 7.4a e b mostram dois trens planetários onde a engrenagem 1 é, às vezes, chamada de 
solar e a engrenagem 2 de planetária. Na Fig. 7.4a o braço 3 impele a engrenagem 2 em torno da 
engrenagem 1, que é uma engrenagem externa fixa. Como pode ser observado, a engrenagem 2 gira 
em torno de seu centro B, enquanto este centro gira em torno do centro A. Como a engrenagem 2 rola 
no exterior da engrenagem 1, um ponto de sua superfície gerará uma epiciclóide. A Fig. 4.7b mostra o 
caso em que a engrenagem 1 é uma engrenagem interna. Neste caso, um ponto na superfície da 
engrenagem 2 gerará uma hipociclóide. Devido às curvas geradas, o trem de engrenagens planetárias 
é, às vezes, chamado de trem de engrenagens epicicloidais. 
 
Figura 7.4 
É mais difícil determinar a relação de velocidades angulares de um trem planetário do que a de um 
trem comum devido à rotação dupla da planetária. A relação de velocidades angulares pode ser obtida 
pelo método do centro instantâneo, pelo método de fórmula ou pelo método de tabulação. O método do 
centro instantâneo será reservado para o Capítulo 10 e os outros dois apresentados a seguir. O método 
de fórmula será tratado em primeiro lugar. 
Na Fig. 7.4 pede-se determinar ω21, sendo conhecido ω31. Deve-se notar que ω21 é definida como a 
velocidade angular da engrenagem 2 relativa à engrenagem 1 e ω31 como a velocidade angular do braço 
3 relativa à engrenagem 1. 
Como a engrenagem 1 é fixa, isto é o mesmo que as velocidades angulares da engrenagem 2 e do 
braço 3 relativas ao referencial fixo. Na solução do problema, ω23/ω31 desempenha um papel importante. 
Consideremos que o trem de engrenagens da Fig. 7.4a seja modificado de modo que o braço 3 
fique estacionário em lugar da engrenagem 1. O braço 3 torna-se então o referencial fixo e resulta um 
trem de engrenagens comum. A relação ω23/ω13 pode ser então avaliada como - z1/z2. Se agora o 
mecanismo reverte à sua condição original, isto é, o braço 3 móvel e a engrenagem 1 fixa, a relação 
ω23/ω13 ainda será - z1/z2, porque quando um mecanismo é invertido, o movimento relativo entre as 
peças não é alterado. Pode-se agora obter uma solução para ω21 em termos das quantidades 
conhecidas ω31 e ω23/ω13 escrevendo-se uma equação para ω21 e dividindo por ω31, como segue: 
233121 ωωω += 
13
23
31
23
31
21 11 ω
ω
ω
ω
ω
ω −=+= 
Então, 
 


 −=
13
23
3121 1 ω
ωωω (7.3) 
Para a Fig. 7.4a 
2
1
13
23
z
z−=ω
ω
 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
157 
e 
 


 +=
2
1
3121 1 z
zωω (7.3a) 
Para a Fig. 7.4b 
2
1
13
23
z
z+=ω
ω
 
e 
 


 −=
2
1
3121 1 z
zωω (7.3b) 
 Da comparaçãodas Equações 7.3a e b observa-se porque é importante que o sinal algébrico 
correto de ω23/ω13 seja substituído na equação 7.3. 
Consideremos a seguir o caso em que todas as engrenagens, bem como o braço, giram. Isto está 
ilustrado na Fig. 7.5, onde ω31 e ω41 são conhecidas e pede-se determinar ω21. Ao resolver este 
problema ω24/ω34 é a relação-chave porque é a relação de velocidades das engrenagens referidas ao 
braço e pode ser calculada facilmente. Pode-se escrever equações para ω24 e ω34 e combiná-las de 
modo que a relação ω24/ω34 apareça. Isto está ilustrado a seguir. 
412124 ωωω −= 
413134 ωωω −= 
Dividindo a primeira equação pela segunda, 
4113
4121
34
24
ωω
ωω
ω
ω
−
−= 
( ) 41214131
34
24 ωωωωω
ω −=− 



 −+


=
34
24
4131
34
24
21 1 ω
ωωωω
ωω 
Mas, 
2
3
34
24
z
z=ω
ω
 
então, 
 


 ++


−=
2
3
4131
2
3
21 1 z
z
z
z ωωω (7.4) 
Na dedução das Equações 7.3 e 7.4, viu-se que, em cada caso a relação de velocidades angulares 
relativas ao braço foi obtida em primeiro lugar e depois foram escritas e combinadas as equações de 
velocidades relativas para conterem esta relação. Embora este método seja básico, significa que deve 
ser desenvolvida uma nova equação para cada sistema planetário encontrado. A fim de evitar repetição, 
é possível a dedução de uma equação geral que possa ser aplicada a qualquer trem de engrenagens 
planetárias. 
 
