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HIDRODINÂMICA DOS MEIOS POROSOS E FRATURADOS WAGNER QUEIROZ BARROS BISMARCK GOMES SOUZA JÚNIOR UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE LABORATÓRIO DE ENGENHARIA E EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO MACAÉ - RJ FEVEREIRO - 2014 Este documento foi criado com base nas notas de aula do Prof. Carlos Enrique Pico Ortiz da disciplina "Hidrodinâmica dos Meios Porosos e Fraturados" do curso de pós-graduação em Engenharia de Reservatórios e Exploração da Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro (UENF), ministrada no primeiro semestre de 2013. Quaisquer dúvidas ou sugestões favor encaminhar um e-mail para: • bismarckjunior@outlook.com • wagnerqb@gmail.com Sumário 1 Equação da Difusividade 6 1.1 Hipótese do contínuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Definição de fases e componentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Formulação da equação de conservação da massa . . . . . . . . . . . 8 1.3.1 Taxa de acúmulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3.2 Taxa de entrada de matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Taxa de saída de matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.4 Produção de matéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Formulação da equação composicional da difusividade . . . . . . . . . 11 1.4.1 Termo de acúmulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2 Termo de fluxo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3 Termo fonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Lei de Darcy multifásica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Formulação “Black Oil” da Equação da Difusividade 16 2.1 Formulação “Black Oil” convencional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Pseudo-componente água: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.2 Pseudo-componente óleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.3 Pseudo-componente gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Formulação “Black Oil” modificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Pseudo-componente água . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 Pseudo-componente óleo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3 Pseudo-componente gás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.3 Formulação “Black Oil” modificada baseada nas concentrações mássicas 26 2.3.1 Definição das concentrações mássicas . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Definiçao das saturações das fases em função das concentra- ções mássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 3 Soluções dos Regimes Permanentes da Equação Radial da Difusividade 30 3.1 Equação da difusividade em coordenadas cilíndricas . . . . . . . . . . . 30 3.2 Solução do regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Solução da pressão no regime permanente . . . . . . . . . . . 35 3.2.2 Pressão média no regime permanente . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Solução do regime pseudo-permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.1 Solução da pressão no regime pseudo-permanente: . . . . . . . 39 3.3.2 Pressão média no regime pseudo-permanente . . . . . . . . . . 40 3.3.3 Pressão em função do raio e do tempo no regime pseudo-permanente 43 4 Solução do Regime Transiente da Equação Radial da Difusividade 45 4.1 Adimensionalização da equação da difusividade radial . . . . . . . . . . 45 4.1.1 Adimensionalização do raio (r) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.2 Adimensionalização do tempo (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.1.3 Adimensionalização da pressão (P ) . