Reginaldo - Matrizes a diagonalização
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Reginaldo - Matrizes a diagonalização


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0.87 0\u22120.43 \u22120.25 0.87
] \uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb .
Usando esta projec¸a\u2dco os vetores~i,~j e~k sa\u2dco desenhados como na figura abaixo.
Experimente desenhar o cubo que tem a origem O = (0, 0, 0) como um dos ve´rtices
e como ve´rtices adjacentes a` origem (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). Observe que na\u2dco e´
necessa´rio calcular a projec¸a\u2dco dos outros pontos (por que?)
Julho 2010 Reginaldo J. Santos
374 Espac¸os Rn
\u22121 \u22120.8 \u22120.6 \u22120.4 \u22120.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
\u22121
\u22120.8
\u22120.6
\u22120.4
\u22120.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 5.40. Vetores~i,~j e~k desenhados usando projec¸a\u2dco ortogra´fica
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 375
Exerc\u131´cios Nume´ricos (respostas na pa´gina 559)
5.4.1. Encontre as coordenadas do ponto P com relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas S , nos seguintes casos:
(a) S = {O, (1/\u221a2,\u22121/\u221a2), (1/\u221a2, 1/\u221a2)} e P = (1, 3);
(b) S = {O, (1/\u221a2,\u22121/\u221a2, 0), (0, 0, 1), (1/\u221a2, 1/\u221a2, 0)} e P = (2,\u22121, 2);
5.4.2. Encontre o ponto P, se as coordenadas de P em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas S , [P]S , sa\u2dco:
(a) [P]S =
[
2
1
]
, em que S = {O, (\u22121/\u221a2, 1/\u221a2), (1/\u221a2, 1/\u221a2)}.
(b) [P]S =
\uf8ee\uf8f0 \u221211
2
\uf8f9\uf8fb, em que S = {O, (0, 1/\u221a2,\u22121/\u221a2), (1, 0, 0), (0, 1/\u221a2, 1/\u221a2)}.
5.4.3. Sejam [P]R =
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb as coordenadas de um ponto P em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas
R = {O,~i,~j,~k} e [P]S =
\uf8ee\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9\uf8fb, em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas S = {O, U1, U2, U3}. Suponha
que temos a seguinte relac¸a\u2dco:
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 1 0 00 1/2 \u2212\u221a3/2
0
\u221a
3/2 1/2
\uf8f9\uf8fb\uf8ee\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9\uf8fb .
Quais sa\u2dco os vetores U1, U2 e U3?
5.4.4. Determine qual a rotac¸a\u2dco do plano em que as coordenadas do ponto P = (
\u221a
3, 1) sa\u2dco
[ \u221a
3
\u22121
]
.
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376 Espac¸os Rn
5.4.5. Considere o plano pi : 3x\u2212\u221a3y + 2z = 0.
(a) Determine uma base ortonormal para o plano em que o primeiro vetor esteja no plano xy.
(b) Complete a base encontrada para se obter uma base ortonormal {U1, U2, U3} de R3.
(c) Determine as coordenadas dos vetores~i,~j e~k no sistema {O, U1, U2, U3}.
5.4.6. Considere dois sistemas de coordenadasR = {O,~i,~j,~k} e S = {O,~i, U2, U3}, em que o sistema S e´ obtido
do sistemaR por uma rotac¸a\u2dco do a\u2c6ngulo \u3b8 em torno do eixo x. Determine a relac¸a\u2dco entre as coordenadas,
(x\u2032, y\u2032, z\u2032), em relac¸a\u2dco ao sistema S e (x, y, z), em relac¸a\u2dco ao sistemaR
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 377
Exerc\u131´cios Teo´ricos
5.4.7. Mostre que
(a) R\u3b81 R\u3b82 = R\u3b81+\u3b82 .
(b) R\u22121\u3b8 = R\u2212\u3b8 .
