Reginaldo - Matrizes a diagonalização
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Reginaldo - Matrizes a diagonalização


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v2
O v1
Figura 3.6. As componentes do vetor V no
plano
x
y
P = (x, y)
\u2212\u2192
OP
y
O x
Figura 3.7. As coordenadas de P sa\u2dco iguais as
componentes de
\u2212\u2192
OP
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar 143
Assim, as coordenadas de um ponto P sa\u2dco iguais as componentes do vetor
\u2212\u2192
OP, que
vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P. Em particular, o vetor nulo,
0¯ = (0, 0). Em termos das componentes, podemos realizar facilmente as operac¸o\u2dces:
soma de vetores e multiplicac¸a\u2dco de vetor por escalar.
\u2022 Como ilustrado na Figura 3.8, a soma de dois vetores V = (v1, v2) e
W = (w1, w2) e´ dada por
V +W = (v1 + w1, v2 + w2);
\u2022 Como ilustrado na Figura 3.9, a multiplicac¸a\u2dco de um vetor V = (v1, v2) por um
escalar \u3b1 e´ dada por
\u3b1 V = (\u3b1 v1, \u3b1 v2).
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144 Vetores no Plano e no Espac¸o
x
y
v2
w2
v2+w2
v1 w1 v1+w1
V
W
V+W
Figura 3.8. A soma de dois vetores no plano
x
y
v2
\u3b1v2
v1 \u3b1v1
V
\u3b1V
Figura 3.9. A multiplicac¸a\u2dco de vetor por escalar
no plano
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar 145
Definimos as componentes de um vetor no espac¸o de forma ana´loga a que fizemos
com vetores no plano. Vamos inicialmente introduzir um sistema de coordenadas
retangulares no espac¸o. Para isto, escolhemos um ponto como origem O e como ei-
xos coordenados, tre\u2c6s retas orientadas (com sentido de percurso definido), passando
pela origem, perpendiculares entre si, sendo uma delas vertical orientada para cima.
Estes sera\u2dco os eixos x, y e z. O eixo z e´ o eixo vertical. Os eixos x e y sa\u2dco horizon-
tais e satisfazem a seguinte propriedade. Suponha que giramos o eixo x pelo menor
a\u2c6ngulo ate´ que coincida com o eixo y. Se os dedos da ma\u2dco direita apontam na direc¸a\u2dco
do semieixo x positivo de forma que o semieixo y positivo esteja do lado da palma
da ma\u2dco, enta\u2dco o polegar aponta no sentido do semieixo z positivo. Cada par de ei-
xos determina um plano chamado de plano coordenado. Portanto, os tre\u2c6s planos
coordenados sa\u2dco: xy, yz e xz.
A cada ponto P no espac¸o associamos um terno de nu´meros (x, y, z), chamado de
coordenadas do ponto P como segue.
\u2022 Trace uma reta paralela ao eixo z, passando por P;
\u2022 A intersec¸a\u2dco da reta paralela ao eixo z, passando por P, com o plano xy e´ o
ponto P\u2032. As coordenadas de P\u2032, (x, y), no sistema de coordenadas xy sa\u2dco as
duas primeiras coordenadas de P.
\u2022 A terceira coordenada e´ igual ao comprimento do segmento PP\u2032, se P estiver
acima do plano xy e ao comprimento do segmento PP\u2032 com o sinal negativo, se
P estiver abaixo do plano xy.
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146 Vetores no Plano e no Espac¸o
x y
z
P = (x, y, z)
z
P\u2032
yx
x y
z
P = (x, y, z)
yx
z
Figura 3.10. As coordenadas de um ponto no espac¸o
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar 147
As coordenadas de um ponto P sa\u2dco determinadas tambe´m da maneira dada a seguir.
\u2022 Passe tre\u2c6s planos por P paralelos aos planos coordenados.
\u2022 A intersec¸a\u2dco do plano paralelo ao plano xy, passando por P, com o eixo z de-
termina a coordenada z.
\u2022 A intersec¸a\u2dco do plano paralelo ao plano xz, passando por P, com o eixo y de-
termina a coordenada y
\u2022 A intersec¸a\u2dco do plano paralelo ao plano yz, passando por P, com o eixo x de-
termina a coordenada x.
Agora, estamos prontos para utilizarmos um sistema de coordenadas cartesianas
tambe´m nas operac¸o\u2dces de vetores no espac¸o. Seja V um vetor no espac¸o. Como no
caso de vetores do plano, definimos as componentes de V como sendo as coordena-
das (v1, v2, v3) do ponto final do representante de V que tem ponto inicial na origem.
Tambe´m vamos identificar o vetor com as suas componentes e vamos escrever sim-
plesmente
V = (v1, v2, v3).
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148 Vetores no Plano e no Espac¸o
x y
z
V = (v1, v2, v3)
v2v1
v3
Figura 3.11. As componentes de um vetor no
espac¸o
x y
z
P = (x, y, z)
\u2212\u2192
OP
O
yx
z
Figura 3.12. As coordenadas de P sa\u2dco iguais as
componentes de
\u2212\u2192
OP
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar 149
Assim, as coordenadas de um ponto P sa\u2dco iguais as componentes do vetor
\u2212\u2192
OP que
vai da origem do sistema de coordenadas ao ponto P. Em particular, o vetor nulo,
0¯ = (0, 0, 0). Assim, como fizemos para vetores no plano, para vetores no espac¸o
a soma de vetores e a multiplicac¸a\u2dco de vetor por escalar podem ser realizadas em
termos das componentes.
