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FT apostila completa 2017 1

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FENÔMENOS DE TRANSPORTE
Unidade 1 – INTRODUÇÃO
1.1. Histórico
FENÔMENOS DE TRANSPORTE: estuda como massa, quantidade de movimento,
calor, eletricidade e outras formas de energia são transportadas, ou transferidas, por um meio
material.
Aplicações: ar condicionado, radiador de carro, geladeira, turbinas, bombas,
aquecimento da água, conversão de energia (usina hidroelétrica, usina termoelétrica, e
outras), avião, etc. 
1.2. Análise dimensional
 Os problemas em Fenômenos de Transporte envolvem muitas variáveis com diferentes
sentidos físicos. As equações derivadas analiticamente são corretas para qualquer sistema de
unidades, portanto, cada termo da equação deve ter a mesma representação dimensional:
homogeneidade dimensional.
 As unidades são expressas utilizando apenas quatro grandezas básicas ou categorias
fundamentais: - massa [M]; - comprimento [L]; - tempo [T] e - temperatura[θ]
As quatro grandezas básicas representam as dimensões primárias que podem ser usadas para
representar qualquer outra grandeza ou grupo de grandezas físicas, como nos exemplos:
 área – L2; volume – L3; velocidade – LT-1; aceleração – LT-2; força – ML- -2; 
1.3. Estados Físicos dos Corpos
Os estados da matéria, meios através dos quais as variações ocorrem e que afetam
diretamente os processos de transferências, são:
- Sólido – oferece resistência às deformações, ou seja, a matéria do corpo mantém a forma
macroscópica e a posição relativa de suas partículas. 
- Líquido - o corpo mantém a quantidade de matéria e aproximadamente o volume; a forma e
posição relativa das partículas não se mantêm.
- Gasoso - o corpo mantém apenas a quantidade de matéria, podendo variar amplamente a
forma e o volume.
Além desses, existem mais três estados cientificamente comprovados:
- Plasma – é um gás altamente energizado cujos átomos se separam em partículas positivas e
negativas. Por exemplo, o gás que está no interior da lâmpada fluorescente, passa para o
estado de plasma quando ligamos o interruptor, e começa a emitir luz.
- Condensado Bose-Einstein - são fluidos de baixas temperaturas com propriedades não
totalmente compreendidas, como fluir espontaneamente para fora do seu recipiente. A
existência deste estado da matéria como consequência da mecânica quântica foi inicialmente
prevista por Albert Einstein em 1925 e produzido setenta anos mais tarde por Eric Cornel.
- Gás Fermiônico – em 2004 foi anunciada a descoberta de um possível novo estado da
matéria. Trata-se de um “supersólido”, uma forma de hélio-4 com propriedades que misturam
características de um sólido com as de um superfluido. O hélio-4 sólido aparentemente se
comporta como um superfluido quando está em temperatura tão baixa (perto do zero
absoluto) que tem seu comportamento ditado pelas leis da mecânica quântica.
1.4. Características físicas dos estados sólido, líquido e gasoso
Características macroscópicas:
 Sólido - Sua forma é própria, ou seja, o corpo não é tão facilmente deformado, e seu
volume é definido. 
 Líquido - Sua forma não é própria, ou seja, ele terá a forma do recipiente onde for
colocado, mas seu volume ainda é definido (dois litros continuam sendo dois litros,
independente do formato do recipiente). 
 Gasoso - Não possui nem forma própria e nem volume definido. Ocupa a forma do
recipiente que o contém e possuirá o volume deste mesmo recipiente.
Características microscópicas:
 Sólido - suas partículas estão fortemente ligadas e estão muito próximas umas das
outras (forças de coesão são maiores do que as de repulsão). São muito pouco
compressíveis.
 Líquido - suas partículas não estão tão ligadas e tão próximas umas das outras como
no caso dos sólidos, mas existe ainda uma força de atração entre elas. Esta força não
permite que as partículas do material se separem completamente (as forças de coesão
e repulsão se igualam). Apresenta tensão superficial (A força que existe na superfície
de líquidos em repouso é denominada tensão superficial. Esta tensão superficial é
devido às fortes ligações intermoleculares, as quais dependem das diferenças elétricas
entre as moléculas, e pode ser definida como a força por unidade de comprimento que
duas camadas superficiais exercem uma sobre a outra). É praticamente
incompressível, pois a pequena variação volumétrica de um líquido sob pressão pode,
em geral, ser desprezada.
 Gasoso - neste caso a força de atração entre as partículas praticamente inexiste
(forças de repulsão maiores do que as de coesão). Cada uma vai para onde quer no
interior do recipiente que contém o gás (há grande expansibilidade). A distância entre
elas fica então muito maior do que nos estados sólido e líquido (há grande
compressibilidade). As partículas movimentam-se com grande velocidade.
1.5. Fluidos: definição e propriedades
Fluido – é um meio que se deforma continuamente quando sujeito a uma tensão.
Chamamos de Fluido a toda substância que cede imediatamente a qualquer força tendente a
alterar sua forma. Podem ser líquidos ou gases. Ou ainda, fluido é uma substância que não
tem forma própria, assume o formato do recipiente.
Propriedades Físicas dos Fluidos
1 – Massa (m)
É a quantidade de matéria de um corpo. Permanece inalterada em função das influências
externas. Dimensão: M
Unidades de massa:
SI CGS MK*S Inglês relações
kg g utm slug
1 utm = 9,8 kg
1kg = 1000 g = 103 g
1g = 0,001 kg = 10-3kg
1 slug = 14,61 kg
2 – Peso (P ) 
É uma força à qual fica submetida uma massa, quando imersa num campo gravitacional. Essa
força varia conforme o valor da aceleração da gravidade. Dimensão: MLT- -2
gmP .
Unidades de força:
SI CGS MK*S Inglês relações
N
(Newton)
dyn
(dina)
kgf 
(quilograma-força)
lb
(libra força)
1N = 105 dyn = 0,10198 kgf
1kgf = 9,806 N = 980600 dyn
1lb = 4,45 N
3 – Massa específica (ρ)
É definida como a massa por unidade de volume. É também denominada de massa
volumétrica ou densidade absoluta. Varia com a temperatura. Dimensão: ML -3
 
Unidades de massa específica:
SI CGS MK*S Inglês relações
kg/m3 g/cm3 utm/m3 slug/ft3 1kg/ m
3 = 0,001g/ cm3 = 10-3 g/ cm3
1 utm/m3 = 9,8kg/m3
1 g/cm3 = 1000 kg/m3
1 slug/ft3 =515,4 kg/m3
Obs: a massa específica da água destilada é = 1000 kg/m3 = 1 g/cm3 e a do ar é
= 1,225 x10-3 g/cm3 = 1,225 kg/m3.
4 – Volume específico (ν)
É o volume ocupado pela unidade de massa de uma substância, ou seja, é o inverso da massa
específica. Dimensão: M -1L 3
 
Unidades de volume específico:
SI CGS relações
m3/kg cm3/g 1 m3/kg = 1000 cm3/g = 103 cm3/g
1 cm3/g = 0,001 m3/kg = 10-3 m3/kg
5 – Peso específico ( )
O peso específico de uma substância é o seu peso por unidade de volume. Dimensão: ML -2T-2
Seu módulo é calculado por:
 
Unidades de peso específico:
SI CGS MK*S relações
N/m3 dyn/cm3 kgf/m3 1 N/m3 = 0,1 dyn/cm3 = 10-1 dyn/cm3 
1 dyn/cm3 = 10 N/m3
1kgf /m3= 9,8 N/m3 10 N/m3
Obs: O peso específico da água é 1.000 kgf/m3  10.000 N/m3
6 – Densidade relativa (d )
A densidade relativa de uma substância A expressa o quociente entre a massa específica dessa
substância e a massa específica de uma outra substância B tomada como referência.
Geralmente, a substância de referência para o caso de líquidos é a água e, para o caso de
gases, é o ar.
A densidade relativa é um valor adimensional (independe de unidade).
7 - Tensão de cisalhamento ( ) e pressão (P)
Seja uma força F aplicada sobre uma superfície de área A.
Essa força pode ser decomposta segundo a direção da
normal à superfície e a da tangente, dando origem a uma
componente normal e outra tangencial.
Define-se tensão de cisalhamento média como sendo o quociente entre o módulo da
componente tangencial da força e a áreasobre a qual está aplicada. 
A
Ft
Em outras palavras: tensão de cisalhamento  é a força tangencial por unidade de área. 
O quociente entre o módulo da componente normal da força e a área sobre a qual está
aplicada, é definido como pressão média P. Dimensão: ML-1T-2
A
FP n
 Unidades mais utilizadas para tensão de cisalhamento e de pressão:
SI CGS MK*S Ingles relações
N/m2 
ou Pascal (Pa)
dyn/cm2 kgf/m2 lb/in2 1Pa = 1 N/m
2 
1Pa = 0,101978 kgf/m2
1Pa = 0,0000098692 atm 10-5atm
1Pa = 10 dyn/cm2
1 Pa = 1,45x 10-4 lb/in2
Os sólidos e os fluidos apresentam comportamentos diferentes quando submetidos a uma
tensão cisalhante, pois as forças de coesão interna são relativamente grandes nos sólidos e
muito pequenas nos fluidos.
Outras propriedades dos fluidos:
a) Os fluidos submetidos a esforços normais sofrem variações volumétricas finitas. Quando
essas variações volumétricas são muito pequenas, considera-se os fluidos incompressíveis.
Geralmente, os líquidos são incompressíveis, enquanto os gases são compressíveis.
b) Existindo tensão cisalhante, ocorre escoamento, ou seja, o fluido entra em movimento.
c) Os fluidos se moldam às formas dos recipientes que os contêm, sendo que os líquidos
ocupam volumes definidos e apresentam superfícies livres, enquanto os gases se expandem
até ocupar todo o recipiente.
d) Para um fluido em repouso, a tensão é exclusivamente normal, sendo seu valor chamado de
pressão estática, que, em um ponto, é igual em qualquer direção.
Princípio da aderência: os pontos de um fluido em contato com uma superfície sólida,
aderem aos pontos dela, com os quais estão em contato.
Lei de Newton da viscosidade 
A placa superior, inicialmente com movimento acelerado,
recebe do fluido uma força contrária ao movimento, fazendo
com que ela se desloque com velocidade constante.
Newton descobriu que em muitos fluidos a tensão de
cisalhamento é proporcional à variação da velocidade de
deformação (gradiente de velocidade). 
Dentro de um fluido existe sempre movimento de moléculas para um lado e para o outro de
qualquer superfície fictícia tomada nesse fluido. Quando uma camada se move em relação a
outra adjacente, há transferência de quantidade de movimento molecular de um lado para o
outro de maneira a surgir uma tensão de cisalhamento aparente que reduz o movimento
relativo e tende a igualar as velocidades de camadas adjacentes.
 dy
dv
 é a medida do movimento de uma camada em relação à outra adjacente.
Os fluidos que obedecem a lei da viscosidade são ditos fluidos newtonianos (água, ar, óleo,
etc.), os restantes, são chamados não-newtonianos (sangue, piche, melaço, alcatrão, pasta
de dente, borracha fundida). 
Fluido ideal ou perfeito – tem viscosidade nula, portanto, tensão de cisalhamento nula. É
incompressível. Não há necessidade de tensão para que ocorram deformações, ou seja, estas
ocorrem naturalmente e indefinidamente. O fluido ideal não existe.
• Viscosidade dinâmica ou absoluta (  ) é a propriedade associada à resistência que o
fluido oferece à deformação por cisalhamento. Indica a maior ou menor dificuldade de o fluido
escoar. Uma camada de fluido desliza sobre a outra e a razão entre a tensão aplicada e a taxa
de deformação é a viscosidade do fluido. Dimensão: ML-1T-1
Simplificação prática: 
Quando a distância y for pequena, pode-se considerar,
sem muito erro, a equação como sendo 
y
V0 
Unidades de viscosidade dinâmica:
SI CGS MK*S relações
N.s/m2=Pa.s=kg/m.s poise = p = dyn.s/cm2= 
g/cm.s
Kgf.s/m2 1Pa.s=0,101978kgf.s/m2
1cp (centipoise) = 0,01p
1 Pa.s = 10 poise
OBS: Viscosidade dinâmica da água μagua = 10-3Pa.s do ar μar = 17,4x10-4Pa.s
A viscosidade de um gás aumenta com a temperatura, mas a viscosidade de um líquido
diminui. Isto porque a resistência de um fluido ao cisalhamento depende da coesão
intermolecular e da velocidade de transferência da quantidade de movimento molecular. Num
líquido, cujas moléculas estão muito mais próximas que num gás, existem forças de coesão
muito maiores que nos gases. Como a coesão diminui com a temperatura, a viscosidade segue
o mesmo comportamento. Por outro lado, num gás existem forças de coesão muito pequenas.
Sua resistência ao cisalhamento é principalmente o resultado da transferência da quantidade
de movimento molecular. A atividade molecular dá origem a uma tensão de cisalhamento
aparente nos gases que é mais importante que as forças de coesão, e, como a atividade
molecular aumenta com a temperatura, a viscosidade de um gás também aumenta com a
temperatura. 
Perfil de velocidade para fluidos com pequena e grande viscosidade
 
