Calculo I
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Calculo I


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kk
ax
=
\u2192
lim 0>\u3b5 0>\u3b4
( )\u3b4\u3b4 +\u2212\u2208 aax , ax \u2260 \u3b4<\u2212< || ax0 \u3b5<\u2212 kxf )(
0>\u3b5 0>\u3b4
\u3b4<\u2212< ax0 \u3b5<=\u2212=\u2212 0)( kkkxf
f
xxf =)( RIx\u2208\u2200 axxf
axax
==
\u2192\u2192
lim)(lim
ax
ax
=
\u2192
lim 0>\u3b5 0>\u3b4
( )\u3b4\u3b4 +\u2212\u2208 aax , ax \u2260 \u3b4<\u2212< || ax0 \u3b5<\u2212=\u2212 axaxf )(
0>\u3b5 \u3b5\u3b4 =
\u3b4<\u2212< ax0 \u3b5\u3b4 =<\u2212=\u2212 axaxf )(
Lxf
ax
=
\u2192
)(lim Mxf
ax
=
\u2192
)(lim ML =
ML = Lxf
ax
=
\u2192
)(lim
Mxg
ax
=
\u2192
)(lim Lxf
ax
=
\u2192
)(lim Mxg
ax
=
\u2192
)(lim
0>\u3b5 01 >\u3b4 02 >\u3b4
10 \u3b4<\u2212< ax \u21d2 \u3b5<\u2212 Lxf )( 20 \u3b4<\u2212< ax \u21d2 \u3b5<\u2212 Mxf )(
 
22 
Assim, tomando o número como sendo o menor valor entre os números e 
 tem-se que e . Portanto, se então 
 e . 
Daí, para o dado valor de , existe tal que se então 
 
Pela arbitrariedade do número positivo , podemos tomar tão pequeno 
quanto queiramos e, da desigualdade , segue que 
 , 
como queríamos demonstrar. 
 
\u3b4 1\u3b4
2\u3b4 1\u3b4\u3b4 \u2264 2\u3b4\u3b4 \u2264 \u3b4<\u2212< ax0
10 \u3b4\u3b4 \u2264<\u2212< ax \u21d2 \u3b5<\u2212 Lxf )( 20 \u3b4\u3b4 \u2264<\u2212< ax \u21d2 \u3b5<\u2212 Mxf )(
0>\u3b5 0>\u3b4 \u3b4<\u2212< ax0
\u3b5\u3b5\u3b5 2 
0
=+<\u2212+\u2212=
\u2212+\u2212\u2264\u2212+\u2212=\u2212\u2264
MxfLxf
MxfxfLMxfxfLML
)()(
)()()()(
\u3b5 \u3b5
\u3b520 <\u2212\u2264 ML
0=\u2212 ML \u21d2 0=\u2212 ML \u21d2 ML =
 
23 
2.3 Propriedades dos Limites 
Teorema (Propriedades dos Limites): Suponhamos que e que 
. 
P1 (LIMITE DA SOMA): 
; 
 
P2 (LIMITE DA DIFERENÇA): 
; 
 
P3 (LIMITE DE UMA CONSTANTE VEZES UMA FUNÇÃO): , 
para qualquer ; 
 
P4 (LIMITE DO PRODUTO): 
; 
 
P5 (LIMITE DO QUOCIENTE): 
, desde que ; 
 
P6 (LIMITE DA N-ÉSIMA POTÊNCIA): 
, para qualquer inteiro positivo ; 
 
P7 (LIMITE DA RAIZ N-ÉSIMA): 
, desde que e é qualquer inteiro 
positivo ou e é qualquer inteiro positivo ímpar; 
Observação 1: As propriedades listadas acima podem ser demonstradas 
utilizando a definição formal de limite. Mas, no momento, o principal objetivo é a 
utilização destas propriedades para o cálculo de limites. 
 
