Matemática Básica

Prévia do material em texto

Matemát ica Bás ica 
 
3 
Matemática Básica 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA 
Reitor 
Prof. Msc. Pe. José Romualdo Desgaperi 
 
UNIVERSIDADE CATÓLICA DE BRASÍLIA VIRTUAL 
Diretor Geral da UCB Virtual 
Prof. Dr. Francisco Villa Ulhôa Botelho 
 
Diretoria de Cursos de Graduação a Distância 
Profª. MSc. Bernadete Moreira Pessanha Cordeiro 
 
Diretoria de Pós-graduação a Distância 
Profª. MSc. Ana Paula Costa e Silva 
 
Coordenação de Produção 
Profª Esp. Edleide E. de Freitas Alves 
 
Coordenação de Pólos e Logística 
Profª Esp. Núbia Aparecida Rosa 
 
Coordenação de Informática 
Prof. Esp. Weslley Rodrigues Sepúlvida 
 
Coordenação de Secretaria Acadêmica 
Esp. Benedito Lyra F. Junior 
 
Coordenação de Atendimento ao Estudante e Relacionamento 
Profª. MSc. Sandra Mara Bessa 
 
Equipe de Produção Técnica 
Conteudista
 
Prof. Adolfo Dani 
 
Analistas 
José Eduardo Pires Campos Júnior 
Viviane de Melo Resende 
Viviane Cristina V. Sebba Ramalho 
Yara Dias Fortuna 
 
Montagem 
Acyr Frederico Leocádio 
Anderson Macedo da Silveira 
Bruno Marques Beça da Silva 
Olávia Cristina Gomes Bonfim 
 
Edição de Conteúdo 
Kelly Kareline de Oliveira Torres 
Márcia Regina de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática Básica 
Sumário 
Sumário 
 
1. Conjuntos Numéricos ...................................................................................................................... 7 
1.1. Conjunto dos Naturais ............................................................................................................................. 7 
1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos – Negativos e Positivos .................................................................... 7 
1.3. Conjunto dos Racionais ........................................................................................................................... 7 
1.4. Conjunto dos Irracionais ......................................................................................................................... 7 
1.5. Conjunto dos Reais .................................................................................................................................. 7 
2. Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais ................................................... 9 
2.1. Sinais Resultantes nas Operações .......................................................................................................... 9 
2.1.1. Regra dos Sinais nas Operações de Adição e Subtração ........................................................... 9 
2.1.2. Regra dos Sinais nas Operações de Multiplicação e Divisão .................................................... 9 
2.1.3. Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais. ............................. 10 
3. Operações e Suas Inversas ........................................................................................................... 17 
3.1. Regra das Operações Adição e Subtração .......................................................................................... 17 
3.2. Regra das Operações Multiplicação e Divisão ................................................................................... 18 
3.3. Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação .................................................... 19 
4. Prioridades nas Operações ........................................................................................................... 23 
5. Relações e Funções ........................................................................................................................ 25 
5.1. Plano Cartesiano .................................................................................................................................... 25 
5.2. Função do 1º Grau .................................................................................................................................. 26 
5.3. Função do 2º grau ou quadrática ......................................................................................................... 30 
5.4. Função Exponencial ............................................................................................................................... 34 
5.5. Função Logarítmica................................................................................................................................ 36 
5.6. Funções Trigonométricas ...................................................................................................................... 37 
6. Soluções de Sistemas de Equações ............................................................................................ 39 
7. Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens – Médias ................................................ 43 
7.1. Razão ........................................................................................................................................................ 43 
7.2. Proporção ................................................................................................................................................ 43 
7.3. Números e grandezas proporcionais simples e compostas. ............................................................ 43 
7.3.1. Diretamente Proporcionais ................................................................................................................... 43 
7.3.2. Inversamente Proporcionais ................................................................................................................. 44 
7.3.3. Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais. .................................. 46 
7.3.4. Porcentagens ........................................................................................................................................ 47 
7.3.4.1. Taxa de Porcentagem (i) .................................................................................................................. 47 
7.3.4.2. Porcentagem .................................................................................................................................... 47 
7.4. Média ........................................................................................................................................................ 49 
7.4.1. Média Aritmética Simples .................................................................................................................... 49 
7.4.2. Média Aritmética Ponderada ................................................................................................................ 49 
7.4.3. Média Geométrica ................................................................................................................................ 49 
8. Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais ............................................................ 51 
8.1. Adição e subtração de expressões ...................................................................................................... 51 
8.2. Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis. .................................. 51 
8.2.1. Produtos Notáveis ................................................................................................................................ 52 
8.3. Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais ................................................................................ 53 
8.4. Fatoração e Simplificação .................................................................................................................... 54 
9. Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo ............................................... 57 
9.1. Relações Trigonométricas ..................................................................................................................... 579.2. Relações Métricas ................................................................................................................................... 58 
 
6 
Matemática Básica 
Sumário 
10. Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações .............................................. 61 
10.1. Grandezas Físicas ................................................................................................................................... 61 
10.2. Fenômenos Físicos ................................................................................................................................. 61 
10.3. Medição .................................................................................................................................................... 61 
10.4. Sistemas de Unidades ............................................................................................................................ 61 
10.5. Fatores que interferem na medição ................................................................................................... 62 
10.6. Precisão de um Instrumento de Medida ............................................................................................. 62 
10.7. Algarismo significativo .......................................................................................................................... 62 
10.8. Arredondamentos ................................................................................................................................... 62 
10.8.1. Operações com Algarismos Significativos ...................................................................................... 63 
10.8.1.1. Adição e Subtração .......................................................................................................................... 63 
10.8.1.2. Multiplicação e Divisão: ................................................................................................................. 63 
10.9. Notação Científica ................................................................................................................................. 63 
10.10. Ordem de grandeza. ......................................................................................................................... 64 
10.11. Grandezas Físicas .............................................................................................................................. 64 
10.11.1. Grandezas Escalares ........................................................................................................................ 64 
10.11.2. Grandezas Vetoriais ........................................................................................................................ 64 
10.11.2.1. Operações com grandezas vetoriais ............................................................................................ 65 
10.11.2.1.1. Adição ........................................................................................................................................ 65 
10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal ................................................................................................................... 65 
10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo ........................................................................................................... 66 
10.11.2.1.1.3. Regra da decomposição cartesiana ........................................................................................... 66 
10.11.2.1.2. Subtração ou Diferença .............................................................................................................. 67 
10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal ................................................................................................................... 67 
10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo ........................................................................................................... 67 
10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposição Cartesiana ......................................................................................... 68 
 
 
 
7 
Matemática Básica 
Aula 01 
Matemática Básica 
Para podermos nos comunicar, por escrito, precisamos do alfabeto, sílabas, palavras, frases, vírgulas, 
pontos, etc. Semelhantemente, na matemática precisamos dos algarismos, números, símbolos, sinais, 
prioridades e propriedades nas operações para que possamos equacionar, criar fórmulas, realizar cálculos 
tão necessários em nosso quotidiano e em todas as atividades que realizamos. Mesmo quando usamos a 
calculadora ou computador, precisamos de conhecimento básico de matemática para o uso adequado 
destes instrumentos e nos procedimentos a serem seguidos. 
1. Conjuntos Numéricos 
O conjunto dos números Reais (R) é o que melhor atende a solução dos problemas básicos de nosso 
quotidiano e é composto pelos seguintes subconjuntos: 
1.1. Conjunto dos Naturais 
{ },...4,3,2,1,0=N 
1.2. Conjunto dos Inteiros Relativos – Negativos e Positivos 
{ }...3,2,1,0,1,2,3... −−−=Z 
 
1.3. Conjunto dos Racionais 
{ }...3...2...1...0...1...2...3... −−−=Q 
2
9−
 
2
3− 2,0 25,2 
 ...555,0− 
 
1.4. Conjunto dos Irracionais 
}{ ......3...2...2... π−=I 
 
 
1.5. Conjunto dos Reais 
Juntando: N, Z, Q, I formamos o conjunto dos Reais (R). Note que: 
R
I
QZN
⊂


⊂⊂
 ou RIQ ⊂∪ )( 
está contido 
 
 
 
 
 
N 
Z 
Q 
I 
R 
Obs.: Não conseguimos escrever na forma de fração 
Obs.: Conseguimos escrever 
na forma de fração decimal 
exatas, dizimas periódicas 
simples e compostas. 
 
1,4159 
 
 
9 
Matemática Básica 
Aula 02 
2. Operações Fundamentais no Conjunto dos Números Reais 
2.1. Sinais Resultantes nas Operações 
2.1.1. Regra dos Sinais nas Operações de Adição e Subtração 
 
( + ) com ( + ) dá ( + ). Veja: + 3 + 4 = 7 
Obs. Quando é positivo, podemos deixar sem o sinal na resposta. 
 ( - ) com ( - ) dá ( - ). Veja: - 3 - 4 = - 7 
 
(+) com ( - ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja: 






=+=−+
−=−+
2213
253
 
 
( - ) com ( + ) pode dar ( + ) ou ( - ). Veja: 






−=+−
=+=+−
123
2253
 
 
2.1.2. Regra dos Sinais nas Operações de Multiplicação e Divisão 
 ( + ) com ( + ) dá ( + ). Veja: 






=+=÷=+÷+
=+=⋅=+⋅+
3326)2(6
6623)2(3
 
Obs. Quando o número é positivo, podemos deixar sem o sinal na multiplicação e 
divisão. 
( - ) com ( - ) dá ( + ). Veja: 






=+=−÷−
=+=−⋅−
5,15,1)2(3
66)2(3
 
 
( + ) com ( - ) dá ( - ). Veja: 






−=−÷+
−=−⋅+
3)2(6
6)2(3
 
 
( - ) com ( + ) dá ( - ). Veja: 






−=+÷−
−=+⋅−
3)2(6
6)2(3
 
 
10 
Matemática Básica 
Aula 02 
Nos símbolos de multiplicação e divisão podemos usar: 






−
=
−
⋅==÷
=⋅=
−
b
a
b
a
bababa
abbaaxb
1/
 
 
2.1.3. Propriedades Básicas para Realizar Operações no Conjunto dos Reais. 
 
 
1º) Todo o número elevado ao expoente zero vale (1). 
 
 Veja: 
120 = ; ( ) 12 0 =− ; 1
5
3 0
=




 ; ( ) 12 0 = 
 
2º) Não tem divisão de número por zero 
 
Veja: 
?
0
7
= (impossível, confira na calculadora). 
 
3º) Zero dividido por qualquer número dá zero. 
 
Veja: 
0
7
0
= (confira na calculadora). 
 
4º) Não tem raiz quadrada ou de índice par de números negativos. 
 