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.1.4 Adimensionalização das condições de contorno . . . . . . . . . 48 4.1.5 Sistema de unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.2 Solução do tipo linha-fonte (Transformada de Boltzmann) . . . . . . . . 50 4.2.1 Definição da equação da difusividade na forma de Boltzmann . . 50 4.2.2 Solução da equação da difusividade na forma de Boltzmann . . 53 4.3 Solução do tipo linha-fonte (Transformada de Laplace) . . . . . . . . . . 56 4.3.1 Equação da difusividade no campo de Laplace . . . . . . . . . . 56 4.3.2 Solução da equação da difusividade no campo de Laplace . . . 58 4.3.3 Transformada inversa da solução linha-fonte no campo de Laplace 60 4.4 Algoritimo de Gaver-Stehfest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 5 Solução Reservatório Radial Infinito com Estocagem e Dano 63 5.1 Solução reservatório infinito com poço de raio finito . . . . . . . . . . . 63 5.2 Efeito de dano de formação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.1 Conceito de fator de película . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.2.2 Conceito de raio equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 5.3 Efeito de estocagem no poço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.4 Solução reservatório infinito com estocagem e dano . . . . . . . . . . . 72 5.5 Análise de testes de pressão por curvas tipo . . . . . . . . . . . . . . . 75 6 Solução Reservatório Radial Selado com Estocagem e Dano 79 6.1 Solução reservatório finito com estocagem e dano . . . . . . . . . . . . 79 6.2 Curvas Tipo para a solução do reservatório selado . . . . . . . . . . . . 82 Apêndice A -- Função Exponencial Integral 86 Apêndice B -- Transformada de Laplace 88 Apêndice C -- Funções Modificadas de Bessel 91 C.1 Notação Zν das funções modificadas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . 91 C.2 Relações de recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 C.3 Derivadas das funções modificadas de Bessel . . . . . . . . . . . . . . 93 6 1 Equação da Difusividade A equação da difusividade governa o escoamento de fluidos em meios porosos. Ela é deduzida a partir da equação da conservação da massa, de equações constitu- tivas para os componentes presentes no fluido e da Lei de Darcy. Para se aplicar essa equação é necessário a definição da hipótese do contínuo. 1.1 Hipótese do contínuo Imagine uma porção de fluido distribuída em uma região do espaço, podemos considerar as propriedades do fluido como sendo constantes nessa porção. A medida que o volume da porção diminuí, as propriedades do fluido permanecem constantes. Em um determinado limite, as propriedades dos fluidos começam a ser influenciadas pela região por onde são medidas, esse limite é conhecido como limite do contínuo. Na região abaixo do limite do contínuo, as propriedades moleculares são impor- tantes na modelagem das propriedades dos fluidos. A Fig. 1 mostra a variação da massa específica de um fluido em função do volume de controle, é possível perce- ber que abaixo do limite do contínuo, as moléculas do fluido possuem tamanhos da mesma ordem de grandeza do volume de controle, influenciando o valor de massa específica calculada. Apesar do escoamento em meios porosos ocorrer em poros muito pequenos, na ordem de micrômetros, a hipótese do contínuo é satisfeita na maioria das aplicações práticas em engenharia de reservatórios (LAKE, 1989). 7 Figura 1: Variação da massa específica de um fluido em função do volume de controle. 