Observação 2: As propriedades de limites continuam válidas se substituirmos 
 por ou . 
Lxf
ax
=
\u2192
)(lim
Mxg
ax
=
\u2192
)(lim
[ ] MLxxxx gfgf
axaxax
+=+=+
\u2192\u2192\u2192
)(lim)(lim)()(lim
[ ] MLxgxfxgxf
axaxax
\u2212=\u2212=\u2212
\u2192\u2192\u2192
)(lim)(lim)()(lim
[ ] Lcxfcxfc
axax
\u22c5=\u22c5=\u22c5
\u2192\u2192
)(lim)(lim
RI\u2208c
[ ] MLxgxfxgxf
axaxax
\u22c5=\u22c5=\u22c5
\u2192\u2192\u2192
)(lim)(lim)()(lim
M
L
xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax
==\uf8fa
\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef
\uf8f0
\uf8ee
\u2192
\u2192
\u2192 )(lim
)(lim
)(
)(
lim 0\u2260=
\u2192
Mxg
ax
)(lim
[ ] nLxx
n
ax
n
ax
ff =\uf8fa\uf8fb
\uf8f9
\uf8ef\uf8f0
\uf8ee=
\u2192\u2192
)(lim)(lim n
nn
ax
n
ax
Lxfxf ==
\u2192\u2192
)(limlim )( 0\u2265=
\u2192
Lxf
ax
)(lim n
0<=
\u2192
Lxf
ax
)(lim n
ax \u2192 +\u2192 ax \u2212\u2192 ax
 
24 
Exemplo 1: Se , e são números reais, então , 
pois utilizando os limites básicos vistos nos exemplos 2 e 3 (seção 2.2) juntamente 
com as propriedades P1 e P3, temos que 
 
Usando os mesmos argumentos, podemos mostrar que para números reais , 
, ... , , temos que 
 
para todo . Segue então, que: 
\u2022 se é uma função polinomial do tipo , para 
todo , então . 
\u2022 se é uma função racional do tipo , sendo , funções polinomiais, 
então . 
 
Observação 3: Nos exemplos acima de limites com tendendo a , tivemos 
sempre no domínio de e Quando isto ocorre, dizemos que é 
contínua no ponto . Falaremos mais adiante sobre estes tipos especiais de funções. 
 
Exemplo 2: Para a função definida por temos que 
 
Exemplo 3: Para a função definida por , temos que 
 
 
ob 1b a ooax
babbxb +=+
\u2192
11 )(lim
ooaxaxoaxaxoax
babbxbbxbbxb +=+=+=+
\u2192\u2192\u2192\u2192\u2192
1111 limlimlimlim)(lim
nb
1\u2212nb 1b ob
o
n
n
n
no
n
n
n
nax
babababbxbxbxb ++++=++++ \u2212\u2212
\u2212
\u2212
\u2192
1
1
11
1
1 \uf04c\uf04c )(lim
2\u2265n
p o
n
n
n
n bxbxbxbxp ++++=
\u2212
\u2212 1
1
1 \uf04c)(
0\u2265n )()(lim apxp
ax
=
\u2192
f
)(
)()(
xq
xpxf = p q
)(
)(
)(
)(
)(lim)(lim af
aq
ap
xq
xpxf
axax
===
\u2192\u2192
x a
a f )()(lim afxf
ax
=
\u2192
f
a
f )()()( 165 \u2212+= xxxf
41612625
165165165
 Polinomial Função
22
)P( ePropriedad
2
)P( ePropriedad
2
47
==\u2212\u22c5+=
\u2212\u22c5+=\u2212+=\u2212+
\u2192\u2192\u2192\u2192
)().(
)(lim)(lim))((lim))((lim xxxxxx
xxxx
f
2
3
3
5
)(
)(
+
\u2212
=
x
xxxf
1
31
115
3
5
3
5
2
3Polinomial Função
2
1
3
1
P( ePropriedad
2
3
1
)5
=
+
\u2212
=
+
\u2212
=
+
\u2212
\u2192
\u2192
\u2192
.
)(lim
)(lim
lim
x
xx
x
xx
x
x
x
 
25 
Teste o seu conhecimento 
1. Indique, como no exemplo anterior, as propriedades utilizadas no cálculo do limite abaixo: 
 