\u2022 Se V = (v1, v2, v3) e W = (w1, w2, w3), enta\u2dco a adic¸a\u2dco de V com W e´ dada por
V +W = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3);
\u2022 Se V = (v1, v2, v3) e \u3b1 e´ um escalar, enta\u2dco a multiplicac¸a\u2dco de V por \u3b1 e´ dada por
\u3b1 V = (\u3b1 v1, \u3b1 v2, \u3b1 v3).
Exemplo 3.1. Se V = (1,\u22122, 3), W = (2, 4,\u22121), enta\u2dco
V+W = (1+ 2,\u22122+ 4, 3+(\u22121)) = (3, 2, 2), 3V = (3 · 1, 3 (\u22122), 3 · 3) = (3,\u22126, 9).
Quando um vetor V esta´ representado por um segmento orientado com ponto ini-
cial fora da origem (Figura 3.13), digamos em P = (x1, y1, z1), e ponto final em
Q = (x2, y2, z2), enta\u2dco as componentes do vetor V sa\u2dco dadas por
V =
\u2212\u2192
PQ=
\u2212\u2192
OQ \u2212
\u2212\u2192
OP= (x2 \u2212 x1, y2 \u2212 y1, z2 \u2212 z1).
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150 Vetores no Plano e no Espac¸o
Portanto, as componentes de V sa\u2dco obtidas subtraindo-se as coordenadas do ponto
Q (extremidade) das do ponto P (origem). O mesmo se aplica a vetores no plano.
Exemplo 3.2. As componentes do vetor V que tem um representante com ponto ini-
cial P = (5/2, 1, 2) e ponto final Q = (0, 5/2, 5/2) sa\u2dco dadas por
V =
\u2212\u2192
PQ= (0\u2212 5/2, 5/2\u2212 1, 5/2\u2212 2) = (\u22125/2, 3/2, 1/2).
Observac¸a\u2dco. O vetor e´ \u201clivre\u201d, ele na\u2dco tem posic¸a\u2dco fixa, ao contra´rio do ponto e do segmento orientado. Por
exemplo, o vetor V = (\u22125/2, 3/2, 1/2), no exemplo acima, estava representado por um segmento orientado
com a origem no ponto P = (5/2, 1, 2). Mas, poderia ser representado por um segmento orientado cujo ponto
inicial poderia estar em qualquer outro ponto.
Um vetor no espac¸o V = (v1, v2, v3) pode tambe´m ser escrito na notac¸a\u2dco matricial
como uma matriz linha ou como uma matriz coluna:
V =
\uf8ee\uf8f0 v1v2
v3
\uf8f9\uf8fb ou V = [ v1 v2 v3 ] .
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3.1 Soma de Vetores e Multiplicac¸a\u2dco por Escalar 151
Estas notac¸o\u2dces podem ser justificadas pelo fato de que as operac¸o\u2dces matriciais
V +W =
\uf8ee\uf8f0 v1v2
v3
\uf8f9\uf8fb+
\uf8ee\uf8f0 w1w2
w3
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 v1 + w1v2 + w2
v3 + w3
\uf8f9\uf8fb , \u3b1V = \u3b1
\uf8ee\uf8f0 v1v2
v3
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 \u3b1v1\u3b1v2
\u3b1v3
\uf8f9\uf8fb
ou
V +W =
[
v1 v2 v3
]
+
[
w1 w2 w3
]
=
[
v1 + w1 v2 + w2 v3 + w3
]
,
\u3b1V = \u3b1
[
v1 v2 v3
]
=
[
\u3b1v1 \u3b1v2 \u3b1v3
]
produzem os mesmos resultados que as operac¸o\u2dces vetoriais
V +W = (v1, v2, v3) + (w1, w2, w3) = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3),
\u3b1V = \u3b1(v1, v2, v3) = (\u3b1v1, \u3b1v2, \u3b1v3).
O mesmo vale, naturalmente, para vetores no plano.
No teorema seguinte enunciamos as propriedades mais importantes da soma de ve-
tores e multiplicac¸a\u2dco de vetores por escalar.
Teorema 3.1. Sejam U, V e W vetores e \u3b1 e \u3b2 escalares. Sa\u2dco va´lidas as seguintes propriedades:
(a) U +V = V +U;
(b) (U +V) +W = U + (V +W);
(c) U + 0¯ = U;
(d) U + (\u2212U) = 0¯;
(e) \u3b1(\u3b2U) = (\u3b1\u3b2)U;
(f) \u3b1(U +V) = \u3b1U + \u3b1V;
(g) (\u3b1+ \u3b2)U = \u3b1U + \u3b2U;
(h) 1U = U.
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152 Vetores no Plano e no Espac¸o
Demonstrac¸a\u2dco. Segue diretamente das propriedades da a´lgebra matricial (Teorema
1.1 na pa´gina 9). \ufffd
Exemplo 3.3. Seja um tria\u2c6ngulo ABC e sejam M e N os pontos me´dios de AC e BC,
respectivamente. Vamos provar que MN e´ paralelo a AB e tem comprimento igual