Figura 7.5 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
158 
Consideremos novamente a Fig. 7.5 e as equações 
412124 ωωω −= 
413134 ωωω −= 
e 
4113
4121
34
24
ωω
ωω
ω
ω
−
−= 
Se na Fig. 7.5 a engrenagem 3 for considerada a primeira e a engrenagem 2 a última engrenagem, 
a equação anterior pode ser escrita como 
 
BP
BU
PB
UB
ωω
ωω
ω
ω
−
−= (7.5) 
onde 
 
=
PB
UB
ω
ω
 relação de velocidades entre a última e a primeira engrenagens, ambas ao braço. 
ωU = velocidade angular da última engrenagem do trem, relativa à peça fixa. 
ωB = velocidade angular do braço relativa à peça fixa. 
ωP = velocidade angular da primeira engrenagem relativa à peça fixa. 
Ao se utilizar a Eq. 7.5, deve-se enfatizar que a primeira engrenagem e a última devem ser 
engrenagens que se acoplem com engrenagem ou engrenagens que tenham movimento planetário. 
Além disso, devem estar em eixos paralelos porque as velocidades angulares não podem ser tratadas 
algebricamente, a menos que os vetores que as representem sejam paralelos. 
Agora a Eq. 7.5 será usada para escrever a equação do trem de engrenagens da Fig. 7.4a. 
Considerando a engrenagem 1 como a primeira e a engrenagem 2 como a última: 
BP
BU
PB
UB
ωω
ωω
ω
ω
−
−= 
2
1
13
23
z
z
PB
UB −== ω
ω
ω
ω
 
21ωω =U 
31ωω =B 
01 == ωωP 
Substituindo estes valores 
31
3121
2
1
0 ω
ωω
−
−=−
z
z
 
31
2
1
3121 ωωω 


=−
z
z
 
e 



 +=
2
1
3121 1 z
zωω 
o que concorda com a Eq. 7.3a. A aplicação da Eq. 7.5 a um trem mais complicado é feita no exemplo 
seguinte. 
 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
159 
Exemplo 7.1 
Se o braço 6 e a engrenagem 5 da Fig. 7.6 girasse no sentido horário (visto do lado direito) a 150 e 
50 rad/min, respectivamente, determine ω21 em intensidade e sentido. Use a Eq. 7.5 e considere a 
engrenagem 5 como a primeira e a 2 como a última. 
BP
BU
PB
UB
ωω
ωω
ω
ω
−
−= 
6151
6121
56
26
ωω
ωω
ω
ω
−
−= 
21
25
1828
3020
24
35
56
26 =×
×=×
×=
zz
zz
ω
ω
 
Então 
15050
150
21
25 21
−
−= ω 
( )150100
21
25
21 +−=ω 
= 30,9 rad/min 
 
Figura 7.6 
Como o sinal de ω21 é o mesmo que o de ω51 e ω61, ω21 tem o mesmo sentido, isto é, sentido horário 
visto pela extremidade direita. 
Ocasionalmente torna-se necessário analisar um trem planetário que não pode ser resolvido por 
uma simples aplicação da Eq. 7.5 como foi feito no exemplo 7.1. Por exemplo, se uma engrenagem 
interna fixa 7 é acrescentada ao trem da Fig. 7.6 e se acopla com a engrenagem 4 como mostra a Fig. 
7.7 e pede-se calcular ω51 dado ω21, é necessário usar a Eq. 7.5 duas vezes para solucionar o problema. 
A primeira aplicação considera as engrenagens 2, 3, 4, 5 e o braço 6 e a segunda as engrenagens 2, 3, 
4, 7 e o braço 6. Isto será ilustrado no exemplo seguinte. 
 
Figura 7.7 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
160 
Exemplo 7.2 
 Se ω21 gira no sentido anti-horário (visto da extremidade direta) a 60 rad/min, determine ω51 e seu 
sentido de rotação. 
 Considerando primeiramente as engrenagens 2, 3, 4, 5 e o braço 6, seja a engrenagem 2 a primeira 
e a 5 a última. 
BP
BU
PB
UB
ωω
ωω
ω
ω
−
−= 
6121
6151
26
56
ωω
ωω
ω
ω
−
−= 
25
21
2030
2818
53
42
26
56 =×
×=×
×=
zz
zz
ω
ω
 
Então, 
 
61
6151
6121
6151
6025
21
ω
ωω
ωω
ωω
−
−=−
−= (a) 
Entretanto, a Eq. (a) não pode ser resolvida porque contém duas incógnitas, ω51 e ω61. É necessário 
considerar agora as engrenagens 2, 3, 4, 7 e o braço 6, sendo a engrenagem 2 a primeira e a 7 a última. 
6121
6171
26
76
ωω
ωω
ω
ω
−
−= 
95
21
7630
2818
73
42
26
76 −=×
×−=×
×−=
zz
zz
ω
ω
 
