Reginaldo - Matrizes a diagonalização
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Reginaldo - Matrizes a diagonalização


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An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
= \u3b1det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Ak\u22121
X
Ak+1
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
+ \u3b2det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Ak\u22121
Y
Ak+1
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
.
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
106 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Aqui, Ak = \u3b1X + \u3b2Y = [ \u3b1x1 + \u3b2y1 . . . \u3b1xn + \u3b2yn ].
Demonstrac¸a\u2dco. Vamos provar aqui somente para k = 1. Para k > 1 e´ demons-
trado no Ape\u2c6ndice II na pa´gina 126. Se A1 = \u3b1X + \u3b2Y, em que X = [ x1 . . . xn ],
Y = [ y1 . . . yn ] e \u3b1 e \u3b2 sa\u2dco escalares, enta\u2dco:
det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3b1X + \u3b2Y
A2
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb = n\u2211j=1(\u22121)1+j(\u3b1xj + \u3b2yj)det(A\u2dc1j)
= \u3b1
n
\u2211
j=1
xj det(A\u2dc1j) + \u3b2
n
\u2211
j=1
yj det(A\u2dc1j)
= \u3b1det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
X
A2
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb+ \u3b2det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
Y
A2
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb . \ufffd
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
2.2 Determinantes 107
Exemplo 2.12. O ca´lculo do determinante da matriz a seguir pode ser feito da se-
guinte forma:
det
[
cos t sen t
2 cos t\u2212 3 sen t 2 sen t + 3 cos t
]
= 2 det
[
cos t sen t
cos t sen t
]
+ 3 det
[
cos t sen t
\u2212 sen t cos t
]
= 3
Pela definic¸a\u2dco de determinante, o determinante deve ser calculado fazendo-se o de-
senvolvimento em cofatores segundo a 1a. linha. O pro´ximo resultado, que na\u2dco va-
mos provar neste momento (Ape\u2c6ndice II na pa´gina 126), afirma que o determinante
pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em cofatores segundo qualquer li-
nha ou qualquer coluna.
Teorema 2.11. Seja A uma matriz n × n. O determinante de A pode ser calculado fazendo-se o desenvolvimento em
cofatores segundo qualquer linha ou qualquer coluna.
det(A) = ai1 a\u2dci1 + ai2 a\u2dci2 + . . . + ain a\u2dcin =
n
\u2211
j=1
aij a\u2dcij, para i = 1, . . . , n, (2.8)
= a1j a\u2dc1j + a2j a\u2dc2j + . . . + anj a\u2dcnj =
n
\u2211
i=1
aij a\u2dcij, para j = 1, . . . , n, (2.9)
em que a\u2dcij = (\u22121)i+j det(A\u2dcij) e´ o cofator do elemento aij. A expressa\u2dco (2.8) e´ chamada desenvolvimento em co-
fatores do determinante de A em termos da i-e´sima linha e (2.9) e´ chamada desenvolvimento em cofatores do
determinante de A em termos da j-e´sima coluna.
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108 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Temos a seguinte conseque\u2c6ncia deste resultado.
Corola´rio 2.12. Seja A uma matriz n× n. Se A possui duas linhas iguais, enta\u2dco det(A) = 0.
Demonstrac¸a\u2dco. O resultado e´ claramente verdadeiro para matrizes 2× 2. Supondo
que o resultado seja verdadeiro para matrizes (n\u2212 1)× (n\u2212 1), vamos provar que
ele e´ verdadeiro para matrizes n× n. Suponhamos que as linhas k e l sejam iguais,
para k 6= l. Desenvolvendo o determinante de A em termos de uma linha i, com
i 6= k, l, obtemos
det(A) =
n
\u2211
j=1
aij a\u2dcij =
n
\u2211
j=1
(\u22121)i+jaij det(A\u2dcij).
Mas, cada A\u2dcij e´ uma matriz (n\u2212 1)× (n\u2212 1) com duas linhas iguais. Como estamos
supondo que o resultado seja verdadeiro para estas matrizes, enta\u2dco det(A\u2dcij) = 0.
Isto implica que det(A) = 0. \ufffd
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2.2 Determinantes 109
No pro´ximo resultado mostramos como varia o determinante de uma matriz quando
aplicamos operac¸o\u2dces elementares sobre suas linhas.
Teorema 2.13. Sejam A e B matrizes n× n.
(a) Se B e´ obtida de A multiplicando-se uma linha por um escalar \u3b1, enta\u2dco
det(B) = \u3b1det(A) ;
(b) Se B resulta de A pela troca da posic¸a\u2dco de duas linhas k 6= l, enta\u2dco
det(B) = \u2212det(A) ;
(c) Se B e´ obtida de A substituindo-se a linha l por ela somada a um mu´ltiplo escalar de uma linha k, k 6= l, enta\u2dco
det(B) = det(A) .
Demonstrac¸a\u2dco. (a) Segue diretamente do Teorema 2.10 na pa´gina 105.