1.2 Definição de fases e componentes A formulação deduzida nesse capítulo é conhecida como "Formulação Composi- cional da Equação do Balaço de Massa", pois leva em consideração a conservação da massa de todos os componentes presentes em todas as fases no fluido. Assim, é necessário o entendimento de dois conceitos básicos utilizados em engenharia de reservatórios: • Componente: Compostos que possuem propriedades físicas e químicas seme- lhantes, que fazem parte de uma fase fluida. • Fase: Mistura de componentes fluidos delimitada por meio de interfaces. Dessa forma as diferentes moléculas de gás podem ser classificados comocom- ponentes (N2, CO2, CH4, etc) pertencendo a uma fase gasosa. Se essas moléculas estiverem dissolvidas na água, esses componentes pertencem a fase aquosa. É pos- sível considerar que os todos os gases possuem propriedades semelhantes, assim, classifica-se o componente gás pertencendo à fase gás. Como descrito no parágrafo anterior, as definições de componente e fase são bastantes amplas, sendo formuladas de acordo com o problema que será resolvido. Por convenção, o subscrito "i" refere-se ao componente, e o subscrito "j" refere-se à fase. O subscrito “ij” refere-se ao componente i dissolvido na fase j. Por exemplo, a notação ρij indica a massa específica do componente i presente na fase j. 8 1.3 Formulação da equação de conservação da massa Considere o volume de controle V mostrado na Fig. 2. Figura 2: Volume de controle espacial. Adaptado de Lake (1989). Considerando o escoamento de um fluido através das fronteiras do volume de controle, é possível escrever a seguinte equação: Taxa de A úmulo = Taxa de Entrada de Matéria − Taxa de Saída de Matéria + Produção de Matéria (1.1) É possível definir cada termo da Eq. (1.1) separadamente: 1.3.1 Taxa de acúmulo A taxa de acúmulo do componente i é definida como a variação temporal da massa do componente, no interior do volume de controle V . A concentração do componente i é dada por: Wi = Massa de i Volume total (1.2) Dessa forma a taxa de acúmulo é dada por: Taxa de A úmulo = ∂ ∂t ˆ V WidV (1.3) 9 1.3.2 Taxa de entrada de matéria A taxa de entrada do componente i é definida como sendo a massa do compo- nente i atravessando o volume de controle por unidade de tempo. Para se escrever esse conceito é necessária a definição de fluxo do componente i, definido por: −→ Ni = Massa de i Área x Tempo (1.4) Considerando que o vetor normal, nˆ, aponta sempre para fora do volume de con- trole, a taxa de entrada de matéria é definido como: Taxa de Entrada de Matéria = − ˆ A nˆ · −→NidA (1.5) 1.3.3 Taxa de saída de matéria Da mesma forma como foi definida a taxa de entrada de matéria, a taxa de saída pode ser escrita como: Taxa de Saída de Matéria = ˆ A nˆ · −→NidA (1.6) 1.3.4 Produção de matéria A produção de matéria no interior do volume de controle é definido como sendo a massa do componente i criada ou destruída no interior do volume de controle por unidade de tempo. É modelada através de um termo fonte na Eq. (1.1), definido por: Ri = Massa i Volume × Tempo (1.7) Assim: 10 Produção de Matéria = ˆ V RidV (1.8) Utilizando os resultados obtidos acima, a Eq. (1.1) pode ser escrita como: ∂ ∂t ˆ V WidV = − ˆ A nˆ · −→NidA+ ˆ V RidV (1.9) ou seja: ∂ ∂t ˆ V WidV + ˆ A nˆ · −→NidA = ˆ V RidV (1.10) A Eq. (1.10) é conhecida como a forma fraca da equação da conservação de massa. Essa equação não depende de um sistema de coordenadas, e é utilizada quando a equação possui divergências como ondas de choque, por exemplo. Para se escrever a forma forte da equação, “forma diferencial”, é necessário se utilizar o teorema da divergência, definido por: ˆ V ∇ · −→BdV = ˆ A −→n · −→BdA (1.11) Substituindo-se a Eq. (1.11) na Eq. (1.10): ∂ ∂t ˆ V WidV + ˆ V ∇ · −→NidV = ˆ V RidV (1.12) Considerando que a função Wi seja de classe C1, unindo-se as integrais: ˆ V ( ∂Wi ∂t +∇ · −→Ni − Ri ) dV = 0 (1.13) Por último, a forma forte da equação da conservação da massa é dada por: ∂Wi ∂t +∇ · −→Ni = Ri (1.14) A forma da equação do balanço de massa dada pela Eq. (1.14) é a mais utilizada nas aplicações de engenharia de reservatórios. 