GUIAS DE ONDAS

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS 
FACULDADE DE TECNOLOGIA 
ENGENHARIA DA ELÉTRICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
DISCIPLINA ONDAS E LINHAS 
 
 
 
 
 
 
ONDAS TM E TE 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus – AM 
2017 
SKARLET REIS DO NASCIMENTO - 21454826 
 
 
 
 
 
 
ONDAS TM E TE 
 
 
 
Trabalho de pesquisa da Disciplina de Ondas 
e Linhas apresentado ao Curso de Engenharia 
da Elétrica. 
 
 
 
PROFESSOR: ADEMIR DE JESUS LOURENÇO 
 
 
 
 
 
 
 
 
Manaus – AM 
2017 
Ondas TM e TE 
 
Guias de onda são estruturas que direcionam a propagação de ondas, sejam 
estas sonoras ou eletromagnéticas, sendo a discussão deste artigo sobre as do último tipo. 
Essas guias são, de forma geral, canaletas retangulares ou cilindros metálicos ocos usados 
na transmissão de ondas eletromagnéticas de alta frequência (em geral, na faixa de rádio, 
microondas e luz visível). No caso em que possuem seção transversal constante, são 
denominadas guias de onda uniformes, sendo a guia de onda circular aquela cuja seção é 
um círculo. 
As várias aplicações das guias de onda criam um interesse em saber mais precisamente 
como os campos elétricos e magnéticos se comportam em seu interior quando há 
uma onda eletromagnética se propagando. Esse tipo de informação permite ter critérios 
para selecionar ou construir uma guia que tenha determinadas propriedades vantajosas 
para uma aplicação específica. 
De um ponto de vista matemático, isso é feito procurando a solução para as equações que 
regem essas grandezas. Em termos mais técnicos, é possível encontrar a solução analítica 
para os campos E e H, a partir das equações de Maxwell e das condições de contorno 
apropriadas. 
Ondas guiadas 
A propagação de uma onda eletromagnética harmónica de frequência angular ω num meio 
linear sem fontes ( ρ = 0 e J = 0 ) de parâmetros (ε , µ ) é governada pelas equações de 
onda de Helmoltz: 
 
onde E e H representam os fasores dos campos eléctricos e magnéticos da onda. 
Considere-se a propagação de ondas deste tipo num guia de onda cilíndrico, isto é, num 
guia cuja secção transversal não varia com a distância longitudinal (direcção do eixo dos 
z). Apenas serão considerados guias sem perdas, isto é, guias preenchidos por um material 
de parâmetros (ε , µ ), sem perdas, e podendo estar limitados por um condutor perfeito (σ 
= ∞ ). 
 
Admitindo que o guia tem comprimento infinito, é necessário considerar apenas as ondas 
que se propagam no sentido positivo do eixo dos z, o que permite escrever 
 
onde γ = α + jβ é a constante de propagação. Substituindo estas expressões nas equações 
de Helmoltz leva a 
 
Onde é o chamado laplaciano transversal e . Estas 
duas equações de onda correspondem a seis equações de onda escalares, uma para cada 
componente dos campos: 
 
Onde . Estas equações de onda não 
são independentes e, portanto, não é necessário resolver estas seis equações para 
determinar E e H. Efetivamente, os campos eléctrico e magnético de uma onda estão 
relacionados pelas equações de Maxwell , ou na forma 
escalar 
 
É possível manipular estas equações para se poder determinar as componentes 
transversais dos campos partir das componentes longitudinais Ez e Hz : 
 
Na verdade, o procedimento mais habitual para a determinação dos campos 
eléctrico e magnético de uma onda no interior de um guia baseia-se no uso destas 
equações para a determinação das componentes transversais a partir do cálculo prévio das 
componentes longitudinais. 
1. Resolver as equações de onda 
 
2. Determinar as componentes transversais usando 
 
3. Obter 
 
É importante referir que, durante a resolução das equações de onda ou na 
determinação das componentes transversais, deverão ser usadas as condições fronteira 
apropriadas para a determinação das constantes de integração e dos valores possíveis para 
h. Estas condições fronteira dependem da geometria do guia considerado. Deve ser 
também notado que as expressões usadas na determinação das componentes transversais 
são válidas apenas se h ≠ 0 . Caso h seja nulo, devem utilizar-se as equações de Maxwell 
para se determinar E e H. 
a. Ez = Hz = 0: ondas transversais electromagnéticas (ambos os campos são 
perpendiculares à direcção de propagação) ou simplesmente ondas TEM; 
b. Ez = 0 e Hz ≠ 0: ondas transversais eléctricas (campo eléctrico é 
perpendicular à direcção de propagação) ou ondas TE; 
c. Ez ≠0 e Hz = 0: ondas transversais magnéticas ou ondas TM. 
 