Viscosidade cinemática ( )
A viscosidade  é frequentemente chamada de viscosidade absoluta ou dinâmica para evitar
confusão com a viscosidade cinemática ( ), que é a relação entre viscosidade e a massa
específica. Dimensão: L2T-1 
Unidade da viscosidade cinemática 
SI e MK*S CGS relações
m2/s cm2/s=stoke (St) 1 m2/s = 104 cm2/s
1cSt (centistoke) = 0,01St
OBS: Viscosidade cinemática da água  agua = 10-6 m2/s
Alguns fatores de conversão de unidades de comprimento
polegada (in) – 1 in = 2,54 x 10-2 m
pé (ft) – 1 ft = 0,3048 m
jarda (yd) – 1 yd = 0,9144 m
1 milha = 1609 m; 1 milha marítima = 1852 m
Exercícios da Unidade 1:
1) Fazer as seguintes transformações:
a) 5 kgf/m2 para dyn/ft2; b) 1,35 slug/ft3 para g/l
2) Um fluido é uma substância que:
a) sempre se expande até encher um recipiente
b) é praticamente incompressível
c) não pode ser submetida a forças de cisalhamento
d) não pode permanecer em repouso sob ação de qualquer força de cisalhamento
e) tem a mesma tensão de cisalhamento num ponto não importando o seu movimento
3) Calcule o peso e a massa do ar contido numa sala que tem 10 m de comprimento, 8 m de
largura e 3,5 m de altura, sendo a massa específica do ar 1,21 kg/m3. (Faça g= 9,81 m/s2)
4) Um reservatório graduado contém 500 ml de um líquido que pesa 6 N. Determinar o peso
específico, a massa específica e a densidade do líquido. (Faça g= 9,81 m/s2) 
5) Um paralelepípedo tem dimensões 10cm x 15cm x 25cm e massa 6,8 kg. Calcule a massa
específica deste corpo em g/cm3 e kg/m3.
6) Sabendo-se que 800g de um líquido enchem um cubo de aresta 0,08m, obter a massa
específica deste fluido em g/cm3.
7) Duas esferas de massas 300g e 500g, possuem raios respectivamente iguais a 3cm e 5cm.
Determinar a relação entre as suas massas específicas.
8) Sendo a massa específica da cerveja igual a 1.030 kg/m3, calcular a sua densidade relativa.
9) Enche-se um frasco com 3,06g de ácido sulfúrico. Repete-se a experiência substituindo-se o
ácido por 1,66g de água. Qual é a densidade relativa do ácido sulfúrico?
10) Um fluido pesa 25N/m3 em um local onde g=9,806m/s2. Calcule:
a) a massa específica do fluido no referido local;
b) o peso específico deste fluido em outro local onde g=9,810m/s2.
11) Considerando que o peso específico da água vale 10000 N/m3 em um local onde g = 10
m/s2, qual é a massa específica de um óleo cujo peso específico relativo é 0,6? 
12) A viscosidade cinemática de um óleo é 0,028 m2/s e o seu peso específico 8500 N/m3.
Determine a viscosidade dinâmica em unidades do SI e do CGS. (g=9,81m/s2)
13) São dadas duas placas planas paralelas à distância de
2mm. A placa superior move-se com velocidade de 4 m/s,
enquanto a inferior é fixa. Se o espaço entre as duas placas
for preenchido com óleo ( =0,1St; ρ= 830 Kg/m3), qual
será a tensão de cisalhamento que agirá no óleo? 
14) Duas placas planas paralelas estão situadas a 3 mm de distância. A placa superior move-
se com velocidade de 4 m/s, enquanto a inferior está imóvel. Considerando que um óleo (ν =
0,15 stokes e ρ = 905 kg/m3) ocupa o espaço entre elas, determine a tensão de cisalhamento
que agirá sobre o óleo.15) A figura mostra o esquema de um escoamento de
água entre duas placas planas horizontais de grandes
dimensões e separadas por uma distância d pequena. A
placa inferior permanece em repouso, enquanto a placa
superior está em movimento com velocidade constante
1m/s, de forma que resulta uma distribuição linear de
velocidade de escoamento da água. Sendo a viscosidade
da água μ= 0,001 Pa.s, determine o gradiente de
velocidade de escoamento e a tensão de cisalhamento na
placa superior.
16) Se no problema anterior, no lugar da água, existe um óleo e se é necessária uma tensão
cisalhante de 40 Pa para que a velocidade da placa permaneça constante, determine a
viscosidade dinâmica desse óleo.
17) Em um volume de 3 dm3 de uma substância X, o peso é de 23,5 N. A viscosidade
cinemática é 10-5m2/s. Considere a gravidade igual a 9,8 m/s2. Qual a viscosidade dinâmica de
X no Sistema Internacional de Unidades?
Unidade 2 - ESTÁTICA DOS FLUIDOS
No estudo de estática dos fluidos, como não há movimento de uma camada de fluido em
relação à outra adjacente, não haverá desenvolvimento de tensões de cisalhamento no fluido.
Neste caso, as únicas tensões atuantes são tensões normais de pressão. Consideraremos
então o líquido incompressível e sem viscosidade.
2.1 Relação entre pressão, massa específica e altura
- Pressão atmosférica
É a pressão exercida pelo peso da camada de ar existente sobre a superfície da Terra. Ao nível
do mar, à temperatura de 0º C é igual a 1 atm. 
É comum o uso de unidades de pressão não pertencentes ao SI: atmosfera (atm) e milímetros
de mercúrio (mmHg). 
1 atm = 760 mmHg = 760 torr = 76 cmHg = 1,013 x 105 Pa 
= 10330 kgf/m2 = 1,033 kgf/cm2 = 1,013 bar = 14,7 psi (=lb/in2)= 10,33 mca 
- Pressão exercida por um fluido
Suponhamos um recipiente cilíndrico de área de base A, contendo um
líquido de massa específica . Qual a pressão que o líquido exerce no fundo
do recipiente? 
Da definição de massa específica, temos: 
 m = ρ.V como o volume é: hAV  temos que m = ρ.A.h
Por outro lado, a força que o líquido exerce sobre a área A é o seu peso: 
 Como a Pressão é dada pela razão entre a força normal e a área, temos:
 
A pressão que o líquido exerce no fundo do recipiente depende da massa específica do líquido,
da aceleração da gravidade local e da altura do líquido acima do ponto considerado. 
2.2 Pressões absoluta e relativa
As medidas de pressão são
realizadas em relação a uma
determinada pressão de
referência. Usualmente, adota-se
como referência a pressão nula
existente no vácuo absoluto ou a
pressão atmosférica local. 
Na realidade temos que dividir a
pressão num determinado ponto
do líquido em dois tipos: 
(i) pressão hidrostática (relativa): aquela que só leva em consideração o líquido: 
(ii) pressão absoluta ou efetiva, aquela que leva em consideração o líquido e o ar sobre o
líquido:
2.3 Teorema de Stevin Consideremos um recipiente contendo um
líquido homogêneo em 
equilíbrio estático. As pressões nos pontos A e B são:
 e 
A diferença de pressão entre os pontos A e B será: 
 Teorema de Stevin
Consequências do Teorema de Stevin: 
No interior de um líquido em equilíbrio estático: 
(a) Pontos de um mesmo plano horizontal suportam a mesma pressão; 
(b) A superfície de separação entre líquidos não miscíveis é um plano horizontal; 
(c) Em vasos comunicantes quando temos dois líquidos não miscíveis temos que a altura de
cada líquido é inversamente proporcional às suas massas específicas. 
 