 
 
Ran ∉− 
 
 
 
R∉− 4 
 
 
 
Não pertence ao conjunto dos Reais 
Não tem solução em R 
Índice (2) não se escreve 
Índice par 
10 =a 
)(
0
impossívela = 
00 =
a
 
Divisão 
Deixar o sinal negativo da fração, quando tiver, 
sempre no numerador. 
Multiplicação 
 
11Matemática Básica 
Aula 02 
 
 
R∉−4 4 
 
Obs. Cuidado, se o índice for impar, tem raiz. Veja: 
 
 
 
283 −=− 
 
5º) Um número negativo elevado ao quadrado ou expoente par, o resultado fica positivo. 
 expoente par 
 
 
 Maior que zero (positivo) 
 
Veja: 
( ) ( ) ( ) 44222 2 =+=−⋅−=− 
( ) 813 4 =− 
Cuidado: ( ) 22 22 −≠− 
 É diferente, pois: 
( ) ( ) ( )




−=⋅−=−
=−⋅−=−
4222
4222
2
2
 
( ) ( ) ( ) ( ) 82222 3 −=−⋅−⋅−=− (número negativo elevado ao expoente impar, o resultado fica 
negativo). 
 
6º) Potência de potência, multiplicamos os expoentes. 
Veja: 
15
8
5
4
3
25
4
3
2
3
2
3
2
3
2
−





 −⋅
−





=




=













 
 
7º)Uma potência troca de sinal quando muda de posição subindo para o numerador ou descendo 
para o denominador. 
 
 
 
 
Veja: 
a) 3
3
2
12 =− 
b) 55 33
1
=
−
 
Índice impar 
Índice par 
( ) nmnm aa ⋅= 
n
n
a
a
−
=
1 n
n
a
a 1=− 
( ) 0>− na 
 
12 
Matemática Básica 
Aula 02 
8º) O expoente de uma fração muda de sinal quando invertemos a fração. 
 
 
 
 
 
Veja: 
9
16
3
4
4
3 22
=




=





−
; 8
1
2
2
1 33
=




=





−
 
 
9º) Equivalência - potenciação - radiciação (como tirar do radical e retornar) 
 
 
 
 
Veja: 
a) 2
5
2 5 33 = 
 
b) 
7
3
7
3
3
2
3
2





=




 
 
c) 55 15
1
777 == 
 
10º) Para somar e subtrair frações precisamos reduzir ao mesmo denominador. Veja: 
 
a) 
5
4
4
2
+ 
 
Achando o m.m.c (mínimo múltiplo comum) de 4 e 5, fatoramos assim: 
 
5
2
2
1
5
1
2
4
 
Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 20 
20 é o m.m.c de 4 e 5. 
 2÷ 
10
13
02
62
20
1610
5
4
4
2
=
//
//
=
+
=+ 
2÷ 
 
nnnn
a
b
b
aou
a
b
b
a





=










=





−−
 
n
m
n m aa = 
 
13 
Matemática Básica 
Aula 02 
Divide 20 pelo denominador 4 e a resposta que dá ( 5 ) multiplica pelo numerador 2 dando 10 etc. 
Ao simplificar 





20
26 você deve dividir o numerador e o denominador por um mesmo número. 
 
b) 
60
23
60
3512
12
7
15
3 −
=
−
=− 
 
m.m.c de 15 e 12: 
 
5
3
2
2
1
3
6
12
1
5
15
 
Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 = 60 
 
c) 
5
42
2
3
+− lembre que 
1
22 −=− logo, o m.m.c de 2, 1, 5 é: 
 
5
2
111
512
 
Logo: m.m.c = 2 ∙ 5 = 10 
 
10
3
10
82015
5
42
2
3
=
+−
=+− 
 
11º) Para multiplicação de frações, multiplicamos numerador pelo numerador e denominador pelo 
denominador. Veja: 
 
a) 
15
8
5
4
3
2
=⋅ 
 
 
 
b) 
7
24
7
38 −=⋅− 
Lembre que 
1
88 −=− 
 4÷ 
c) 
15
1
06
4
4
1
3
2
5
2 −
=
//
/−
=⋅




 −⋅ 
4÷ 
 
 
14 
Matemática Básica 
Aula 02 
12º) Para dividir frações multiplicamos a 1º fração pela inversa da 2ª fração. Veja: 
2÷ 
a) 
6
5
21
01
4
5
3
2
5
4
3
2
=
//
//
=⋅=÷ ou 
6
5
21
01
4
5
3
2
5
4
3
2
=
//
//
=⋅= 
2÷ 
b) 
2
15
2
53
5
23 =




 −⋅=




 −÷ lembre que 
1
33 = 
 
c) ( )
15
2
3
1
5
23
5
2
=




 −⋅
−
=−÷
− lembre que -3 = 
1
3− 
 
13º) Na multiplicação de potências de mesma base permanece a base e somam-se os expoentes 
nmnm aaa ⋅=⋅ (a = base; m e n = expoentes). Veja: 
 
a) 127575 3333 ==⋅ + 
 
b) 1515
1
15
109
3
2
5
3
3
2
5
3
222222 ====⋅
−
−
−
 
 
c) 
2
3
2
3
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2 2
1
2
1
2
12
2
11
2
11
=




=




=




=




=




⋅





−+−
+−−
 
 
d) 10122122 10101010 −−− ==⋅ 
 
14º) Na divisão de potências de mesma base permanece a base e subtraem-se os expoentes 
nmnm aaa −=÷ (a = base; m e n = expoentes). Veja: 
 
a) 
9
1
3
13333 2
27575 ====÷ −− 
 
b) 10373
7
55
5
5 −−−− == 
 
c) 
15
2
15
1210
5
4
3
2
5
4
3
2
5
4
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2





=




=




=




=




÷





+−
+
−





 −−
−−−
 
 
d) 5151015
10
1010
10
10 −− == 
 
15º) Decimal Exata: valor resultante de uma operação divisão de resto zero. Veja: 
 
15 
Matemática Básica 
Aula 02 
 
a) →= 4,0
5
2 tem uma casa decimal (casa depois da vírgula) 
 
b) →= 25,0
4
1 tem duas casas decimais 
 
c) →353,2 tem três casas decimais 
 
Para obter a fração que deu origem (geratriz) a uma decimal exata, fazemos: 
• Numerador: colocamos o número todo sem a vírgula. 
• Denominador: colocamos 1 seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais (casas 
depois da vírgula). Veja: 
a) 
5
2
01
44,0 =
//
/
= 
 
b) 
4
1
001
5225,0 =
///
//
= 
 
c) 
1000
2353353,2 = 
 
16º) Dízima Periódica Simples: valor resultante de uma operação divisão que não dá exata e logo 
depois da vírgula aparece um número que se repete, denominado de período. Veja: 
 
a) 0,33... Também representado por 3,0 
 
b) 0,272727...ou 27,0 
 
c) 2,444... ou 4,2 
 
Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica simples fazemos: 
Numerador: Colocamos o período (parte que se repete) 
Denominador: Colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período. 
Veja: 
a) 
3
1
9
333,0 =
/
/
= 
b) 
11
3
33
9
99
27...272727,0 === 
c) 
9
23
9
518
9
52...555,02...555,2 =+=+=+= 
 Parte inteira não entra na regra. 
 
 
16 
Matemática Básica 
Aula 02 
17º) Dízima Periódica Composta: Valor resultante de uma operação que não dá exata e depois da 
vírgula aparece uma parte que não se repete (parte não periódica) seguida de um período (parte que 
se repete). Veja: 
 
 Parte não periódica (que não se repete) (4) 
a) 0,4333... 
 Parte periódica (que se repete) (3) 
 
 Não periódica (23) 
b) 2,23717171... 
 Periódica (71) 
 
Para obter a fração que deu origem (geratriz) de uma dízima periódica composta, fazemos: 
Numerador: colocamos a parte não periódica seguida de um período menor, a parte não 
periódica. 
Denominador: colocamos tantos noves quantos forem os algarismos do período seguido de 
tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Veja: 
 Parte não periódica 
 Periódica 
 Parte não periódica 
a) 
30
13
09
93
90
443...4333,0 =
//
//
=
−
= 
 
 
 
 
 Parte não periódica (23) 
 Período (71) 
b) 
2475
5872
2475
5872
0594
47112
0099
84322
9900
2323712...23717171,2 +⇒+=
////
////
+=
////
////
+=
−
+= 
 Parte inteira não entra na regra (2) 
2475
5537
2475
5874950
=
+ 
 
Um zero só, pois a parte não periódica só é 
constituída de um algarismo que é o 4. 
Um nove só, pois a parte periódica só é 
constituída de um algarismo que é o 3. 
 
 
17 
Matemática Básica 
Aula 03 
inversa 
inversa 
inversa 
inversa 
inversa 
inversa 
inversa 
inversa 
inversa 
3. Operações e Suas Inversas 
Para resolver problemas e calcular valores desconhecidos denominados incógnitas ou variáveis 
necessitamosconhecer algumas regras de relação entre as operações. Assim temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para isolar vaiáveis determinando assim seus valores, fazemos operações inversas. Para trocar de 
membro um valor qualquer, fazemos operação inversa. É errado dizer que trocamos de sinal quando 
passamos para outro membro. O certo é dizer que fazemos operação inversa. 
 
 
 
 
 
 
 
3.1. Regra das Operações Adição e Subtração 
 
 
 
 
 
Veja os exemplos: 
 
a) x + 4 = 12 : isolando o x, passamos o (+ 4 ) que está fazendo adição(somando) com o ( x ) para o 
segundo membro fazendo operação inversa, isto é, subtração. Logo: 
x = 12 – 4 
Adição 
 
Subtração 
Multiplicação Divisão 
Potenciação Radiciação Logaritmação 
1º Membro à esquerda 
da igualdade 
2º Membro à direita 
da igualdade. = 
inversa 
inversa 
Adição 
 
Subtração 
 
18 
Matemática Básica 
Aula 03 
inversa 
x = 8 
 
b) x - 7 = 17 isolando o x, passamos o 7 que está subtraindo para o 2º membro onde estará somando 
fazendo assim operação inversa. Logo: 
x = 17 + 7 
x = 24 
 
c) 20 - x = 30, passando +20 para o 2º membro, como estava somando, passa subtraindo. 
20 - x = 30 
- x = 30 – 20 
- x = 10 
 
Em (-x) o valor do x isolado deve sempre ficar positivo. Para tanto, podemos multiplicar por (- 1) os 
dois membros da igualdade. 
 