 
61
61
6121
6171
60
0
95
21
ω
ω
ωω
ωω
−
−=−
−=− (b) 
Resolvendo a Eq. (b) para ω61 
( ) 6161 06095
21 ωω −=−− 
86,10
29
1521
61 +=×=ω rad/min 
Da Eq. (a) 
( ) 6151616025
21 ωωω −=− 
( ) 86,1086,1060
25
21
51 −=− ω 
Então, ω51 = + 52,14 rad/min e o sentido de rotação é o mesmo de ω21. 
Exemplo 7.3 
Considere que no diferencial mostrado na Fig. 7.8, a velocidade angular do eixo A é 350 rad/min no 
sentido indicado e que a do eixo B é 2000 rad/min. Determine a velocidade angular do eixo C. 
Use a Eq. 7.5 e lembre-se que a primeira e a última engrenagens selecionadas para a equação 
devem acoplar-se com as engrenagens que têm movimento planetário. Sendo a engrenagem 4 a 
primeira e a 7 a última: 
BP
BU
PB
UB
ωω
ωω
ω
ω
−
−= 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
161 
8141
8171
48
78
ωω
ωω
ω
ω
−
−= 
8
5
1864
2430
75
64
48
78 −=×
×−=×
×−=
zz
zz
ω
ω
 
Também 
40
202000
3
2
3141 ×=×== z
z
Bωωω 
= 1000 rad/min, mesmo sentido de ωB 
e 
ω81 = ωA = 350 rad/min 
 
Figura 7.8 
Fazendo as substituições, 
3501000
350
8
5 71
−
−=− ω 
( ) 350650
8
571 +−=ω 
= - 406,3 + 350 
= - 56,3 rad/min, sentido oposto a ω4 
O método da tabulação é outra maneira conveniente de resolver problemas de engrenagens 
planetárias. Para ilustrar sua utilização, considere o trem de engrenagens da Fig. 4.7a e o seguinte 
procedimento: 
1. Desconecte a engrenagem 1 do referencial fixo e prenda-a ao braço 3, juntamente com a 
engrenagem 2. Agora não pode haver movimento relativo entre as peças 1, 2 e 3. 
2. Gire o braço 3 (e as engrenagens 1 e 2) de uma revolução positiva em torno do centro A. 
3. Libere as engrenagens do braço 3. Mantendo o braço 3 fixo, gire a engrenagem 1 de uma 
revolução negativa. Então a engrenagem 2 gira + z1/z2 revoluções. 
Os resultados dos passos 2 e 3 entram na Tabela 7.1 junto com o número total de revoluções feitas 
por cada peça do trem em relação ao referencial fixo. Pode-se ver na linha "total" da Tabela 7.1 que, 
com a engrenagem 1 estacionária, a engrenagem 2 gira (1 + z1/z2) revoluções para uma revolução do 
braço 3. Isto concorda com a Eq. 7.3a. 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
162 
Tabela 7.1 
 Engrenagem 1 Engrenagem 2 Braço 3 
Movimento com o braço em relação à peça fixa (item 2) + 1 + 1 + 1 
Movimento em relação ao braço (item 3) - 1 
2
1
z
z+ 0 
Movimento total em relação à peça fixa 0 
2
11
z
z+ + 1 
 
Serão dados dois exemplos para ilustrar o uso do método tabular. 
Exemplo 7.4 
Considere que o braço 4 da Fig. 7.9 gira no sentido anti-horário a 50 rad/min. Determine ω21 em 
intensidade e sentido. Ver Tabela 7.2 
1
1 21
41
21 zz+=ω
ω
 


 +=


 +=
40
801501
2
1
4121 z
zωω 
= 150 rad/min (SAH) 
Uma vantagem notória do método tabular é o fato de poder-se obter mais de uma relação a partir de 
uma solução. No exemplo 7.4, se fosse necessário, o valor de ω31 poderia ser facilmente obtido dos 
dados da tabela. 
Tabela 7.2 
 Engrenagem 1 Engrenagem 2 Engrenagem 3 Braço 4 
Movimento com o braço em relação à peça fixa + 1 + 1 + 1 + 1 
Movimento em relação ao braço - 1 
2
1
z
z+ 
3
1
z
z− 0 
Movimento total em relação à peça fixa 0 
2
11
z
z+ 
2
11
z
z+ + 1 
 
Figura 7.9 
 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
163 
Exemplo 7.5 
O exemplo 7.1 e a Fig. 7.6 serão agora resolvidos pelo método tabular. Como todas as engrenagens 
deste trem giram, é mais fácil trabalhar com as velocidades reais da engrenagem 5 e do braço 6, em 
lugar de uma revolução como no exemplo 7.4. Como o braço 6 gira a 150 rad/min, este deve ser o 
número de giros ao qual o trem inteiro é sujeito quando bloqueado para a linha 1 da Tabela 7.3 (por 
causa do zero para o braço 6 na linha 2). Com + 150 para a engrenagem 5 na linha 1, deve-se inserir - 
100 na linha 2 para a engrenagem 5, a fim de ser obtido o total correto de + 50. Com o braço 6 
estacionário, na linha 2, e a engrenagem 5 girando uma quantidade conhecida, pode-se facilmente 
determinar, para esta linha, a rotação das engrenagens 2, 3 e 4. 