 
(d) A altura h da coluna de líquido de peso específico γ (altura de carga) necessária para
manter a diferença de pressão P – P0 é dada por:
2.4 Princípio de Pascal 
Pascal fez estudos em fluídos e enunciou o seguinte princípio: 
A pressão aplicada a um fluído num recipiente transmite-se integralmente a todos os pontos
do mesmo e às paredes do recipiente que o contém. 
Uma das aplicações deste princípio é a prensa hidráulica como mostramos a seguir: 
2
2
1
1
21 A
F
A
FPP  ou ainda: 
2
1
2
1
A
A
F
F

Isso mostra que uma força pequena F1 é capaz de suportar no outro
êmbolo um peso muito grande (F2). Isso é muito utilizado, como por
exemplo, em freio hidráulico e elevador hidráulico. 
2.5 Manometria
A pressão atmosférica local, representada por Patm, pode ser medida por um barômetro. O
mais simples, usado por Torricelli, é o barômetro de mercúrio, que consiste basicamente em
um tubo de vidro cheio de mercúrio com sua extremidade aberta imersa num recipiente com
mercúrio, conforme o esquema da figura.
Pontos que estão à mesma altura, dentro do
mesmo fluido, têm a mesma pressão, de
forma que e como ,
obtém-se 
Em condições normais de temperatura e
pressão, a pressão de vapor do mercúrio é
praticamente nula, ou seja, 00 P , resultando
A leitura do barômetro é normalmente feita
em torr, onde um torr é a pressão exercida por uma coluna de mercúrio de 1mm de altura,
em um local onde g tenha o valor padrão de 9,80665 m/s2 e a uma temperatura (0ºC) em que
o mercúrio tem densidade 1,35955x104 kg/m3.
Geralmente, os instrumentos medidores de pressão, os manômetros, indicam a diferença
entre a pressão absoluta e a pressão atmosférica local, ou seja, medem a pressão relativa
ou manométrica, que pode ser positiva ou negativa. 
As pressões relativas negativas, também chamadas de pressões de vácuo, são aquelas
menores que a pressão atmosférica local.
- Piezômetro - Consiste em um tubo transparente graduado acoplado ao reservatório
onde se quer medir a pressão do líquido. Só pode ser utilizado para líquidos, por ser
aberto e mede apenas a pressão efetiva positiva e não muito grande.
- Manômetro de tubo em U
O princípio do funcionamento está no equilíbrio de uma coluna de líquido, chamado fluido
manométrico, confinado em um tubo, conforme a figura. O fluido manométrico deve ter peso
específico grande para que a altura manométrica não seja muito grande. Pode ser utilizado
para gases.
Na figura ao lado, o primeiro manômetro está com os dois
ramos abertos para a atmosfera. O segundo está com o ramo da
direita aberta para a atmosfera e o da esquerda conectado a um
ponto de pressão maior que a da atmosfera, por isso sua
pressão efetiva é positiva. Já o terceiro está com o ramo da
esquerda conectado a um ponto de pressão efetiva negativa.
- Manômetro Diferencial - Consiste
em um manômetro de tubo em U, 
ligado a dois reservatórios, em vez 
de ter um dos ramos abertos. Mede
diferença de pressão. 
Regra prática para a equação mano-
métrica: Começando do lado esquer-
do, soma-se à pressão PA a pressão 
das colunas descendentes e subtrai-
se aquela das colunas ascendentes, 
até igualar a PB. 
- Manômetro metálico de Bourdon
Mede a diferença entre a pressão interna e a pressão externa (pressão
atmosférica).
2.6 Forças sobre superfícies planas e curvas devidas à pressão
2.6.1. Forças em superfície plana submersa
Se um fluido está em repouso, pela sua definição, não podem existir forças tangenciais agindo
nele: todas as forças serão normais à superfície submersa.
Se a pressão tiver uma distribuição uniforme sobre a superfície, a força será determinada
multiplicando-se a pressão pela área correspondente, e o ponto de aplicação será o centro de
gravidade da superfície.
AhAPF  
Onde P é a pressão no centro de gravidade, h é a profundidade do centro de gravidade e A
é a área da superfície.
2.6.2. Forças na Superfície Curva de um Líquido
Uma superfície plana não é normal para um líquido porque,
para que isso aconteça, necessita-se da ação de uma força
externa, como a força gravitacional ou a força de interação das
moléculas dolíquido com as partículas do meio vizinho
(espalhamento do líquido na molhagem). A curvatura da superfície
de um líquido leva ao aparecimento de forças que agem debaixo
dela. Isso pode ser visto facilmente pelas seguintes considerações.
Imagine uma gota esférica de raio r. Quando o seu raio aumenta,
a área da superfície e a energia potencial superficial também
aumentam. E isso só pode ser conseguido com a realização de trabalho sobre o líquido.
Inversamente, quando o raio da gota diminui, a energia potencial superficial também diminui e
as forças que atuam na gota realizam trabalho. Assim, o volume de um líquido sob uma
superfície esférica está sempre comprimido em certa medida, isto é, sujeito a uma pressão
adicional, chamada pressão de Laplace, direcionada perpendicularmente à superfície, cujo
valor é dado pela expressão: 
r/2P 
A pressão de Laplace está dirigida para o centro de curvatura da superfície: numa
superfície convexa, para o interior, e numa superfície côncava, para o exterior do líquido.
Assim, no primeiro caso, a pressão do líquido é maior do que a pressão normal e, no segundo
caso, menor.
2.7 Princípio de Arquimedes
Os corpos mergulhados totalmente ou parcialmente, num fluido, recebem do mesmo uma
força de baixo para cima, na vertical, denominada EMPUXO (E). 
Arquimedes, há mais de 200 anos a.C., estabeleceu a perda aparente do peso do corpo, devida
ao empuxo, quando mergulhado num líquido. 
Princípio de Arquimedes: 
“Quando um corpo está imerso em um fluido, ele recebe deste uma força denominada
empuxo, de módulo igual e direção contrária ao peso da porção de fluido deslocado. Este
empuxo é aplicado no centro de gravidade da porção deslocada”.
Se um corpo está mergulhado num líquido de massa específica L e desloca um volume VD do
líquido, num local onde a aceleração da gravidade é g, temos: 
- peso do líquido deslocado: PD = mD . g 
- como a massa é dada por: mD = .VD
Portanto: PD = .VD . g 
De acordo com o Princípio de Arquimedes: E = PD, logo, 
O Principio de Arquimedes tem manifestações e aplicações extremamente importantes: 
- é este princípio que permite animais nadarem e objetos tal como navios navegarem através
de oceanos.
- o densímetro. Você já deve ter observado que em algumas bombas de álcool e gasolina nos
postos de serviço, existe um tubo de vidro transparente cheio com o combustível servido
naquela bomba. Dentro deste tubo estão colocados alguns objetos - duas bolas de cores
diferentes, um tubinho graduado, etc. Este aparelho simples é um densímetro e serve para o
consumidor controlar a qualidade do combustível que abastece seu veículo, evitando que a
mistura álcool-gasolina fique fora das especificações técnicas.
Peso aparente de um corpo está relacionado com seu peso real e com o
modulo do empuxo sobre ele por:
 Paparente = Preal – E 
- Se P < E (ρC < ρL) o corpo sobe até diminuir a
parte imersa.
- Se P = E (ρC = ρL) o corpo fica parado.
- Se P > E (ρC > ρL) o corpo desce até o fundo.
2.8 O equilíbrio de objetos flutuantes
A flutuação ocorre quando temos um corpo na superfície de um fluido cujo peso deste corpo é
igual ao empuxo sobre ele. P = E
Ocasionalmente, barcos à vela ou navios de guerra são modificados pela adição de mastros
mais altos ou armas mais pesadas, de forma que se tornam pesados na parte de cima e
tendem a emborcar em águas moderadamente agitadas. Icebergs frequentemente rolam
enquanto derretem. Tudo isso sugere que torques desempenham algum papel no equilíbrio dos
objetos flutuantes.
O peso de um objeto flutuante é exatamente contrabalançado pelo empuxo. Entretanto, essas
duas forças nem sempre se aplicam no mesmo ponto. O peso atua no centro de massa do
objeto flutuante, enquanto o empuxo atua no centro de massa do vazio na água, um ponto
chamado de centro de empuxo.
Se um corpo flutuante gira deslocando-se ligeiramente de seu ponto de equilíbrio, a forma do
vazio na água muda, da mesma forma muda a posição do centro de empuxo. Para que tal
objeto esteja em equilíbrio estável, seu centro de empuxo tem de se mover de tal forma que o
empuxo e o peso forneçam um torque restaurador que tenda a colocar o corpo de volta na sua
posição original. Se o torque agir no sentido oposto, o corpo flutuante se afastará cada vez
mais da posição de equilíbrio e poderá, eventualmente, emborcar.
Exercícios da Unidade 2:
1. Uma seringa possui um pistão com 0,87 cm de diâmetro. Determine a pressão no fluido da
seringa quando aplica-se uma força de 50,6N sobre o pistão.
2. A porta de uma casa mede 2,1m por 1,7m. Numa ventania, a pressão do ar do lado de fora
cai a 0,97 atm, mas no interior a pressão permanece em 1 atm. Calcule o módulo e dê o
sentido da força que atua na porta.
3. (UFRJ) O impacto da partícula de lixo que atinge a nave espacial Columbia produz uma
pressão da ordem de 100 N/cm2. Nessas condições e tendo a partícula 2 cm2, a nave sofre
uma força de: (a) 100 N; (b) 200 N; (c) 400 N; (d) 800 N; (e) 1600N. 
4. Um cubo maciço de alumínio (massa específica = 2,1 g/cm3), de 50 cm de aresta, está
apoiado sobre uma superfície horizontal. Qual é a pressão, em Pa e em atm, exercida pelo
cubo sobre a superfície? 
5. Uma caixa d'água possui uma base quadrada com 3,0m de lado e uma altura de 2,0 m. A
caixa encontra-se completamente cheia. Calcule o módulo da força exercida pela água no
fundo da caixa.
6. Membros da tripulação tentam escapar de um submarino danificado, 100m abaixo da
superfície. Que força eles têm de aplicar no alçapão, de 1,20m por 0,60m, para empurrá-lo
para fora? Considere a densidade da água do oceano 1025 kg/m3.
7. As saídas dos canos de esgoto de uma casa construída em uma ladeira estão 8,2m abaixo
do nível da rua. Se o cano de esgoto se encontra a 2,1m abaixo do nível da rua, encontre a
diferença de pressão que deve ser criada pela bomba de recalque para puxar esgoto de
densidade média 900 kg/m3.
8. Uma piscina com 5,0 m de profundidade está cheia com água. Determine: 
(a) a pressão hidrostática a 3,0 m de profundidade; 
 (b) a pressão absoluta no fundo da piscina; 
 (c) a diferença de pressão entre dois pontos separados, verticalmente, por 80cm. 
Considere: g = 10 m/s2 e patm = 1,0 x 105 Pa 
9. A pressão absoluta no fundo de uma piscina é de 1,4 atm. Logo a profundidade da piscina é
de aproximadamente: 
(a) 14 m; (b) 0,4 m; (c) 4 m; (d) 0,70 m. 
10. (UNITAU) A figura mostra um tubo contendo mercúrio e um líquido de massa específica
desconhecida. Calcule a massa específica do líquido sabendo que a massa específica do
mercúrio é 13,6 g/cm3. 
11. Determine o desnível H, nos vasos comunicantes da figura. O líquido A tem densidade 0,6
e o líquido B densidade igual a 1. Dado hA = 20 cm. 
12. Água e óleo de densidades 1,0 e 0,8, respectivamente, são colocados em um sistema de
vasos comunicantes. Sendo 16 cm a altura da coluna de óleo, determine a altura da coluna de
água medida acima do nível de separação entre os líquidos. 
13. Um tanque contém várias camadas empilhadas de fluidos com as seguintes alturas das
camadas: fluido 1: 800 kg.m-3, h1 = 40 cm; fluido 2: 900 kg.m-3, h2 = 50 cm; fluido 3: 700
kg.m-3, h3 = 120 cm. A pressão do ambiente sobre o tanque é de 110 kPa. Faça o desenho
esquemático do tanque, indicando a ordem nos quais os fluidos estão empilhados e calcule a
pressão no fundo do tanque.
14. Num posto de gasolina, para a lavagem de um automóvel de massa 1000kg, o mesmo é
erguido a uma certa altura. O sistema utilizado é uma prensa hidráulica. Sendo os êmbolos de
áreas 10 cm2 e 2000 cm2 e a aceleração da gravidade local de 10 m/s2, qual a força aplicada
no êmbolo menor para equilibrar o automóvel?
15. (VUNESP) As áreas dos pistões do dispositivohidráulico da figura mantêm a relação 50:2. Verifica-se
que um peso P, colocado sobre o pistão maior é
equilibrado por uma força de 30 N no pistão menor, sem
que o nível de fluido nas duas colunas se altere. De
acordo com o Princípio de Pascal, o peso P vale: 
(a) 20 N; (b) 30 N; (c) 60 N; (d) 500 N; (d) 750 N. 
16. Prensa Hidráulica é um dispositivo multiplicador de: 
(a) força e trabalho; (b) potência e trabalho; 
(c) energia e força; 
(d) força; 
17. A prensa hidráulica representada na figura está em
equilíbrio. Os êmbolos formam áreas iguais a 2a e 5a.
Qual a intensidade da Força F? 
(a) 40 kgf; (b) 60 kgf; (c) 70 kgf; 
(d) 50 kgf; (e) 45 kgf.
Uma prensa tem pistões de áreas iguais a 4 cm2 e 200 cm2. Aplica-se ao êmbolo menor uma
força de 20 N. Este enunciado vale para as questões 18, 19 e 20. 
18. A pressão no êmbolo menor é, em N/cm2: 
(a) 5; (b) 10; (c) 20; (d) 40; (e) n.d.a. 
19. A força que atua sobre o êmbolo de maior área é: 
(a) 100 N; (b) 500 N; (c) 1000 N; (d) 20000 N; (e) n.d.a. 
20. Se o êmbolo menor descer de 120 cm, de quanto sobe o êmbolo maior? 
(a) 1,2 cm; (b) 2,4 cm; (c) 4,8 cm; (d) 6,0 cm; (e) n.d.a. 
21. Um elevador hidráulico é constituído de dois pistões com tamanhos diferentes. O pistão
menor tem 4,0 cm de diâmetro e o pistão maior possui 1,0m de diâmetro. Um carro com
2,0x103 kg é apoiado sobre o pistão maior. Que peso devemos colocar sobre o pistão menor
para equilibrarmos o carro?
22. Para determinar a pressão atmosférica, Torricelli fez a seguinte experiência: um tubo de
vidro, de 1m de comprimento, foi cheio de mercúrio e depois o mesmo emborcado num
recipiente contendo mercúrio; constatou que, ao nível do mar, o mercúrio no tubo desce até à
altura de 760 mm (0,76m). Se a massa específica do mercúrio é 13,6 g/cm3 = 13,6 x 103
kg/m3 e a aceleração da gravidade local é de 9,8 m/s2, qual a pressão atmosférica constatada
por Torricelli? 
23. A coluna de mercúrio de um barômetro tem altura h=740,35mm. A temperatura é -5ºC, e
nesta temperatura a densidade do mercúrio é 1,3608x104 kg/m3. A aceleração de queda livre
no local do barômetro é 9,7835 m/s2. Qual é a pressão atmosférica em pascais e torr?
24. Qual a pressão manométrica em kPa em um recipiente contendo óleo cujo tubo
piezométrico apresenta uma leitura de 0,30 m. Considere a densidade do óleo igual a 0,9. 
25. Suponha um barômetro que utilize água (ρ= 1,0 g/cm3) no lugar de mercúrio. Sabendo
que o valor da pressão atmosférica é de 1,01 x105 Pa, calcule a altura da coluna de água no
barômetro. Considere g = 10 m/s2.
26. O recipiente mostrado no esquema está pressurizado de
forma que a água sobe uma altura h = 200 cm no tubo
manométrico. Sendo a massa específica da água igual a 1000
kg/m3 e patm = 101,3 kPa, determine a pressão no ponto A. (g
= 9,8 m/s2)
27. Para medir a pressão P exercida por um gás, contido num
recipiente, utilizou-se um manômetro de mercúrio, obtendo-se
os valores indicados na figura. A pressão atmosférica local
medida por um barômetro é de 750 mmHg. O valor de P, em
mmHg é: 
a) 150
b) 170
c) 750
d) 900
e) 940
28. O dispositivo mostrado na figura desta questão
(manômetro) nos permite medir a pressão do gás do botijão.
Considere a montagem num local ao nível do mar (Patm = 76
cmHg) e o tubo em U contendo mercúrio. Com os valores
indicados é possível concluir que a pressão do gás é igual a: 
a) 186 cmHg
b) 110 cmHg
c) 156 cmHg
d) 286 cmHg
29. A figura mostra um recipiente
pressurizado contendo água conectado a um
manômetro em U na altura do ponto A.
Calcule a pressão em A se h1 = 700 mm e h2
= 870 mm? ( patm = 101,3 kPa, ρA = 1000
kg/m3, ρM = 13.600 kg/m3g = 9,8 m/s2)
30. Determine a pressão
relativa no ponto A na água
contida na câmara pressurizada
mostrada na figura abaixo.
Considere que ρA = 1000 kg/m3,
ρM = 13.600 kg/m3, g = 9,8
m/s2, h1 = 20 cm, h2 = 15 cm e
h3 = 30 cm.
31. No lado da sucção de uma bomba, um medidor de pressão de Bourdon mede 40 kPa de
vácuo. Qual a pressão absoluta equivalente, se a pressão atmosférica absoluta e igual a 100
kPa? 
32. A leitura de um medidor de vácuo conectado a uma câmara é de 24 kPa em um local onde 
a pressão atmosférica é de 92 kPa. Determine a pressão absoluta na câmara. 
33. Um manômetro é utilizado para medir a pressão em um tanque. O fluido utilizado tem 
uma gravidade específica de 0,85 e a coluna de líquido tem 55 cm de altura. A pressão do 
ambiente é de 96 kPa. Determine a pressão manométrica e a pressão absoluta no fundo do 
tanque. 
34. Um manômetro contendo óleo (ρ = 850 kg.m-3) é anexado a um tanque cheio de ar. Se a 
diferença de nível entre as duas colunas for de 45 cm e a pressão atmosférica for de 98 kPa, 
determine a pressão absoluta no tanque. 
35. Um objeto com massa de 10 kg e volume 0,002 m3 é colocado totalmente dentro da água.
Considere g = 10 m/s2 
(a) Qual o valor do peso do objeto? 
(b) Qual a intensidade da força de empuxo que a água exerce no objeto? 
(c) Qual o valor do peso aparente do objeto? 
(d) Desprezando o atrito com a água, determine a aceleração do objeto. 
36. Um bloco cúbico de madeira (dc = 0,65 g/cm3), com 20 cm de aresta flutua na água.
Determine a altura do cubo que permanece dentro da água.
37. Um negociante de metais “preciosos" tenta vender uma joia, supostamente feita de ouro,
ao Sr. Arquimedes da Silva, que desconfia da peça e propõe um teste de legitimidade. Ele pesa
a peça e conclui que a massa dela é de 39,0 g. Em seguida, ele a submerge em um tubo
contendo água, com 2,5 cm2 de área transversal. Sabendo que o nível da água no recipiente
sobe 2,0mm, encontre a densidade da peça e diga se ela é legítima.
38. Uma plataforma flutua em água doce (ρ =0,998x103 kg/m3), deslocando 5,0x103 kg de
agua. Calcule o peso e o volume de água que a plataforma deslocaria se flutuasse em água
sal gada ( = 1, 024 x10 3kg/m3 )? O volume de água deslocada muda?
39. (UFPA) Um cubo de madeira (massa específica = 0,80 g/cm3) flutua num líquido de massa
específica 1,2 g/cm3. A relação entre as alturas emersa e imersa é de:
(a) 2/3; (b) 2; (c) 1,5; (d) 0,5; (e) 3/2. 
40. Uma bola com volume de 0,002 m3 e densidade 200 kg/m3 encontra-se
presa ao fundo de um recipiente que contém água, através de um fio
conforme a figura. Determine a intensidade da tração no fio que segura a
bola. (Considere g = 10 m/s2) 
41. Uma esfera tem 6,0 g de massa e sua massa específica vale 0,80
g/cm3. Calcule o empuxo sobre ela exercido quando estiver totalmente imersa num líquido de
massa específica igual a 0,90 g/cm3, num local em que g = 9,8m/s2. 
42. Um corpo pesa 70 kgf. Mergulhado em água, seu peso aparente é de 40kgf. Qual a
densidade do material do corpo em questão? 
43. Uma peça feita de alumínio e cobre pesa 76 gf. Mergulhada em água, seu peso aparente é
de 56 gf. Qual o peso do alumínio contido na peça, sabendo que dAl = 2,5 e dCu = 9,0? 
44. Os icebergs são grandes blocos de gelo que vagam em latitudes elevadas, constituindo um
sério problema para a navegação, sobretudo porque deles emerge uma pequena parte do
total. 
Sendo V o volume total do iceberg e μg = 0,92 g/cm3 a massa específica do gelo, determinar a
porcentagem do iceberg que aflora à superfície livre da água, considerada com massa
específica igual a μL = 1 g/cm3. 
45. O casco de um barco tem um volume de 150 m3 e a massa total do barco vazio é de 8560
kg. Determine quanta carga esse barco pode carregar sem afundar em: 
a) um lago de água doce (densidade 1000 kg.m-3)
b) na água do mar (densidade 1030 kg.m-3)
Unidade 3 – CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
Para analisar o movimentos dos fluidos, alguns conceitos são necessários.
Linha de corrente, numinstante de tempo, é uma linha imaginária traçada no campo de 
escoamento, de forma que, em cada ponto, os vetores velocidade de escoamento são 
tangentes a ela. Assim, as linhas de corrente fornecem informações sobre as direções e as 
velocidades do escoamento.
Condutos forçados são aqueles onde o fluido apresenta contato total com suas paredes 
internas. Condutos livres são aqueles onde o fluido apresenta um contato apenas parcial com
suas paredes internas. Neste tipo de conduto observa-se sempre uma superfície livre, onde o 
fluido está em contato com o ar atmosférico.
 