11 1.4 Formulação da equação composicional da difusi- vidade Na seção anterior foi deduzida a equação da conservação da massa, que é uma das equações fundamentais para se formular a equação da difusividade. Cada termo da Eq. (1.14) representa importantes mecanismos ou processos físicos que serão descritos nessa seção. Considere um volume de controle possuindo diversas fases fluidas e diversos com- ponentes dissolvidos nas fases. A Fig. 3 mostra um exemplo de um volume de controle possuindo duas fases fluidas e uma fase sólida. A fase sólida é definida como sendo o volume de grãos presentes no volume de controle. Figura 3: Volume de controle mostrando as fases fluidas e a fase sólida em um reser- vatório com óleo e água. (LAKE, 1989) Um conceito importante utilizado para se separar as diferentes fases em um vo- lume de controle é o conceito de saturação. Saturação da fase j é definido como a fração do volume da fase j presente no volume poroso total, ou seja: Sj = Vj Vporoso (1.15) Outro conceito importante é o de porosidade, definido como a razão entre o volume poroso total e o volume total da amostra, ou seja: φ = Vporoso V (1.16) 12 Como mostrado na Fig. 3, a soma do volume de todas as fases fluidas no domínio representa o volume poroso total da amostra. Com base nessas informações, cada termo da Eq. (1.14) pode ser modelado. 1.4.1 Termo de acúmulo O termo de acúmulo definido por ∂Wi ∂t é dada para cada componente i contido no fluido. A fração mássica de um componente pode ser definida como: ωij = Massa do Componente ina Fase j Massa da Fase j (1.17) e a densidade da fase j é dada por: ρj = Massa da Fase j Volume da Fase j (1.18) Dessa forma, a concentração do componente i dada pela Eq. (1.2) pode ser es- crita como: Wi = {Massa de inas Fases Fluidas}+ {Massa de ina Fase Sólida} (1.19) Wi = φ Np∑ j=1 [Sjρjωij] + (1− φ) ρsωis (1.20) onde o subscrito s indica a fase sólida e Np indica o número total de fases do sistema. Assim, o termo de acúmulo é definido por: { Termo de A úmulo } = ∂Wi ∂t = ∂ ∂t { φ Np∑ j=1 [Sjρjωij] + (1− φ) ρsωis } (1.21) 1.4.2 Termo de fluxo O fluxo da substância i ocorre de duas formas: por difusão e por advecção. O fluxo advectivo assume que o componente se propaga com a mesma velocidade que a fase que o contém, dessa forma,o fluxo advectivo é modelado como sendo uma 13 soma da advecção do componente i em todas as fases fluidas presentes no volume de controle, ou seja: { Fluxo Adve tivo } = Np∑ j=1 (ρjωij −→vj ) (1.22) Enquanto fluxo advectivo expressa a vazão mássica da substância i por unidade de área do volume de controle, o fluxo difusivo é composto pela difusão molecular (independente do escoamento) e da difusão mecânica, que é influenciada pelo sentido e magnitude do escoamento. O fluxo difusivo é modelado pela Lei de Fick1, e pode ser escrito como: { Fluxo Difusivo } = − Np∑ j=1 ( φSj ←→ Dij∇ (ρjωij) ) (1.23) O sinal negativo indica que o fluxo difusivo ocorre contra o gradiente de concen- tração do componente i, ou seja, da maior para a menor concentração. O tensor ←→Dij é conhecido como o tensor de dispersão. Portanto, o termo de fluxo pode ser escrito como: { Termo de Fluxo } = ∇ · −→Ni = ∇ · Np∑ j=1 ( ρjωij −→vj − φSj←→Dij∇ (ρjωij) ) (1.24) 1.4.3 Termo fonte Existem basicamente três formas de termos