Reginaldo - Matrizes a diagonalização
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Reginaldo - Matrizes a diagonalização


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Determine o polino\u2c6mio ca-
racter\u131´stico de A, os autovalores e um conjunto de autovetores linearmente independentes com o maior
nu´mero poss\u131´vel de vetores. Encontre matrizes P e D (diagonal) tais que inv(P)*A*P=D, se poss\u131´vel. Veri-
fique o resultado. Use o comando [P,D]=eig(A) e compare com as matrizes que voce\u2c6 encontrou.
6.1.10. Defina a=randi,b=randi e A=sym([a,0,b;2*b,a-b,2*b;b,0,a]). Determine o polino\u2c6mio caracter\u131´stico
de A, os autovalores e um conjunto de autovetores linearmente independentes com o maior nu´mero
poss\u131´vel de vetores. Encontre matrizes P e D (diagonal) tais que A=P*D*inv(P), se poss\u131´vel. Verifique o
resultado. Use o comando [P,D]=eig(A) e compare com as matrizes que voce\u2c6 encontrou.
Um Curso de Geometria Anal\u131´tica e A´lgebra Linear Julho 2010
6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes 407
Exerc\u131´cios Teo´ricos
6.1.11. Dizemos que uma matriz B, n × n, e´ semelhante a uma matriz A, n × n, se existir uma matriz P na\u2dco
singular tal que B = P\u22121 AP. Demonstre:
(a) A e´ semelhante a A;
(b) Se A e´ semelhante a B, enta\u2dco B e´ semelhante a A;
(c) Se A e´ semelhante a B e B e´ semelhante a C, enta\u2dco A e´ semelhante a C.
6.1.12. Seja \u3bb um autovalor (fixo) de A. Demonstre que o conjunto formado por todos os autovetores de A
associados a \u3bb, juntamente com o vetor nulo, e´ um subespac¸o de Rn. Este subespac¸o e´ chamado de au-
toespac¸o associado a \u3bb. Em outras palavras, combinac¸a\u2dco linear de autovetores associados a um mesmo
autovalor e´ um autovetor associado a esse mesmo autovalor.
6.1.13. Demonstre que se A e B sa\u2dco semelhantes, enta\u2dco possuem os mesmos polino\u2c6mios caracter\u131´sticos e por-
tanto os mesmos autovalores.
6.1.14. Demonstre que se A e´ uma matriz triangular superior, enta\u2dco os autovalores de A sa\u2dco os elementos da
diagonal principal de A.
6.1.15. Demonstre que A e At possuem os mesmos autovalores. O que podemos dizer sobre os autovetores de
A e At?
6.1.16. Seja \u3bb um autovalor de A com autovetor associado X. Demonstre que \u3bbk e´ um autovalor de Ak = A . . . A
associado a X, em que k e´ um inteiro positivo.
6.1.17. Uma matriz A e´ chamada nilpotente se Ak = 0¯, para algum inteiro positivo k. Reveja o Exerc\u131´cio 1.1.29
na pa´gina 27. Demonstre que se A e´ nilpotente, enta\u2dco o u´nico autovalor de A e´ 0. (Sugesta\u2dco: use o
exerc\u131´cio anterior)
6.1.18. Seja A uma matriz n× n.
(a) Mostre que o determinante de A e´ o produto de todas as ra\u131´zes do polino\u2c6mio caracter\u131´stico de A;
(Sugesta\u2dco: p(t) = det(A\u2212 t In) = (\u22121)n(t\u2212 \u3bb1) . . . (t\u2212 \u3bbn).)
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408 Diagonalizac¸a\u2dco
(b) Mostre que A e´ singular se, e somente se, 0 for um autovalor de A.
6.1.19. Seja \u3bb um autovalor da matriz na\u2dco-singular A com autovetor associado X. Mostre que 1/\u3bb e´ um auto-
valor de A\u22121 com autovetor associado X.
6.1.20. Seja A =
[
a b
c d
]
. Ache condic¸o\u2dces necessa´rias e suficientes para que A seja diagonaliza´vel.
6.1.21. Se V e W sa\u2dco autovetores associados a um autovalor \u3bb, enta\u2dco W \u2212 projVW e´ tambe´m um autovetor
associado a \u3bb? E se V e W forem autovetores associados a autovalores diferentes?
6.1.22. Sejam A e B matrizes n× n. Mostre que AB e BA possuem os mesmos autovalores. (Sugesta\u2dco: Separe em
dois casos: \u3bb = 0 e \u3bb 6= 0. No segundo caso, mostre que se V e´ autovetor de AB, enta\u2dco BV e´ autovetor
de BA.)
6.1.23. Seja A uma matriz n × n diagonaliza´vel. Mostre que o trac¸o de A e´ igual a` soma das ra\u131´zes do seu
polino\u2c6mio caracter\u131´stico, incluindo as multiplicidades. (Sugesta\u2dco: use o fato de que tr(AB) = tr(BA).)
6.1.24. Suponha que duas matrizes n× n A e B sa\u2dco tais que B = \u3b1A, para um escalar \u3b1 6= 0. Mostre que se \u3bb e´
autovalor de uma matriz A, enta\u2dco \u3b1\u3bb e´ autovalor de B.
6.1.25. Seja A uma matriz n× n com n autovalores diferentes. Mostre que A e´ diagonaliza´vel.
6.1.26. (a) Mostre que se V e´ autovetor de A, enta\u2dco V e´ autovetor de Ak. Com qual autovalor?