3.1. Tipos de escoamento
Os escoamentos podem ser classificados, em função de alguns critérios, de diversas
maneiras, tais como: permanente ou transitório; incompressível ou compressível; uniforme ou
variado; laminar ou turbulento; ideal ou viscoso, e de entrada ou estabelecido.
Um escoamento é chamado de permanente ou estacionário quando as suas
propriedades, em qualquer ponto, permanecem invariáveis com o tempo. Se ocorrer variação
das propriedades em um ponto, em função do tempo, o escoamento é denominado
transitório ou não-permanente.
Escoamento incompressível é aquele no qual as variações de massa específica são
insignificantes. Tem-se um escoamento compressível quando as variações de massa
específica não podem ser desprezadas. Os líquidos, em geral, são incompressíveis e escoam de
forma incompressível. Os gases são compressíveis, mas em muitas situações pode ocorrer um
escoamento incompressível de um gás, o que acontece quando as velocidades de escoamento
são pequenas em relação à velocidade de propagação do som no fluido.
Em função das condições de escoamento, os fluidos podem escoar de uma forma suave
e bem ordenada ou de uma forma irregular, com turbilhões ou redemoinhos. Esses dois tipos
de escoamento são chamados de laminar e turbulento, respectivamente. No escoamento
laminar, o movimento do fluido se passa como se o fluido fosse constituído de lâminas
paralelas que deslizam umas em relação às outras, sem ocorrer mistura macroscópica. No
escoamento turbulento, as partículas fluidas se movem em trajetórias irregulares e ocorre
mistura macroscópica, geralmente através de turbilhões.
Dizemos que um fluido escoa em regime estacionário ou laminar se, em cada ponto do
espaço, ele tem sempre as mesmas velocidade e pressão.
Experimento de Reynolds Osborne observou que o escoamento no interior de um duto de
seção circular de diâmetro constante é laminar ou turbulento em função de uma relação entre
a velocidade de escoamento, o diâmetro interno do duto, a massa específica e a viscosidade
dinâmica do fluido. Essa relação, que é adimensional, chamada número de Reynolds,
representada por Re, é dada por 
 
onde ρ é a massa específica do fluido; V é a velocidade média de escoamento no duto; D é o
diâmetro interno do duto e μ é a viscosidade dinâmica do fluido. 
Número de Reynolds crítico é o valor acima do qual o escoamento torna-se turbulento. Como
esse valor é determinado de forma experimental, depende da rugosidade, vibrações do tubo e
flutuações do escoamento. Aceita-se, para escoamento interno em tubo circular, que com
Re<2100, em geral o escoamento é laminar. Para Re > 2500 ocorre, geralmente, escoamento
turbulento (LIVI, 2004).
Para o estudo dos fluidos em movimento é preciso idealizar um fluido cujo comportamento não
seja muito diferente de um fluido real, mas satisfaça algumas condições. O fluido ideal é não-
viscoso (atrito interno nulo), apresenta uma densidade constante, e a velocidade de
escoamento do fluido em um dado ponto é constante em relação ao tempo. 
Volume de controle é uma região arbitrária e imaginária, no espaço, através da qual o fluido
escoa.
3.2. Vazão em volume (Q)
A vazão em volume de um fluido através da seção de um tubo é, por definição, a razão entre o
volume do fluido que atravessa esta seção por unidade de tempo, que é equivalente ao 
produto da área da seção pela velocidade do fluido.
 
As principais unidades de vazão em volume são: 
SI CGS Outra Relações
 m3/s cm3/s ℓ/s 1 m3/s = 106 cm3/s = 103 ℓ/s
Vazão em massa (Qm)
é a massa do fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo. 
As principais unidades de vazão em massa são:
kg/s (SI); kg/h; utm/h; g/s
Vazão em peso (QG)
é o peso do fluido que escoa através de uma certa seção em um intervalo de tempo.
3.3. Equação da continuidade para regime permanente
Considere um fluido ideal incompressível, escoando através de um tubo que sofre
uma redução de área, conforme mostrado na figura:
Entre os pontos A e B não existe ramificação alguma do tubo, ou seja, nenhum fluido
entra ou deixa o tubo. Nessas condições, de acordo com o sentido de escoamento do fluido,
podemos afirmar que, num dado intervalo de tempo, o volume de fluido que passa em A,
passa também em B. Assim, podemos escrever: VA = V B.
Em virtude de as regiões A e B possuírem diâmetros diferentes, o volume de fluido em A é
dado pelo produto da área A1 pela distância d1 e, em B, é dado pelo produto da área A2 pela
distância d2. A expressão anterior ficará então escrita da seguinte forma:
A1 x d1 = A2 x d2
Como a velocidade de escoamento do fluido é constante em cada seção, podemos
escrever:
d1 = v1 x t e d 2 = v2 x t que, substituindo na equaçã o anterior, resul ta:
A1 x v1 x t = A 2 x v2 x t   DA1 x v1 = A2 x v2 
Essa expressão recebe o nome de equação da continuidade. A partir dessa equação,
podemos dizer que, em qualquer ponto do escoamento do fluido incompressível, o produto da
velocidade de escoamento pela área do tubo é constante, consequentemente, nas partes mais
estreitas do tubo (menor área), a velocidade de escoamento é maior.
O produto v x A, que no SI é dado em m3/s, recebe o nome de vazão (Q): Q = v x A
Assim, a equação da continuidade estabelece que, no escoamento de um fluido, a vazão
de entrada é igual à vazão de saída. 
Devemos lembrar que a vazão é o volume do fluido por unidade de tempo: 
t
VQ


 .
Uma aplicação imediata da equação da continuidade permite explicar o estreitamento
de um filete de água que sai de uma torneira na vertical. Por efeito da gravidade, a velocidade
da água aumentada enquanto cai, de modo que a área da seção reta do filete diminui. A
mesma equação permite explicar por que um estreitamento na extremidade de uma
mangueira faz com que o jato de água atinja uma distância maior.
Para o caso de fluido compressível, em qualquer seção a vazão em massa é
constante (princípio da conservação da massa):
3.4. Equação de Bernoulli sem dissipação de energia mecânica
No escoamento de um fluido ideal, a soma das energias, relativas à pressão, à
velocidade e à altura da tubulação, é constante.
A equação de Bernoulli pode ser entendida como uma aplicação do princípio de
conservação de energia aos fluidos. Para isso, vamos considerar o caso geral de um fluido que
escoa através de um tubo, conforme mostra a figura:
Na região A, de entrada do fluido, este possui velocidade v1, pressão p1 e altura h1; na
região B, de saída do fluido, a velocidade é v2, a pressão é p2 e a altura é h2.
A expressão: é conhecida como equação de
Bernoulli que, dividida por γ pode ser escrita como
é a carga de pressão (m); h é a carga de posição (m); é a carga de velocidade (m).
De um modo geral, podemos dizer que no escoamento de um fluido ideal, temos:
 constante.
Observações:
 No caso de um tubo horizontal, h1 = h2 

 
 De acordo com a equação da continuidade, uma redução de área provoca um aumento
de velocidade. Portanto, a velocidade v2 é maior que a velocidade v1. Colocando essa
condição na equação de Bernoulli, concluímos que a pressão p2 é menor do que a
pressãop1, ou seja: quando um tubo no qual escoa um fluido sofre uma redução
de área, a velocidade do fluido aumenta e a pressão diminui.
 Para o caso de um fluido em repouso (velocidade = 0), a equação de Bernoulli pode ser
escrita como  que é a lei de Stevin
para um fluido em repouso.
 Se o fluido que escoa pela canalização for um líquido, ele atinge alturas diferentes nos
tubos verticais da figura. No tubo localizado na tubulação com maior área, A2, o nível do
líquido é mais elevado, pois a pressão estática neste ponto é maior.
A equação de Bernoulli e a variação de energia
Cada parcela da equação de Bernoulli corresponde a uma quantidade de energia por
unidade de volume. Assim, a parcela P é a energia por unidade de volume relativa à pressão, a
parcela corresponde à energia cinética por unidade de volume (também chamada de
pressão dinâmica) e a parcela , à energia potencial gravitacional por unidade de
volume (pressão por gravidade; P + μ.g.h é chamada pressão estática).
Vamos representar por H a soma dessas três parcelas:
H é a energia total (E) por unidade de volume ( V ) associada ao escoamento.
Unidade (SI): J/m3. 
Nos escoamentos ideais, o valor de H permanece constante. Nos escoamentos reais, a
grandeza H vai diminuindo ao longo da tubulação, devido à ação do atrito entre o fluido e as
paredes da tubulação e ao próprio atrito interno das partículas que compõem o fluido. Por
outro lado, quando o fluido atravessa uma bomba, o valor de H aumenta, devido ao trabalho
motor realizado sobre o fluido. A potência de uma máquina (P) é dada pelo produto da vazão
(Q) pela variação de energia por unidade de volume associada a um escoamento (ΔH).
 
