Calculo I
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Calculo I


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angular 
da reta tangente a essa curva neste ponto. Assim, 
3 1\u2212= xxf )( ),( 01P
nt e nt mm =
ntnt mmmm esendo,1\u2212=\u22c5
nt e
f ))(,( afaP )()( ax
m
afy \u2212\u2212=\u2212 1 0\u2260m
f ))(,( afaP
34 \u2212= xxf )( ),( 33P
3
2
=m
2
15
2
33
2
33 +\u2212=\u21d4\u2212\u2212=\u2212 xyxfy )()(
3
1
\u2212
=
x
xf )( ),( 14P tm
 
69 
 
Por outro lado, o coeficiente angular da reta normal é dado por 
. 
Assim, as equações das retas tangente e normal são dadas, respectivamente, 
por: 
 
 
3.2 O conceito de Derivada 
O limite 
 
não é útil 
apenas para se obter o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de mas 
tem outras aplicações em uma grande variedade de situações. Um nome especial é 
dado a este limite. É chamado derivada de e é representada por 
. Isto nos conduz à seguinte definição: 
Definição 1: Seja uma função definida em . Então, a derivada de no ponto 
, denotada por (lê-se: linha de ), é dada por 
, 
desde que este limite exista. Neste caso, dizemos que é derivável (ou 
diferenciável) em . 
1
1
11
11
1
1
11
34
1
44
4
4
00
0004
\u2212=
+
\u2212
=+
+\u2212
=
\u2212
+=
\u2212
\u2212+=
\u2212+
=
\u2212
\u2212
=
\u2192\u2192
\u2192\u2192\u2192\u2192
)(
lim
)(
lim
limlim)()(lim)()(lim
hhh
h
h
h
h
h
h
h
fhf
x
fxfm
hh
hhhxt
nm
1
1
11
=
\u2212
\u2212
=
\u2212
=
t
n m
m
3411
5411
e
\u2212=\u21d4\u2212=\u2212
+\u2212=\u21d4\u2212\u2212=\u2212
xyxy
xyxy
)(
)(
h
afhaf
x
afxaf
ax
afxf
hxax
)()(lim)()(lim)()(lim \u2212+=
\u2206
\u2212\u2206+
=
\u2212
\u2212
\u2192\u2192\u2206\u2192 00
f
af em
axdx
dyaf
=
\u2032 ou)(
f a f
a )(af \u2032 f a
h
afhaf
x
afxaf
ax
afxfaf
hxax
)()(lim)()(lim)()(lim)( \u2212+=
\u2206
\u2212\u2206+
=
\u2212
\u2212
=\u2032
\u2192\u2192\u2206\u2192 00
f
a
 
70 
Resumo: Com esta definição e conforme vimos na seção anterior, temos que a 
derivada da função no ponto representa geometricamente o coeficiente 
angular da reta tangente ao gráfico de 
 
no ponto , isto é, 
, 
desde que este limite exista. Neste caso, as equações das retas tangente e normal à 
curva no ponto podem ser reescritas, respectivamente, na forma: 
 
 
Exemplo 1: Para o caso do exemplo 3, seção 3.1, o resultado pode ser 
expresso da seguinte forma: Se . 
Quando a função possui derivada em todos os pontos de um conjunto 
podemos considerar a função derivada, conforme a definição que segue. 
Definição 2: Seja uma função que possui derivada em todos os 
pontos do conjunto . A derivada de é a função , que associa a 
cada a derivada , dado por 
. 
Além disso, dizemos que é derivável (ou diferenciável) se é derivável em cada 
ponto do seu domínio. 
 
