senai_resistencia_dos_materiais_i
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DisciplinaResistência dos Materiais I24.179 materiais584.782 seguidores
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, VG = 0 t 
 0M =\u2211 , 2.(1,25 + x) \u2013 3.x + (w\u2019 x / 2).x/3 + M = 0 \u21d2 5,2x
75,3.3
xM 2
3
\u2212+\u2212= (t.m) 
p/ x = 0 , MF = \u2013 2,5 t.m 
p/ x = 3,75 , MG = 0 t.m 
2
V 
M
x 
2
V 
M 
x1,25
w\u2019
3
w\u2019x / 2
Diagramas de força axial, cortante e de momento 20
Viga ABC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga CDE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Viga EFG: 
 
 
 
 
 
BA C 
 Rcy = 3 t
 
 RAy 
 
Momento fletor (t.m) 
2,5 
3 
-3 
6 
-1,5 
1,5625 
Força cortante (t) 
5 t
2,5 t.m
D
EC
 
 
-3 t 
2 t
Força cortante (t) 
2,5
Momento fletor (t.m) 
1,5 
4 
Curso de Mecânica dos Sólidos A 21
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22..22 \u2013\u2013 MMééttooddoo ddoo ssoommaattóórriioo.. 
22..22..11 \u2013\u2013 EEqquuaaççõõeess ddiiffeerreenncciiaaiiss ddee eeqquuiillííbbrriioo 
Considere a viga com uma carga distribuída w(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 w(x) 
\u2206x x 
 y 
 +w(x) 
\u2206x
 x 
 y 
V+\u2206V
M+\u2206M
V 
M 
A
1t
FE
 REy=2 
 REx 
 RFy
 RGy
2 3 
-1 
Força cortante (t)
Momento fletor (t.m) 
-2,5 
Diagramas de força axial, cortante e de momento 22
Pelas condições de equilíbrio das forças verticais ( 0Fy =\u2211 ) e dos 
momentos ( 0M =\u2211 ) temos: 
\u2191 0Fy =\u2211 , 0)VV(x.wV =\u2206++\u2206+\u2212 \u21d2 wxV \u2212=\u2206\u2206 (2.1) 
 0MA =\u2211 , 0)MM(2x.x.wx.VM =\u2206+\u2212\u2206\u2206+\u2206\u2212 \u21d2 2x.wVxM \u2206+\u2212=\u2206\u2206 (2.2) 
 
As eqs. (2.1) e (2.2) sendo avaliadas no limite, quando \u2206x \u21d2 0, fornecem as 
duas equações diferenciais básicas: 
w
dx
dV
x
Vlim
0x
\u2212=\u2261\u2206
\u2206
\u2192\u2206 \u21d2 \u222b +\u2212=
x
0
1Cdx.)x(w)x(V (2.3) 
e 
V
dx
dM
x
Mlim
0x
\u2212=\u2261\u2206
\u2206
\u2192\u2206 \u21d2 \u222b +\u2212=
x
0
2Cdx.)x(V)x(M (2.4) 
 
Exemplo 2.5: Traçar os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga 
usando o método do somatório. 
 
 
 
 
 
 
 
a - Determinar as reações nos apoios. 
 0MA =\u2211 , 0L.R4L3.P4L.P B =+\u2212\u2212 \u21d2 RB = P 
\u2191 0Fy =\u2211 , RA - P \u2013 P + P = 0 \u21d2 RA = P 
 
Da eq. (2.3), sabendo que w(x) = 0 \u21d2 V(x) = constante = V. Da eq.(2.4), 
como V é constante, a equação de momento fletor no trecho é da forma: M(x) = - V x 
+ C2 
 P
 A B 
 P
 L/4 L/2 L/4
 RA RB 
Curso de Mecânica dos Sólidos A 23
b - Traçar os diagramas de força cortante e momento fletor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2.6: Construir os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga 
com o carregamento mostrado abaixo, usando o método do somatório. 
 
 
 
 
 
 
 
 
a - Determinar as reações nos apoios. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 3 m 3 m 1 m 
2 t/m 
A BC D 
3 t 
10 t 8 t 
6 t 
F E G
1 m 2 m 1 m 
RAy RB 
RAx 
1 t/m 
2 t 
 P
 A B 
 P
 P P 
+ P 
- P - 
+ Força Cortante 
+
 PL/4 
Momento Fletor 
2 t/m 
A BC D 
10 t 
F E G
1 t/m 
 3 m 3 m 1 m 1 m 2 m 1 m 
4
3
Diagramas de força axial, cortante e de momento 24
\u2192 0Fx =\u2211 , RAx \u2013 6 = 0 \u21d2 RAx = 6 t 
 0MA =\u2211 , 3 . 2 - 8 . 3 + RB .4 \u2013 2 . 6 = 0 \u21d2 RB = 7,5 t 
\u2191 0Fy =\u2211 , - 3 + RAy \u2013 8 + 7,5 \u2013 2 = 0 \u21d2 RAy = 5,5 t 
 
b - Determinar as funções da força cortante V(x) e do momento fletor M(x) para cada 
trecho da viga. 
Partir da extremidade mais a esquerda, ponto C: 
Trecho C-A: 
\u222b +\u2212=
x
0
1Cdx)x(w)x(V 
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
=\u21d2==
\u2212=\u21d2\u2212==
+=
3
2a0w,3x/p
2b2w,0x/p
bax)x(w ? 
2x
3
2)x(w \u2212= (t/m) 
\u222b +\uf8f7\uf8f8\uf8f6\uf8ec\uf8ed\uf8eb \u2212\u2212=
x
0
1Cdx2x
3
2)x(V \u21d2 1Cx2
2
x
3
2)x(V
2
++\u2212= (t) 
p/ x = 0 , Vc = 0 \u21d2 C1 = 0 (não há força concentrada em C) 
x2
3
x)x(V
2
+\u2212= 
p/ x = 3 \u21d2 VA = 3 t 
 