P = Q. H = Δ E/Δ t
Unidades de potência:
SI Outras Relações
Watt (w) = J/s cv (cavalo-vapor) hp (horse power) 1 cv = 736 w; 1 hp = 746 w
O rendimento (η) da máquina é definido como a razão entre a potência útil e a potência
realmente fornecida.
3.5. Aplicações da equação de Bernoulli 
- Destelhamento: Durante uma ventania, a passagem do ar faz com que a pressão na região
logo acima do telhado se torne menor do que a
pressão do ar abaixo deste. Essa diferença de
pressão produz uma força ascensional que pode
levantar o telhado, se ele naõ estiver amarrado à
estrutura da casa. Uma solução seria ventilar o
espaço sob o telhado para que não haja diferença
de pressão.
- Aviões: A asa de um avião é mais curva na
parte de cima. Isto faz com que o ar passe mais rápido na parte de cima do que na de baixo. 
De acordo com a equação de Bernoulli, a pressão do ar em cima da asa será menor do que na
parte de baixo, criando uma força de empuxo que sustenta o avião no ar. 
- Vaporizadores: Uma bomba de ar faz com que o ar seja empurrado
paralelamente ao extremo de um tubo que está imerso em um líquido. A
pressão nesse ponto diminui, e a diferença de pressão com o outro extremo
do tubo empurra o fluido para cima. O ar rápido também divide o fluido em
pequenas gotas, que são empurradas para frente. 
- Vento rasante em uma janela: Durante uma ventania, o ar que passa rente a uma janela origina
uma diminuição da pressão, em relação ao ambiente interno. Como consequência, se a
janela estiver aberta, uma cortina ali colocada desloca-se em direção à janela, como se
estivesse sendo puxada para fora.
Chaminé: O movimento de ar do lado de fora de uma casa ajuda a criar uma diferença
de pressão que expulsa o ar quente da lareira para cima, através da chaminé. 
Medidores de velocidade de um fluido: Na figura (a) abaixo, se existir ar em movimento no
interior do tubo, a pressão P é menor do que P0, e aparecerá uma diferença na coluna de
fluido do medidor. Conhecendo a densidade do fluido do medidor, a diferença de pressão, P - P0
é determinada. Da equação de Bernoulli, a velocidade do fluido dentro do tubo, v, pode ser
determinada. 
O medidor da figura (b) pode determinar a diferença de velocidade entre dois pontos de um
fluido pelo mesmo princípio. 
Os medidores abaixo também são baseados no mesmo princípio. Todos esses tipos de
medidores são conhecidos como medidores de Venturi. 
O tubo de Venturi consiste essencialmente de um tubo cujas seções A e B têm áreas diferentes
e conhecidas. A diferença de pressão estática entre os pontos A e B é medida por meio do
desnível do líquido existente nos tubos verticais.
Tubo de Pitot: O tubo de Pitot é um instrumento utilizado para a medição de velocidades de
escoamentos, tanto internos quanto externos, para líquidos ou gases.
• Foi desenvolvido em 1732 por Henry Pitot para realizar medidas locais da velocidade de
correntezas em rios.
• Até hoje muito utilizado na indústria aeronáutica, em instalações industriais (linhas de vapor,
gases e líquidos) em sistemas de ventilação e laboratórios de pesquisa.
• Realiza uma medida local da velocidade do escoamento.
• Pode ser empregados tanto para fluidos
compressíveis como para incompressíveis.
No ponto 1 temos a velocidade do fluido; no ponto
2, ponto de estagnação, a velocidade é nula (ponto
em que o fluido é barrado). Pela equação de
Bernoulli:
 mas h1 = h2
 , v2=0, logo 

 