×
×−=×
×−=
1828
3020100150100150
24
35
21 zz
zzω 
21
25100150 ×−= 
= + 30,9 rad/min (SH) 
O exemplo 7.3 também pode ser facilmente resolvido usando-se o método de tabulação. 
Tabela 7.3 
 Engrenagem 2 Engrenagem 3 Engrenagem 4 Engrenagem 5 Braço 6 
Movimento com o braço em 
relação à peça fixa 
+ 150 + 150 + 150 + 150 + 150 
Movimento em relação ao braço 
24
35100
zz
zz
×
×− 
4
5100
z
z+ 
4
5100
z
z+ -100 0 
Movimento total em relação à 
peça fixa 24
35100150
zz
zz
×
×− + 50 + 150 
7.3. Aplicações de Trens Planetários. Os trens planetários encontram muitas aplicações em 
máquinas operatrizes, guinchos, caixas de redução para hélices de aeronaves, diferenciais de 
automóveis, transmissões automáticas, servo mecanismos para aeronaves e muitas outras. A Fig. 7.10 
mostra um desenho esquemático de um trem planetário usado como redutor entre o motor e a hélice em 
um conjunto motor de aeronave. A Fig. 7.11 mostra a fotografia de um conjunto real. As caixas redu-
toras, usadas antigamente em aeronaves, trabalhavam com engrenagens cônicas de dentes retos no 
trem planetário. Entretanto, foram substituídas por engrenagens cilíndricas de dentes retos porque, com 
estas, podem transmitir mais potência em um dado espaço físico. 
 
Figura 7.10 
Na Figura 7.10, o motor aciona a engrenagem interna 3. A engrenagem 2 acopla-se com a 
engrenagem fica 1 e com a engrenagem 3, de forma que ela tem movimento planetário. O braço 4, ou 
suporte dos planetários, que é conectado à engrenagem 2, aciona a hélice com uma velocidade inferior 
a do motor. Pode-se determinar com facilidade uma equação para a relação das velocidades do motor 
ω31 e da hélice ω41, a partir da Eq. 7.5: 
14
34
41
31 1 ω
ω
ω
ω −= 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
164 
onde 
3
1
14
34
z
z−=ω
ω
 
Então, 
2
1
41
31 1
z
z+=ω
ω
 
É interessante observar que seria impossível obter uma relação de velocidades tão alta quanto 2:1, 
porque isto significaria que a engrenagem 1 teria que ter o mesmo número de dentes da engrenagem 3, 
o que seria impossível. Ao se determinar a relação de velocidades limite para um dado redutor, deve-se 
observar que todas as engrenagens tem que ter o mesmo diametral pitch. 
Um trem de engrenagens planetárias usado como diferencial de automóvel é mostrado na Figura 7.12. 
A figura 7.13 mostra uma vista do diferencial com a carcaça aberta. Esse mecanismo possibilita a um 
automóvel fazer curvas sem que as rodas traseiras deslizem. Na Figura 7.12, a engrenagem 2 é acionada 
pelo motor através da embreagem, transmissão e árvore de transmissão. A engrenagem 2 aciona a 
engrenagem 3, que é solidária ao suporte 7 das planetárias. Se o veículo move-se para a frente em linha 
reta, as engrenagens 4, 5 e 6 giram como um conjunto solidário ao suporte 7 e não há movimento relativo 
entre eles. As engrenagens 3 e 6 acionam os eixos. Quando o veículo faz uma curva, as engrenagens 5 e 
6 não giram mais com a mesma velocidade e as engrenagens 4 têm que girar em torno de seu eixo além 
de girarem com o suporte. É interessante observar que se uma das rodas for mantida estacionária e 
deixada a outra livre para girar, esta girará com velocidade igual ao dobro da do suporte. Esta 
característica é uma desvantagem quando o veículo está atolado na neve ou na lama. 
 
Figura 7.11 Trem planetário usado como redutor entre o motor e a hélice de um avião. 
 
Figura 7.12 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
165 
 
Figura 7.13 Diferencial de automóvel. 
Há muitos projetos de trens planetários e uma larga faixa de relações possíveis. As aplicações 
mencionadas são somente duas de uma grande variedade. Em muitas circunstâncias se verificará que é 
possível obter uma maior relação de redução com uma caixa menor, usando trens planetários em lugar 
de trens comuns de engrenagens. 
7.4. Montagem de Trens Planetários. Quando se projeta um trem planetário, deve-se considerar 
o problema de montá-lo com as planetárias igualmente espaçadas. Com o trem ilustrado na Fig. 7.14 é 
possível que, paraum dado número de dentes nas engrenagens 1, 2 e 3, não se possa ter três 
engrenagens planetárias igualmente espaçadas. 
 