Frequência de corte 
As equações obtidas permitem retirar algumas conclusões sobre as propriedades de ondas 
guiadas. A constante de propagação da onda é determinada a partir de h usando 
 
Para que a onda corresponda efetivamente a um modo em propagação, γ deve ter uma 
parte imaginária não nula. Seja fc a frequência de corte, definida como 
 
Substituindo esta expressão na equação acima, tem-se 
 
Esta última equação permite facilmente concluir que 
f < fc corresponde a γ real, isto é, γ = α . Neste caso, os fasores dos campos eléctrico e 
magnético são dados por 
 
O que significa que a amplitude dos campos decresce exponencialmente com z, 
correspondendo a um modo evanescente; 
f > fc corresponde a γ imaginário, ou seja, γ = jβ , ou seja, tem-se 
 
O que representa um modo em propagação. 
O comprimento de onda calcula-se a partir de: 
 
onde é o comprimento de onda num meio ilimitado (µ,ε) . Desta 
equação é possível concluir que, se fc ≠ 0, o comprimento de onda de um modo em 
propagação num guia é maior do que o comprimento de onda de uma onda que se 
propague num meio ilimitado com as mesmas características do meio que preenche o 
guia, isto é, λ ≥ λm. 
Outras Características 
Acima de 2 GHz, o comprimento de onda é curto o suficiente para permitir a 
prática e eficiente transferência de energia com o uso de meios diferentes. Uma guia de 
onda é um tubo condutor através do qual a energia é transmitida na forma de 
ondas eletromagnéticas. O tubo serve como um limite de confinamento para as ondas, em 
um espaço fechado. A gaiola de Faraday previne que os 
efeitos eletromagnético apareçam fora da guia. Os campos eletromagnético são 
propagados através da guia de onda por meio de reflexão nas suas paredes internas, que 
são consideradas condutores perfeitos. A intensidade dos campos é maior no centro, ao 
longo da dimensão X, e deve diminuir para zero nas paredes laterais, em função de que a 
existência de qualquer campo, paralelo às paredes na superfície, poderia causar o fluxo 
de uma corrente infinita em um condutor perfeito. Guias de onda, claro, não podem 
transportar RF desta maneira. As dimensões X, Y e Z de uma guia de onda retangular 
podem ser vistas na figura abaixo: 
 
Há um número infinito de formas nas quais os campos eléctricos 
e magnéticos podem colocar-se numa frequência acima da frequência de corte baixa. 
Cada uma destas configurações de campo é chamada de modo. Os modos podem ser 
separados em dois grupos gerais. Um grupo, designado como TM (Transverse Magnetic-
Magnético Transversal), tem o campo magnético inteiramente transverso à direção de 
propagação, mas tem o componente do campo eléctrico na mesma direção da propagação. 
O outro tipo, designado TE (Transverse Electric-Elétrico Tansversal) tem o campo 
eléctrico inteiramente transverso em direção a propagação, mas o 
componente magnético na mesma direção. 
 
 O modo de propagação é identificado pelo grupo de letras seguido por dois 
numerais subscritos. Por exemplo, TE 10, TM 11, etc. O número de modos possíveis 
aumenta com a frequência paraum dado tamanho de guia, e há sempre um único modo 
possível, chamado modo dominante, para a menor frequência que pode ser transmitida. 
Numa guia retangular, a dimensão crítica é X. Esta dimensão deve ser maior que 0,5 À na 
menor frequência a ser transmitida. Na prática, a dimensão Y é feita igual a 0,5 X, para 
evitar a possibilidade de funcionamento em modo diferente do dominante. Outros 
formatos seccionais podem ser usados, além do retângulo, sendo que o mais importante 
é o cano circular. Muitas das mesmas considerações do caso retangular são aplicáveis. As 
dimensões de comprimentos de onda para guias circulares e retangulares são dadas na 
tabela a seguir, onde X é a largura de uma guia retangular e ré o raio de uma guia circular. 
Todos os números aplicam-se ao modo dominante. 
 
Energia pode ser introduzida ou extraída de uma guia de onda através do uso do 
campo eléctrico ou magnético. A transferência de energia tipicamente acontece através 
de uma linha coaxial. Duas formas possíveis de juntar uma guia de onda a uma 
linha coaxial são através do uso do condutor central do cabo coaxial ou através de 
um loop. Um pedaço pequeno (probe) da extensão do condutor interno do coaxial pode 
ser orientado de forma a ficar paralelo às linhas de força eléctrica. Um loop (algumas 
voltas do fio condutor) pode ser orientado de forma a envolver algumas linhas de força 
do campo magnético. O ponto no qual o máximo acoplamento é obtido depende do modo 
de propagação da guia ou cavidade. 
 
 
 
Referências 
Wirelesspt <https://wirelesspt.net/wiki/Guias_de_Onda> 
U. Porto <https://paginas.fe.up.pt/~mines/OE/Guias.pdf> 
Wikipedia <https://pt.wikipedia.org/wiki/Guia_de_onda_circular>