MAT020_Notas_de_Aula_ParteI
90 pág.

MAT020_Notas_de_Aula_ParteI


DisciplinaEstatística I20.489 materiais107.078 seguidores
Pré-visualização23 páginas
Prudente Março de 2014 
Exemplos: 
a) X = {2, 3, 3, 5, 5, 5, 6, 7} \u21d2 Mo = 5 
b) Y = {10, 12, 17, 21, 32} \u21d2 Mo = não existe, a distribuição é amodal. 
c) Z = {2, 2, 5, 5, 7, 7} \u21d2 Mo = não existe 
d) W = {10, 12, 12, 12, 13, 13, 15, 18, 18, 18, 21} \u21d2 A distribuição apresenta dois valores 
modais: 12 e 18 (distribuição bimodal). 
Quando a distribuição apresenta mais de uma moda damos o nome de 
distribuição plurimodal. 
 
e) Determine o tempo modal das empresas industriais situadas na Região XWZ no ano 2. 
 
Tempo de 
existência 
Número de 
empresas 
Tempo de 
existência 
Número de 
empresas 
1 2 14 4 
2 2 15 4 
3 5 16 5 
4 8 17 5 
5 21 18 8 
6 13 19 3 
7 6 20 4 
8 6 21 4 
9 1 23 2 
10 5 24 2 
11 3 25 1 
12 4 30 1 
13 5 Total Global 124 
 
Resolução: Sendo 21 a maior frequência absoluta observada, então o valor da variável tempo de existência 
que corresponde ao tempo modal neste conjunto é 5 anos. 
 
ii. Para variáveis contínuas: Neste caso, podemos apenas identificar a classe modal 
(classe em que observamos a maior frequência) mas nunca obteremos o verdadeiro 
valor da moda. Os métodos existentes para o cálculo da moda fornecem-nos, 
apenas, uma aproximação do seu valor e devemos interpretá-los com cautela. 
Estudaremos apenas um método de cálculo: a moda bruta. Para calculá-la é 
necessário, primeiro, identificarmos a classe onde ocorre a maior frequência, ou seja, 
a classe modal. 
 
 52 Notas de Aula \u2013 MAT020 Estatística IA 
 
UFBA \u2013 Instituto de Matemática \u2013 Departamento de Estatística 
Lia Terezinha L. P. Moraes e Andrea A. Prudente Março de 2014 
Moda bruta - é o ponto médio da classe modal, ou seja, Mo l
h
i
i
= +
2 , onde li = limite 
inferior da classe modal; hi = amplitude da classe modal. 
 
Exemplo: Calcular o faturamento modal bruto no ano 2 das empresas situadas na Região XWZ. 
Classes de faturamento 
(em mil unidades monetárias) 
Número de empresas 
(ni) 
Ponto médio 
(xi) 
 40 |\uf8e7 302 45 171 
 302 |\uf8e7 564 58 433 
 564 |\uf8e7 826 17 695 
 826 |\uf8e7 1.088 2 957 
1.088 |\uf8e7 1.350 2 1219 
Total 124 ---- 
 
Classe modal: 302 |\uf8e7 564 \u21d2 Moda bruta: Mo = 433 mil unidades monetárias 
 
Exemplo: Com os histogramas a seguir determine as modas das distribuições do 
faturamento no ano 1 e ano 2 e compare os resultados. 
 
Faturamento(em mil unidades monetárias)
1677,51546,51415,51284,51153,51022,5891,5760,5629,5498,5367,5236,5105,5
Faturamento das empresas industriais
Região XWZ, Ano 1
Fonte: Dados f ic tícios
Nú
m
er
o 
de
 
em
pr
es
as
30
20
10
0
 
 
Faturamento (em mil unidades monetárias)
1284,51153,51022,5891,5760,5629,5498,5367,5236,5105,5
Faturamento das empresas industriais
Região XWZ, Ano 2
Fonte: Dados fic tícios
Nú
m
er
o 
de
 
em
pr
es
as
40
30
20
10
0
 
Capítulo III Estatística Descritiva: Medidas Numéricas 53 
 
UFBA \u2013 Instituto de Matemática \u2013 Departamento de Estatística 
Lia Terezinha L. P. Moraes e Andrea A. Prudente Março de 2014 
Resposta: Após elaborar os histogramas relativos ao faturamento no ano 1 e no ano 2, 
com os mesmos limites de classes (inferiores e superiores, isto foi feito para que as 
modas fossem comparáveis), não ocorreu mudança no valor modal para os faturamentos 
nos anos 1 e 2, ficando em 367,5 mil unidades monetárias. Embora visualmente seja 
possível perceber que os histogramas apresentam formas diferentes, pelas modas não é 
possível distinguirmos os dois conjuntos de faturamentos anuais. 
 