Observação 1: Se podemos utilizar outros símbolos para denotar a 
derivada de , a saber: . 
f ax =
f ))(,( afaP
h
afhaf
x
afxaf
ax
afxfafm
hxax
)()(lim)()(lim)()(lim)( \u2212+=
\u2206
\u2212\u2206+
=
\u2212
\u2212
=\u2032=
\u2192\u2192\u2206\u2192 00
)(xfy = ))(,( afaP
.0 ,1 que desde
e
\u2260\u2032\u2212
\u2032
\u2212=\u2212
\u2212\u2032=\u2212
)()(
)(
)(
)()()(
afax
af
afy
axafafy
aafxxf 2então2 =\u2032= )()(
f
RIX \u2282
RIRIXf \u2192\u2282:
X f RIRIXf \u2192\u2282\u2032 :
Xx\u2208 )(xf \u2032
h
xfhxf
x
xfxxfxf
hx
)()(lim)()(lim)( \u2212+=
\u2206
\u2212\u2206+
=\u2032
\u2192\u2192\u2206 00
f
)(xfy =
f yD
dx
dyxfy x==\u2032=\u2032 )(
 
71 
Você Sabia? Se a notação que representa a derivada de foi criada 
por Leibniz (1646-1716), um dos invetores da derivada. Para explicar esta notação, 
Leibniz escreveu o quociente na forma 
. Assim, . 
 
Exemplo 2: Para o cálculo da derivada da função procedemos como 
o exemplo 3, seção 3.1 apenas realizando o cálculo na variável , conforme segue: 
xhx
h
hxh
h
xhxhx
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
hhh
222
2
0
2
0
222
0
22
00
=+=
+
=
\u2212++
=
\u2212+
=
\u2212+
=\u2032
\u2192\u2192
\u2192\u2192\u2192
)(limlim
lim)(lim)()(lim)(
 
Podemos também escrever: 
 
 
Exemplo 3: Para determinar façamos, 
 
Portanto, . 
 
Exemplo 4: Para determinar a derivada da função trigonométrica 
 definida por , façamos 
 
 Justificado no exemplo 6 da seção 3.6 
)(xfy =
dx
dy f
x
xfxxf
\u2206
\u2212\u2206+ )()(
)()( xfxxfy
x
y
\u2212\u2206+=\u2206
\u2206
\u2206
sendo
x
yxf
dx
d
dx
dy
x \u2206
\u2206
==
\u2192\u2206 0
lim)(
2xxf =)(
x
xx
dx
d 22 =)(
x
xfxf 1se =\u2032 )()(
200000
11
11
xhxxhxhx
h
h
hxx
hxx
h
xhx
h
xfhxfxf
hhhhh
\u2212=
+
\u2212
=
+
\u2212
=
+
+\u2212
=
\u2212
+=
\u2212+
=\u2032
\u2192\u2192\u2192\u2192\u2192 )(
lim
)(
lim)(
)(
limlim)()(lim)(
2
11
xxdx
d
\u2212=\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
],[: 11\u2212\u2192RIf ( ) xxf sen=
x
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
cossen)(senlim)()(lim)(
)(\u2217
\u2192\u2192
=
\u2212+
=
\u2212+
=\u2032
00
)(\u2217
 
72 
Portanto, . 
 
Exemplo 5: Para determinar a derivada da função trigonométrica 
 definida por , façamos 
 
 Justificado na observação da seção 2.6 
Portanto, . 
 
Exemplo 6: Para determinar a derivada da função exponencial 
definida por 
 
, façamos 
)(ln1limlim1lim)1(lim
limlim)()(lim)(
)(
0000
000
aa
h
aa
h
aa
h
aa
h
aaa
h
aa
h
xfhxfxf
x
h
h
x
h
h
x
h
hx
h
xhx
h
xhx
hh
\u2217
\u2192\u2192\u2192\u2192
\u2192
+
\u2192\u2192
=
\u2212
\u22c5=
\uf8fa
\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee \u2212
\u22c5=
\u2212
=
\u2212\u22c5
=
\u2212\u2212+
=\u2032 =
 
 Utilizamos que e o limite fundamental LF4. 
Portanto, . 
Em particular, se o número irracional neperiano, então 
 