5.4.8. Seja B uma matriz quadrada 2× 2.
(a) Verifique que R\u3b8B e´ a matriz obtida girando as colunas de B de \u3b8.
(b) Verifique que BR\u3b8 e´ a matriz obtida girando as linhas de B de \u2212\u3b8.
(c) Quais as condic¸o\u2dces sobre B e \u3b8 para que R\u3b8B = BR\u3b8 . De\u2c6 um exemplo.
5.4.9. Definimos coordenadas de pontos no espac¸o em relac¸a\u2dco a um sistema de coordenadas determinado por
um ponto O\u2032 e tre\u2c6s vetores V1, V2 e V3 L.I. na\u2dco necessariamente ortonormais doR3 da mesma forma como
fizemos quando os vetores formam uma base ortonormal. As coordenadas de um ponto P no sistema de
coordenadas {O\u2032, V1, V2, V3} e´ definido como sendo os escalares que aparecem ao escrevermos
\u2212\u2192
O\u2032P como
combinac¸a\u2dco linear dos vetores V1, V2 e V3, ou seja, se
\u2212\u2192
O\u2032P= x\u2032V1 + y\u2032V2 + z\u2032V3,
enta\u2dco as coordenadas de P no sistema {O\u2032, V1, V2, V3} sa\u2dco dadas por
[P]{O\u2032 ,V1,V2,V3} =
\uf8ee\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9\uf8fb .
Assim, se
\u2212\u2192
O\u2032P= (x, y, z), enta\u2dco x\u2032V1 + y\u2032V2 + z\u2032V3 =
\u2212\u2192
O\u2032P pode ser escrito como
[ V1 V2 V3 ]
\uf8ee\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9\uf8fb =
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb
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378 Espac¸os Rn
(a) Mostre que a matriz Q = [V1 V2 V3 ] e´ invert\u131´vel.
(b) Mostre que as coordenadas de um ponto P no espac¸o em relac¸a\u2dco ao sistema {O\u2032, V1, V2, V3} esta\u2dco
bem definidas, ou seja, x\u2032, y\u2032 e z\u2032 esta\u2dco unicamente determinados e sa\u2dco dados por
[P]{O\u2032 ,V1,V2,V3} =
\uf8ee\uf8f0 x\u2032y\u2032
z\u2032
\uf8f9\uf8fb = Q\u22121
\uf8ee\uf8f0 xy
z
\uf8f9\uf8fb = Q\u22121[P]{O\u2032 ,~i,~j,~k}.
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5.4 Mudanc¸a de Coordenadas 379
Teste do Cap\u131´tulo
1. Sejam S1 e S2 subconjuntos finitos do Rn tais que S1 seja um subconjunto de S2 (S1 6= S2). Se S2 e´
linearmente dependente, enta\u2dco:
(a) S1 pode ser linearmente dependente? Em caso afirmativo de\u2c6 um exemplo.
(b) S1 pode ser linearmente independente? Em caso afirmativo de\u2c6 um exemplo.
2. Encontre os valores de \u3bb tais que o sistema homoge\u2c6neo (A\u2212 \u3bbI3)X = 0¯ tem soluc¸a\u2dco na\u2dco trivial e para
estes valores de \u3bb, encontre um subconjunto de vetores ortonormais no conjunto soluc¸a\u2dco, para a matriz
A =
\uf8ee\uf8f0 0 0 00 2 2
0 2 2
\uf8f9\uf8fb
3. Considere o vetor f1 = ( 12 ,
\u221a
3
2 ).
(a) Escolha f2 de forma que S = { f1, f2} seja base ortonormal do R2. Mostre que S e´ base.
(b) Considere P = (
\u221a
3, 3). Escreva P como combinac¸a\u2dco linear dos elementos de S .
(c) Determine [P]{O,S}, as coordenadas de P em relac¸a\u2dco ao sistema de coordenadas determinado pela
origem O e pela base S .