fonte que são inseridos na equação da conservação de componente: a geração do componente i à partir de reações com a fase fluida, a geração à partir de reações com a fase sólida e a injeção ou produção do componente pela presença de um poço. Considerando rij como a taxa de reação do componente i na fase j, o termo fonte devido às reações com as fases fluidas e sólidas é dado por: { Fontepor Reação } = Np∑ j=1 [φSjrij] + (1− φ) ris (1.25) 1Mais detalhes sobre a Lei de Fick podem ser encontrados em Bird (BIRD et al., 2007) ou em Lake (LAKE, 1989). 14 O termo fonte devido à presença de poços injetores ou produtores no volume de controle é escrito como: { Fonte por Poço } = ωijρjqj Vc = RiWell (1.26) onde Vc é o volume de controle que será inserido o poço. Portanto o termo fonte é modelado como: { Termo Fonte } = Np∑ j=1 [φSjrij] + (1− φ) ris +RiWell (1.27) Com os três termos modelados a equação composicional da difusividade,Eq. (1.14), pode ser escrita como: ∂ ∂t { φ Np∑ j=1 [Sjρjωij] + (1− φ) ρsωis } + −→∇ · Np∑ j=1 ( ρjωij −→vj − φSj←→Dij∇ (ρjωij) ) = Np∑ j=1 [φSjrij ] + (1− φ) ris +RiWell (1.28) Por questões de simplicidade a Eq. (1.28) é comumente escrita como: ∂ ∂t {φSjρjωij + (1− φ) ρsωis}+∇ · ( ρjωij −→vj − φSj←→Dij∇ (ρjωij) ) = φSjrij + (1− φ) ris +RiWell (1.29) A Eq. (1.29) é conhecida como a Equação Composicional da Difusividade em termos da velocidade do escoamento no meio poroso. As medidas de velocidade em meios porosos são muito difíceis de serem realizadas, assim a Eq. (1.29) não possui aplicação acessível nos problemas de engenharia de reservatório. Uma variável mais fácil de ser medida em campo é a pressão, dessa forma, utiliza-se a Lei de Darcy para se escrever a velocidade do escoamento em função da pressão. 15 1.5 Lei de Darcy multifásica A Lei de Darcy (DARCY, 1856) expressa a velocidade do escoamento em meios porosos, em função do gradiente de pressão ao qual o fluido está sujeito. A forma multifásica da Lei de Darcy é expressa como sendo: −→vj = − ←→ K krj µj (∇Pj + ρj−→g ) (1.30) onde←→K é o tensor de permeabilidades do meio poroso, krj é a permeabilidade relativa da fase j, µj é a viscosidade da fase j e −→g é o vetor aceleração da gravidade. A pressão da fase j, Pj , é definida com base na pressão capilar da fase j em relação à fase molhante a rocha (fase n), definida como: Pcjn = Pj − Pn (1.31) Combinando as Eqs. (1.29) e (1.30) a Equação da Difusividade Composicional pode ser escrita como: ∂ ∂t {φSjρjωij + (1− φ) ρsωis}+∇ · ( −ρjωij ←→ K krj µj (∇Pj + ρj−→g )− φSj←→Dij∇ (ρjωij) ) = φSjrij + (1− φ) ris +RiWell (1.32) A Eq. (1.32) é a forma mais utilizada da Equação composicional da Difusividade. Essa fórmula possui uma alta precisão no cálculo da concentração de todos os com- ponentes escoando no volume poroso, porém possui a desvantagem de necessitar de se resolver uma grande quantidade de equações, o que faz com que o método tenha um alto custo computacional. 16 2 Formulação “Black Oil” da Equação da Difusividade No Capítulo 1 foi deduzida a formulação composicional da equação da difusivi- dade. Como discutido anteriormente, essa formulação possui a vantagem de ser um modelo robusto, capaz de resolver os mais diversos problemas em engenharia de re- servatórios. A desvantagem do modelo encontra-se no grande número de equações diferenciais que devem ser resolvidas, necessitando de um alto poder computacional. Uma alternativa à formulação composicional é a formulação “Black Oil”, ou Modelo β, que possui um número reduzido de fases e componentes (ERTEKIN et al., 2001). A formulação “Black Oil” baseia-se na Equação Composicional da Difusividade, Eq. (1.29), e adotada as