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110 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
(b) Sejam
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Ak
...
Al
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
e B =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Al
...
Ak
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
.
Agora, pelo Teorema 2.10 na pa´gina 105 e o Corola´rio 2.12, temos que
0 = det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Ak + Al
...
Ak + Al
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
= det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Ak
...
Ak
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
+ det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Ak
...
Al
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
+ det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Al
...
Ak
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
+ det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Al
...
Al
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
= 0+ det(A) + det(B) + 0.
Portanto, det(A) = \u2212det(B).
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2.2 Determinantes 111
(c) Novamente, pelo Teorema 2.10 na pa´gina 105, temos que
det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Ak
...
Al + \u3b1Ak
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
= det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Ak
...
Al
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
+ \u3b1det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Ak
...
Ak
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
= det
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
A1
...
Ak
...
Al
...
An
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
. \ufffd
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112 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Exemplo 2.13. Vamos calcular o determinante da matriz
A =
\uf8ee\uf8f0 0 1 53 \u22126 9
2 6 1
\uf8f9\uf8fb
usando operac¸o\u2dces elementares para transforma´-la numa matriz triangular superior
e aplicando o Teorema 2.13.
det(A) = \u2212det
\uf8ee\uf8f0 3 \u22126 90 1 5
2 6 1
\uf8f9\uf8fb 1a. linha\u2190\u2192 2a. linha
= \u22123 det
\uf8ee\uf8f0 1 \u22122 30 1 5
2 6 1
\uf8f9\uf8fb 1/3×1a. linha \u2212\u2192 1a. linha
= \u22123 det
\uf8ee\uf8f0 1 \u22122 30 1 5
0 10 \u22125
\uf8f9\uf8fb \u22122×1a. linha+3a. linha \u2212\u2192 3a. linha
= \u22123 det
\uf8ee\uf8f0 1 \u22122 30 1 5
0 0 \u221255
\uf8f9\uf8fb \u221210×2a. linha+3a. linha \u2212\u2192 3a. linha
= (\u22123)(\u221255) = 165
Quando multiplicamos uma linha de uma matriz por um escalar \u3b1 o determinante
da nova matriz e´ igual a` \u3b1 multiplicado pelo determinante da matriz antiga. Mas o
que estamos calculando aqui e´ o determinante da matriz anterior, por isso ele e´ igual
a` 1/\u3b1 multiplicado pelo determinante da matriz nova.
Para se calcular o determinante de uma matriz n×n pela expansa\u2dco em cofatores, pre-
cisamos fazer n produtos e calcular n determinantes de matrizes (n\u2212 1)× (n\u2212 1),
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2.2 Determinantes 113
que por sua vez vai precisar de n\u2212 1 produtos e assim por diante. Portanto, ao todo
sa\u2dco necessa´rios da ordem de n! produtos. Para se calcular o determinante de uma
matriz 20× 20, e´ necessa´rio se realizar 20! \u2248 1018 produtos. Os computadores pes-
soais realizam da ordem de 108 produtos por segundo. Portanto, um computador
pessoal precisaria de cerca de 1010 segundos ou 103 anos para calcular o determi-
nante de uma matriz 20× 20 usando a expansa\u2dco em cofatores. Entretanto usando
o me´todo apresentado no exemplo anterior para o ca´lculo do determinante, e´ ne-
cessa´rio apenas da ordem de n3 produtos. Ou seja, para calcular o determinante de
uma matriz 20× 20 usando o me´todo apresentado no exemplo anterior um compu-
tador pessoal gasta muito menos de um segundo.
A seguir estabelecemos duas propriedades do determinante que sera\u2dco demonstradas
somente na Subsec¸a\u2dco 2.2.2 na pa´gina 119.
Teorema 2.14. Sejam A e B matrizes n× n.
(a) O determinante do produto de A por B e´ igual ao produto dos seus determinantes,
det(AB) = det(A)det(B) .
(b) Os determinantes de A e de sua transposta At sa\u2dco iguais,
det(A) = det(At) ;
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114 Inversa\u2dco de Matrizes e Determinantes
Observac¸a\u2dco. Como o determinante de uma matriz e´ igual ao determinante da sua transposta (Teorema 2.14
(b)), segue-se que todas as propriedades que se referem a linhas sa\u2dco va´lidas com relac¸a\u2dco a`s colunas.
Exemplo 2.14. Seja A = (aij)n×n. Vamos mostrar que se A e´ invert\u131´vel, enta\u2dco
det(A\u22121) = 1
det(A)
.
Como A A\u22121 = In, aplicando-se o determinante a ambos os membros desta igual-
dade e usando o Teorema 2.14, obtemos
det(A) det(A\u22121) = det(In).
Mas, det(In) = 1 (Exemplo 2.11 na pa´gina 103, a matriz identidade tambe´m e´ trian-
gular inferior!). Logo, det(A\u22121) = 1
det(A)
.
Exemplo 2.15.