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6
Diagonalizac¸a\u2dco
6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes
6.1.1 Motivac¸a\u2dco
Certos processos sa\u2dco descritos em cada esta´gio por uma matriz A quadrada e em k
esta´gios pela pote\u2c6ncia k da matriz A, Ak, em que k e´ um nu´mero inteiro positivo.
Suponha que desejamos saber a matriz que corresponde a k esta´gios, para k um
380
6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes 381
inteiro positivo qualquer. Se a matriz A e´ diagonal,
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3bb1 0 . . . 0
0 \u3bb2 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 \u3bbn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb , enta\u2dco Ak =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3bbk1 0 . . . 0
0 \u3bbk2 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 \u3bbkn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb .
Se a matriz A na\u2dco e´ diagonal, mas existe uma matriz P tal que
A = PDP\u22121, em que D =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3bb1 0 . . . 0
0 \u3bb2 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 \u3bbn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb ,
enta\u2dco
A2 = (PDP\u22121)(PDP\u22121) = PD(P\u22121P)DP\u22121 = PD2P\u22121.
Agora, supondo que Ak\u22121 = PDk\u22121P\u22121, temos que
Ak = Ak\u22121 A = (PDP\u22121)k\u22121(PDP\u22121)
= (PDk\u22121P\u22121)(PDP\u22121) = PDk\u22121(P\u22121P)DP\u22121
= PDkP\u22121 = P
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3bbk1 0 . . . 0
0 \u3bbk2 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 \u3bbkn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb P\u22121.
Assim, podemos facilmente encontrar a k-e´sima pote\u2c6ncia de A.
Exemplo 6.1. Seja
A =
[
1 \u22121
\u22124 1
]
.
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382 Diagonalizac¸a\u2dco
mostraremos no Exemplo 6.6 na pa´gina 398 que
P =
[
1 1
\u22122 2
]
e D =
[
3 0
0 \u22121
]
sa\u2dco tais que
A = PDP\u22121.
Assim,
Ak = PDkP\u22121 =
[
1 1
\u22122 2
] [
3k 0
0 (\u22121)k
] [
1 1
\u22122 2
]\u22121
=
[
3k (\u22121)k
\u22122 3k 2(\u22121)k
]
1
4
[
2 \u22121
2 1
]
=
1
4
[
2(3k + (\u22121)k) (\u22121)k \u2212 3k
4((\u22121)k \u2212 3k) 2(3k + (\u22121)k)
]
Vamos descobrir, a seguir, como podemos determinar matrizes P e D, quando elas
existem, tais que A = PDP\u22121, ou multiplicando a` esquerda por P\u22121 e a` direita por
P, D = P\u22121 AP, com D sendo uma matriz diagonal. Chamamos diagonalizac¸a\u2dco ao
processo de encontrar as matrizes P e D.
6.1.2 Autovalores e Autovetores
Definic¸a\u2dco 6.1. Dizemos que uma matriz A, n × n, e´ diagonaliza´vel, se existem matrizes P e D tais que
A = PDP\u22121, ou equivalentemente, D = P\u22121 AP, em que D e´ uma matriz diagonal.
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6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes 383
Exemplo 6.2. Toda matriz diagonal
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3bb1 0 . . . 0
0 \u3bb2 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 \u3bbn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
e´ diagonaliza´vel, pois
A = (In)\u22121 AIn.
Vamos supor inicialmente que a matriz A seja diagonaliza´vel. Enta\u2dco existe uma
matriz P tal que
P\u22121 AP = D , (6.1)
em que D e´ uma matriz diagonal. Vamos procurar tirar concluso\u2dces sobre as matrizes
P e D.
Multiplicando a` esquerda por P ambos os membros da equac¸a\u2dco anterior, obtemos
AP = PD . (6.2)
Sejam
D =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
\u3bb1 0 . . . 0
0 \u3bb2 . . . 0
...
. . .
...
0 . . . 0 \u3bbn
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb e P = [ V1 V2 . . . Vn ] ,
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