Reginaldo - Quádricas
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Reginaldo - Quádricas


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para cima se c > 0 e concavidade para baixo se c < 0.
A intersec¸a\u2dco do parabolo´ide hiperbo´lico com plano x = k e´ a para´bola
z = \u2212 y
2
cb2
+
k2
ca2
, x = k
que tem concavidade para baixo se c > 0 e concavidade para cima se c < 0. O parabolo´ide
hiperbo´lico e´ tambe´m chamado sela.
As equac¸o\u2dces
ax =
y2
b2
\u2212 z
2
c2
7
y
z
x
Figura 17: Parabolo´ide hiperbo´lico de
equac¸a\u2dco cz = x
2
a2
\u2212 y2
b2
, para c < 0
y
z
x
Figura 18: Parabolo´ide hiperbo´lico e inter-
sec¸o\u2dces com os planos z = k
e
by =
x2
a2
\u2212 z
2
c2
tambe´m representam parabolo´ides hiperbo´licos.
y
z
x
Figura 19: Parabolo´ide hiperbo´lico e inter-
sec¸o\u2dces com os planos y = k
y
z
x
Figura 20: Parabolo´ide hiperbo´lico e inter-
sec¸o\u2dces com os planos x = k
8
1.4 Cone El´\u131ptico
y
z
x
Figura 21: Cone el´\u131ptico de equac¸a\u2dco z2 =
x2
a2
+ y
2
b2
y
z
x
Figura 22: Cone el´\u131ptico e intersec¸o\u2dces com os
planos z = k
Um cone el´\u131ptico e´ um conjunto de pontos que satisfaz a equac¸a\u2dco
z2 =
x2
a2
+
y2
b2
, (6)
em que a e b sa\u2dco nu´meros reais positivos, em algum sistema de coordenadas. Se a = b, o cone
e´ chamado cone circular.
Observe que o cone el´\u131ptico (6) e´ sime´trico em relac¸a\u2dco aos planos coordenados, aos eixos
coordenados e a` origem. Pois, se (x, y, z) satisfaz (6), enta\u2dco (\u2212x, y, z), (x,\u2212y, z), (x, y,\u2212z),
(\u2212x,\u2212y, z), (x,\u2212y,\u2212z), (\u2212x, y,\u2212z) e (\u2212x,\u2212y,\u2212z) tambe´m satisfazem.
A intersec¸a\u2dco do cone el´\u131ptico (6) com o plano z = k, para k 6= 0, e´ a elipse
x2
a2k2
+
y2
b2k2
= 1, z = k.
Observe que os eixos da elipse crescem a` medida que |k| aumenta.
Os planos xz e yz cortam o cone el´\u131ptico (6) segundo as retas
x = ±az, y = 0 e y = ±bz, x = 0,
respectivamente.
A intersec¸a\u2dco do cone el´\u131ptico (6) com o plano y = k, para k 6= 0, e´ a hipe´rbole
z2
k2/b2
\u2212 x
2
a2k2/b2
= 1, y = k.
A intersec¸a\u2dco do cone el´\u131ptico (6) com o plano x = k, para k 6= 0, e´ a hipe´rbole
z2
k2/a2
\u2212 y
2
b2k2/a2
= 1, x = k.
As equac¸o\u2dces
x2 =
y2
b2
+
z2
c2
e y2 =
x2
a2
+
z2
c2
tambe´m representam cones el´\u131pticos.
9
y
z
x
Figura 23: Cone el´\u131ptico e intersec¸o\u2dces com os
planos y = k
y
z
x
Figura 24: Cone el´\u131ptico e intersec¸o\u2dces com os
planos x = k
1.5 Cilindro Qua´drico
y
z
x
Figura 25: Cilindro el´\u131ptico de equac¸a\u2dco x
2
a2
+ y
2
b2
= 1
Um cilindro qua´drico e´ um conjunto de pontos do espac¸o, que em algum sistema de
coordenadas satisfaz a equac¸a\u2dco
f(x, y) = 0 (7)
em que f(x, y) = 0 e´ a equac¸a\u2dco de uma co\u2c6nica no plano xy.