\u222b +\u2212=
x
0
2Cdx)x(V)x(M \u21d2 \u222b +\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb +\u2212\u2212=
x
0
2
2Cdxx2
2
x
3
2)x(M 
2Cx
2
2
3
x
3
1)x(M 2
3
+\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb +\u2212\u2212= 
p/ x = 0 , Mc = 0 \u21d2 C2 = 0 (não há momento concentrado em C) 
2
3
x
9
x)x(M \u2212= (t.m) 
p/ x = 3 \u21d2 MA = -6 t . m 
 
Curso de Mecânica dos Sólidos A 25
força axial: P = O 
 
Trecho A-D: 
\u222b +\u2212=
x
0
1Cdx)x(w)x(V 
como w(x) = 0 \u21d2 V(x) = constante = C1 = - 2,5 t 
 
\u222b +\u2212=
x
0
2Cdx)x(V)x(M , ( )\u222b +\u2212\u2212=
x
0
2Cdx5,2)x(M \u21d2 2Cx5,2)x(M += 
p/ x = 0 , MA = -6 \u21d2 C2 = - 6 (não há momento concentrado em A) 
 
6x5,2)x(M \u2212= (t.m) 
p/ x = 3 \u21d2 MD = 1,5 t . m 
 
força axial: P = - 6 t 
 
Trecho D-B: 
\u222b +\u2212=
x
0
1Cdx)x(w)x(V 
como w(x) = 0 \u21d2 V(x) = constante = C1 = 5,5 t 
\u222b +\u2212=
x
0
2Cdx)x(V)x(M , \u222b +\u2212=
x
0
2Cdx5,5)x(M \u21d2 2Cx5,5)x(M +\u2212= 
p/ x = 0 , MD = 1,5 \u21d2 C2 = 1,5 (não há momento concentrado em D) 
M(x) = 5,5 x + 1,5 (t.m) 
p/ x =1 \u21d2 MB = - 4 t . m 
 
Força axial P = 0 
 
Trecho B-E: 
\u222b +\u2212=
x
0
1Cdx)x(w)x(V 
Diagramas de força axial, cortante e de momento 26
como w(x) = 0 \u21d2 V(x) = constante = C1 = - 2 \u21d2 V = - 2 t 
 
\u222b +\u2212=
x
0
2Cdx)x(V)x(M , \u222b +\u2212\u2212=
x
0
2Cdx)2()x(M \u21d2 2Cx2)x(M += 
p/ x = 0 , MB = - 4 \u21d2 C2 = - 4 (não há momento concentrado em B) 
M(x) = 2 x - 4 (t.m) 
p/ x =1 \u21d2 ME = - 2 t . m 
 
Força axial P = 0 
 
Trecho E-F: 
\u222b +\u2212=
x
0
1Cdx)x(w)x(V , \u222b +\u2212\u2212=
x
0
1Cdx)1()x(V \u21d2 1Cx)x(V \u2212= 
p/ x = 0 , VE = - 2 \u21d2 C1 = - 2 (não há força concentrado em E) 
2x)x(V \u2212= 
p/ x = 2 \u21d2 VF = 0 
 
\u222b +\u2212=
x
0
2Cdx)x(V)x(M , \u222b +\u2212\u2212=
x
0
2Cdx)2x()x(M \u21d2 2Cx2
2
x)x(M
2
++\u2212= 
p/ x = 0 , ME = -2 \u21d2 C2 = - 2 (não há momento concentrado em E) 
2x2
2
x)x(M
2
\u2212+\u2212= (t.m) 
p/ x = 2 \u21d2 MF = 0 t . m 
 
Força axial P = 0 
 
não há forças e momentos concentrados: V = 0 , M = 0 , P = 0 
 
Traçar os diagramas de forças cortante e axial e de momento fletor. 
 
 
 
Curso de Mecânica dos Sólidos A 27
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 t/m 
A BC D 
10 t8 t
6 t
FE G
5,5 t 7,5 t
6 t 
1 t/m 
3 
2,5 
5,5 
2 
+ +
- -
- - -
-6 
1,5
-4 
-2 
-
-6 
Força 
cortante (t) 
Momento 
fletor (t.m) 
Força 
axial (t) 
Tensão 28
33 \u2013\u2013 TTEENNSSÃÃOO 
33..11 \u2013\u2013 DDeeffiinniiççããoo ddee TTeennssããoo 
Considere um o corpo seccionado, submetido à forças externas P1 e P2 e à 
forças internas \u2206P atuantes em áreas infinitesimais \u2206A, Fig.3.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 \u2013 Esforços externos einternos num corpo seccionado 
 
A tensão normal à face seccionada é por definição da forma: 
A
Plim x
0Axxx \u2206
\u2206=\u3c3=\u3c4 \u2192\u2206 (3.1) 
 
e, as tensões de cisalhamento que atuam na face seccionada são por definição da 
forma: 
A
Plim
A
P
lim
z
0Axz
y
0Axy
\u2206
\u2206=\u3c4
\u2206
\u2206=\u3c4
\u2192\u2206
\u2192\u2206 (3.2) 
 
O primeiro índice da tensão de cisalhamento indica o eixo que é perpendicular 
à face onde atua a tensão e o segundo indica a direção da tensão. 
 
33..22 \u2013\u2013 TTeennssoorr ddee TTeennssõõeess 
 
x
y 
 z 
\u2206Px
\u2206Py
\u2206Pz
 
 
\u2206P
\u2206A
Curso de Mecânica dos Sólidos A 29
Considere um elemento infinitesimal de dimensões \u2206x,