 
( )
6
4
83
416
8
3
12
83
12
83
12
83
12
2
34
4
4
4
2
3
4
4
4
44
2
3
4
4
4
4
2
34
42
34
4
\u2212=
\u2212
\u2212
=
\uf8f7\uf8f7
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2212
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb\u2212+
=
\u2212
\u2212+
=
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212
\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb \u2212+
=
\u2212
\u2212+
\u2192
\u2192
\u2192
\u2192\u2192
\u2192\u2192
\u2192\u2192
\u2192
\u2192
\u2192
x
xx
x
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
xx
xx
xx
x
x
x
lim
lim
lim
limlim
limlim
limlim
lim
lim
lim
 
26 
Observação 4: Vale ressaltar que a propriedade não é aplicável se o limite 
do denominador for zero. Entretanto, se o numerador e o denominador ambos 
aproximam-se de zero quando aproxima-se de , então o numerador e o 
denominador poderão ter um fator comum (neste caso, o limite poderá ser 
obtido cancelando-se primeiro os fatores comuns, conforme ilustram os exemplos 4 e 
5) ou poderá ocorrer outras situações nas quais iremos abordar mais adiante. 
 
Exemplo 4: Para achar 
 
não podemos utilizar a 
propriedade , pois o limite do denominador é zero. No entanto, o limite do 
numerador também é zero e daí eles compartilham um fator comum . Portanto 
o limite pode ser obtido da seguinte maneira: 
 
 Desde que estamos apenas supondo que o valor de esteja aproximando-se do valor 
, não é igual a , ou seja, . Assim podemos utilizar a simplificação algébrica 
que não tem efeito no cálculo do limite, quando se aproxima de . Daí, posteriormente, 
podemos aplicar a propriedade . 
 
Observação 5: No caso de e é comum dizer que 
 tem uma indeterminação do tipo . Nesta situação, nada se pode afirmar 
de imediato sobre . Dependendo das funções e o limite do quociente 
 pode assumir qualquer valor real ou não existir. No exemplo 4 verificamos que 
o limite existiu e seu valor foi . 
 
5P
x a
ax \u2212
xx
xxx
x 3
3
2
23
3
3
+
+++
\u2212\u2192
lim
5P
3+x
3
10
3
10
1
1
3
13
3
33
3
2
35P
2
3
2
32
23
3
\u2212=
\u2212
=
+
=
+
=
+
++
=
+
+++
\u2212\u2192
\u2212\u2192
\u2212\u2192
\u2217
\u2212\u2192\u2212\u2192
x
x
x
x
xx
xx
xx
xxx
x
x
xxx
lim
)(lim
)(lim
)(
))((limlim
)(
)(\u2217 x 3\u2212
x 3\u2212 03 \u2260+x
x 3\u2212
5P
0=
\u2192
)(lim xf
ax
0=
\u2192
)(lim xg
ax
)(
)(lim
xg
xf
ax\u2192 0
0
)(
)(lim
xg
xf
ax\u2192
f g
)(
)(
xg
xf
3
10
\u2212
 
27 
Exemplo 5: Para achar não podemos utilizar a propriedade , 
pois o limite do denominador é zero. No entanto, o limite do numerador também é 
zero ou seja, temos uma indeterminação do tipo . Para analisarmos esta 
indeterminação vamos proceder da seguinte forma: 
 
 
Exemplo 6 (Cálculo de um limite com mudança de variável): Para o caso 
 novamente temos uma indeterminação do tipo . Para analisarmos 
esta indeterminação, façamos a mudança de variável . Daí, temos e 
quando tende a 8, tende a 2 (em símbolos: se , então ). Portanto, 
 
 
 
Exemplo 7: Para calcular utilizamos a mudança de variável 
, conforme o exemplo 6, ou a mudança de variável (se 
então ). Daí, 
. 
 
Outro resultado importante no cálculo de limites é o seguinte teorema: 
9
3
9 \u2212
\u2212
\u2192 x
x
x
lim 5P
0
0
( ) (