seguintes considerações: 1. Não existe fluxo difusivo no reservatório, ou seja: φSj ←→ Dij∇ (ρjωij) = 0 (2.1) 2. Não existe acumulação dos componentes fluidos na matriz sólida, ou seja: (1− φ) ρsωis = 0 (2.2) 3. Não existe reações químicas nos componentes da mistura, ou seja: φSjrij + (1− φ) ris = 0 (2.3) Dessa forma a Equação da Difusividade assume a seguinte forma: ∂ ∂t {φSjρjωij}+∇ · (ρjωij−→vj ) = RiWell (2.4) 17 2.1 Formulação “Black Oil” convencional O modelo “Black Oil” convencional, cuja representação é mostrada na Fig. 4, é a forma mais simples dessa formulação. Nela existem três pseudo-componentes de interesse no modelo: água, gás e óleo. No modelo “Black Oil” são adotadas as seguintes considerações: 1. Existem três fases imiscíveis no reservatório: água (w), óleo (o) e gás (g). 2. A fase óleo possui dois componentes: óleo e gás dissolvido. 3. Não existe gás dissolvido na água. 4. Os componentes gás livre e gás dissolvido (em condições padrão) possuem as mesmas propriedades. Figura 4: Típico reservatório “Black Oil”. Além disso, existem dois conceitos básicos na formulação “Black Oil”, derivados de análises PVT: 18 Fator volume-formação Bj O Fator Volume-Formação da fase j é definido como sendo a razão entre o volume que uma fase ocupa na superfície (STC) e o volume que essa mesma fase possui em condições de reservatório (RC), é definida como: Bj = Volume da Fase j(RC) Volume da Fase j(STC) (2.5) Bj = ( V RCj ) ( V STCjj ) = ( ρSTCj ) ( ρRCjj ) (2.6) Razão de solubilidade Rs A Razão de Solubilidade é definida como sendo a razão entre o volume de gás dissolvido no óleo e o volume de óleo produzido, em condições de superfície, ou seja: Rs = Volume de Gás Dissolvido no Óleo (STC) Volume de Óleo Morto (STC) (2.7) Rs = ( V STCgo ) (V STCoo ) (2.8) De acordo com as considerações adotadas, é possível se escrever as seguintes relações: Bo = ( ρRCo ) (ρSTCoo ) (2.9) Bg = ( ρRCg ) ( ρSTCgg ) (2.10) Bw = ( ρRCw ) (ρSTCww ) (2.11) A Equação da Difusividade será escrita para cada pseudo-componente (água, óleo e gás) separadamente. 2.1.1 Pseudo-componente água: Para o pseudo-componente água o termo de acúmulo pode ser escrito como: 19 Ww = φ Np∑ j=1 (Sjρjωwj) (2.12) Ww = φ [Swρwωww + Soρoωwo + Sgρgωwg] (2.13) Como não existe água dissolvida nas fases óleo e gás, ωwo = ωwg = 0, e como o único componente na fase água é o componente água, ωww = 1, ou seja: Ww = φSwρw (2.14) A densidade da água em condições de reservatório é dada por: ρw = ρSTCw Bw (2.15) Assim: Ww = φSwρ STC w Bw (2.16) Já o termo de fluxo, para o pseudo-componente água, pode ser escrito como: −→ Nw = Np∑ j=1 (ρjωwj −→vj ) (2.17) −→ Nw = ρwωww −→vw + ρoωwo−→vo + ρgωwg−→vg = ρ STC w −→vw Bw (2.18) Como a densidade da água em condições padrão é considerada constante, a Eq. (2.4), para o pseudo-componente água, pode ser escrita como: ∂ ∂t ( φSw Bw ) +∇ · ( 1 Bw .−→vw ) = RwWell ρSTCw (2.19) 2.1.2 Pseudo-componente óleo Para o pseudo-componente óleo, o termo de acúmulo pode ser escrito como: 20 Wo = φ Np∑ j=1 (Sjρjωoj) (2.20) Wo = φ [Swρwωow + Soρoωoo + Sgρgωog] (2.21) Como não existe óleo dissolvido nas fases água e gás, ωog = ωow = 0. Então, na fase óleo, temos: Wo = φSoρoωoo (2.22) Utilizando o conceito de fator volume-formação para o óleo, é possível provar que: ρoωoo = ρSTCo Bo (2.23) Assim a Eq. (2.22) fica escrita como: Wo = φSoρ STC o Bo (2.24) O termo de fluxo pode ser escrito como: −→ No = Np∑ j=1 (ρjωoj −→vj ) (2.25) −→ No = ρwωow −→vw + ρoωoo−→vo + ρgωog−→vg = ρ STC o Bo −→vo (2.26) Portanto, a Eq. (2.4), para o pseudo-componente óleo, pode ser escrita como: ∂ ∂t ( φSo Bo ) +∇ · ( 1 Bo .