Figura 7.14 
A fim de determinar o número de planetárias que podem ser usadas para um dado número de 
dentes nas engrenagens 1, 2 e 3, é necessário determinar o ângulo AOB na Fig. 7.15a, resultante da 
engrenagem 3 ter sido girada de um ângulo correspondente a um número inteiro de dentes, isto é, o 
passo angular, com a engrenagem 1 estacionária. O caso deve também ser investigado quando a 
engrenagem 3 é estacionaria e a engrenagem 1 girou de um ângulo correspondente ao passo angular. 
Isso resulta no ângulo AOB’, como mostra a Figura 7.15b. O método abaixo foi desenvolvido pelo 
professor G. B. Du Bois, da Cornell University. 
Considere os números de dentes nas engrenagens 1, 2 e 3 como sendo z1, z2 e z3. Se θ31 é igual ao 
movimento angular e engrenagem 3 depois de ter girado o ângulo correspondente a um dente (passo 
angular), com relação a engrenagem 1, então 
3
31
1
z
=θ revoluções 
O movimento angular do braço 4 com relação a engrenagem 1 quando a engrenagem 3 girou de um 
ângulo correspondente a um dente é dado por 
31
41
3141 ω
ωθθ ×= revoluções 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
166 
 
Figura 7.15 
Da análise de velocidades do trem planetário da Fig. 7.10, que é idêntico ao que está sob 
consideração, 
13
3
31
41
zz
z
+=ω
ω
 
Então 
1313
3
3
41
11
zzzz
z
z +=+×=θ revoluções 
O ângulo AOB é descrito pelo braço 4 quando a engrenagem 3 se move relativamente a 
engrenagem 1. Se a engrenagem 3 gira o correspondente ao passo angular, o ângulo AOB é igual a θ41. 
Esse é o menor ângulo possível entre engrenagens planetárias se lhes for permitida superposição. Se a 
engrenagem 3 gira o correspondente a um número inteiro de dentes c, então 
( )
13
41 zz
ccAOB +== θ revoluções 
e representa o ângulo entre planetários com possível superposição. 
Consideremos a seguir o caso da Fig. 7.15b, onde a engrenagem 1 girou o correspondente ao 
passo angular com a engrenagem 3 estacionária, e pede-se determinar o ângulo AOB'. Se θ13 é igual ao 
movimento angular da engrenagem 1 após ter girado um passo angular e θ43 é igual ao movimento 
resultante do braço 4 (ambos relativos a engrenagem 3), então 
1
13
1
z
=θ 
13
43
1343 ω
ωθθ ×= 
Mas pode-se deduzir facilmente que 
31
1
13
43
zz
z
+=ω
ω
 
Portanto, 
3131
1
1
43
11
zzzz
z
z +=+×=θ 
 ( )
31
43' zz
ccAOB +== θ (7.7) 
Comparando as Equações 7.5 e 7.7 pode-se observar que o braço 4 gira do mesmo ângulo, 
indiferentemente se é a engrenagem 3 ou 1 que gira ou um mais passos angulares. 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
167 
Se o ângulo AOB é a fração de uma revolução entre planetárias, seu inverso será o número de 
planetárias. Tomando o inverso da Eq. 7.6, é possível obter uma expressão para o número de 
planetárias igualmente espaçadas em torno da engrenagem 1. Se n apresenta o número de planetárias, 
então: 
 
c
zzn 13 += (7.8) 
Estas planetárias podem ou não se superpor, dependendo do valor de c. Agora é necessário 
determinar o número máximo de planetárias nmax que pode ser utilizado sem superposição. Na Fig. 7.16, 
os raios de cabeça ra2 das duas engrenagens planetárias aparecem quase se tocando no ponto c. Da 
figura, 
AOCAOB
n °=°= 180360max 
OA
ACsenAOC 1−= 
 
Figura 7.16 
onde 
2arAC > 
e 
21 rrOA += 
p
k
p
zhrr aa +=+= 2
2
22 (k = 1 para dentes normais) 
ou 
p
zra 2
22
2
+= 
e 
p
zzrr
2
21
21
+=+ 
Então, para dentes normais padronizados 
( )( )2121max 2
180
zzzsen
n ++
°< − (7.9) 
Da geometria da Fig. 7.6 
211 2rrz += 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
168 
Como r = z/2p, para uma engrenagem padronizada, e como os passos diametrais das engrenagens 
1, 2 e 3 são iguais 
213 2zzz += 
Para engrenagens não padronizadas, a Eq. 7.9 pode ser usada para dar um valor aproximado de 
nmax. Neste caso o valor fracionário de z2 resultante do emprego da equação padronizada 
2
13
3
zz
z
−= 
seria substituído na Eq. 7.9. Como conferência final, deve-se fazer um esboço do conjunto. 
 
Exemplo 7.6 
Em um trem planetário semelhante ao da Fig. 7.14, a engrenagem 1 tem 50 e a 3 tem 90 dentes. 
Determine o número de planetárias igualmente espaçadas que pode ser usado sem superposição. As 
engrenagens são padronizadas. 
20
2
5090
2
13
2 =−=−= zzz 
( ) ( ) ( ) ( )2050/220
180
/2
180
1
212
1max ++
°=++
°= −− senzzzsenn = 9,8 planetárias 
Portanto, o número de planetárias no trem de engrenagens não pode exceder 9. 
ccc
zz
n 140509013 =+=+= 
O valor de c deve ser o número de passos angulares entre planetárias tal que, quando dividindo 140 
dê um número inteiro 11. Para este caso c pode ser 140, 70, 35, 28 ou 20. Portanto, 
n = 1, 2, 4, 5 ou 7 planetárias igualmente espaçadas. 
Problemas 
7.1. Na Fig. 7.17, a engrenagem 1 gira no sentido indicado a 240 rpm. Determine a velocidade do 
pinhão 9 (rpm) e a velocidade (m/min) da cremalheira 10, indicando o sentido. 
 