 v1=
É importante observar que a velocidade não depende da natureza do fluido.
- Teorema de Torricelli: Se praticarmos um
orifício no reservatório e este se encontrar a uma
profundidade h abaixo da superfície livre do líquido,
a velocidade de escoamento do líquido será dada
por 
 v = 
Portanto, quanto mais baixo estiver o furo, maior será a velocidade e também o alcance.
3.6. Bombas e turbinas
As turbinas transformam a energia do fluido em trabalho mecânico, enquanto as
bombas, ventiladores e turbocompressores fornecem energia ao fluido por meio de um rotor
formado por pás ligadas rigidamente a um eixo. Como as pás se deslocam apenas
tangencialmente, são as componentes tangenciais das forças sobre o rotor que realizam
trabalho. As componentes radiais das forças sobre o rotor não sofrem deslocamentos nessa
direção e, portanto, não realizam trabalho.
Assim: H1 + HM= H2 onde H1 é a energia do lado 1, HM é a energia da máquina (para bomba
HM é positiva, para turbina, HM é negativa) e H2 é a energia do lado 2.
No caso da bomba, a potência útil fornecida ao fluido (P) é menor que a potência da máquina 
(PB), assim, o rendimento da bomba será: 
No caso da turbina, a potência útil da máquina (PT) é menor que a potência fornecida pelo 
fluido (P) e o rendimento da turbina será:
Bombas
Na época de Torricelli (1608-1647) já eram conhecidas as chamadas “bombas de
aspiração”, usadas para retirar água dos poços. A explicação para o funcionamento de tais
bombas era que a natureza possuía uma propriedade chamada “horror ao vácuo”. Portanto,
quando o pistão subia, a água corria para ocupar o vazio deixado pela sua subida; em outras
palavras, a água era sugada pelo movimento de subida do pistão.
Nessa época, o Duque de Toscana resolveu, num projeto ousado, irrigar os seus jardins
retirando água de um poço com 15 metros de profundidade. Entretanto, um enigma surgiu: a
água subia pela tubulação até cerca de dez metros, e, por mais que aperfeiçoassem a bomba,
a água não subia mais. A questão foi proposta ao então discípulo de Galileu, Evangelista
Torricelli, que conseguiu derrubar a teoria do horror ao vácuo.
Supondo que a água era empurrada pela atmosfera e não sugada pelo êmbolo, Torricelli
concluiu que, se a água subia somente 10 m, significava que a pressão atmosférica era
equivalente à pressão exercida por uma coluna de água com 10 m de altura. 
Torricelli considerou ainda que, caso fosse utilizado um líquido mais denso, essa altura
seria menor. A relação entre as alturas estaria na proporção inversa das densidades. Como o
mercúrio é 13,6 vezes mais densoque a água, Torricelli calculou que esse líquido deixaria de
subir quando atingisse a altura de 76 cm. 
O desmoronamento da teoria do horror ao vácuo deu origem a uma nova classe de
bombas, chamadas bombas de recalque. Nessas bombas, colocadas ao nível do líquido a ser
transferido, utilizam-se pistões (ou outros impelidores) para empurrar os fluidos, já que
simplesmente por horror eles não sobem.
Princípio de funcionamento de bombas centrífugas
A função da bomba hidráulica é fornece energia mecânica para o líquido (como o
ventilador para gases), proveniente de um motor à combustão ou de um motor elétrico, de
forma a ocorrer um aumento da energia mecânica do escoamento. 
As bombas classificam-se em:
a) Bombas radiais ou centrífugas: sua característica básica é trabalhar com pequenas vazões a
grandes alturas, com predominância de força centrífuga; são as mais utilizadas atualmente.
b) Bombas axiais: trabalha com grandes vazões a pequenas alturas.
c) Bombas diagonais ou de fluxo misto: caracterizam-se pelo recalque de médias vazões a
médias alturas, sendo um tipo combinado das duas anteriores.
Como é uma bomba Centrífuga 
A bomba centrífuga comum tem uma tubulação de
sucção, ou de entrada, que envia o fluido ao centro do
rotor, um rotor no qual o escoamento é radial e
dirigido para fora, e um tubo coletor ou carcaça espiral
que conduz o fluido à tubulação de descarga. 
• Possuem uma grande faixa de pressão e vazão de
operação
• Pressões elevadas são atingidas com o aumento da
rotação ou do diâmetro do rotor.
Uma instalação típica possui:
1. Uma bomba que transfere trabalho de eixo para o
fluido
2. O fluido é bombeado de um reservatório baixo para
outro elevado
3. Há perdas do trabalho transferido pela bomba ao
fluido que se traduzem na redução da capacidade de elevação ou na queda de pressão
Turbinas
Turbina é um equipamento construído para converter energia mecânica e térmica contida em
um fluido, em trabalho de eixo. Os principais tipos encontrados são:
Turbinas a vapor; Turbinas a gás; Turbinas hidráulicas; Turbinas aeronáuticas; Turbinas eólicas.
A forma construtiva básica é o mesmo para todos os tipos: um rotor dotado de um certo
número de pás ou palhetas, ligados a um eixo que gira sobre um conjunto de mancais de
deslizamento ou mancais de pastilha (mancais de rolamento, por questões de durabilidade não
são usados).
As turbinas podem ser usadas para movimentar um outro equipamento mecânico rotativo,
como uma bomba, compressor ou ventilador, ou podem ser usadas para a geração de
eletricidade e nesse caso são ligadas a um gerador.
Também tem aplicação na área de propulsão naval, ou aeronáutica.
A principal diferença entre os diversos tipos é o fluido de trabalho. Em decorrência disso, é
claro, há outras, tais como a temperatura máxima de operação, a potência máxima, a vazão
mássica de fluido, a pressão de trabalho e os detalhes construtivos e dimensões.
As maiores já construídas em termos de dimensões são as turbinas hidráulicas; as que
trabalham a maiores temperaturas são as turbinas a gás, e as que são submetidas a maior
pressão são as turbinas a vapor.
As turbinas tem 2 aspectos que principais que as caracterizam:
 Potência
 Eficiência
Turbinas modernas têm uma eficiência entre 85% e 99%, que varia conforme a vazão de
água e a potência gerada.
Partes de uma turbina
Uma turbina é constituída basicamente por cinco partes: caixa espiral, pré-distribuidor,
distribuidor, rotor e eixo, tubo de sucção.
1) Caixa espiral
É uma tubulação de forma toroidal que envolve a região do rotor. Esta parte fica integrada à
estrutura da usina, não sendo possível ser removida ou modificada. O objetivo é distribuir a
água igualmente na entrada da turbina.
É fabricada com chapas de aço carbono soldadas em segmentos. A caixa espiral conecta-se ao
conduto forçado na seção de entrada, e ao pré-distribuidor na seção de saída.
2) Pré-distribuidor
A finalidade do pré-distribuidor é direcionar a água para a entrada do distribuidor. É composta
de dois anéis superiores, entre os quais são montados um conjunto de 18 a 24 palhetas fixas,
com perfil hidrodinâmico de baixo arrasto, para não gerar perda de carga e não provocar
turbulência no escoamento. É uma parte sem movimento, soldada à caixa espiral e fabricada
com chapas ou placas de aço carbono.
3) Distribuidor
O distribuidor é composto de uma série de 18 a 24 palhetas
móveis, acionadas por um mecanismo hidráulico montado na
tampa da turbina (sem contato com a água). Todas as palhetas
têm o seu movimento conjugado, isto é, todas se movem ao
mesmo tempo e de maneira igual.O acionamento é feito por um ou
dois pistões hidráulicos que operam numa faixa de pressão de 20
bar nas mais antigas, até 140 bar nos modelos mais novos.
O distribuidor controla a potência da turbina pois, regula vazão da
água. É um sistema que pode ser operado manualmente ou em
modo automático, tornando o controle da turbina praticamente
isento de interferência do operador.
4) Rotor e eixo
O rotor da turbina é onde ocorre a conversão de energia hídrica em
potência de eixo.
5) Tubo de sucção
Duto de saída da água, geralmente com diâmetro final maior que o
inicial, desacelera o fluxo da água após esta ter passado pela
turbina.
Exercícios da Unidade 3:
1) Calcular o número de Reynolds e identificar se o escoamento é laminar ou turbulento
sabendo-se que em uma tubulação com diâmetro de 4cm escoa água com uma velocidade de
0,05m/s. (μ = 1,0030 x 10-3 N s/m2) 
2) Um determinado líquido, com 960kg/m³, escoa por uma tubulação de diâmetro 3cm com
uma velocidade de 0,1m/s, sabendo-se que o número de Reynolds é 9544. Determine qual a
viscosidade dinâmica do líquido. 
3) Benzeno escoa por uma tubulação em regime turbulento com um número de Reynolds de
5000. Determine o diâmetro do tubo em mm sabendo-se que a velocidade do escoamento é de
0,2m/s. (Dados: ρ = 0,871 g/cm3 e μ= 0,64 x 10-3 Ns/m2) 
4) Acetona escoa por uma tubulação em regime laminar com um número de Reynolds de
1800. Determine a máxima velocidade do escoamento permissível em um tubo com 2cm de
diâmetro de forma que esse número de Reynolds não seja ultrapassado. (Dados: ρ = 0,791
g/cm3 e μ= 0,326 x 10-3 Pa.s) 
5) Determine a velocidade critica para (a) gasolina a 200C escoando em um tubo de 20mm e
(b) para água a 200 C escoando num tubo de 20 mm. Obs: Para gasolina a 200C a viscosidade
cinemática vale 6,48x10-7m2/s. 
6) Calcular a velocidade máxima que um fluido pode escoar através de um duto de 30 cm de
diâmetro quando ainda se encontra em regime laminar. Sabe-se que a viscosidade do fluido é
2 x 10-3 Pa.s e a massa específica é de 800 kg/m3. 
7) (UFSM-RS) A figura representa uma tubulação horizontal
em que escoa um fluido ideal. 
A velocidade de escoamento do fluido no ponto 1 é ........ que
a verificada no ponto 2 e a pressão no ponto 1, em relação à
pressão no ponto 2, é ........
Assinale a alternativa que completa corretamente as lacunas.
a) maior, maior. b) maior, menor. c) menor, maior. d) menor, menor. e) maior, igual.
8) Na seção 1 de um conduto pelo qual escoa
água, a velocidade é 0,91m/s e o diâmetro é
0,61 m. Este mesmo escoamento passa pela
seção 2 onde o diâmetro é 0,91m. Determine a
vazão e a velocidade na seção 2. 
9) Os termos da equação têm unidades de
a) N b) m.N/s c) m.N/kg d) m.N/m3 e) m.N/N
10) Em um encanamento horizontal escoa água com vazão de 360 litros por minuto. Num
ponto A do encanamento, onde a área da seção transversal é 20 cm2, a pressão absoluta é de
14,50 N/cm2. O encanamento apresenta um estrangulamento e a área transversal é reduzida
para 10 cm2 (ponto B), conforme mostra a figura. Considere g=10 m/s2 e =10 3 kg/m3.
a) Qual é a velocidadede escoamento em A e em B?
b) Calcule a diferença de pressão entre os pontos A e B e a pressão absoluta do ponto B. Em
qual dos pontos, A ou B, a pressão é maior?
11) Um encanamento com 0,40 metros de diâmetro conduz líquido em movimento
permanente, com velocidade média de 1,5 m/s. Pergunta-se a vazão e a velocidade média
quando o diâmetro do encanamento sofre um alargamento para 0,50 metros.
12) A tubulação de um equipamento tem 10 cm de diâmetro, por onde escoa óleo em regime
permanente, com velocidade de 3,0 m/s. Sabendo-se que o equipamento requer uma
velocidade de 1,8 m/s e sem perda de vazão; qual deverá ser o diâmetro de saída?
13) Uma mangueira de diâmetro de 2 cm é usada para encher um balde de 20 litros. a) Se
leva 1 minuto para encher o balde, qual é a velocidade com que a água passa pela mangueira?
b) Um brincalhão aperta a saída da mangueira até ela ficar com um diâmetro de 5 mm, e
acerta o vizinho com água. Qual é a velocidade com que a água sai da mangueira?
14) Uma torneira enche de água um tanque, cuja capacidade é 6000 litros em 1 h e 40 min.