10
y
z
x
Figura 26: Cilindro hiperbo´lico de equac¸a\u2dco
x2
a2
\u2212 y2
b2
= 1
y
z
x
Figura 27: Cilindro hiperbo´lico de equac¸a\u2dco
y2
a2
\u2212 x2
b2
= 1
y
z
x
Figura 28: Cilindro parabo´lico de equac¸a\u2dco
y2 = 4px, p > 0
y
z
x
Figura 29: Cilindro parabo´lico de equac¸a\u2dco
x2 = 4py, p > 0
11
Chamamos o cilindro qua´drico de cilindro el´\u131ptico, se a co\u2c6nica de equac¸a\u2dco f(x, y) = 0
e´ uma elipse. Por exemplo, a equac¸a\u2dco x2 + 2y2 = 1 representa uma elipse no plano, en-
quanto representa um cilindro el´\u131ptico no espac¸o. Chamamos o cilindro qua´drico de cilindro
hiperbo´lico, se a co\u2c6nica de equac¸a\u2dco f(x, y) = 0 e´ uma hipe´rbole. Por exemplo, a equac¸a\u2dco
x2 \u2212 2y2 = 1 representa uma hipe´rbole no plano, enquanto representa um cilindro hiperbo´lico
no espac¸o. Chamamos o cilindro qua´drico de cilindro parabo´lico, se a co\u2c6nica de equac¸a\u2dco
f(x, y) = 0 e´ uma para´bola. Por exemplo, a equac¸a\u2dco x2 = 4y representa uma para´bola no
plano, enquanto representa um cilindro parabo´lico no espac¸o.
A intersec¸a\u2dco do plano z = k com o cilindro e´ a co\u2c6nica que o originou, chamada diretriz do
cilindro:
f(x, y) = 0, z = k.
Se a equac¸a\u2dco f(x, k) = 0 tem m soluc¸o\u2dces (m = 0, 1 ou 2), enta\u2dco o plano y = k intercepta a
superf´\u131cie segundo m retas
f(x, y) = 0, y = k.
Considerac¸o\u2dces semelhantes sa\u2dco va´lidas para a intersec¸a\u2dco com o plano x = k.
As equac¸o\u2dces
g(x, z) = 0 e h(y, z) = 0
tambe´m representam cilindros qua´dricos desde que g(x, z) = 0 e h(y, z) = 0 sejam equac¸o\u2dces de
co\u2c6nicas nos planos xz e yz, respectivamente.
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Exerc´\u131cios Nume´ricos
1.1. Reduzir cada uma das equac¸o\u2dces de forma a identificar a qua´drica que ela representa e
fac¸a um esboc¸o do seu gra´fico:
(a) 4x2 \u2212 2y2 + z2 = 1
(b) x2 + y + z2 = 0
(c) x2 \u2212 9y2 = 9
(d) 4x2 \u2212 9y2 \u2212 36z = 0
1.2. Obtenha a equac¸a\u2dco do lugar geome´trico dos pontos equ¨idistantes do plano pi : x = 2 e do
ponto P = (\u22122, 0, 0). Que conjunto e´ este?
1.3. Obtenha uma equac¸a\u2dco do lugar geome´trico dos pontos que equ¨idistam das retas r :
(x, y, z) = t(1, 0, 0) e s : (x, y, z) = (0, 1, 0) + t(0, 0, 1). Que lugar geome´trico e´ este?
1.4. Determine a equac¸a\u2dco do lugar geome´trico dos pontos P = (x, y, z) tais que a soma das
dista\u2c6ncias de P aos dois pontos (2, 0, 0) e (\u22122, 0, 0) e´ igual a 6. Que lugar geome´trico e´
este?
1.5. Determine a equac¸a\u2dco do lugar geome´trico dos pontos P = (x, y, z) tais que o mo´dulo da
diferenc¸a entre as as dista\u2c6ncias de P = (x, y, z) aos dois pontos (2, 0, 0) e (\u22122, 0, 0) e´ igual
a 3. Que lugar geome´trico e´ este?