Figura 7.17 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
169 
7.2. Um guincho é operado por um motor que aciona um parafuso sem-fim de 4 entradas que se 
engrena com uma coroa de 100 dentes. A coroa é enchavetada em um eixo que também tem um pinhão 
cilíndrico de dentes retos com 20 dentes. O pinhão se acopla com uma engrenagem cilíndrica de dentes 
retos montada na extremidade do tambor do guincho. Faça um esboço do conjunto e calcule a 
velocidade do tambor no caso do motor girar a 660 rpm e o tambor ter um diâmetro de 12 pol. 
7.3. Dois rolos A e B, para cortar chapas de metal, são acionados através do trem de engrenagens 
da Fig. 7.18. Os rolos devem operar nos sentidos mostrados em uma velocidade periférica de 45 
pol/seg. (a) Determine a relação de velocidades angulares ω2/ω3 a fim de acionar os rolos na velocidade 
requerida. A engrenagem 1 gira a 1800 rpm. (b) Determine o sentido de rotação da engrenagem 1 e o 
sentido da hélice do sem-fim 6 para serem obtidas as rotações necessárias aos rolos. 
 
Figura 7.18 
7.4. No esboço da prensa mostrada na Fig. 7.19, as peças 5 e 6 são os parafusos de uma entrada 
e de sentidos opostos e a peça 6 é enroscada na peça 5 como indicado. A engrenagem 4 é solidária ao 
parafuso 5. A placa B é impedida de girar por um rasgo que se encaixa na coluna. Se o passo da peça 5 
é 6 mm e o da peça 6 é 3 mm, determine o sentido e o número de voltas do eixo A necessárias para 
baixar a placa B de 18 mm . 
 
Figura 7.19 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
170 
7.5. O trem de engrenagens da Fig. 7.20 mostra os aspectosessenciais da árvore de transmissão 
para uma fresadora de engrenagens. O disco da engrenagem B e a coroa 9 são montados no mesmo 
eixo e giram juntos. (a) Se o disco da engrenagem B deve ser acionado no sentido horário, determine o 
sentido da hélice da fresa A. (b) Determine a relação das velocidades angulares ω7/ω5 para cortar 7 
dentes no disco da engrenagem B. 
 
Figura 7.20 
7.6. Um trem de engrenagens tem o eixo A, ao qual estão enchavetadas as engrenagens 1 e 2, um 
eixo intermediário B com uma engrenagem composta deslizante 3, 4, 5 e um eixo C ao qual são 
enchavetadas as engrenagens 6 e 7. As engrenagens são numeradas da esquerda para a direita e são 
todas cilíndricas de dentes retos com distância entre centros de 12 pol e diametral pitch 5. A 
engrenagem composta pode ser deslocada para a esquerda para dar uma relação de velocidades de 5:1 
através das engrenagens 1, 4, 3 e 6, ou para a direita, para dar uma relação de 25:9, através das 
engrenagens 2, 4, 5 e 7. Faça um esboço do conjunto e calcule o número de dente em cada 
engrenagem se z5 = z2. 
7.7. No trem de engrenagens da Fig. 7.21, os parafusos 5 e 6 têm roscas de uma entrada de 
sentidos opostos com 8 e 9 fios por polegada, respectivamente. O parafuso 6 enrosca-se no 5 e este na 
carcaça. Determine a variação de x e y em intensidade e sentido para uma revolução do volante no 
sentido mostrado. As engrenagens 1 e 2 são compostas e estão solidárias ao eixo do volante. 
 
Figura 7.21 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
171 
7.8. A Fig. 7.22 mostra parte de um trem de engrenagens de uma fresadora vertical. A entrada de 
potência é na polia e a saída na engrenagem 12. As engrenagens compostas 1 e 2, 3 e 4, 10 e 11, 
podem deslizar para obtenção de vários engrenamentos. Determine todos os valores possíveis do trem 
entre a polia e a engrenagem 12. 
 
Figura 7.22 
7.9. A Fig. 7.23 mostra parte de um trem de engrenagens para uma fresadora vertical. As 
engrenagens compostas 1 e 2 podem deslizar de modo que ou a engrenagem 1 acopla-se com a 5 ou a 
2 com a 3. Igualmente, a 13 acopla-se com a 15 ou a 14 com a 16. (a) Estando a engrenagem 2 
acoplada com a 3, determine as duas velocidades possíveis da árvore para o motor girando a 1800 rpm, 
indicando os sentidos de rotação. (b) Com a engrenagem 13 acoplada com a 15 e uma velocidade da 
árvore de 130 rpm, determine os números de dentes das engrenagens 1 e 5 se as engrenagens 1, 2, 3 e 
5 são padronizadas e têm o mesmo diametral pitch. 
 
