Curvas Horizontais Com Transição

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CURVAS HORIZONTAIS 
COM TRANSIÇÃO
Introdução
Curvas horizontais com transição 2
 Trecho reto para uma curva circular:
 Variação instantânea do raio infinito para o raio finito da 
curva circular
 Surgimento brusco de uma força centrífuga
 Desconforto e insegurança
 Curva de transição:
 Variação gradativa do raio de valor ∞ até R
Introdução
Curvas horizontais com transição 3
 Curva de transição
 Proporciona um crescimento gradual da aceleração 
centrífuga que surge na passagem do trecho reto para o 
trecho curvo
 Constitui uma adequada extensão para efetuar o giro da 
pista até a posição superelevada em curva
 Faz a transição gradual da trajetória do veículo em planta
 Conduz a um traçado fluente e visualmente satisfatório
Introdução
Curvas horizontais com transição 4
Tipos de curvas de transição
Curvas horizontais com transição 5
 Parábola cúbica
Tipos de curvas de transição
Curvas horizontais com transição 6
 Lemniscata de Bernouille
Tipos de curvas de transição
Curvas horizontais com transição 7
 Clotóide ou espiral de Cornu
Propriedades da clotóide
Curvas horizontais com transição 8
 Equação: 𝑹. 𝑳 = 𝑲
 R: raio
 L: comprimento
 K: constante (parâmetro da clotóide)
Concordância da curva de 
transição
Curvas horizontais com transição 9
Concordância da curva de 
transição
Curvas horizontais com transição 10
 Centro conservado
 Tangentes conservadas
 Raio alterado
 Centro conservado
 Tangentes alteradas
 Raio conservado
 Centro alterado
 Tangentes conservadas
 Raio conservado
Elementos de uma curva 
horizontal com transição
Curvas horizontais com transição 11
 O’: centro do trecho circular 
afastado
 PI: ponto de interseção das 
tangentes
 A: ponto genérico da transição
 Xs: abscissa dos pontos SC e 
CS
 Ys: ordenada dos pontos SC e 
CS
 TT: tangente total
Elementos de uma curva 
horizontal com transição
Curvas horizontais com transição 12
 k (ou Q): abscissa do centro O’
 p: afastamento da curva circular
 X: abscissa de um ponto 
genérico A
 Y: ordenada de um ponto 
genérico A
 θs: ângulo de transição
 Φ (ou θc): ângulo central do 
trecho circular
Elementos de uma curva 
horizontal com transição
Curvas horizontais com transição 13
 AC: ângulo central
 Δ: deflexão das tangentes
 Dc (ou Lc): desenvolvimento do 
trecho circular
 Rc: raio da curva circular
 Ls: comprimento do trecho de 
transição
 E: distância do PI à curva 
circular
Pontos notáveis
Curvas horizontais com transição 14
 TS: tangente-espiral
 SC: espiral-circular
 CS: circular-espiral
 ST: espiral-tangente
Cálculo dos elementos da 
espiral
Curvas horizontais com transição 15
𝒅𝑳 = 𝑹.𝒅𝜽
𝒅𝜽 =
𝒅𝑳
𝑹
=
𝒅𝑳
𝑲/𝑳
=
𝑳.𝒅𝑳
𝑲
න𝒅𝜽 = න
𝑳.𝒅𝑳
𝑲
𝜽 =
𝑳𝟐
𝟐.𝑲
𝜽 =
𝑳𝟐
𝟐. 𝑹𝒄. 𝑳𝒔
Cálculo dos elementos da 
espiral
Curvas horizontais com transição 16
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒅𝒙
𝒅𝑳
𝒅𝒙 = 𝒅𝑳. 𝒄𝒐𝒔𝜽
Desenvolvendo 𝒄𝒐𝒔𝜽 em série de 
potências e integrando…:
𝑿 = 𝑳. 𝟏 −
𝜽𝟐
𝟏𝟎
+
𝜽𝟒
𝟐𝟏𝟔
−⋯
Cálculo dos elementos da 
espiral
Curvas horizontais com transição 17
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝒅𝒚
𝒅𝑳
𝒅𝒚 = 𝒅𝑳. 𝒔𝒆𝒏𝜽
Desenvolvendo 𝒔𝒆𝒏𝜽 em série de 
potências e integrando…:
𝒀 = 𝑳.