 
Exemplo 7: A função modular não é derivável em já que 
calculando os limites laterais: 
( ) xx
dx
d cossen =
],[: 11\u2212\u2192RIf ( ) xxf cos=
x
h
xhx
h
xfhxfxf
hh
sencos)(coslim)()(lim)(
)(
\u2212=
\u2212+
=
\u2212+
=\u2032
\u2217
\u2192\u2192 00
)(\u2217
( ) xx
dx
d sencos \u2212=
),(: +\u221e\u2192 0RIf
( )10 \u2260>= aaaxf x ,)(
)(\u2217 10
0
==
\u2192
aax
h
lim
( ) )(ln aaa
dx
d xx =
ee sendo,=a
( ) xxx
dx
d eeee == )(ln
xxf =)( 0=a
 
73 
 
temos que . Daí, não existe e, 
portanto não é derivável em . Note que não admite reta 
tangente em . 
 
Figura 1: Gráfico de 
Este exemplo nos motiva a seguinte definição: 
 
Definição 3: Seja uma função definida em . Então, a derivada à direita de 
, denotada por , é dada por 
, 
caso este limite exista a derivada à esquerda de , denotada por , é 
dada por , caso este limite exista. 
Observação 2: Uma função é derivável (ou diferenciável) em , quando as 
derivadas laterais (derivada à direita e à esquerda) existem e são iguais no ponto , 
e neste caso, seu valor é o valor comum das derivadas laterais, isto é, 
. 
 
11
0
0
0
11
0
0
0
0000
0000
e
===
\u2212
=
\u2212
\u2212
\u2212=\u2212=
\u2212
=
\u2212
=
\u2212
\u2212
+\u2192+\u2192+\u2192+\u2192
\u2212\u2192\u2212\u2192\u2212\u2192\u2212\u2192
xxxx
xxxx
x
x
x
x
x
fxf
x
x
x
x
x
fxf
limlimlim)()(lim
)(limlimlim)()(lim
0
0
0
0
00 \u2212
\u2212
\u2260
\u2212
\u2212
+\u2192\u2212\u2192 x
fxf
x
fxf
xx
)()(lim)()(lim
0
0
0 \u2212
\u2212
\u2192 x
fxf
x
)()(lim
xxf =)( 0=a xxf =)(
),( 00
||)( xxf =
f a
af em )(af+\u2032
h
afhaf
ax
afxfaf
hax
)()(lim)()(lim)( \u2212+=
\u2212
\u2212
=\u2032
+\u2192+\u2192
+
0
af em )(af\u2212\u2032
h
afhaf
ax
afxfaf
hax
)()(lim)()(lim)( \u2212+=
\u2212
\u2212
=\u2032
\u2212\u2192\u2212\u2192
\u2212
0
a
a
)()()( afafaf +\u2212 \u2032=\u2032=\u2032
 
74 
Observação 3: De forma análoga ao que foi visto para funções contínuas, 
podemos definir função derivável nos seguintes intervalos: 
. 
 
Exemplo 8: Para verificar que a função não é 
derivável em devemos calcular as derivadas laterais em . Vejamos: 
 
Como a derivada lateral à direita não existe, temos que não é derivável em . 
Note que, neste exemplo, também é descontínua em . 
 
Figura 2: Gráfico de 
 
Exemplo 9: Para verificar que a função não é 
derivável em devemos calcular as derivadas laterais em . Vejamos: 
),(,],(,),(,),[,),(,],(),[],[),( bbaababababa \u2212\u221e\u2212\u221e+\u221e+\u221e+\u221e\u2212\u221e,,,
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4
\uf8f2
\uf8f1
>\u2212\u2212
\u2264+
=
0se 1
0se1
2
2
xx
xxxf )(
0=a 0=a
\u221e\u2212=
\u2212\u2212
=
\u2212\u2212\u2212
=
\u2212
\u2212
=\u2032
===
\u2212+
=
\u2212