senai_resistencia_dos_materiais_i
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DisciplinaResistência dos Materiais I24.321 materiais585.913 seguidores
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para um estado de 
tensão biaxial devem ser considerados dois casos: 
 
Caso 1: Os sinais de \u3c31 e \u3c32 são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.15 \u2013 Círculos tensões de Mohr para um estado de tensão biaxial - \u3c31 e \u3c32 têm 
sinais iguais 
 
onde, para: 
esc212
esc121
\u3c3\u2264\u3c3\u21d2\u3c3>\u3c3
\u3c3\u2264\u3c3\u21d2\u3c3>\u3c3
 (9.23) 
 
Caso 2: Os sinais de \u3c31 e \u3c32 são diferentes. 
 
 
 
\u3c4max = (\u3c31)/2 
\u3c33 \u3c32
\u3c3 
 \u3c4
\u3c31 
 \u3c31 
 \u3c32 
Transformação de tensão 154
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.16 \u2013 Círculos Tensões de Mohr para um estado de tensão biaxial - \u3c31 e \u3c32 têm 
sinais diferentes 
 
 Para este caso, a tensão de cisalhamento máxima no ponto analisado não deve 
exceder a máxima tensão de cisalhamento do material (ver Fig. 9.17). 
22
esc21 \u3c3\u2264\u3c3\u2212\u3c3± (9.24) 
 
Na iminência de ocorrer o escoamento, tem-se: 
1
esc
2
esc
1 ±=\u3c3
\u3c3\u2212\u3c3
\u3c3 (9.25) 
 
 A eq. (9.25) pode ser colocada de maneira gráfica da forma, Fig. 9.17: 
 
 
 
 
 
 
 
\u3c4max = (\u3c31- \u3c32)/2 
\u3c3\u3c32
\u3c3 
 \u3c4 
\u3c31
\u3c4max = -(\u3c31- \u3c32)/2 
 \u3c31 
 \u3c32 
Curso de Mecânica dos Sólidos A 155
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.17 \u2013 Representação gráfica de um ponto na iminência de escoar - Tresca 
 
99..77..33 \u2013\u2013 TTeeoorriiaa ddaa mmááxxiimmaa eenneerrggiiaa ddee ddiissttoorrççããoo ((vvoonn MMiisseess)) ((mmaatt.. ddúúcctteeiiss)) 
A expressão de energia de deformação elástica total por unidade de volume 
(densidade de energia de deformação elástica) em um material isotrópico para um 
estado triaxial de tensões considerada num sistema de coordenadas arbitrário x, y e z é 
da seguinte forma: 
( ) ( )
( )
2 2 2
total x y z x y y z z x
2 2 2
xz yz xz
1U
2 E E
1
2 G
\u3bd= \u3c3 + \u3c3 + \u3c3 \u2212 \u3c3 \u3c3 + \u3c3 \u3c3 + \u3c3 \u3c3
+ \u3c4 + \u3c4 + \u3c4
?
?
 (9.26) 
 
 Esta energia de deformação elástica total, considerada nos eixos principais é da 
forma: 
( ) ( )133221232221total EE21U \u3c3\u3c3+\u3c3\u3c3+\u3c3\u3c3\u3bd\u2212\u3c3+\u3c3+\u3c3= (9.27) 
 
A energia de deformação elástica total acima, é dividida em duas partes: uma 
causando dilatação do material (mudanças volumétricas), e outra causando distorsões 
\u3c31/\u3c3esc
1.0
1.0
 -1.0
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0)
\u3c32/\u3c3esc
Transformação de tensão 156
de cisalhamento. É interessante lembrar que em um material dúctil, admite-se que o 
escoamento do material depende apenas da máxima tensão de cisalhamento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.18 \u2013 Energias de dilatação e de distorção num elemento 
 
A fim de facilitar a compreensão, somente oestado de tensão uniaxial será 
considerado. A passagem para um estado de tensão triaxial é automática. Desta forma, 
para um estado de tensão uniaxial, as energias de dilatação e de distorção são 
representada da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.19 \u2013 Energias de dilatação e de distorção num elemento solicitado axialmente 
 
 Os Círculos de tensão de Mohr para os estados de tensão com somente energia 
de distorção são, Fig. 9.20. 
 \u3c31 
 \u3c33 
 \u3c32 
Energia de deformação 
elástica total 
 =
 Energia de
 dilatação 
+
 Energia de 
 distorção 
\u3c3\u2212\u3c32
\u3c3\u2212\u3c31
\u3c3\u2212\u3c33\u3c3
\u3c3
\u3c3
 \u3c31 
Energia de deformação 
elástica total 
 =
 Energia de 
 distorção 
 \u3c31 
 Energia de 
 dilatação 
 \u3c31/3
 \u3c31/3 
 \u3c31/3
+
 \u3c31/3
\u3c31/3
+
\u3c31/3 
\u3c31/3
Curso de Mecânica dos Sólidos A 157
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.20 \u2013 Círculos de tensão de Mohr para o cisalhamento puro 
 