𝜽
𝟑
−
𝜽𝟑
𝟒𝟐
+⋯
Cálculo dos elementos da 
espiral
Curvas horizontais com transição 18
 Para o comprimento de transição:
 𝑳 = 𝑳𝒔
 𝜽 = 𝜽𝒔
 𝑿 = 𝑿𝒔
 𝒀 = 𝒀𝒔
𝜽𝒔 =
𝑳𝒔
𝟐. 𝑹𝒄
𝑿𝒔 = 𝑳𝒔. 𝟏 −
𝜽𝒔
𝟐
𝟏𝟎
+
𝜽𝒔
𝟒
𝟐𝟏𝟔
−⋯
𝒀𝒔 = 𝑳𝒔.
𝜽𝒔
𝟑
−
𝜽𝒔
𝟑
𝟒𝟐
+⋯
[radianos]
[m]
[m]
Cálculo dos elementos da 
espiral
Curvas horizontais com transição 19
Elementos adicionais:
𝒌 = 𝑿𝒔 − 𝑹𝒄. 𝒔𝒆𝒏𝜽𝒔
𝒑 = 𝒀𝒔 − 𝑹𝒄. (𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔)
𝑻𝑻 = 𝒌 + 𝑹𝒄 + 𝒑 . 𝒕𝒈
∆
𝟐
𝑬 =
𝑹𝒄 + 𝒑
𝒄𝒐𝒔 ൗ∆ 𝟐
− 𝑹𝒄
[m]
[m]
[m]
[m]
Trecho circular
Curvas horizontais com transição 20
 Ângulo central:
𝑨𝑪 = 𝜽𝒄 + 𝟐. 𝜽𝒔 ⇒ 𝜽𝒄 = 𝑨𝑪 − 𝟐. 𝜽𝒔
 Comprimento do trecho circular:
𝑳𝒄 = 𝑹𝒄. 𝜽𝒄 ⇒ 𝑳𝒄 = 𝑹𝒄. 𝜽𝒄.
𝝅
𝟏𝟖𝟎
 Desenvolvimento total da concordância:
𝑫 = 𝑳𝒄 + 𝟐. 𝑳𝒔
[graus]
[m]
[rad]
Estaca dos pontos notáveis
Curvas horizontais com transição 21
Estaca TS = Estaca PI – TT
Estaca SC = Estaca TS + Ls
Estaca CS = Estaca SC + Lc
Estaca ST = Estaca CS + Ls
Escolha do comprimento de 
transição (Ls)
Curvas horizontais com transição 22
Comprimento 
mínimo
Critério 
dinâmico
Critério de 
segurança
Critério 
estético
Comprimento 
máximo
Comprimento 
desejável
Escolha do comprimento de 
transição (Ls)
Curvas horizontais com transição 23
 Critério dinâmico (Ls conforto)
 Estabelece uma taxa máxima de variação da aceleração centrífuga por 
unidade de tempo – J
 Trecho em tangente: 𝒂𝒄 = 𝟎
 Trecho circular: 𝒂𝒄 = ൗ
𝒗𝟐
𝑹𝒄
𝑱 =
𝒂𝒄
𝒕
=
ൗ𝒗
𝟐
𝑹𝒄
ൗ𝑳𝒔 𝒗
=
𝒗𝟑
𝑹𝒄. 𝑳𝒔
𝑳𝒔 =
𝒗𝟑
𝑹𝒄. 𝑱
Escolha do comprimento de 
transição (Ls)
Curvas horizontais com transição 24
 Critério dinâmico (Ls conforto)
 Condição mais desfavorável:
 𝑱 = 𝑱𝒎𝒂𝒙
 𝑽 = 𝑽𝒑
 Experiência internacional:
 𝑱𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟔 𝒎/𝒔
𝟑
𝑳𝒔𝒎𝒊𝒏 =
𝒗𝒑
𝟑
𝑹𝒄. 𝑱𝒎𝒂𝒙
[m]
[km/h]
[m]