(b) E se V e´ autovetor de Ak, enta\u2dco V e´ autovetor de A? (Sugesta\u2dco: veja o que acontece com uma matriz
nilpotente)
6.1.27. Dado um polino\u2c6mio
p(t) = (\u22121)n(tn + an\u22121tn\u22121 + · · ·+ a0)
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6.1 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes 409
Verifique que a matriz
A =
\uf8ee\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8ef\uf8f0
0 1 0 · · · 0
0 0 1 · · · 0
...
...
. . . . . .
...
0 0 0 · · · 1
\u2212a0 \u2212a1 \u2212a2 · · · \u2212an\u22121
\uf8f9\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fa\uf8fb
n×n
,
e´ tal que o seu polino\u2c6mio caracter\u131´stico e´ p(t). Esta matriz e´ chamada matriz companheira do polino\u2c6mio
p(t). (Sugesta\u2dco: verifique para n = 2 e depois supondo que seja verdade para matrizes (n\u2212 1)× (n\u2212 1)
mostre que e´ verdade para matrizes n× n expandindo em cofatores em relac¸a\u2dco a primeira coluna)
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410 Diagonalizac¸a\u2dco
6.2 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes Sime´tricas
6.2.1 Motivac¸a\u2dco
O problema da identificac¸a\u2dco de uma co\u2c6nica (curva no plano descrita por uma
equac¸a\u2dco de 2o. grau em x e y) atrave´s da sua equac¸a\u2dco e´ facilmente resolvido se a
equac¸a\u2dco na\u2dco possui um termo em que aparece o produto xy. Mas, ao contra´rio, se
aparece este termo misto, temos que fazer uma mudanc¸a de coordenadas de forma
que nas novas coordenadas ele na\u2dco aparec¸a. Vejamos o exemplo seguinte.
Exemplo 6.9. Considere o problema de identificar uma co\u2c6nica representada pela
equac¸a\u2dco
3x2 + 2xy + 3y2 = 4 . (6.14)
Usando matrizes, esta equac¸a\u2dco pode ser escrita como
[3x + y x + 3y]
[
x
y
]
= 4
ou
[x y]
[
3 1
1 3
] [
x
y
]
= 4
ou ainda,
Xt AX = 4 , (6.15)
em que
A =
[
3 1
1 3
]
e X =
[
x
y
]
.
Como veremos adiante (Exemplo 6.11 na pa´gina 418), podemos escrever
A = PDPt
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6.2 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes Sime´tricas 411
em que
P =
[ 1\u221a
2
1\u221a
2
\u2212 1\u221a
2
1\u221a
2
]
e D =
[
2 0
0 4
]
.
Assim, a equac¸a\u2dco (6.15) pode ser escrita como
(XtP)D(PtX) = (PtX)tD(PtX) = 4 .
Se fazemos a mudanc¸a de varia´veis (ou de coordenadas) X = PX\u2032, enta\u2dco como PtP =
I2, a equac¸a\u2dco (6.15) se transforma em
X\u2032tDX\u2032 = 4
ou
[x\u2032 y\u2032]
[
2 0
0 4
] [
x\u2032
y\u2032
]
= 4
que pode ser reescrita como,
2x\u20322 + 4y\u20322 = 4 ,
ou dividindo por 4, como
x\u20322
2
+
y\u20322
1
= 1
que e´ a equac¸a\u2dco da elipse mostrada na Figura 6.3. Veremos na pro´xima sec¸a\u2dco como
trac¸ar esta elipse.
A matriz P, tem a propriedade de que a sua inversa e´ simplesmente a sua transposta,
P\u22121 = Pt. Uma matriz que satisfaz esta propriedade e´ chamada de matriz ortogonal.
O que possibilitou a identificac¸a\u2dco da co\u2c6nica, no exemplo anterior, foi o fato de que
a matriz A e´ diagonaliza´vel atrave´s de uma matriz ortogonal P. Ou seja, existe uma
matriz P tal que A = PDP\u22121 e P\u22121 = Pt.
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412 Diagonalizac¸a\u2dco
x\u2018
y\u2018
x
y
W1
W2
E1
E2
Figura 6.3. Elipse do Exemplo 6.9
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6.2 Diagonalizac¸a\u2dco de Matrizes Sime´tricas 413
Ja´ vimos que nem toda matriz e´ diagonaliza´vel (Exemplo 6.7 na pa´gina 398). Va-
mos ver que se uma matriz A e´ sime´trica, enta\u2dco ela e´ diagonaliza´vel, isto e´, existe
uma matriz diagonal D e uma matriz invert\u131´vel P tal que A = PDP\u22121. Ale´m disso,
para matrizes sime´tricas, existe uma matriz P tal que A = PDPt. Isto porque existe
uma matriz ortogonal P que faz a diagonalizac¸a\u2dco, ou seja, que tem a propriedade
P\u22121 = Pt. Em algumas aplicac¸o\u2dces a diagonalizac¸a\u2dco com uma tal matriz e´ ne-
cessa´ria, como por exemplo na identificac¸a\u2dco de co\u2c6nicas.
Vamos em primeiro lugar, caracterizar as matrizes ortogonais.
6.2.2 Matrizes Ortogonais
Uma matriz P tal que P\u22121 = Pt e´ chamada de matriz ortogonal.
Proposic¸a\u2dco 6.5. Uma matriz P e´ ortogonal se, e somente se, as suas colunas formam um conjunto ortonormal de vetores.
Demonstrac¸a\u2dco. Vamos escrever P = [U1 . . . Un]. Ou seja, U1, . .