 
- x = 10 (-1) 
 
x = -10 
 
3.2. Regra das Operações Multiplicação e Divisão 
 
 
 
 
Veja os exemplos: 
 
a) 2 x = - 14: isolando o ( x ), passamos o ( +2 ) que está multiplicando o ( x ) para o segundo 
membro fazendo operação inversa, isto é, dividindo. 
Logo: 7
2
14
−=⇒
−
= xx 
 
b) 4
3
2
=
x isolando o ( x ), passamos o ( +3 ) que está dividindo para o 2º membro multiplicando, 
operação inversa. Veja: 122432 =⇒⋅= xx e o 2 que está multiplicando o x para o 2º membro 
dividindo, operação inversa. 
6
2
12
=⇒= xx 
 
c) 2
8
44
3
2
−
−
=
+− xx
 achando o m.m.c. de 3, 8 e 1, pois 
1
22 = 
 
Multiplicação Divisão 
 
19 
Matemática Básica 
Aula 03 
inversa 
inversa 
inversa 
inversa 
3
2
2
2
1
1
1
2
4
8
1
3
 
Logo: m.m.c = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 
⇒
−−
=
+−
24
481212
24
168 xx 
 
⇒−−−=−− 481216128 xx Passamos os termos semelhantes em x para o 1º membro e os 
números para o 2º membro fazendo operações inversas. 
 
⇒−=− 7620x Multiplicando por (-1) ambos os membros temos. 
7620 −=− x (-1) 
⇒= 7620x Isolando o x, passamos o (+ 20) que está multiplicando o x para o 2º membro dividindo 
e depois simplificamos: 
5
19
01
83
02
67
=
//
//
=
//
//
=x 
 
3.3. Regra das operações Potenciação – Radiciação - Logaritmação 
 
 
 
 
 
 
 Determinar (b) é calcular o logaritmo (log) 
cab = 
 Determinar o (c) é calcular a potência 
 Determinar o (a) é calcular a raiz 
 
(isola a potência) 
 
Radiciação⇒=⇒= bb cxcx (isola a base) 
 
Aplicando radiciação ( )b c em ambos os membros para isolar o x, temos: 
bb b cx =/ de onde obtemos: b cx = 
 
ãoLogaritmaç
log
log
⇒=⇒=
a
bxba x (isola o expoente) 
 
Mesmo denominador em ambos os membros podemos 
simplificar. 
oPotenciaçã⇒= bax 
Potenciação Radiciação Logaritmação 
 
20 
Matemática Básica 
Aula 03 
Aplicando logaritmação (log) em ambos os membros para isolar o x, temos: ba x loglog = onde, 
usando uma propriedade dos logaritmos, podemos escrever bax loglog = de onde obtemos: 
a
bx
log
log
= . 
Propriedades dos logaritmos. 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a base é 10, não representamos. AA loglog10 = 
Para números fatoráveis, calculamos estes valores como segue. Veja o exemplo. 
 
a) Potência822223 ⇒=⇒⋅⋅=⇒= xxx 
 
b) ⇒=⇒= 32282 xx Mesma base igualamos os expoentes. 
 
Fatorando (8) 
32
2
2
2
1
2
4
8
⇒







 
 
Logo: x = 3 ⇒ Logaritmo 
c) ⇒=⇒= 333 28 xx Mesmo expoente igualamos as bases. Logo: raiz2 ⇒=x . 
 
Obs. 8 (fatorando) 328 == 
 
Quando não for possível concluir a resposta pelo método da fatoração, usamos a calculadora 
cientifica ou as tabelas produzidas para esta finalidade. Veja alguns exemplos usando a calculadora 
cientifica. 
 
a) x=32 
8=x 
 
 
 
b) 82 =x 
2log
8log
=x 
3=x 
1) yxyx logloglog +=⋅ 
2) yx
y
x logloglog −= 
3) xmxm loglog = 
Tecla: 2 
Tecla: yx ou ∧ 
Tecla: 3 
Tecla: = 
 
Tecla: log ou ln 
Tecla: 8 
Tecla: ÷ 
Tecla: log ou ln 
Tecla: 2 
Tecla: = 
 
21 
Matemática Básica 
Aula 03 
Obs. Nesta seqüência ou com pequenas mudanças para diferentes marcas de calculadoras. Pode 
usar a calculadora padrão do Windows (Iniciar > Executar > Calç). Configure para ter opções da 
calculadora científica (no menu Exibir > Científica) 
 
c) 83 =x 
3 8=x 
2=x 
 
 
 
Resolvendo outros exemplos: 
 
d) x=5,12 
...828427,2=x 
 
 
 
 
e) x=− 5,12 
 
 
 
 
 
 
f) 7,45,2 =x ou 5,2 7,4=x 
 
 
 
 
 
 
g) 32 =x ou ...584962,1
2log
3log
==x 
 
 
 
 
 
 
h) 7,195,1 =x 
35,7
5,1log
7,19log
==x 
 
 
Tecla: 2 
Tecla: yx ou ∧ 
Tecla: 1,5 
Tecla: = 
Tecla: 2 
Tecla: ∧ ou xy 
Tecla: 1,5 
Tecla: ± 
Tecla: = 
Tecla: 2,5 
Tecla: 2ndF ou Shift 
Tecla: x 
Tecla: 4,7 
Tecla: = 
Tecla: log 
Tecla: 3 
Tecla: ÷ 
Tecla: log 
Tecla: 2 
Tecla: = 
Tecla: log 
Tecla: 19,7 
Tecla: ÷ 
Tecla: log 
Tecla: 1,5 
Tecla: = 
Tecla: 3 
Tecla: 2ndF ou Shift 
Tecla: x 
Tecla: 8 
Tecla: = 
 
22 
Matemática Básica 
Aula 03 
i) Veja a utilidade de saber isolar variável fazendo operações inversas para obter fórmulas. Dada a 
fórmula do montante no sistema de capitalização composta tiCM )1( += 
 
M = Montante no final do período de aplicação 
C = Capital 
i = Taxa 
t = Tempo de aplicação 
Isolar cada uma das variáveis M, C, i, t utilizando operações inversas. 
 
1º) Para calcular o (M) a fórmula já está pronta, pois o mesmo já está isolado: tiCM )1( += 
 
2º) Para calcular (C) passamos ti)1( + que está multiplicando o C para o outro lado (membro) 
dividindo. Logo: ti
MC
)1( +
= 
 
3º) Para calcular o (t) que é expoente, usamos logaritmos. Em tiCM )1( += passamos o (C) que 
está multiplicando para o outro lado dividindo, ficando assim: ( )ti
C
M
+= 1 . Agora aplicamos 
logaritmo em ambos os membros e depois isolamos o (t). Veja: 
)1log(
log
i
C
M
t
+
= 
4º) Para calcular o (i) que é base, usamos radiciação. Em tiCM )1( += passamos o (C) para o 
outro lado, ficando assim: ( )
C
Mi t =+1 . Agora aplicamos radiciação isolando o (i). Veja: 
11 −=⇒=− tt
C
Mi
C
Mi 
Notou como precisamos das (sete) 7 operações para trabalhar com esta fórmula mais usada no 
mundo dos juros e montante composto. 
 
 
 
23 
Matemática Básica 
Aula 04 
4. Prioridades nas Operações 
 
(Quem resolver primeiro?). 
 
Quando as (sete) 7 operações estão aparecendo em parte ou todas numa mesma expressão numérica 
ou algébrica com: ( ), [ ], { }, devemos dar a seguinte preferência de resolução: 1º ( ), 2º [ ], 3º { }, e 
dentro de cada um desses símbolos, ou mesmo na ausência deles, devemos resolver na seguinte 
ordem: 
 
(1º) lugar: Potenciação – Radiciação – Logaritmação na ordem que aparecem da esquerda para a 
direita. 
 
(2º) lugar: Multiplicação e Divisão na ordem que aparecem. 
 
(3º) lugar: Adição e Subtração na ordem que aparecem. 
 
Exemplos: 
a) 33 8100log4425242 −−−÷+⋅− 
 
 1º lugar (potenciação, radiciação, logaritmação) 
 
 
224285242 −⋅−−÷+⋅− 
 
 2º lugar (multiplicação, divisão) 
375,17282625,082 −=−−−+− 
 
 3º lugar (adição e subtração) 
 
 
b) 24538log416243 22 ÷⋅−−−÷−÷+ 
 
 1º lugar 
 
24539031,01642432÷⋅−−−÷−÷+ 
 
 2º lugar 
 
 
1531,31039031,025,029 −=−−−−+ 
 
 3º lugar 
 
2 9 0,25 -10 
4 16 0,9031
 
0,625 8 8 
2 2 8 
 
24 
Matemática Básica 
Aula 04 
c) ( )[ ]{ }342423543 2 −÷−−−⋅−⋅ 
 
 1º lugar (parênteses) 
( )[ ]{ }35,0229543 −−⋅−−⋅−⋅ 
( )[ ]{ }35,049543 −−−−⋅−⋅ 
( )[ ]{ }35,4543 −−⋅−⋅ 
 2º lugar (colchetes) 
 
[ ]{ }35,2243 −−⋅−⋅ 
{ }3903 −⋅ 
 
 3º lugar (chaves) 
{ } 261873 =⋅ 
 
d) 






+





+




 −−+ 162
8
1
3
2
4
13224 
 
 m.m.c de 3 e 8 é 24 






+





+




 −−+ 162
24
316
4
13224 






+





+




−+ 162
24
13
4
13224 






+


 +−+ 162
96
133224 
 
 m.m.c de 1; 96;1 é 96 
 






+


 +−+ 16
96
19213307224 






+



//
/+ 16
69
325124 
48
4211
48
960325120
48
325116
48
32514 =+=+=





 ++ 
 
 
 
25 
Matemática Básica 
Aula 05 
5. Relações e Funções 
 
As relações e funções são fórmulas úteis na análise e solução de problemas no nosso dia a dia. Todo o 
controle bancário, a análise da economia, os cálculos de engenharia, estatística, enfim, tudo o que 
envolve aspectos quantitativos usa de alguma forma relações e funções. O que a matemática denomina 
de ( x ) e ( y ) => variáveis e a, b, c => coeficientes, as outras áreas do conhecimento atribuem outros 
nome. Veja um exemplo só: 
 
⇒+= baxy Função do 1º grau em matemática 
escoeficientba ⇒, 
⇒yx, variáveis 
)(livreteindependenx ⇒ 
dependentey ⇒ (depende de x) 
 
As fórmulas a seguir também são funções do 1º grau que resolvem problemas nas diversas áreas de 
conhecimentos. 
 
⇒+= oVatV Função da velocidade no MRUV 
 
⇒+= oSVtS Função da posição no MRU 
 
⇒+= baPD Função demanda de mercado 
 
⇒+= baPS Função oferta de mercado 
 
⇒+= baqC Função custo 
 
Etc., etc., etc. Como você percebe, cada relação e função têm infinitas aplicações no nosso 
quotidiano produzindo respostas numéricas e permitindo análises gráficas no plano cartesiano. 
 