Escolha do comprimento de 
transição (Ls)
Curvas horizontais com transição 25
 Critério segurança (tempo)
 Estabelece o tempo mínimo de 2 segundos para o giro do volante 
e, consequentemente, para o percurso da transição
 𝑳𝒔 ≥ 𝒗. 𝒕
 Para 𝒕 = 𝟐 𝒔 e 𝒗 = 𝒗𝒑 em 𝒌𝒎/𝒉
[m]
[km/h]
Escolha do comprimento de 
transição (Ls)
Curvas horizontais com transição 26
 Critério estético (proposto pela AASHTO)
 para 𝑽𝒑 ≤ 𝟖𝟎𝒌𝒎/𝒉:
 para 𝑽𝒑 > 𝟖𝟎𝒌𝒎/𝒉:
[m]
Largura da faixa [m]
[m]
[km/h]
Largura da faixa [m]
[km/h]
[%]
[%]
Superelevação (e)
Curvas horizontais com transição 27
 AASHTO:
𝒆 = 𝒆𝒎𝒂𝒙.
𝟐. 𝑹𝒎𝒊𝒏
𝑹
−
𝑹𝒎𝒊𝒏
𝟐
𝑹𝟐
Largura da faixa de tráfego (lf)
Curvas horizontais com transição 28
 Faixa de tráfego
 Largura (m):
Classe de 
projeto
Região plana Região 
ondulada
Região 
montanhosa
0 3,75 3,75 3,60
I 3,60 3,60 3,60
II 3,60 3,60 3,50
III 3,60 3,50 3,30
IV 3,50-3,30 3,50-3,30 3,30-3,00
Escolha do comprimento de 
transição (Ls)
Curvas horizontais com transição 29
 Comprimento máximo
 Para 𝑳𝒔𝒎𝒂𝒙 ⇒ 𝑳𝒄 = 𝟎
 Em 𝑨𝑪 = 𝜽𝒄 + 𝟐. 𝜽𝒔 ⇒ 𝜽𝒔𝒎𝒂𝒙 =
𝑨𝑪
𝟐
 Sendo 𝜽𝒔 =
𝑳𝒔
𝟐.𝑹𝒄
⇒ 𝜽𝒔𝒎𝒂𝒙 =
𝑳𝒔𝒎𝒂𝒙
𝟐.𝑹𝒄
[m]
∴
𝑨𝑪
𝟐
=
𝑳𝒔𝒎𝒂𝒙
𝟐. 𝑹𝒄
[m][m][rad]
[m]
[graus]
Escolha do comprimento de 
transição (Ls)
Curvas horizontais com transição 30
𝑳𝒔𝒎𝒊𝒏 < 𝑳𝒔𝒂𝒅𝒐𝒕𝒂𝒅𝒐 < 𝑳𝒔𝒎𝒂𝒙
#Dica1: obter a média entre Lsmin e Lsmax para o primeiro “chute” de Lsadotado
#Dica2: adotar Ls igual a um número inteiro de estacas
#Dica3: adotar Ls ≈ Lc
Exercício
Curvas horizontais com transição 31
Tendo-se uma curva horizontal com transição cujos dados são
fornecidos abaixo, calcular os elementos geométricos e determinar as 
estacas notáveis.
 Rc = 650 m
 AC = 62º
 Região ondulada, classe I
 Estaca do PI = [821 + 8,80 m]
 Superelevação = 5,5%
 Largura da faixa de rolamento = 3,60 m