Figura 7.23 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
172 
7.10. A Fig. 7.24 mostra, esquematicamente, uma transmissão automotiva convencional. A 
transmissão de potência é feita da seguinte maneira: Primeira velocidade: a engrenagem 3 é deslocada 
para acoplar-se com a 6 e a transmissão de potência é feita pelas engrenagens 1, 4, 6 e 3. Segunda 
velocidade: a engrenagem 2 é deslocada para acoplar-se com a 5 e a transmissão de potência é feita 
pelas engrenagens 1, 4, 5 e 2. Terceira velocidade: a engrenagem 2 é deslocada de modo que seus 
engranzadores acoplem-se com os da 1 e a transmissão é direta. Marcha à ré: a engrenagem 3 é 
deslocada para acoplar-se com a 8 e a transmissão é feita pelas engrenagens 1, 4, 7, 8, 3. Um veículo 
equipado com esta transmissão tem uma relação de 2,9:1 no diferencial e diâmetro externo do pneu de 
65 cm. Determine a velocidade de rotação do motor do veículo nas seguintes condições: (a) Primeira 
velocidade a 32 km/h. (b) Terceira velocidade a 96 km/h. (c) Marcha a ré a 6,4 km/h. 
 
Figura 7.24 
7.11. Na embreagem planetária da Fig. 7.25, o retém 6 pode estar avançado ou não. Quando 
avançado, o sistema é um trem de engrenagens planetárias e, quando recuado, um trem comum, 
porque o braço 5 fica estacionário. Se a engrenagem 2 gira no sentido mostrado a 300 rpm, determine: 
(a) a velocidade da engrenagem anel 4 quando o retém 6 está recuado e (b) a velocidade do braço 5 
quando o retém 6 está avançado. 
 
Figura 7.25 
7.12. Considerando um diferencial de engrenagens cônicas, como os usados em automóveis, prove 
que quando uma das rodas traseiras do veículo for afastada do solo, girará duas vezes mais rápida do 
que o suporte do diferencial. 
7.13. Se um caminhão está fazendo uma curva a 24 km/h, determine a velocidade do suporte do 
diferencial em rpm. O raio da curva é 30 m até o centro do caminhão e a bitola é 1,80 m. O diâmetro 
externo dos pneus é 90 cm. 
7.14. Para a transmissão de engrenagens cônicas planetárias da Fig. 7.26 determine a relação 
ω4/ω3 quando a engrenagem 1 for estacionária. 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
173 
 
Figura 7.26 
7.15. No rolamento de esferas da Fig. 7.27, a pista interna é estacionária e a externa gira com um 
eixo tubular de 1600 rpm. Supondo que há rolamento puro entre as esferas e pistas, determine a 
velocidade do anel retentor de esferas 4. 
 
Figura 7.27 
7.16. A Fig. 7.28 mostra um mecanismo conhecido como paradoxo de Fergusson. Para uma 
revolução do braço na direção mostrada, encontre o número de revoluções das engrenagens 3, 4 e 5 e 
seus sentidos de rotação. As engrenagens não são padronizadas. 
 
Figura 7.28 
7.17. O eixo A gira, no sentido mostrado na Fig. 7.29, a 640 rpm. Se o eixo B deve girar a 8 rpm e na 
direção indicada, calcule a relação de velocidades angulares ω2/ω4. Qual deveria ser a relação ω2/ω4 
para que o eixo B girasse a 8 rpm no sentido oposto? 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
174 
 
Figura 7.29 
7.18. No mecanismo da Fig. 7.30, a engrenagem 2 gira a 60 rpm no sentido mostrado. Determine a 
velocidade e o sentido de rotação da engrenagem 12. 
 
Figura 7.30 
7.19. Um mecanismo conhecido como engrenagem de Humpage é mostrado na Fig. 7.31. 
Determine a relação de velocidades angulares ωA/ωB. 
 
Figura 7.31 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
175 
7.20. No trem de engrenagens planetárias mostrado na Fig. 7.32 determine a relação de velocidades 
angulares ω2/ω7. Compare esta relação com a obtida se o braço 4 for conectado diretamente ao eixo de 
saída e as engrenagens 5, 6 e 7 forem suprimidas. 
 
Figura 7.32 
7.21. No trem de engrenagens do problema 7.20, a engrenagem 2 gira a 600 rpm e a engrenagem 1 
(e a 6) gira a 300 rpm no sentido oposto. Calcule a velocidade e o sentido de rotação da engrenagem 7. 
7.22. Um trem planetário para um redutor de duas velocidades de um superalimentador de uma 
aeronave é mostrado na Fig. 7.33. A engrenagem 2 é acionada por uma de 63 dentes (não mostrada) 
que opera a 2400 rpm. Em alta velocidade a engrenagem 2 liga-se com o eixo do superalimentador 
através de engrenamento adicional. Em baixa velocidade, a engrenagem 7 é mantida estacionária e o 
eixo B é conectado ao eixo do superalimentador com a mesma relação de engrenamento usada entre a 
engrenagem 2 e este último. Se o superalimentador opera em alta velocidade a 24000 rpm, calcule o 
valor da rotação para baixa velocidade. 
 