5.1. Plano Cartesiano 
 
O plano cartesiano possui dois eixos perpendiculares entre si denominados de eixo (x) (abscissas) e 
eixo (y) (das ordenadas) e os dois eixos permitem estabelecer as coordenadas de cada ponto. 
 Ordenada (y) 
 
 (a, b) Coordenadas do ponto (P) 
 
 Abscissa (x) 
a 
b 
P 
y 
x 
 
26 
Matemática Básica 
Aula 05 
 
 
Vejamos a localização de alguns pontos. 
 
 
 
 
5.2. Função do 1º Grau 
 
É uma relação do tipo baxy += cujo gráfico no plano cartesiano é uma reta. 
a => Coeficiente angular ou declividade da reta em relação ao eixo ( x ) 
b => Coeficiente linear, onde a reta corta o eixo ( y ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
⇒
−
=
a
bx raiz, onde a reta corta o eixo ( x ) 
-4 -6 
-3 0 
-5 
4 
2 
4 
6 
y 
x 
A ( 0 ,0 ) 
B ( 4 , 2 ) 
C ( 0, 4 ) 
F ( -4 , 0) 
E ( -6 , -5) 
D ( -3, 6 ) 
b 
x 
a < 0 
decrescente 
x 
y 
P ( x , y ) 
x 
b 
crescente 
x 
y 
a > 0 
b 
y 
x 
a = 0 
constante 
 
27 
Matemática Básica 
Aula 05 
 
Para traçar o gráfico no plano cartesiano podemos usar um dos métodos a seguir: 
1º Método: Atribuindo de forma arbitrária (livre) valores para x e depois calculando os valores de y 
(método da tabela) 
 
2º Método: Determinando alguns pontos importantes como os pontos de intersecção com os eixo (x) 
e (y) e outras propriedades dos gráficos que veremos a seguir. 
1º) Atribuindo valores para (x) e calculando (y), temos: 
 
Exemplo (1) 62 −= xy 
 b = - 6 
 a = 2 
 
1º Método: Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a reta basta dois valores (pontos) 
 
4612
6602
4
6
1
0
−=−⋅=⇒
−=−⋅=⇒
−
−
y
y
yx
 
 
Ou escolha outros que achar mais fácil e útil e determine os correspondentes em (y). 
 
 
2º Método: Determinando os pontos de intersecção com os eixos. 
 
Em ⇒+= baxy O coeficiente linear (b) é sempre o ponto de intersecção da reta com o eixo (y) 
Em 662 −=⇒−= bxy 
Em ⇒+= baxy Fazemos y = 0 e isolando x o valor encontrado é sempre o ponto de intersecção 
da reta com o eixo x que denominamos de raiz. Logo: 
baxy += 
0=+ bax 
 
⇒
−
=⇒−=
a
bxbax raiz ou ponto de intersecção da reta com o eixo x. 
 
Em 



−=
=
⇒−=
6
2
62
b
a
xy 
 
( )
⇒=
−−
=
−
= 3
2
6
a
bx raiz 
 
y 
x 
-4 
-6 
(0,-6) 
(1,-4) 
 
28 
Matemática Básica 
Aula 05 
Intersecção com o eixo (y) 
Com os valores obtidos podemos traçar o gráfico 
 
a = 2 > 0 função crescente pois: 
x => cresce 
y => cresce 
Note que: 
y = ax + b 
y = 2x - 6 
a = 2 > 0 => indica que a função é crescente 
 
Exemplo (2) y = -3x + 8 
 
1º Método 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Método: 
 
baxy
xy
+=
+−= 83




⇒+=
−
−
=
−
=
⇒=
...66,2
3
8
8
a
bx
b
 
 
⇒<−= 03a Função decrescente, pois: 
x => cresce 
y => decresce 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
3 
-6 
y 
y 
x 
8 
-1 
3 
(0,8) 
(3,-1) 
Intersecção com o eixo (x) ou raiz 
8/3 
8 
y 
x 
2,66... 
1833
8803
1
8
3
0
−=+⋅−=⇒
=+⋅−=⇒
− y
y
yx
 
29 
Matemática Básica 
Aula 05 
Exemplo (3) 044 +=⇔= xyxy 
 
1º Método: 
 
414
4)1(4
4
4
1
1
=⋅=
−=−⋅/=→
→
−−
y
xy
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Método: 
 
baxy
xy
+=
+= 04




⇒=
−
=
−
=
⇒=
0
4
0
0
a
bx
b
 
 
⇒>= 04a Função crescente, pois: 
x => cresce 
y => cresce 
 
 
 
 
Exemplo (4) 606 +=⇔= xyy 
 
1º Método: 
 
6610
6600
6
6
1
0
=+⋅=→
=+⋅=→
y
y
yx
 
 
 
Intersecção com o eixo (x) raiz 
x 
y 
-1 
1 
-4 
y
4 
6 
y 
x 
0 1 
Intersecção com o eixo (y) 
0 
x 
y 
 
30 
Matemática Básica 
Aula 05 
2º Método: 
 
y = 6 ou y = 0x + 6 
 




⇒
−
=
−
=
⇒=
)(
0
6
6
impossível
a
bx
b
 
Logo a reta não tem raiz, não corta o eixo (x), 
É paralela a este eixo 
⇒= 0a função constante pois: 
x => cresce 
y => constante (valor sempre 6) 
 
5.3. Função do 2º grau ou quadrática 
 
É uma relação do tipo: cbxaxy ++= 2 cujo gráfico no plano cartesiano é uma curva denominada 
de parábola. 
 
c => indica onde a parábola corta o eixo (y) 
a => indica: se a > 0: CVC = Concavidade Voltada para Cima. Se a < 0: CVB = Concavidade 
Voltada para Baixo. 
 
 
 
 
 
 
Fórmula de Báscara onde 
 
 
x’ e x”, indica onde a parábola corta o eixo (x) que denominamos de 
raízes. 
 
a
bxV 2
−
= 
 
a
yV 4
∆−
= 
 
6 
y 
x 
CVB 
CVC 
⇒
∆±−
==
a
bxx
2
"' 
cab ⋅⋅−=∆ 42 
Intersecção (y) 
 
31 
Matemática Básica 
Aula 05 
(Xv, YV) => indica as coordenadas do vértice da parábola. 
 
 
Podemos aqui também traçar o gráfico da parábola usando um dos métodos já vistos. 
 
1º Método: 
Método da tabela, atribuindo valores para (x) e calculando correspondentes em y. 
 
2º Método: 
Método dos pontos importantes e propriedades. 
 
Vamos traçar alguns gráficos pelos dois métodos. 
Exemplo (1) 
cbxaxy ++= 2 
62 −+= xxy 





−=
=
=
6
1
1
c
b
a
 
 
1º Método: 
Atribuímos valores para (x) e calculamos (y). Para a parábola precisamos de diversos pontos. E este 
método não é o mais recomendado, pois não garante o traçado completo da parábola. 
 
x’ xvc 
y 
yv 
x” 
x 
 
32 
Matemática Básica 
Aula 05 
 
 
764)3(
062)2(
660)0(
462)2(
664)4(
7
0
6
4
6
3
2
0
2
4
2
2
2
2
2
=−+=→
=−+=→
−=−+=→
−=−−−=→
=−−−=→
−
−−
−
y
y
y
y
y
yx
 
 
1º Método: 
Os pontos importantes e propriedades 
cbxaxy ++= 2 
62 −+= xxy 





−=
=
=
6
1
1
c
b
a
 
a) C = -6 => Ponto onde a parábola corta o eixo (y) 
b) raízes => Ponto onde a parábola corta o eixo (x) 
cab ⋅⋅−=∆ 42 
25)6(1412 =−⋅⋅−=∆ 
⇒
∆±−
==
a
bxx
2
"'






=
+−
=
−=
−−
=
⇒
±−
=
⋅
±−
=
2
2
51"
3
2
51'
2
51
12
251
x
x
x 
c) vértice: 
25,6
4
25
14
25
4
5,0
2
1
12
1
2
−=
−
=
⋅
−
=
−
∆−
=
−=
−
=
⋅
−
=
−
=
a
y
a
bx
V
V
 
 
6 
2 3 
-4 
y 
7 
-2 
-4 
x 
 
33 
Matemática Básica 
Aula 05 
d) a = 1 > 0: CVC 
Juntando as conclusões a, b, c, d traçamos a parábola. 
 
 
Exemplo (2) 
 
532 2 +−−= xxy 
Resolvendo só pelo 2º método 
a) c = 5 => ponto de intersecção da parábola com o eixo (y) 
b) raízes => intersecção da parábola com o eixo (x) 
acb 42 −=∆ 
494095)2(4)3( 2 =+=⋅−⋅−−=∆ 
4
73
)2(2
49)3(
2 −
±
=
−⋅
±−−
=
∆±−
=
a
bx 
5,2
4
73' −=
−
+
=x 
1
4
73" =
−
−
=x 
c) vértice 
 
 
a) a = -2 < 0: Logo CVB 
Exemplo (3) 
24xy = note que é uma função do 2º grau incompleta, pois para cbxaxy ++= 2 faltam os termos 
bx e c, onde concluímos que: 
a = 4 
b = 0 
c = 0 
y 
x -0,5 
-6,25 
6 
2 -3 
125,6
8
49
)2(4
49
4
75,0
4
3
4
3
)2(2
)3(
2
+=
−
−
=
−⋅
−
=
−
∆−
=
−=
−
=
−
=
−⋅
−−
=
−
=
a
y
a
bx
V
V CVB 
-2,5 -0,75 1 
6,125 
5 
 
34 
Matemática Básica 
Aula 05 
Podemos traçar o gráfico usando o 1º método (tabela) atribuindo valores ou o 2º método (pontos 
principais e propriedades). Vamos usar o 2º método. 
a) c = 0 => onde a parábola intercepta o eixo (y) 
b) Raízes: onde intercepta o eixo (x) 
acb 42 −=∆ = 004402 =⋅⋅− 
0
8
0
8
00
)4(2
00
2
==
±
=
⋅
±−
=
∆±−
=
a
bx 
c) vértice 
0
16
0
44
0
4
0
8
0
42
0
2
=
−
=
⋅
−
=
−
∆−
=
−=
−
=
⋅
−
=
−
=
a
y
a
bx
V
V
 
 
d) a = 4 > 0 : CVC logo 
 
 
5.4. Função Exponencial 
 
É uma relação do tipo cujo gráfico depende do valor de (a). 
Se a > 1, temos gráfico do tipo: 
Crescente. 
 