Determinar a vazão em volume, em massa e em peso em unidade do SI se ρ = 1000 kg/m3 e
g = 10 m/s2.
15) No tubo da figura, determinar a vazão em volume, em massa, em
peso e a velocidade media na seção (2), sabendo que o fluido é água e
que A1 = 10 cm2, A2 = 5 cm2, v1 = 1m/s e g = 10 m/s2.
16) Os reservatórios da figura são cúbicos. São enchidos
pelos tubos respectivamente em 100 e 500 s. Determinar
a velocidade da água na seção (A), sabendo que o
diâmetro do conduto nessa seção é 1 m.
17) Um bocal convergente de 100mm x 50mm é colocado
num sistema para assegurar uma velocidade de 5m/s na extremidade menor do bocal. Calcular
a velocidade a montante do bocal e a vazão escoada. 
18) Qual a velocidade da água que escoa em um duto de 25 mm se a vazão é de 2 litros/s?
19) Considere um fluxo de água num duto de 15 cm de diâmetro com velocidade de 8,5 cm/s.
Em determinado ponto, há um estreitamento de diâmetro, quando ele passa a medir 10 cm.
Qual a velocidade da água neste estreitamento em metros por minuto?
20) Dois tubos descarregam em um reservatório, água (ρ = 1 x 10³ kg/m³ ) e álcool ( ρ = 7,9
x 10² kg/m³), separadamente. A vazão da água é de 30L/s e a vazão do álcool é de 15L/s. A
mistura homogênea sai por um tubo cuja seção tem uma área de 25 cm² . Calcule a massa
específica e a velocidade da mistura.
21) Ar entra em um bocal de forma constante a 2,21 kg/m3 e 20 m/s e sai a 0,762 kg/m3 e 
150 m/s. Se a área de entrada do bocal é de 60 cm2 determine (a) a vazão de massa através 
do bocal e (b) a área de saída do bocal 
22) Ar entra em um bocal de forma constante a 2,21 kg.m-3 e 30 m.s-1 e sai com uma 
densidade de 0,762 kg.m-3 e 180 m.s-1. Se a área de entrada do bocal é de 80 cm2, 
determine:
(a) a vazão em massa através do bocal;
(b) a área de saída do bocal.
23) O ar escoa num tubo convergente. A área da maior seção do tubo é 20 m2 e a da menor é
10 cm2. A massa específica do ar na seção maior é 1,2 kg/m3, enquanto na seção menor é 0,9
kg/m3. Sendo a velocidade na seção maior 10 m/s, determinar as vazões em massa, volume,
em peso e a velocidade média na seção menor.
24) Um gás (γ =5 N/m3) escoa em regime permanente com uma vazão de 5 kg/s pela seção A
de um conduto retangular de seção constante de 0,5 m por 1m. Em uma seção B, o peso
específico do gás é de 10N/m3. Qual será a velocidade media do escoamento nas seções A e B?
25) A água escoa dentro de um tubo, como mostra a
figura abaixo, com uma taxa de escoamento de 0,10
m3/s. O diâmetro no ponto 1 é 0,4 m. No ponto 2, que
está 3,0 m acima do ponto 1, o diâmetro é 0,20 m. Se
o ponto 2 está aberto para a atmosfera, determine a
diferença de pressão entre o ponto 1 e o ponto 2. (Faça
g = 9,81 m/s2)
26) A água se move com velocidade de 5m/s através de um cano com área de seção
transversal de 4 cm2. A água desce 10m gradualmente, enquanto a área do cano aumenta
para 8 cm2. (Considere g=10 m/s2)
(a) Qual é a velocidade do escoamento no nível mais baixo? 
(b) Se a pressão no nível mais alto for 1,5x105 Pa, qual será a pressão no nível mais baixo?
27) A figura representa um grande tanque de área A, contendo água, e aberto para a
atmosfera. Suponha que, numa das paredes do tanque, exista um orifício de área a localizado
a uma profundidade h, em relação ao nível da água.
Considere que A seja muito maior que a. 
a) Qual é a relação entre as velocidades v1 (velocidade de
descida do nível da água) e v2 (velocidade de saída da água
através do orifício)? b) Aplique a equação de Bernoulli aos
pontos 1 e 2, mostrados na figura, e deduza a expressão
que nos permite calcular a velocidade de saída da água
através do orifício.
c) Qual é a vazão de saída da água pelo orifício?
28) Qual a velocidade da água através de um furo na lateral de um tanque, se o desnível
entre o furo e a superfície livre é de 2 m? 
29) Um agricultor precisa irrigar uma plantação que está 50 m acima de um lago aonde ele vai
captar a água. Para essa irrigação, ele necessita de, no mínimo, uma vazão de 2,0 s/ .
Considere que tanto na entrada como na saída da tubulação a velocidade e a pressão da água
sejam as mesmas, g =10 m/s2 e = 10 3 kg/m3.
a) Qual é a variação na energia total por unidade de volume sofrida pelo fluido nesse
processo? 
b) Qual deve ser a potência útil mínima da bomba a ser utilizada?
30) (UFPE) Um funil tem uma área de saída quatro vezes menor que a área
de entrada, como indica a figura. Um fluido em seu interior escoa de modo
que seu nível abaixa com velocidade constante. Se esse nível diminui de
uma altura h = 9,0 cm, num intervalo de tempo de 3,0 s, determine, em
cm/s, a velocidade com que o fluido abandona o funil na saída.
31) (Uneb-BA) Para abastecer uma residência, uma bomba retira
água de um poço e enche o tanque de 1.000  , em 10 minutos,
conforme a figura.
A água é lançada no tanque com velocidade de 10 m/s e não há
perdas por atrito no sistema. Sendo o módulo da aceleração da
gravidade local igual a 10m/s2 e a massa específica da água 1 kg/ 
( ou 1000 kg/m3), a potência da bomba, em watts, é igual a:
a) 100
b) 200
c) 300
d) 400
e) 500
32) Um Tubo de Pitot simplificado é utilizado para
determinar a velocidade do líquido no ponto 1, como
mostra a figura. A extremidade inferior é dirigida para
montante e o ramo vertical é aberto à atmosfera. O
impacto do líquido na abertura 2 força o mesmo a subir
no ramo vertical a uma al tura z acima da superf í cie
livre. Determinar a velocidade no ponto 1.
33) Um tubo de vidro dobrado a 90º é aberto em ambas as extremidades. O mesmo é inserido
num escoamento de óleo, d=0,90, de forma que uma das aberturas seja dirigida para
montante e a outra para cima. O óleo dentro deste tubo está 50 mm acima da superfície do
escoamento. A velocidade medida pelo tubo é, em m/s:
a) 0,89 b) 0,99 c) 1,1 d) 1,40 e) 1,50
34) Uma sonda estática de Pitot é usada para medir a velocidade de um avião que voa a 3000
m (ρ ar = 0,909 kg.m-3) Se a leitura da pressão diferencial for de 3 kPa, determine a
velocidade do avião. R.81,24 m.s-1
35) Pretende-se medir a vazão de um líquido que escoa por uma canalização. Para isso utiliza-
se um tubo de Venturi inserido na canalização conforme mostra a figura.
Sendo A1=10 cm2, A2=5,0 cm2, h=0,60 m, g=10 m/s2 e ρ=1,2 x 103 kg/m3 a massa específica
do líquido, determine a vazão do líquido através da canalização.
36) Um tubo de Pitot é inserido numa canalização, por onde
escoa um líquido de massa específica 1,6x103 kg/m3. O líquido
manométrico é o mercúrio (=13,6x103 kg/m3). O desnível é de
20 cm. Considerando g=10 m/s2, determine:
a) a diferença de pressão estática entre os pontos 2 e1;
b) a velocidade de escoamento do líquido.
37) (Unicamp) “Um tornado com ventos de 180 km/h destruiu o telhado do ginásio de
esportes da Unicamp.... Segundo engenheiros da Unicamp, a estrutura destruída pesa
aproximadamente 250 toneladas.” (Folha de S. Paulo, 29/11/95)
Uma possível explicação para o fenômeno seria considerar uma diminuição da pressão
atmosférica, devida ao vento, na parte superior do telhado. Para um escoamento de ar ideal,
essa redução de pressão é dada por 
2
2v , em que =1,2x103 kg/m3 é a densidade do ar e v a
velocidade do vento. Considere que o telhado do ginásio tem 5.400m2 de área e que estava
apenas apoiado nas paredes. (Dado: g=10m/s2).
2. Calcule a variação da pressão externa devida ao vento.
3. Quantas toneladas poderiam ser levantadas pela força devida a esse vento?
4. Qual a menor velocidade do vento (em km/h) que levantaria o telhado?
38) ( ENADE) O esquema da figura mostra uma tubulação
vertical com diâmetro constante, por onde escoa um líquido para
baixo, e a ela estão conectados dois piezômetros com suas
respectivas leituras, desprezando-se as perdas.
A esse respeito, considere as afirmações a seguir.
I – A energia cinética é a mesma nos pontos (1) e (2).
II –A pressão estática no ponto (1) é menor do que no ponto (2).
III – A energia total no ponto (1) é menor do que no ponto (2).
IV – A energia cinética e a pressão estática no ponto (1) são
menores do que no ponto (2).
V – A energia cinética e a pressão estática no ponto (1) são
maiores do que no ponto (2).
Quais são as afirmações corretas?
39) Observe a figura abaixo que mostra um medidor VENTURI .
Considerando as perdas entre os pontos 1 e 2 desprezíveis,
julgue cada item abaixo:
( ) Os pontos 1 e 2 têm a mesma vazão.
( ) A velocidade V2 é, aproximadamente, 2,8 vezes maior que V1.
( ) A energia total do ponto 1 é igual à energia total do ponto 2.
( ) A partir da equação de Bernoulli, pode se concluir que a pressão em 1 é maior que a ‐
pressão em 2. 
40) Considere uma bomba escoando água, por um duto de 3 cm de diâmetro interno, e 
alimentando um tanque de grandes dimensões, situado a 20 m acima do nível da bomba. 
Sabendo-se que a vazão da bomba é de 1,0 dm3/s, determine a pressão na saída da bomba, 
considerando que a perda de pressão devido a fricção é de 30 kPa. A densidade da água pode 
ser considerada como 1000 kg/m3.
Unidade 4 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR
4.1. Calor e temperatura
Investigações microscópicas estabeleceram que qualquer corpo, seja ele sólido, líquido
ou gasoso, é composto de partículas (átomos, moléculas ou íons) em constante agitação. A
agitação dessas partículas é mais intensa nos gases do que nos líquidos; e nos líquidos é mais
intensa do que nos sólidos.
Para um mesmo estado físico, a agitação das partículas está intimamente relacionada
com a temperatura. Assim, a temperatura é uma medida da energia cinética média das
partículas que compõem o corpo. Uma temperatura mais alta indica maior agitação das
partículas e, portanto, maior energia cinética média. Portanto, será mais quente o corpo que
apresentar um valor médio maior para esse grau de agitação.
Quando dois corpos, ou sistemas, com temperaturas diferentes são colocados em
presença, essa energia cinética média, que recebe o nome de energia térmica, transfere-se
espontaneamente do corpo de maior temperatura para o de menor temperatura. Essa energia
térmica em trânsito, provocada exclusivamente devido à diferença de temperatura entre eles,
é denominada calor. 
O calor, simbolizado por Q, é positivo quando a energia térmica é recebida pelo corpo,
dizemos que o calor é absorvido. Nesse caso a temperatura do corpo aumenta. O calor é
negativo quando a energia térmica é cedida pelo corpo, dizemos que o calor é liberado ou
perdido. Agora, a temperatura do corpo diminui.
É importante perceber que o atingir o equilíbrio térmico (dois sistemas com a mesma
temperatura), cessará a transferência de energia, não haverá calor.
Unidades de medida de calor mais usadas:
SI Sistema inglês relações
Joule (J) Caloria (cal)
quilocaloria (kcal)
Bristish thermal unit (Btu) 1 cal = 4,186 J = 4,2 J
1 cal = 3,969 . 10-3 Btu
1Btu = 252 cal
1kcal = 103 cal
1J = 0,239 cl
Uma caloria é a quantidade de calor (energia) necessária para elevar a temperatura de um
grama de água de 14,5ºC para 15,5ºC.
Potência ou fluxo de calor de uma fonte térmica
Fonte térmica ou fonte de calor é o sistema que pode fornecer calor continuamente,
sem que sua temperatura varie. Um exemplo de uma fonte térmica é a chama de um fogão à
gás. 
A potência ou fluxo de calor da fonte é a quantidade de calor por unidade de tempo:
t
Q


