MAT020_Notas_de_Aula_ParteI
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embora próximos são diferentes, assim o mais correto é calcularmos a variabilidade 
usando uma medida de dispersão relativa. Veremos mais adiante neste exemplo a aplicação do coeficiente de 
variação de Pearson como medida relativa de variabilidade. 
Capítulo III Estatística Descritiva: Medidas Numéricas 79 
 
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Lia Terezinha L. P. Moraes e Andrea A. Prudente Março de 2014 
Como tínhamos mostrado ao apresentarmos as propriedades da média 
aritmética, quando somamos 10 unidades a cada elemento do conjunto, a média ficou 
alterada desse valor mas a dispersão, observada pela forma da curva, ficou exatamente a 
mesma. 
 
2ª) Multiplicando-se (ou dividindo-se) por um valor constante e arbitrário a cada 
elemento de um conjunto de dados, o desvio padrão fica multiplicado (ou dividido) por 
essa constante. 
0 5 10 15
0
100
200
300
400
Valores de X
Fr
eq
üê
nc
ia
 
 
Neste caso, a média ficou multiplicada por 2 e ocorreu mudança na forma da curva 
quando duplicamos o valor de cada observação do conjunto de dados, pois os valores do 
conjunto ficaram mais espalhados (ou menos concentrados). 
 
Observações: Com respeito às distribuições simétricas, em particular uma distribuição 
denominada normal, no intervalo definido por ( )\u3c3+\u3c3\u2212 XX ; ocorrem, 
aproximadamente, 68,3% das observações do conjunto. 
 
 80 Notas de Aula \u2013 MAT020 Estatística IA 
 
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3.2.4. Variância (Variance) 
 
Notação: \u3c32 = variância 
Definição: A variância é o quadrado do desvio padrão. Ou, podemos dizer que o desvio 
padrão é igual a raiz quadrada positiva da variância. Então: 
22 ou ss +=\u3c3+=\u3c3 
 
Observações: 
i) O desvio padrão tem a unidade de medida igual a unidade de medida original da 
variável, entretanto a variância apresentará a unidade de medida elevada ao quadrado. 
ii) Os programas estatísticos trabalham com a variância amostral s2. 
 
Propriedades da variância 
1ª) Somando-se (ou subtraindo-se) um valor constante e arbitrário a cada elemento de 
um conjunto de dados, a variância não se altera. 
 
2ª) Multiplicando-se (ou dividindo-se) por um valor constante e arbitrário cada elemento 
de um conjunto de dados, a variância fica multiplicada (ou dividida) pelo quadrado dessa 
constante. 
 
3.2.5. Medidas de dispersão relativas 
As medidas de dispersão relativas permitem comparar a variabilidade de duas ou 
mais distribuições, mesmo quando essas se refiram a diferentes fenômenos e sejam 
expressas em unidades de medida distintas. Em geral, as medidas relativas de dispersão 
são expressas em percentagem e são elaboradas a partir da relação entre uma medida de 
dispersão absoluta e uma medida de tendência central. Ou seja, pelo quociente: 
 
centraltendênciademedida
absolutadispersãodemedida
 
 
 
 
No nosso Curso veremos apenas o coeficiente de variação de Pearson. 
 
Capítulo III Estatística Descritiva: Medidas Numéricas 81 
 
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Coeficiente de variação de Pearson 
 
Notação: CV = coeficiente de variação de Pearson ou apenas coeficiente de variação. 
Definição: O coeficiente de variação para um conjunto de n observações é definido como 
o quociente entre o desvio padrão e a média aritmética da distribuição. 
X
sCV
X
CV =\u3c3= ou 
onde \u3c3 = desvio padrão e s = desvio padrão amostral. 
 
Observação: 
Esta medida é muito útil para avaliar a dispersão quando comparamos dois 
conjunto com médias aritméticas diferentes. Entretanto, quando existir apenas um 
conjunto de dados para ser analisado, a literatura sobre o assunto coloca que se o 
coeficiente de variação for menor que 50% podemos considerar bem concentrada a 
distribuição e se for maior do que 100% é bem dispersa. Estes limites foram definidos 
empiricamente, sem base teórica. 
 
Exercício de aplicação: Calcular os coeficientes de variação das variáveis quantitativas 
observadas no nosso estudo. Interpretar os resultados. 
 
Respostas: 
a) Faturamento: Ano 1: %3,62%100
32,395
09,246
=×=CV 
Ano 2: %0,56%100
52,392
220
=×=CV 
b) Número de empregados: %7,37%100
77,15
94,5
=×=CV 
c) Tempo de existência da empresa: %0,61%100
69,10
52,6
=×=CV 
Medidas estatísticas Faturamento Ano 1 
Faturamento 
Ano 2 
Número de 
empregados 
Ano 2 
Idade da 
empresa 
No de observações 124 124 124 124 
Média aritmética 395,32 392,52 15,77 10,69 
Desvio padrão 246,09 220,00 5,94 6,52 
Coeficiente de variação 62,3% 56,0% 37,7% 61,0% 
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Interpretação dos resultados: 
Comparando os faturamentos nos dois anos, observa-se uma redução na 
dispersão relativa, ou seja, o faturamento no ano 2 foi mais homogêneo do que o ano 1 
(mudou de 62,3% para 56,0%). Assim, a distribuição do faturamento nos dois anos foi 
diferente: embora as médias tenham sido bem próximas (pequena redução no ano 2), 
ocorreu uma maior concentração em torno do faturamento médio no segundo ano. Para 
as variáveis número de empregados e tempo de existência da empresa não temos com 
que comparar a dispersão, pois não existe outro ano para a comparação. 
Fazendo a avaliação da dispersão para cada conjunto separadamente, os 
faturamentos e a idade das empresas apresentaram dispersões relativas que podem ser 
consideradas significativas (entre 50% e 100%); e o número de empregados é bem 
concentrado (menor do que 50%). 
 
Exemplo: Com os dados sobre o exemplo a respeito da pesquisa sobre os gastos dos 
turistas, para uma permanência de sete dias no período do verão na capital de certo 
estado, foi verificado que as médias de gastos antes e depois da propaganda foram, 
respectivamente, 3,04 e 3,375, em salários mínimos. Verifique em qual período os 
turistas apresentaram menor dispersão nos gastos. 
 
Valor dos gastos 
(em salários mínimos) 
Número de turistas 
antes da propaganda 
Número de turistas 
depois da propaganda 
 0 |\uf8e7 1 15 20 
 1 |\uf8e7 2 45 50 
 2 |\uf8e7 3 40 60 
 3 |\uf8e7 5 25 35 
 5 |\uf8e7 10 10 30 
10 |\uf8e7 20 5 5 
Total 140 200 
 
Resolução: Estamos trabalhando com duas distribuições de frequências - antes e depois 
da propaganda. Vamos calcular os desvios padrões e os coeficientes de variação para as 
duas distribuições e, a seguir, comparar os resultados obtidos. 
 
 
 
 
 
Capítulo III Estatística Descritiva: Medidas Numéricas 83 
 
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(i) Antes da propaganda: antesX = 3,04 salários mínimos 
Valor dos gastos 
(em salários mínimos) 
Número de turistas 
antes da propaganda
Fernando
Fernando fez um comentário
Material muito bom. Será de grande valia. Obrigado.
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