 
 
 
 
 
 
Se 0 < a< 1, temos gráfico do tipo: 
Decrescente. 
 
 
 
 
 
 
 
xay = 
CVC 
x 
y 
x 
y 
1 
y 
1 
x 
 
35 
Matemática Básica 
Aula 05 
Exemplo (1) 
xy 2= 
Usando o 1º método (da tabela) atribuímos valores para (x) e calculamos (y). 
 
x y 
 
-2 0,25 25,04
1
2
1)2( 2
2 ====→ −y 
 
-1 0,5 ( ) 5,02
1
2
12 1
1 ====→ −y 
0 1 1)2( 0 ==→ y 
1 2 2)2( 1 ==→ y 
Crescente 
x => cresce 
y => cresce 
 
 
 
Exemplo (2) 
x
y 




=
2
1 : 
Usando o método da tabela temos: 
x y 
 
-2 0,25 25,04
1
2
1)2( 2
2 ====→ −y 
 
-1 0,5 ( ) 5,02
1
2
12 1
1 ====→ −y 
0 1 1)2( 0 ==→ y 
1 2 2)2( 1 ==→ y 
 
Decrescente 
x => cresce 
y => decresce 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
0,5 
0,25 
1 
-2 -1 
2 
1 
2 
4 
0,5 
1 -1 -2 
 
36 
Matemática Básica 
Aula 05 
5.5. Função Logarítmica 
 
É uma relação do tipo cujo gráfico depende do valor de (a) se a > 1, obtemos gráfico do 
tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 0 < a < 1, obtemos gráfico do tipo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: xxy log2log2 10 == usando o 1º método (da tabela) atribuindo valores para x, temos: 
Usando (log) na calculadora científica. 
401,0log22
2)1(21,0log22
0)0(21log20
21210log21
01,0
1,0
1
10
−==→−
−=−⋅==→−
===→
=⋅==→
y
y
y
y
yx
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xy alog= 
crescente 
y 
x 1 
decrescente 
y 
x 1 
1 
0,01 0,1 
10 
-4 
-2 
2 
 
37 
Matemática Básica 
Aula 05 
São infinitas as relações funções e para cada uma delas corresponde um gráfico. Vejamos só mais 
uma. 
 
5.6. Funções Trigonométricas 
Exemplo: )(10 xseny = Ângulo 
 Seno 
Pelo método da tabela temos: 
 
X Y 
0º y = 10 sen 0º = 10 (0) = 0 
90º y = 10 sen 90º = 10 (1) = 10 
180º y = 10 sen 180º = 10 (0) = 0 
270º y = 10 sen 270º = 10 (-1) = -10 
360º y = 10 sen 360º = 10 (0) 0 
450º y = 10 sen 450º = 10 (1) = 10 
540º y = 10 sen 540º = 10 (0) = 0 
630º y = 10 sen 630º = 10 (-1) = -10 
720º y = 10 sen 720º = 10 (0) = 0 
 
 
 
540 450 
x 
y 
-10 
10 
360 720 630 0 270 180 90 
 
 
39 
Matemática Básica 
Aula 06 
6. Soluções de Sistemas de Equações 
 
Resolver sistemas de equações significa determinar os valores de (x, y) que atendem 
simultaneamente ao sistema, ou seja, se são comuns às funções. Graficamente significa determinar 
o ponto de intersecção das curvas das funções colocadas no mesmo plano cartesiano. 
 
 
 
 
 
 
 
São inúmeras as aplicações deste campo da matemática de pontos comuns como: 
• Equilíbrio oferta-demanda 
• Ponto de nivelamento custo-receita 
• Ponto de encontro (cruzamento) de corpos em movimento 
• Pontos de mesma velocidade, aceleração, inflação, etc. 
São muitos os métodos utilizados para a solução de sistemas. Os básicos são: 
• Método da adição 
• Método da substituição 
• Método da comparação 
 
Exemplo (1) Resolva o sistema e represente no plano cartesiano. 
2x - y = 6 
- x + 3y = - 2 
Resolvendo pelo método da adição, multiplicamos a 2ª equação por (2) para que, somando com a 
1ª, possamos eliminar uma das variáveis. 
( )


⋅⇔−=+−
−=−
223
62
yx
yx
 



−=+//−
−=−//
⇒
462
62
yx
yx
 2
5
10105 −=⇒−=⇒−=⇒ yyy 
Substituindo o valor encontrado em uma das duas equações acharemos x correspondente. 
Escolhendo a 1ª temos: 
4
2
882
262
622
6)2(2
62
−=⇒=⇒−=
−−=
−=+
−=−−
−=−
xxx
x
x
x
yx
 
Logo: a solução do sistema é (-4, -2) 
Para traçar o gráfico das duas funções no mesmo plano cartesiano podemos usar o 1º método 
(tabela) ou 2º método (pontos de intersecção com os eixos) já visto. Veja: 
Usando o 2º método, isolando (y), temos: 
)ª1(626262 funçãoxyxyyx ⇔+=⇒−−=−⇒−=− 
)ª2(
3
2
3
12323 funçãoxyxyyx −=⇒−=⇒−=+− 
y 
x 
x 
y2 
y1 
 
40 
Matemática Básica 
Aula 06 
⇒= 6b onde corta o eixo (y) para 1ª função 
⇒
−
=
3
2b onde corta o eixo (y) para 2ª função 
⇒−− )2,4( ponto comum para a 1ª e 2ª função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (2) 



⇒=−
⇒=−
)ª2(22
)ª1(42
yx
yx
 
Resolvendo pelo método da substituição, isolamos uma das variáveis de uma das equações e 
substituímos na outra. 
 



=−
+=⇒=−
22
4242
yx
yxyx
 
Substituindo o (x) por 2y + 4 na 2ª equação. 
2
3
663823284
2)42(2
−=⇒
−
=⇒−=⇒−=⇒=−+
=−+
yyyyyy
yy
 
Agora substituímos y = -2 em x = 2y + 4. Para determinar (x), teremos: 
x = 2 (-2)+4 = -4+4=0 logo (0, -2) é a solução do sistema(intersecção das retas). 
Para traçar o gráfico, podemos isolar o (y) nas duas equações e achar as raízes (onde cada uma corta 
o eixo x) 
 




−=⇒+−=−⇒=−
−=⇒+−=−⇒=−
222222
2
2
14242
xyxyyx
xyxyyx
 
 
raizfunção
a
bxba
raizfunção
a
bxba
)º2(1
2
)2(2;2
)º1(4
2
1
)2(2;
2
1
=
−−
=
−
=⇒−==
=
−−
=
−
=⇒−==
 
(0, -2) => ponto comumpara a 1ª e 2ª função 
6 
-4 
1º 
2º 
-2/3 
-2 
Isolamos (x) da 1ª equação e substituímos na 2ª 
onde corta o eixo x 
onde corta o eixo x 
 
41 
Matemática Básica 
Aula 06 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo (3) Determinar o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio para as seguintes funções 
de demanda e oferta. 
 



+−=
−=
pS
pD
28
534
ou 



−=+−=
+−=−=
8228
345534
xxy
xxy
 
Pois 



=
=
xp
yD
 
D => demanda (procura, compra de bens e serviços) 
S => oferta (venda de bens e serviço) 
P => preço por unidade 
Resolvendo pelo método da comparação, igualamos: 
D = S 
34 – 5p = -8 +2p 
-5p -2p = -8 -34 
-7p = -42 
P = 6 substituindo em uma das equações, temos: 
 
D = 34 – 5p 
D = 34 – 5 . 6 
D = 34 – 30 
D = 4 
Logo, para o preço P = 6 teremos as quantidades de demanda e oferta D = S = 4 em equilíbrio para 
a quantidade 4. logo (6, 4) solução do sistema. 
 
 
6 
D 
S 
S, D 
34 
-8 
4 
P 
y 
x 
1º f 
1 4 
-2 
2º f 
 
 
43 
Matemática Básica 
Aula 07 
7. Razão - Proporção – Regra de três – Porcentagens – Médias 
 
7.1. Razão 
É uma relação do tipo quociente entre dois valores. Lê-se a para b. 
 
Exemplo (1) Num concurso concorreram para 50 vagas 4000 candidatos. Qual a relação candidatos 
vagas? 
 
Resolução: 
1
80
05
0004
=
//
////
==
b
a
vaga
candidato 
São 80 candidatos para dada vaga 
 
Exemplo (2) Um carro de marca (A) vende por mês 200 unidades e da marca (B) 40 unidades. Qual 
a razão entre (A) e (B). 
 
Resolução: 
1
4
05
002
=
//
///
=
B
A . A relação é de 4 da marca (A) para 1 da marca (B) ou a marca (A) vende 
4 vezes mais que a marca B. 
 
7.2. Proporção 
É a igualdade entre duas razões. ⇒=
d
c
b
a a está para b assim como c está para d. 
Propriedade das proporções: a . d = b . c 
 
7.3. Números e grandezas proporcionais simples e compostas. 
 
7.3.1. Diretamente Proporcionais 
São diretamente proporcionais quando a razão de cada número da seqüência 
 
A (a1, a2, a3...) pela correspondente da seqüência B (b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (K). 
 
k
b
a
b
a
b
a
==== ...
3
3
2
2
1
1 
No caso de grandezas vale a mesma relação, pois serão diretamente proporcionais se o aumento do 
valor de uma leva ao aumento proporcional do valor da outra e então as razões de dois valores de 
uma é igual á razão dos dois valores correspondentes a eles na outra. 
2
1
2
1
1221
2
2
1
1
b
b
a
aoubaba
b
a
b
a
==⇒= 
Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), então esta montagem é 
denominada de regra de três simples. No esquema prático, como são grandezas diretamente 
proporcionais, as setas terão mesmo sentido. 
 
44 
Matemática Básica 
Aula 07 
2
1
)(
a
a
AGrandeza
↓
 
2
1
)(
b
b
BGrandeza
↓
 
2
1
2
1
b
b
a
a
= ou 1221 baba = 
 
Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão dos números (20, x, y) são diretamente proporcionais aos 
números da sucessão (4, 2, 1). 
Resolução: 
124
20 yx
== ⇒=⇒⋅=⇒=⇒ 4042024
24
20 xxx 10=x 
⇒⋅=⇒= 1204
14
20 yy 5=y 
 
Exemplo (2) Cinco metros de um tecido custam R$: 80,00. Quanto custam oito metros? 
Resolução: Comprimento (m) preço (R$) 
 
Comprimento(m) Preço (R$) 
8
5
↓ 
x
80
↓ 
 
Setas no mesmo sentido por serem diretamente proporcionais. (quanto maior a compra em metros 
maior será o preço) 
00,128:$
5
640808580
8
5 Rxxx
x
=⇒=⇒⋅=⇒= 
 
Exemplo (3) Se um pedreiro rebocar 20m2 de parede em 4 dias, quanto pode rebocar em 25 dias? 
Dias Reboco (m2) 
25
4
↓ 
x
20
↓ 
 
2125
4
5002520420
25
4 mxx
x
==⇔⋅=⇒= 
 
Exemplo (4) Se a distância no mapa, medido com a régua, entre duas cidades é de 10cm e a escala 
do mapa é 1/100000, qual a distância real entre elas? 
 