Cuidados no uso da moda 
i) Para variáveis discretas: Muitas vezes a moda não apresenta utilidade como elemento 
representativo ou sintetizador do conjunto de dados. Isto pode acontecer quando o 
conjunto é pequeno ou em situações como a seguinte, apresentada no gráfico 
denominado dot plot (gráfico de pontos): 
 
 \u2022 
 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 
 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 \u2022 
 | | | | | | | | | | | | | | | 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
 
 
 Pela definição, a moda corresponderia ao valor 14, podemos observar pelo gráfico 
acima que ela não resume adequadamente o conjunto de dados. 
 
ii) Para variáveis contínuas: Neste caso só tem sentido calcularmos a moda se as 
informações estiverem agrupadas em classes de valores. 
 
iii) Alguns programas estatísticos, como o comando para o cálculo das medidas 
descritivas é único (como exemplo podemos citar a planilha Excel, o SPSS, o SAS), a moda 
também é calculada. Mas, se a variável for contínua, geralmente o valor encontrado não 
possui significado estatístico. 
 
Exemplo: Observe no quadro abaixo o valor da moda para a variável faturamento nos 
anos 1 e 2 obtida com o programa SPSS. Verifique a observação sob o quadro. 
(Traduzindo: \u201cExistem múltiplas modas. O menor valor é mostrado\u201d.) Por que o 
computador colocou essa observação? 
 54 Notas de Aula \u2013 MAT020 Estatística IA 
 
UFBA \u2013 Instituto de Matemática \u2013 Departamento de Estatística 
Lia Terezinha L. P. Moraes e Andrea A. Prudente Março de 2014 
 Faturamento 
Medida estatística Faturamento Ano 1 
Faturamento 
Ano 2 
Mode 202 432 
a Multiple modes exist. The smallest value is shown 
 
Resposta: Foi informado no rodapé da tabela que existem várias modas nas distribuições 
e o programa exibiu apenas o menor valor modal. Porém, como para a Estatística só 
interessam as distribuições unimodais e como trata-se de uma variável contínua, é 
possível organizarmos as informações por classes de valores e, então, estimarmos os 
faturamentos modais para os dois anos, como já foi mostrado anteriormente. 
 
3.1.3. Separatrizes 
As separatrizes são medidas de posição que permitem calcularmos valores da 
variável que dividem ou separam a distribuição em partes iguais. Temos quatro tipos de 
separatrizes, também chamadas de quantis: a mediana; os quartis; os decis; e os 
percentis. 
 
Mediana - Median 
 
Notação: Md = mediana 
A mediana é também uma medida de tendência central. Ela é uma medida de 
posição resistente, pois é pouco afetada por mudanças de pequena porção dos dados, ao 
contrário da média aritmética que é sensível a valores extremos. 
 
Definição: Chamamos de mediana o elemento do conjunto que ocupa a posição central 
na distribuição ordenada (crescente ou decrescentemente). Isto é, divide a distribuição 
em duas partes iguais de modo que 50% dos valores observados são iguais ou inferiores 
ao valor mediano e 50% iguais ou superiores a este valor. 
Dá-se o nome de elemento mediano a ordem ou a posição da mediana na 
distribuição. Denotaremos o elemento mediano por P. 
 
 
 
Capítulo III Estatística Descritiva: Medidas Numéricas 55 
 
UFBA \u2013 Instituto de Matemática \u2013 Departamento de Estatística 
Lia Terezinha L. P. Moraes e Andrea A. Prudente Março de 2014 
Determinação da mediana 
i) Para dados não-agrupados: Temos que observar, primeiramente, o número total de 
observações n do conjunto de dados: 
- Se n for ímpar: A mediana
Fernando
Fernando fez um comentário
Material muito bom. Será de grande valia. Obrigado.
0 aprovações
Carregar mais