MAT020_Notas_de_Aula_ParteI
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Março de 2014 
No exemplo (b), as informações existentes na tabela resultaram de um processo 
de contagem dos anos relativos aos tempos de existência das empresas. Assim, trata-se 
de uma variável quantitativa discreta. Ou seja, se a variável \u201cidade\u201d (medida em anos 
completos) for representada pela letra X, temos que os valores que X pode assumir são 
representados pelo conjunto RX = {0, 1, 2, 3, ... } e RX é um conjunto infinito enumerável. 
De um modo geral, uma variável quantitativa discreta, representada por X, 
assume valores da sucessão ordenada ,...x,...,x,x,x i 321 , isto é, X = 
{ ,...x,...,x,x,x i 321 }. Em um rol, um valor possível da variável X pode ocorrer uma ou 
mais vezes. O valor que representa o número de vezes que ocorreu um valor ix 
qualquer (i = 1, 2, ..., i,...) do rol é chamado frequência absoluta - in (i = 1, 2, ..., i,...). 
Logo, \u2211
=
=++++=
n
i
ii nnnnn
1
21 ...... , onde n representa o número total de observações do 
conjunto X. O valor n é denominado de frequência total. 
 
Tabelas de frequências para variáveis quantitativas contínuas 
Muitas vezes há necessidade de organizarmos os dados originais em uma tabela 
onde os valores observados aparecem agrupados em classes de valores. Quando a 
variável objeto de estudo for contínua, será sempre conveniente agrupar os valores 
observados em classes. 
A determinação do tamanho e da quantidade de classes deve observar as 
seguintes normas: 
a) As classes devem abranger todas as observações; 
b) Cada observação deve enquadrar-se em apenas uma classe; 
c) Para variáveis contínuas, o limite superior de uma classe é o limite inferior da 
classe subsequente. Em geral, na definição das classes, o limite inferior é incluído 
e o superior excluído. Como exemplo, suponha que se deseja criar um intervalo 
de valores que inicia com 7 e inclui todos os valores menores que 15: 7 |\uf8e7 15. O 
símbolo |\uf8e7 significa \u201cinclui o limite inferior do intervalo e exclui o limite 
superior\u201d. Podemos, ainda, escrever os intervalos de classe de outras formas. 
Temos: 
7 \uf8e7| 15: exclui o limite inferior e inclui o limite superior do intervalo de classe; 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 31 
 
UFBA \u2013 Instituto de Matemática \u2013 Departamento de Estatística 
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7 \uf8e7 15 ou 7 |\uf8e7| 15: inclui ambos os limites do intervalo de classe. 
d) A quantidade de classes, de um modo geral, não deve ser inferior a 5 ou superior 
a 25. 
e) Quando não houver inconveniente sério, a amplitude dos intervalos de classe 
deve ser constante. A amplitude do intervalo de classe é o comprimento da 
classe. Para determinarmos a amplitude basta calcularmos a diferença entre dois 
limites inferiores (ou limites superiores) consecutivos. 
 
Exemplo: O rol a seguir corresponde ao faturamento no ano 2, em mil unidades 
monetárias, declaradas pelas empresas da Região XWZ. Definir os intervalos de classe da 
distribuição. 
Rol: variável \u201cfaturamento no ano 2\u201d 
45 65 66 69 77 88 89 98 104 122 
123 129 145 150 154 154 156 156 167 171 
174 176 183 185 192 202 205 212 217 230 
233 233 236 245 248 250 253 254 261 265 
268 276 282 292 299 310 310 314 333 334 
335 345 351 354 355 361 365 367 369 370 
372 375 381 381 386 389 391 402 402 405 
410 415 423 426 432 432 432 450 455 455 
456 463 465 473 475 483 483 487 487 489 
490 495 500 502 503 505 510 510 525 530 
534 543 545 567 570 585 610 620 623 630 
634 670 682 695 702 723 730 734 750 810 
835 875 1243 1345 
 
Resolução: 
Para o conjunto de 124 faturamentos declarados, temos 45 mil como valor 
mínimo e 1.345 mil unidades monetárias como valor máximo. Usaremos como limite 
inferior da distribuição o valor 40 mil e como limite superior 1.350 mil. A diferença entre 
1.350 e 40 é de 1.310 mil, que é divisível por 5. Tomaremos um total de 5 classes com 
262 mil unidades monetárias de amplitude cada. Utilizando a convenção de incluir o 
limite inferior da classe e excluir o superior, obtemos os seguintes intervalos de 
classe: 
40 |\uf8e7 302; 302 |\uf8e7 564; 564 |\uf8e7 826; 826 |\uf8e7 1.088; 1.088 |\uf8e7 1.350. 
 