==⇒⋅=⋅⇒== kmcmccmx
x
cm
realocompriment
mapaocomprimentescala 10100000010100000110
100000
1
)(
)( 
7.3.2. Inversamente Proporcionais 
São inversamente proporcionais quanto à razão de cada número da seqüência 
A (a1, a2, a3,...) pelo inverso de cada número correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) derem 
origem a uma constante (k) ou o produto de cada número da seqüência A (a1, a2, a3,...) pelo 
correspondente da seqüência B(b1, b2, b3...) derem origem a uma constante (k). 
 
45 
Matemática Básica 
Aula 07 
kbababaK
b
a
b
a
b
a ......
111 332211
3
3
2
2
1
1 ===⇔==== 
 
No caso de grandezas, vale a mesma relação, pois serão inversamente proporcionais se o aumento 
do valor de uma leva a diminuição proporcional do valor da outra e então as razões dos valores de 
uma pelo inverso da correspondente é igual a razão da outra pela inversa da correspondente. 
2
2
1
1
11
b
a
b
a
= ou 2211 baba = 
 
Se colocarmos na mesma coluna grandezas de mesma natureza (unidade), então esta montagem é 
denominada de regra de três simples. 
No esquema prático, como são grandezas inversamente proporcionais, as setas terão sentidos 
contrários. 
 
2
1
)(
a
a
AGrandeza
↓
 
2
1
)(
b
b
BGrandeza
↑
 
 
Para igualar, invertemos a seta da grandeza (B) com seus valores fazendo com que as duas 
grandezas apontem para o mesmo sentido. 
 
2
1
a
a
↓ 
1
2
2
1
1
2
b
b
a
a
b
b
=⇒↓ ou 2211 baba = 
 
Exemplo (1) Calcular x e y se a sucessão de números (4, x, y) são inversamente proporcionais aos 
números da sucessão (9, 12, 36). 
Resolução: 
 
1
3636
3694
3
1236
1294
361294
=
⋅=
⋅=⋅
=
⋅=
⋅=⋅
⋅=⋅=⋅
y
y
y
x
x
x
yx
 
 
Exemplo (2) Três torneiras nas mesmas condições enchem um tanque em 90 min. Quantas torneiras 
de mesma vazão que essas seriam necessárias para encher o mesmo tanque em 54 min? 
 
Tempo(m) nº torneias 
54
90
↓ 
x
3
↑ 
 
 
46 
Matemática Básica 
Aula 07 
Setas em sentido contrário por se tratar de grandezas inversamente proporcionais, pois diminuindo o 
tempo teremos que aumentar o número de torneiras. Invertendo uma das setas para ficarem com 
mesmo sentido, temos: 
 
Tempo(m) nº torneias 
54
90
↓ 
x
3
↓ 
)(539054
354
90 torneirasxxx =⇒⋅=⇒= 
 
7.3.3. Regra de três compostas com grandezas diretas e inversamente proporcionais. 
 
Seguem as mesmas regras já vistas para as regras de três simples com grandezas diretas e 
inversamente proporcionais. Só que agora uma grandeza varia em dependência com duas ou mais 
grandezas. 
 
Exemplo (1) Dez pessoas, trabalhando 5 dias, 6h por dia produzem 400 peças. Quantas pessoas 
trabalhando 7dias, 8h por dia produzem 500 peças? 
Resolução: 
1º Passo: Montamos a tabela com as grandezas do mesmo tipo em coluna 
x
Pessoasn
10
º
 
7
5
º Diasn
 
8
6
º Horasn
 
500
400
º Peçasn
 
 
2º Passo: Colocamos uma seta na coluna da variável sentido qualquer e depois comparamos esta 
coluna com cada uma das demais colocando seta no mesmo sentido se tratar de grandezas 
diretamente proporcionais e sentido contrário se tratar de grandezas inversamente proporcionais, 
sem olhar para os números da coluna. Só pense no comportamento da idéia da coluna. 
 
x
Pessoasn
10
º
 
7
5
º Diasn
 
8
6
º Horasn
 
500
400
º Peçasn
 
Comentário: Deve-se pensar que (mesmo que os números da tabela não confirmem): 
Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de dias (setas contrárias). 
Se aumentar o nº de pessoas diminui o número de horas (setas contrárias).Se aumentar o nº de pessoas aumenta o número peças. 
 
3º Passo: Para resolver fazemos todas as setas apontarem no mesmo sentido da coluna da variável 
(x) 
x
10
↓ 
5
7
↓ 
6
8
↓ 
500
400
↓ 
 
 
 
 
 
47 
Matemática Básica 
Aula 07 
4º Passo: A razão da coluna da variável é igualada a razão do produto das demais colunas. 
 
 
⇔
///⋅/⋅
///⋅/⋅
=
00365
0048710
x
Simplificando 
 
 
4
112
4504510112
45
11210
≅⇒=⇒⋅=⇒= xxx
x
(aproximadamente 4 pessoas) 
 
7.3.4. Porcentagens 
 
É uma razão onde o denominador é 100. Esta forma de “pensar” sobre 100 é muito utilizada no 
nosso quotidiano como taxa de impostos, taxa de juros, taxa previdência, etc. 
Exemplo (1) 10% de minha produção de soja se perdeu por falta de chuva. 
⇒=
100
10%10 de cada 100 partes 10 foram perdidas. 
 
Exemplo (2) 20% dos alunos tiraram nota superior a 8. 
⇒=
100
20%20 de cada 100 alunos ou sobre 100 alunos 20 obtiveram nota superior a 8. 
 
7.3.4.1. Taxa de Porcentagem (i) 
Razão centesimal é toda a razão com denominador igual a 100 
 
Exemplo: ipercentualtaxaunitáriataxacentesimalrazão =−=−=− )%(2)(02,0)(
100
2 
⇒== %202,0
100
2 (lê-se 2 por centro) e representamos i = 2% ou i=0,02 ou i=2/100. 
 
7.3.4.2. Porcentagem 
 
Quando aplicamos uma taxa de porcentagem a um dado valor, o resultado obtido também recebe 
um nome especial: porcentagem. 
 
 
 
P = Porcentagem 
i = Taxa de porcentagem 
p = Valor sobre o qual aplicamos uma taxa (valor principal) 
 
Exemplo (1) Quanto é 4% de 750. 
Resolução: 
 
P = i . p 
4 
3 
 
48 
Matemática Básica 
Aula 07 
?
750
04,0
100
4%4
=
=
===
P
p
i
 
3075004,0 =⋅⇒⋅= piP 
 
Podemos também usar regra de três simples. Veja: 
 
%4
%100
)( mporcentageTaxa
 
x
mPorcentage
750 
30
100
30007504100750
4
100
=∴=⇒⋅=⋅⇒= xxx
x
 
 
Exemplo (2) Quinze por cento do preço de um objeto é R$: 800,00. Qual o preço desse objeto? 
800
?
15,0
100
15%15
=
=
===
P
p
i
 
33,5333:$
15,0
80015,0800 RpppiP ==⇒⋅=⇒⋅= 
Usando regra de três: 
 
x→
→
%100
800%15
 ou 
x
800
100
15
= 
33,5333:$
15
8000080010015 Rxxx =⇒=⇒⋅=⋅ 
Exemplo (3) Ao pagar uma dívida no valor de R$: 1800, 00, tive que pagar R$ 130,00 de multa. De 
quantos por cento foi a multa? 
Resolução: 
 
 
00,1800
130
?
=
=
=
P
p
i
 
%2,7072,0
1800
1301800130 ===⇒⋅=⇒⋅= iipiP 
 
Ou regra de três: 
%2,7
%1001301800
130
%1001800
=
⋅=
→
→
x
x
x
 
 
49 
Matemática Básica 
Aula 07 
 
7.4. Média 
 
É a obtenção de um resultado único partindo de uma seqüência de dados com a finalidade de obter 
uma informação classificatória ou para comparar com outros valores similares. 
 
7.4.1. Média Aritmética Simples 
 
Média aritmética simples (XS) é a razão entre a soma dos valores (x1, x2, x3, ...xn) e n (quantidade 
destes valores). 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram: 1º B = 3; 2º B = 5; 3º B = 6 e 4º B = 
8. Qual a média aritmética do ano? 
 
5,5
4
8653
=
+++
=SX 
 
7.4.2. Média Aritmética Ponderada 
 
Média aritmética ponderada (XP) é a razão entre a soma do produto dos pesos ( nppp ,...21 ) pelos 
seus respectivos valores ),...,( 21 nxxx e a soma dos pesos. 
 
 
 
 
 
Exemplo: As notas nos (4) bimestres em matemática de um aluno foram 1º B = 3; 2º B = 5; 3º B = 6 
e 4º B = 8. Qual a média aritmética ponderada se os pesos dos bimestres foram: 
1º B = 1; 2º B = 2; 3º B = 3; 4º B = 4 
 
3,6
10
63
4321
84635231
==
+++
⋅+⋅+⋅+⋅
=PX 
 
7.4.3. Média Geométrica 
 
A média geométrica de (n) números reais positivos é a raiz n-ésima do produto entre esses números, 
isto é: 
 
n
nG xxxxX ...321 ⋅⋅= 
 
n
nn
P ppp
xpxpxpX
+++
++
=
...
...
21
2211 
n
xxxxX nS
...321 +++= 
 
50 
Matemática Básica 
Aula 07 
Exemplo (1) A média geométrica entre os números 7, 13, 18, 35 é dada por: 
47,15573303518137 44 ==⋅⋅⋅=GX 
 
Exemplo (2) Qual o retângulo de menor perímetro com área de 64 cm2? 
64=⋅ ba A média geométrica de ba ⋅ fornece este valor: ⇒== 864GX É o quadrado de lado 8 
cujo perímetro vale 32 cm. 
 
 
 
 
51 
Matemática Básica 
Aula 08 
8. Operações com Expressões Algébricas e Polinomiais 
 
As expressões algébricas contêm parte numérica e parte literal (letras) e são usadas na solução de 
problemas e demonstrações de fórmulas em todas as áreas do conhecimento quantitativo. 
Polinômios: As expressões algébricas são denominadas de polinômios quando possuírem só um 
tipo de variável na forma dos exemplos a seguir: 
⇒x3 Monômio (um termo) 
⇒+ 23x Binômio (dois termos) 
⇒−+ 122 2 xx Trinômio (três termos) 
⇒+−+ 2325 23 xxx Polinômio (denominação genérica). 
 