Figura 7.33 
7.23. A Fig. 7.34 mostra o conjunto de engrenagens planetárias e eixo motorpara um 
servomecanismo de aeronave. Se o eixo A liga-se com o motor, determine a relação de velocidades 
angulares ωA/ωB. 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
176 
 
Figura 7.34 
7.24. A Fig. 7.35 mostra um trem planetário para uma grande redução. (a) Se o eixo A conecta-se 
com o motor, determine a relação de velocidades angulares ωA/ωB. (b) As engrenagens 2, 3 e 4 e as 
engrenagens 5, 6 e 7 serão padronizadas ou não? Por quê? (c) Se o número de dentes na engrenagem 
3 mudar de 51 para 52, calcule a relação de velocidades angulares ωA/ωB. 
 
Figura 7.35 
7.25. A Fig. 7.36 mostra, esquematicamente, um redutor para hélice de aeronave. Determine a 
velocidade da hélice em intensidade e sentido se o motor gira a 2450 rpm no sentido indicado. 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
177 
 
Figura 7.36 
7.26. Na unidade redutora com planetárias da Fig. 7.37, a engrenagem 2 gira a 300 rpm no sentido 
indicado. Determine a velocidade e o sentido de rotação da engrenagem 5. 
 
Figura 7.37 
7.27. No trem de engrenagens do problema 7.26, a engrenagem 2 gira a 300 rpm no sentido 
indicado e a engrenagem 1 gira a 50 rpm no sentido oposto. Calcule a velocidade e o sentido de rotação 
da engrenagem 5. 
7.28. No trem planetário, mostrado na Fig. 7.38, a engrenagem 2 gira a 600 rpm no sentido indicado. 
Determine a velocidade e o sentido de rotação do braço 6 se a engrenagem 5 gira a 300 rpm no mesmo 
sentido da engrenagem 2. 
 
Figura 7.38 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
178 
7.29. Se no trem de engrenagens do problema 7.28, a engrenagem 2 girar a 1000 rpm no sentido 
mostrado e a 5 for mantida estacionária, o braço 6 girará a 600 rpm no mesmo sentido da engrenagem 
2. Determine a velocidade e o sentido de rotação que devem ser dados a engrenagem 5 para imobilizar 
o braço 6 se a engrenagem 2 continuar a girar a 100 rpm. 
7.30. Para o trem de engrenagens da Fig. 7.39, o eixo A gira a 300 rpm e o B a 600 rpm, nos 
sentidos mostrados. Determine a velocidade e o sentido de rotação do eixo C. 
 
Figura 7.39 
7.31. Na Fig. 7.40, o eixo A gira a 100 rpm no sentido mostrado. Calcule a velocidade do eixo B e 
mostre seu sentido de rotação. 
 
Figura 7.40 
7.32. No trem planetário da Fig. 7.41 o eixo A gira a 450 rpm e o B a 600 rpm nos sentidos 
mostrados. Calcule a velocidade do eixo C e especifique seu sentido de rotação. 
 
Figura 7.41 
7.33. O eixo A da Fig. 7.42 gira a 350 rpm e o B a 400 rpm, nos sentidos mostrados. Determine a 
velocidade e o sentido de rotação do eixo C. 
MECANISMOS CAPÍTULO 7 
179 
 
Figura 7.42 
7.34. No trem de engrenagens planetárias cônicas da Fig. 7.43, o eixo A gira no sentido indicado a 
1250 rpm e o B a 600 rpm. Determine a velocidade do eixo C em intensidade e sentido. 
 
Figura 7.43 
7.35. Para o trem planetário da Fig. 7.33, calcule o número máximo possível de planetárias sem 
superposição e o número de planetárias igualmente espaçadas que podem ser usadas no trem. 
7.36. Em um trem planetário, semelhante ao da Fig. 7.14, a engrenagem 1 tem 41 dentes, a 2 tem 
18 e a 3 tem 78. As engrenagens 1 e 2 são padronizadas e a 3 não. Determine o número máximo de 
planetárias igualmente espaçadas que podem ser usadas. 
7.37. Calcule o número máximo da planetárias compostas igualmente espaçadas que podem ser 
usadas no trem de engrenagens da Fig. 7.32. 
7.38. Para o trem planetário da Fig. 7.37, calcule o número máximo de planetárias compostas que 
podem ser usadas. 
7.39. No trem planetário da Fig. 7.44, o suporte (peça 4) é a peça motora e a engrenagem solar é a 
peça movida. A engrenagem interna é mantida estacionária. A engrenagem solar deve girar com 
velocidade 2,5 vezes a do suporte. O diâmetro primitivo da engrenagem interna deve ser 
aproximadamente 11 pol. (a) Projete o trem de engrenagens determinando os números de dentes das 
engrenagens interna, solar e planetárias, usando diametral pitch 10, ângulo de pressão 20°, dentes 
normais padronizados de engrenagens cilíndricas de dentes retos. Mantenha o diâmetro primitivo tão 
próximo de 11 pol quanto possível. (b) Determine se podem ou não ser usadas três planetárias 
igualmente espaçadas. 
 
Figura 7.44