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2 Superf´\u131cies Cil´\u131ndricas, Co\u2c6nicas e de Revoluc¸a\u2dco
2.1 Superf´\u131cies Cil´\u131ndricas
y
z
x
V
P
P \u2032
Figura 30: Superf´\u131cie cil´\u131ndrica
Uma superf´\u131cie cil´\u131ndrica e´ uma superf´\u131cie que pode ser obtida quando uma reta, chamada
geratriz, se move paralelamente passando por uma curva fixa, chamada diretriz.
Suponhamos que a curva diretriz da superf´\u131cie cil´\u131ndrica S esteja no plano xy e tenha
equac¸a\u2dco
f(x, y) = 0 (8)
e que as retas geratrizes sejam paralelas a um vetor que na\u2dco e´ paralelo ao plano xy, digamos
V = (a, b, 1). Seja P = (x, y, z) um ponto qualquer sobre S e P \u2032 = (x\u2032, y\u2032, 0) um ponto do plano
xy que esta´ na reta geratriz que passa por P . O ponto (x, y, z) pertence a S se, e somente se,
o vetor
\u2212\u2192
P \u2032P e´ paralelo a V e P \u2032 e´ um ponto da curva diretriz, ou seja,
\u2212\u2192
P \u2032P= \u3bbV e f(x\u2032, y\u2032) = 0,
que e´ equivalente a
(x\u2212 x\u2032, y \u2212 y\u2032, z) = \u3bb(a, b, 1) e f(x\u2032, y\u2032) = 0.
Destas equac¸o\u2dces obtemos que \u3bb = z, x\u2032 = x\u2212 az e y\u2032 = y \u2212 bz. Assim a equac¸a\u2dco da superf´\u131cie
cil´\u131ndrica S que tem curva diretriz no plano xy com equac¸a\u2dco (8) e retas geratrizes paralelas ao
vetor V = (a, b, 1) e´
f(x\u2212 az, y \u2212 bz) = 0.
Resultados ana´logos sa\u2dco obtidos se a curva diretriz esta´ situada nos planos coordenados yz
e xz.
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Proposic¸a\u2dco 2.1. Considere uma superf´\u131cie cil´\u131ndrica.
(a) Se a sua curva diretriz esta´ no plano xy com equac¸a\u2dco
f(x, y) = 0
e as retas geratrizes sa\u2dco paralelas ao vetor V = (a, b, 1), enta\u2dco a sua equac¸a\u2dco e´
f(x\u2212 az, y \u2212 bz) = 0.
(b) Se a sua curva diretriz esta´ no plano yz com equac¸a\u2dco
f(y, z) = 0
e as retas geratrizes sa\u2dco paralelas ao vetor V = (1, b, c), enta\u2dco a sua equac¸a\u2dco e´
f(y \u2212 bx, z \u2212 cx) = 0.
(c) Se a sua curva diretriz esta´ no plano xz com equac¸a\u2dco
f(x, z) = 0
e as retas geratrizes sa\u2dco paralelas ao vetor V = (a, 1, c), enta\u2dco a sua equac¸a\u2dco e´
f(x\u2212 ay, z \u2212 cy) = 0.
y
z
x
Figura 31: Superf´\u131cie cil´\u131ndrica com diretrizes paralelas ao vetor W = (1, 2, 3) e curva geratriz
x2 \u2212 4y = 0, z = 0
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Exemplo 2.1. Vamos determinar a equac¸a\u2dco da superf´\u131cie cil´\u131ndrica que tem como curva di-
retriz no plano xy a para´bola de equac¸a\u2dco x2 \u2212 4y = 0 e retas diretrizes paralelas ao vetor
W = (1,\u22122, 3). Para obtermos um vetor que tem a 3a componente igual a 1 multiplicamos o
vetor W por 1/3 obtendo o vetor V = (1/3,\u22122/3, 1) que tambe´m e´ paralelo a`s retas geratrizes.
A equac¸a\u2dco da superf´\u131cie e´ enta\u2dco
(x\u2212 z/3)2 \u2212 4(y + 2y/3) = 0.
Consideremos o problema inverso, ou seja, uma superf´\u131cie de equac¸a\u2dco
F (x, y,