8.1. Adição e subtração de expressões 
 
Só podemos operar (juntar) termos semelhantes, isto é, que tem a mesma parte literal com mesmo 
expoente. 
 
 
Exemplo (1) )4323()342()3( zyxxyzyxzyxy −++=−++−− 
 
 
 
 
Exemplo (2) 
58311)642545()6425()45( 33333 −+−=++−−+−=−−+−+− yxxyxyyxyxxyxyzxyxxy 
 
 
8.2. Multiplicação de Expressões Algébricas Polinomiais e Produtos Notáveis. 
 
Multiplicamos parte numérica com parte numérica e parte literal com literal. 
Exemplo (1) 
 
 
xyyx 15)3()5( −=−⋅ 
 
Exemplo (2) 
 
 
4734343)1()43( 2222222 +−+−⇒+−++−=+⋅+− yxxyxyxxxyxxyx 
 
Exemplo (3) 
)2()222( 223 −⋅−−− xxxx Podemos também usar o algoritmo em colunas. 
Obs. O (-2) e o (x2) multiplicam cada termo e os resultados são postos em colunas por semelhança 
para somarmos em seguida. 
 
semelhantes 
semelhantes 
semelhantes 
semelhantes 
 
 
 
52 
Matemática Básica 
Aula 08 
2
43
2
23
−
−−−
x
xxx
 
8226 23 +++− xxx 
 2345 43 xxxx −−− 
82273 2345 ++−−− xxxxx 
 
8.2.1. Produtos Notáveis 
 
Denominamos de produtos notáveis quando multiplicamos binômios iguais. Veja: 
 
 
22222 2)()()(º1 bababbaababababa ++=+++=+⋅+=+⇒ 
 
22 2))(()()(º2 babababababa +−=−−=−⋅−⇒ 
 
22)()(º3 bababa −=−⋅+⇒ 
 
Desenvolva usando produtos notáveis. 
 
Exemplo (1) 
 
22222 25309)5(532)3()53( yxyxyyxxyx ++=+⋅⋅+=+ 
 
 
 
Exemplo (2) 
 
Usando o 2º produto notável 
 
2222 44222)2( xxxxx −−=+⋅−=− 
 
 
 
 
Exemplo (3) 
 
Usando o 3º produto notável 
9253)5()35)(35()53()53( 222 −=−=+−=+⋅+− xxxxxx 
 
 
 
a b b2 a2 2ab 
a2- 2ab + b2 a b 
a2 – b2 a b a b 
 
 
 
53 
Matemática Básica 
Aula 08 
8.3. Divisão de expressões Algébricas e Polinomiais 
 
Dividimos número por número e parte algébrica por parte algébrica de cada termo do numerador 
pelo termo do denominador. 
 
Exemplo (1) 
xxxx
xx
x
xxx 33
4
21412 3
2
32 =
///
///=
//
///=÷ 
 
Exemplo (2) 
yxxy
x
yxyx
x
yx
yxyxxyx 2222
3
33
3
8
3
4
3
4
3
8
3
4
3
43)844( ++=++⇒÷++ 
 
Exemplo (3) 
 
)2()233( 23 −÷−−− xxxx Podemos também usar o algoritmo, neste caso, para a divisão de 
polinômios. Lembre: 
CR
RCBABA +⋅=⇔
 
A = Dividendo 
B = Divisor 
C = Quociente 
R = Resto 
 
2
210
512
− 22512 +⋅= 
 
23
23
63
233
xx
xxx
−//−
−−−// 
1793
2
2 +−
−
xx
x
 
xx
xx
189
29
2
2
+//+
−−//− 
3471
271
+///−
−///
x
x
 
32 
 
Podemos provar que: 32)2()1793(233 223 +−⋅+−=−−− xxxxxx 
 
Divide sempre 1º termo do dividendo pelo 1º do divisor e a resposta que dá no quociente multiplica 
por cada termo do divisor colocando o resultado de baixo do dividendo com sinal contrário em 
A resposta da divisão é 
1793 2 +− xx com resto 3254 
Matemática Básica 
Aula 08 
colunas semelhantes para somar e retornar ao mesmo procedimento podendo sobrar no final resto 
diferente de zero. 
 
8.4. Fatoração e Simplificação 
 
Sempre que for possível fatorar e simplificar para tornar mais simples uma expressão numérica ou 
algébrica devemos fazê-lo com os seguintes procedimentos. 
• Colocando em evidência o que é comum a cada termo (fatoração) 
• Cancelando fatores do numerador com fatores do denominador da fração que sejam 
semelhantes (simplificação) 
• Dividindo numerador e denominador por um mesmo valor (simplificação) 
• Juntando (adição e subtração) termos semelhantes (fatoração) 
Fatore e ou simplifique as expressões a seguir sempre que for possível. 
 
Exemplo (1) 
 
 
 
 
 
1º) Colocando em evidência (3xy) no numerador por serem comuns a cada termo e (y) do 
denominador por ser comum a cada termo. 
 
)1(
)2(3
2 −
−
xy
yxy 
 
2º) Dividimos cada termo dado inicialmente pela parte posta em evidência. Vejamos. 
2
3
6
3
3 2
=
///
///=
///
// /
yx
yxy
yx
yx 
Veja denominador 
12
2
==
/
/
y
yx
y
xy 
3º) Simplificamos (y) (parte comum em evidência do numerador e denominador) e obtemos a 
resposta 
)1(
)2(3
2 −/
−/
xy
yyx 
1
)2(3
2 −
−
x
yx 
 
Exemplo (2) 
 
yyx
xyxy
−
−
2
2 63 
 
 
 
55 
Matemática Básica 
Aula 08 
⇒




 −
9
116 2a (Fatoramos) lembrando o produto notável 22)()( bababa −=−⋅+ . É só extrair a 
raiz para obter os valores anteriores. 
3
1
9
1
416 2
=
= aa
 
Logo: 




 −⋅




 +=−
3
14
3
14
9
116 2 aaa 
 
Exemplo (3) 
 
⇒+− 1682 xx vem de um produto notável do tipo: bababababa +−=−=−⋅− 2)()()( 22 . Para 
achar a e b é só extrair a raiz de x2 e 16. 
xx =2 
416 = 
Logo: )4()4(1682 −⋅−=+− xxxx 
 
Exemplo (4) 
 
⇒
+−
−
96
9
2
2
xx
x Fatorando numerador e denominador com os produtos notáveis temos: 
 
)3()3(92 −⋅+=− xxx 
)3()3(962 −⋅−=+− xxxx 
xx =2 
39 = 
 
Logo: 
3
3
)3)(3(
)3)(3(
96
9
2
2
−
+
=
−−
−+
=
+−
−
x
x
xx
xx
xx
x 
 
Exemplo (5) 
Cuidado nas simplificações numéricas. 
• Nas adições e subtrações, todos os termos do numerador devem ser simplificados com o 
denominador, pois equivale a pôr em evidencia. Veja: 
 
yxyx 84
5
4020
+=
+ pois yxyxyx 84)2(4
5
)2(20
+=+=
+ 
• Na multiplicação e divisão, é um fator do numerador com um do denominador. Veja: 
xyyxyx 160
1
404
5
4020
=
⋅
=
/
⋅ 
 
 
 
56 
Matemática Básica 
Aula 08 
y
x
y
xyx
31
5
124
20)124(20
−
=
−
=−÷ pois: 
)31(
5
)31(4
20
yy −
=
−
 
 
 
 
 
57 
Matemática Básica 
Aula 09 
9. Trigonometria e Relações Métricas no Triângulo Retângulo 
 
A trigonometria básica do triângulo é uma das partes da matemática mais antiga e aplicada pelos 
povos antigos em suas construções de pirâmides, cálculos de distâncias, alturas, topografia, etc. 
Estudaremos aqui só as relações métricas e trigonométricas do triangulo retângulo. 
 
9.1. Relações Trigonométricas 
 
(Relações lados - ângulos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
tggente
seno
senoseno
alfaângulo
⇒
⇒
⇒
⇒
tan
coscos
)(α
 
α
αα
αα
cos
1cos22
sentg
sen
=
=+
 
 
c
asen =α 
⇒a cateto oposto ao ângulo )(α 
hipotenusac ⇒ 
c
b
=αcos 
⇒b cateto adjacente ao ângulo )(α 
hipotenusac ⇒ 
b
atg =α 
⇒a cateto oposto ao ângulo )(α 
⇒b cateto adjacente ao ângulo )(α 
Exemplo: Calcular o seno, cosseno e tangente do ângulo (α ) e comprovar as demais relações. 
 
 
 
 
 
 
 
α 
a 
c 
b 
α 
3 
5 
4 
 
 
 
58 
Matemática Básica 
Aula 09 
 
 
75,0
4
3
8,0
5
4cos
6,0
5
3
==
==
==
α
α
α
tg
sen
 
1cos22 =+ ααsen 
1
25
16
25
91
5
4
5
3 22
=+⇒=




+




 
α
αα
cos
sentg = 
 
75,0
4
3
4
5
5
3
5
4
5
3
4
3
==
/
⋅
/
== 
 
O ângulo α vale 36,86989765º, usando sen-1 (0,6) na calculadora podemos obter este valor. 
 
sen 36,86989765º= 0,6 
cos 36,86989765º=0,8 
tg 36,86989765º=0,75 
 
9.2. Relações Métricas 
 
Pitágoras 
 
A soma dos quadrados dos catetos (a2 + b2) é igual ao quadrado da hipotenusa (c2) 
 
222 cba =+ 
 
Relações secundárias 
 
hcba
nmc
nmh
ncb
mca
cba
⋅=⋅
+=
⋅=
⋅=
⋅=
=+
2
2
2
222
 
 
h 
n 
α 
m 
 
b
 
a
 
c
 
 
 
 
59 
Matemática Básica 
Aula 09 
 
 
Exemplo: Conferir as relações métricas do triângulo retângulo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25169543 222 =+⇒=+ 
5
1654
5
953
22
22
=⇒⋅=⇒⋅=
=⇒⋅=⇒⋅=
nnncb
mmmca




==+
=+
5
5
25
5
16
5
9
cnm
 
 
4,2
5
12
5
43
5
16
5
92 ==⋅=⋅=⋅=⇒⋅= nmhnmh 
 
12124,2543 =⇒⋅=⋅⇒⋅=⋅ hcba 
 
α 
m 
n 
b = 4 
h a = 3 
c = 5 
 
 
 
61 
Matemática Básica 
Aula 10 
10. Medidas e Grandezas Físicas – Propriedades e Operações 
 
10.1. Grandezas Físicas 
 
Grandezas físicas (físicas, químicas, biológicas, etc) são todas as grandezas que podemos medir ou 
contar e que para tal tem instrumentos de medição e contagem e um significado físico padrão 
também denominado de unidade. 
 