Principais unidades de fluxo de calor:
SI relações
Watt (W)
1 w = 1 J/s
Caloria por minuto (cal/min)
Caloria por segundo (cal/s)
1 W = 0,239 cal/s
1 cal/s = 4,186 W
1 W = 14,34 cal/min
1 cal/min = 251,16 W
4.2. Propagação de calor 
A transferência de energia na forma de calor de um ponto a outro de um meio pode se
dar por três processos diferentes: condução, convecção e radiação.
4.2.1. Condução térmica
A condução é o processo de transferência de energia na forma de calor que ocorre
através de um meio material, sob o efeito de diferenças de temperatura, sem transporte de
matéria. Nesse processo, a energia é transportada de partícula a partícula, através de
vibrações, sem que nenhuma delas seja deslocada, enquanto perdurar a diferença de
temperatura entre elas.
Consideremos o fluxo de calor  que flui durante um intervalo de tempo entre dois
pontos A e B de uma barra de comprimento L e seção transversal de área A, cujas
extremidades sejam mantidas às temperaturas TA e TB (com TA > TB). 
O fluxo de calor ao longo da barra é: 
- diretamente proporcional à área A;
- diretamente proporcional à diferença de temperatura entre as extremidades (TA e TB);
- inversamente proporcional ao comprimento da barra L.
A lei de Fourier enuncia que:
Em regime estacionário, o fluxo de calor por condução num material homogêneo é
diretamente proporcional à área da seção transversal atravessada e à diferença de
temperatura entre os extremos, e inversamente proporcional à espessura da camada
considerada.
Assim, podemos escrever:
L
TTAk
t
Q BA )( 


A constante k é característica do material que constitui a barra, chama-se
condutividade térmica do material e normalmente é dada nas unidades cal/s.cm.ºC ou
kcal/s.m.ºC.
Obs: 1 kcal/s.m.ºC = 10 cal/s.cm.ºC
A condutividade térmica é uma propriedade do material que indica a capacidade do meio em
conduzir calor e, geralmente, depende da temperatura.
Condutividades Térmicas
Material k (kcal s1 m1 0C1) DD Material K (cal/s.cm.ºC)
Cobre 9,2  102 Prata 0,99
Água 1,3  104 Alumínio 0,49
Vidro 2  104 Ferro 0,16
Gelo 4  104 Aço 0,11
Madeira 2  105 Amianto 0,0002
Flanela 2  105 Lã 0,000086
Ar 5,7 10 6 Ar seco 0,000061
As substâncias em que o processo de condução é rápido são denominadas bons
condutores, ou simplesmente condutores. Os materiais em que o processo é muito lento são
denominados maus condutores ou isolantes.
Os melhores condutores sólidos são os metais: prata (k = 0,99 cal/s.cm.ºC), cobre (k =
0,92 cal/s.cm.ºC), alumínio (k = 0,50 cal/s.cm.ºC) e ferro (k = 0,12 cal/s.cm.ºC). Os líquidos
são maus condutores (embora possam transferir energia por convecção). Também são maus
condutores o vidro, a madeira e a porcelana. Os melhores isolantes térmicos são os gases: ar
(k = 5,7.10-5 cal/s.cm.ºC). 
Algumas aplicações práticas da condução térmica:
- As panelas e chaleiras usadas em uma cozinha devem ser metálicas, para que o calor se
propague rapidamente. Mas seus cabos devem ser de madeira ou de plástico, maus

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