 32 Notas de Aula \u2013 MAT020 Estatística IA 
 
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Exemplo: Construir a tabela da Distribuição de Frequências do faturamento no ano 2 
para as empresas da região XWZ. 
 
Distribuição de frequências do faturamento das 
empresas industriais - Região XWZ, Ano 2 
Classes de faturamento 
(em mil unidades monetárias) Número de empresas 
 40 |\uf8e7 302 45 
 302 |\uf8e7 564 58 
 564 |\uf8e7 826 17 
 826 |\uf8e7 1.088 2 
1.088 |\uf8e7 1.350 2 
Total 124 
Fonte: Dados fictícios. 
 
Exemplo: Construir a mesma tabela com 10 classes. 
 
Distribuição de frequências do faturamento das 
empresas industriais - Região XWZ, Ano 2 
Classes de faturamento 
(em mil unidades monetárias) 
Número de empresas 
(freq. Absoluta) 
 40 |\uf8e7 171 19 
 171 |\uf8e7 302 26 
 302 |\uf8e7 433 32 
 433 |\uf8e7 564 26 
 564 |\uf8e7 695 10 
 695 |\uf8e7 826 7 
 826 |\uf8e7 957 2 
 957 |\uf8e7 1.088 ---- 
1.088 |\uf8e7 1.219 ---- 
1.219 |\uf8e7 1.350 2 
Total 124 
Fonte: Dados fictícios. 
 
Pergunta: Qual das duas distribuições construídas é mais indicada para a análise dessa 
variável? 
Resposta: 
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
__________________________________________________________________ 
 
 
Capítulo II Estatística Descritiva: Apresentação dos Dados 33 
 
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Observações sobre a construção dos intervalos de classe: 
i) Nem sempre é possível trabalharmos com intervalos de classe de amplitude 
constante. Exemplos: 
- Distribuição de rendimentos. Se utilizamos intervalos de amplitude constante 
obteríamos um número tão extenso de classes que tornaria impraticável a análise 
do fenômeno. 
- Distribuição de Frequências quando algumas classes têm frequência igual a zero. 
Nestes casos recomendamos montar a distribuição de frequências com intervalos 
de classes diferentes. (Ver exemplo adiante) 
 
ii) Para intervalos de classe constantes, alguns autores sugerem a Regra de Sturges para 
determinação do número de classes da distribuição de frequências: k = 1 + 3,3.log n 
onde k = número de classes e n = número total de observações (frequência total). 
Exemplo: Defina os limites dos intervalos de classes utilizando a Regra de Sturges para 
a variável faturamento no ano 2. 
n = 124 \u21d2 log n = 2,0934; k = 1 + (3,3x2,0934) = 1 + 6,90822 = 7,90822 \u21d2 8 classes 
Amplitude total da distribuição: 1345 \u2013 45 = 1300 
Amplitude dos intervalos de classe: 1300 ÷ 8 = 162,5 mil unidades monetárias 
Limites: 45 |\uf8e7 207,5; 207,5 |\uf8e7 370; 370 |\uf8e7 532,5; 532,5 |\uf8e7 695; 695 |\uf8e7 857,5; 
857,5 |\uf8e7 1020; 1020 |\uf8e7 1182,5; 1182,5 |\uf8e7 1345. 
 
iii) Devemos evitar que a primeira e a última classes da distribuição sejam classes abertas, 
ou seja, sem a definição de um de seus limites, pois sem algum dos limites não é 
possível avançar no trabalho estatístico
Fernando
Fernando fez um comentário
Material muito bom. Será de grande valia. Obrigado.
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