No tensor correspondente a energia de dilatação, os componentes são definidos 
como sendo a tensão \u201chidrostática\u201d média: 
3
321 \u3c3+\u3c3+\u3c3=\u3c3 (9.28) 
 
onde: 
\u3c31 = \u3c32 = \u3c33 = p = \u3c3 (9.29) 
 
 A energia de dilatação é obtida substituindo a eq.(9.29) na eq. (9.27), e em 
seguida substituindo a eq. (9.28) na equação resultante. Assim: 
( )2dilatação 1 2 31 2U 6 E
\u2212 \u3bd= \u3c3 + \u3c3 + \u3c3 (9.30) 
 
A energia de distorção é obtida sustraindo da energia de deformação elástica 
total, eq. (9.27) a energia de dilatação, eq.(9.30): 
( ) ( ) ( )[ ]213232221distorção G121U \u3c3\u2212\u3c3+\u3c3\u2212\u3c3+\u3c3\u2212\u3c3= (9.31) 
 
\u3c4max = \u3c31/3 
\u3c3 
 \u3c4 
\u3c31/3\u3c31/3
0
\u3c4max = \u3c31/3 
 \u3c3 
 \u3c4 
\u3c31/3\u3c31/3 
0 
Transformação de tensão 158
A energia de distorção em um ensaio de tração simples, onde neste caso \u3c31 = 
\u3c3esc e \u3c32 = \u3c33 = 0 é da forma: 
2
esc
distorção
2 \u3c3U
12 G
= (9.32) 
 
Igualando a energia de distorção do ponto em análise, eq. (9.31), com a energia 
de distorção num ensaio à tração simples, (9.32), estabelece-se o critério de 
escoamento para tensão combinada, eq. (9.33). 
( ) ( ) ( ) 2esc213232221 2 \u3c3=\u3c3\u2212\u3c3+\u3c3\u2212\u3c3+\u3c3\u2212\u3c3 (9.33) 
 
 Freqüentemente a eq. (9.33) pode ser rearranjada, sendo a expressão resultante 
chamada de tensão equivalente. 
( ) ( ) ( )2 2 2equ 1 2 2 3 3 11\u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c32 \uf8ee \uf8f9= \u2212 + \u2212 + \u2212\uf8f0 \uf8fb (9.34) 
 
A eq. (9.33) pode também ser apresentada da forma: 
2 2 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1
esc esc esc esc esc esc esc esc esc
\u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 1
\u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3 \u3c3
\uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6 \uf8eb \uf8f6+ + \u2212 \u2212 \u2212 =\uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7 \uf8ec \uf8f7\uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8 \uf8ed \uf8f8
 (9.35) 
 
A eq. (9.36) é conhecida como sendo o critério de von Mises para um estado 
triaxial de tensões para materiais isotrópicos. Para um estado plano de tensão, \u3c33 = 0, 
tem-se: 
1
2
esc
2
esc
2
esc
1
2
esc
1 =\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u3c3
\u3c3+\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u3c3
\u3c3
\u3c3
\u3c3\u2212\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
\u3c3
\u3c3
 (9.36) 
 
 A eq. (9.36) pode ser colocada de maneira gráfica da forma, Fig. 9.21: 
 
 
 
 
Curso de Mecânica dos Sólidos A 159
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.21 \u2013 Representação gráfica de um ponto na iminência de escoar \u2013 von Mises 
 
99..77..44 \u2013\u2013 TTeeoorriiaa ddaa mmááxxiimmaa tteennssããoo nnoorrmmaall ((mmaatt.. ffrráággeeiiss)) 
 A teoria da máxima tensão normal estabelece que a falha ou fratura de um 
material ocorre quando a máxima tensão normal em um ponto atinge um valor crítico, 
independentemente das outras tensões. Dessa forma, apenas a maior tensão principal 
deve ser considerada para aplicar esse critério. 
rup321 ouou \u3c3\u2264\u3c3\u3c3\u3c3 (9.37) 
 
 A eq. (9.36) também pode ser colocada de maneira gráfica da forma, Fig. 9.22. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.22 \u2013 Representação gráfica de um ponto na iminência de romper 
 \u3c31/\u3c3esc
1.0
1.0
 -1.0
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0)
 \u3c32/\u3c3esc
 \u3c31/\u3c3rup 
1.0
1.0
 -1.0
 -1.0 
B( -1.0, 1.0) 
A( 1.0, 1.0)
\u3c32/\u3c3rup
Transformação de tensão 160
Exemplo 9.6: As tensões calculadas sobre o ski são como mostrada na figura abaixo.