10.2. Fenômenos Físicos 
 
O homem observa os fenômenos para descobrir as leis que os regem. As descobertas científicas se 
traduzem em aplicações tecnológicas como o avião, o carro, o telefone celular, etc. 
 
10.3. Medição 
 
A medição é a operação pela qual associamos um número a uma grandeza física. 
 Ex: massa de uma porção de ouro, m = 3 kg, medida com a balança. 
 
10.4. Sistemas de Unidades 
 
Sistema Internacional (SI) – grandezas fundamentais da física. 
Uma unidade física é um padrão de comparação. O sistema internacional de medidas (SI) também é 
denominado MKS (metro-kilograma segundo) que constituem as grandezas fundamentais da 
mecânica. 
 
 Existem, ainda, dois outros sistemas em uso, veja a seguir. 
 
 Unidades e subunidades 
 
 
 
 
 
 
 1 tonelada = 1t = 1.000 kg 
 
 tempo: 1h = 60 min = 3.600s 
 
 Exemplos: 
 1 km = 1.000 m 
 1 kg = 1.000 g 
 8 h = 28.800 s 
 5,80 m = 580 cm 
 
 
 
62 
Matemática Básica 
Aula 10 
 600 g = 0,6 kg 
 1 mm = 0,001 m 
 1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000  
 2 km2 = 2.000.000 m2 
 500  = 0,5 m3 
 
s
m
s
m
h
km 10
600.3
600.336 == 
 
10.5. Fatores que interferem na medição 
 
É impossível medir uma grandeza física com precisão absoluta devido a fatores como 
incompetência e desatenção do medidor, imperfeições do aparelho, grau de precisão do 
instrumento, etc. Fenômenos como dilatações, temperatura, umidade do ar e outros interferem no 
valor da medida. 
 
10.6. Precisão de um Instrumento de Medida 
 
A precisão de um instrumento de medida corresponde à menor divisão do instrumento. 
Ex.: uma régua graduada em milímetros tem precisão de milímetros e uma balança graduada em 
dg (decigrama) tem precisão de decigrama. 
 
10.7. Algarismo significativo 
 
É todo o algarismo relacionado com a medição e o instrumento utilizado. Os algarismos corretos e o 
primeiro algarismo duvidoso, isto é, que vai além da menor divisão oferecida pelo instrumento, são 
chamados de algarismos significativos. 
 
 Exemplo: Em uma régua cuja menor divisão é o milímetro, deve-se obter medidas até décimos 
de mm. Assim, por exemplo, ao se medir o comprimento de um lápis com esta régua podemos 
obter valores como: 
 
 
 
duvidoso em décimos de mm (vai além do instrumento)precisão do instrumento em (mm) 
 
10.8. Arredondamentos 
 
Os valores das grandezas são arredondados para manter o número de algarismos significativos da 
medição. Assim, o procedimento mais simples utilizado é o seguinte: se o algarismo imediatamente 
à direita do último algarismo a ser conservado for inferior a 5, suprimimos o algarismo e todos os 
subseqüentes a ele, e o anterior fica como está; se for igual ou superior a 5, o anterior é aumentado 
de uma unidade. 
 
15,32 cm 
 
 
 
63 
Matemática Básica 
Aula 10 
 Ex.: se desejamos uma precisão de duas casas decimais, fazemos: 
 
 
 
 
 
10.8.1. Operações com Algarismos Significativos 
 
10.8.1.1. Adição e Subtração 
 
O resultado deverá ter o número de casas decimais da parcela que menos os tiver: 
 Exemplos: 
 a) 
 
 
 
 
 
 
 b) 
 
 
 
 
 
 c) 
 
 
 
 
 
10.8.1.2. Multiplicação e Divisão: 
 
O resultado deverá ter o número de algarismos significativos do fator que menos os tiver. 
 Exemplos: 
 
 a) 


2
.2
2
.2.4
49443,492,342,15 cmcmcmcm
signsignsignif
→///=⋅

 
 b) 
 
mmmm
signsignsignif .3.2
2
.4
82,15975681,141,2378,4 →/=÷

 
 
10.9. Notação Científica 
 
Notação científica de uma grandeza física é escrever este valor num produto de dois fatores, onde o 
1° é um número situado entre 1 e 10 e o 2° é uma potência de 10. 
 Ex.: 0,0003s = 3,0 . 10-4s. 
20,345 cm = 20,35 cm. 
 
20,3449 cm = 20, 34 cm. 
 7,49 kg → 2 casas 
– 3,2 kg → 1 casa 
 4,29 kg 
 4,3 kg → 1 casa 
 8,389 m → 3 casas 
+ 0,40 m → 2 casas 
 8,789 m 
 8,79 m → 2 casas 
 125,12 cm → 2 casas 
+ 40,3 cm → 1 casa 
 165,42 
 165,4 cm → 1 casa 
 
 
 
 
64 
Matemática Básica 
Aula 10 
 1231m = 1,231 . 103m. 
 0,0021g = 2,1 . 10-3g. 
 carga elétrica elementar 1,6 . 10-19 coucomb 
 Ano-luz 9,46 . 1015 metros. 
 N° de Avogadro 6,02 . 1023 
 Massa da Terra 5,983 . 1024 quilogramas. 
 
 Operações: 
Adição: 2⋅107 + 23⋅106 = 2⋅107 + 2,3⋅107 = 4,3⋅107 
Subtração: 4⋅108 – 4⋅107 = 4⋅108 – 0,4⋅108 = 3,6⋅108 
Multiplicação: (2.103).(4.106)=8.109 
Divisão: 43
7
37 102
102
104102104 ⋅=
⋅
⋅
=⋅÷⋅ 
10.10. Ordem de grandeza. 
 
É a potência de dez mais próxima do valor da medida. 
 Para facilitar a obtenção da ordem de grandeza de um número adotamos os seguintes passos: 
 1º passo: escrevemos o número em notação cientifica. 
 2º passo: se o número que multiplica a potência de dez for igual ou superior a 5,5, isto gera 
101 que vai se juntar à potência já existente. Caso for inferior a 5,5, gera 100 que não vai alterar a 
potência anterior. 
 
 Ex.: 822  8,22 ∙ 102  101 ∙ 102  103 
 110  1,10 ∙ 102  100 ∙ 102  102 
 2,5 ∙ 104  100 ∙ 106  106 
 5,8 ∙ 106  101 ∙ 106  107 
 0,0055  5,5 ∙ 10-3  101 ∙ 10-3  10-2 
 
10.11. Grandezas Físicas 
É toda a grandeza que podemos medir. 
 
10.11.1. Grandezas Escalares 
são as que ficam bem definidas quando expressas por: 
 – um número 
 – um significado físico (unidade) 
 
 Ex.: 
 
 
 
10.11.2. Grandezas Vetoriais 
são as que ficam bem definidas quando expressas por: 
 – um número 
 – um significado físico (unidade) 
3kg, 2 s 
 significado físico 
 número 
 
 
 
 
65 
Matemática Básica 
Aula 10 
 – uma orientação (direção e sentido que é dado por uma flecha que denominamos de vetor.) 
 
 Ex.: 
 
 3 → número (intensidade) 
 N → Newton (unidade de força) 
 direção: horizontal 
 sentido: para direita 
 
 
10.11.2.1. Operações com grandezas vetoriais 
 
10.11.2.1.1. Adição 
21 VVS

+= ou 21 VVR

+= 
 
Seja a soma dos vetores 1V

e 2V

 
 
 
 
Vejamos três métodos para determinar o vetor resultante. 
 
10.11.2.1.1.1. Regra da poligonal 
 
Os vetores são postos um após o outro. 
 
 
 
 
08,63712916
120cos34234
cos2
22
21
2
2
2
1
≅=++=
°⋅⋅−+=
−+=
R
R
VVVVR α
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
Matemática Básica 
Aula 10 
10.11.2.1.1.2. Regra do paralelogramo 
Os vetores têm a mesma origem. 
 
 
08,6
60cos34234
cos2
22
21
2
2
2
1
=
°⋅⋅++=
++=
R
R
VVVVR θ
 
 
10.11.2.1.1.3. Regra da decomposição cartesiana 
 
 
 V2x = V2 cos 60º = 3 . 0,5 = 1,5 
 
 V2y = V2 sen 60º = 3 . 0,866 = 2,598 
 
 Note que: 
 V2 = 3 foi projetado sobre o eixo x e sobre o eixo y, já o vetor V1 = 4 já está sobre o eixo ou 
seja, já se encontra projetado onde: 
 V1x = V1 = 4 (sobre o eixo x) 
 V1y = 0 (sobre o eixo y) 
 Logo: 
 
θ = 60º 
 
 
 
67 
Matemática Básica 
Aula 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
08,69996,36
7496,625,30
)598,2()5,5( 22
22
≅=
+=
+=
+=
R
R
R
RRR yx
 
 
10.11.2.1.2. Subtração ou Diferença 
 
21 VVD


−= 
Procede-se como na adição, bastando inverter o vetor. 
Veja: 
 
 
10.11.2.1.2.1. Regra da poligonal 
 
61,3131225
60cos34234
cos2
22
21
2
2
2
1
≅=−=
°⋅⋅−+=
−+=
D
D
VVVVD θ
 
 
10.11.2.1.2.2. Regra do paralelogramo 
 
 
 
61,3
)5,0(34234
120cos2
22
21
2
2
2
1
=≅
−⋅⋅⋅++=
°++=
D
D
VVVVD
 
 ou 
 
Rx = V2x + V1 = 1,5 + 4 = 5,5 
 
 resultante sobre o eixo x 
 
Ry = V2y = 2,598 
 
resultante sobre o eixo y 
 
 
 
68 
Matemática Básica 
Aula 10 
 
 
61,3
5,034234
60cos2
22
21
2
2
2
1
≅
⋅⋅⋅−+=
°−+=
D
D
VVVVD
 
 
10.11.2.1.2.3. Regra da Decomposição Cartesiana 
 
 
 
 V2x = –V2 cos 60º = –3.0,5 = –1,5 
 
 V2y = –V2 sen 60º = –3.0,866 = –2,598 
 
 Rx = V1 + V2y = 4 – 1,5 = 2,5 
 
 Ry = V2y = –2,598 
 
 
 
61,3
9996,12
7496,625,6
22
≅
=
+=
+=
D
D
D
RRD yx