−→vo ) = RoWell ρSTCo (2.27) 2.1.3 Pseudo-componente gás Para o pseudo-componente gás, o termo de acúmulo pode ser escrito como: 21 Wg = φ Np∑ j=1 (Sjρjωgj) (2.28) Wg = φ [Swρwωgw + Soρoωgo + Sgρgωgg] (2.29) Como não existe gás dissolvido na fase água, ωgw = 0, e como o gás é o único componente presente na fase gás, ωgg = 1: Wg = φ [Soρoωgo + Sgρg] (2.30) O produto ρoωgo pode ser escrito por: ρoωgo = mo V RCo mgo mo = mgo VRCo = ρSTCgo V STC go BoV STCoo (2.31) ρoωgo = ρSTCg Rs Bo (2.32) A densidade do gás em condições de reservatório é dada por: ρg = ρSTCg Bg (2.33) Assim a Eq. (2.30) adquire a seguinte forma: Wg = ρ STC g φ [ RsSo Bo + Sg Bg ] (2.34) O termo de fluxo pode ser escrito como: −→ Ng = Np∑ j=1 (ρjωgj −→vj ) (2.35) −→ Ng = ρwωgw −→vw + ρoωgo−→vo + ρgωgg−→vg = ρoωgo−→vo + ρg−→vg (2.36) −→ Ng = ρSTCg Rs Bo −→vo + ρSTCg Bg −→vg (2.37) 22 Portanto, a Eq. (2.4), para o pseudo-componente gás, é dada por: ∂ ∂t ( φ [ RsSo Bo + Sg Bg ]) +∇ · ( Rs Bo −→vo + 1 Bg −→vg ) = RgWell ρSTCg (2.38) onde RgWell inclui os volumes de gás injetados ou produzidos mais os volumes de gás presentes na fase óleo produzida. Juntando as Eqs. (2.19), (2.27) e (2.38) é formado o conjunto de equações do tipo “Black Oil” Convencional: ∂ ∂t ( φSw Bw ) +∇ · ( 1 Bw .−→vw ) = RwWell ρSTCw ∂ ∂t ( φSo Bo ) +∇ · ( 1 Bo .−→vo ) = RoWell ρSTCo (2.39) ∂ ∂t ( φRsSo Bo + φSg Bg ) +∇ · ( Rs Bo −→vo + 1 Bg −→vg ) = RgWell ρSTCg A Eq. (2.39) é função das saturações e das pressões parciais das fases água, óleo e gás. Como existem seis incógnitas e apenas três equações, são necessárias mais três equações, conhecidas como equações de fechamento: 1. Fechamento para a saturação Considerando que existem apenas três fases no meio poroso: Sg + So + Sg = 1 (2.40) 2. Fechamento para as pressões parciais As pressões parciais são escritas como função das pressões capilares: Pc(ow) = Po − Pw (2.41) Pc(gw) = Pg − Pw (2.42) 2.2 Formulação “Black Oil” modificada A formulação “Black Oil” deduzida na seção anterior possui um grau aceitável de precisão na maioria dos casos práticos de simulação de reservatórios. Porém alguns 23 óleos leves possuem a característica de se volatilizarem na fase gasosa do reserva- tório. Para reservatórios de óleos leves a formulação “Black Oil Modificada” é mais aceita. A Fig. 5 mostra um exemplo de um óleo típico dessa formulação. É possível observar que existe um componente óleo volatilizado na fase gás. Figura 5: Típico reservatório do tipo “Black Oil Modificado” Os mesmos conceitos de fator volume-formação e razão de solubilidade deduzidos anteriormente são válidos nessa formulação, e adicionalmente deve ser incluído o conceito de Razão de Volatilidade, dado por: Rv = Volume de Óleo Dissolvido no Gás (STC) Volume de Gás Livre Morto (STC) (2.43) Rv = ( V STCog ) ( V STCgg ) (2.44) 24 Da mesma forma que na formulação “Black Oil” convencional, cada componente deve ser modelado separadamente. As mesmas considerações do modelo “Black Oil” convencional são adotadas nesse modelo, e adicionalmente considera-se que o óleo dissolvido no gás tem as mesmas propriedades que o óleo do reservatório. Dessa forma, a equação da difusividade dada pela Eq. (2.4) ainda é válida: ∂ ∂t {φSjρjωij}+∇ · (ρjωij−→vj ) = RiWell (2.45) 2.2.1 Pseudo-componente água Nas duas formulações só existe o componente água presente na fase água, assim, utilizando a Eq. (2.45), é possível obter: ∂ ∂t ( φSw Bw ) +∇ · ( 1 Bw −→vw ) = RwWell ρSTCw (2.46) 2.2.2 Pseudo-componente óleo O termo de acúmulo, para o pseudo-componente óloe, pode ser escrito como: Wo = φ Np∑ j=1 (Sjρjωoj) (2.47) Wo = φ [Swρwωow + Soρoωoo + Sgρgωog] (2.48) Como existe óleo volatilizado no gás, nesse modelo, ωog 6= 0Assim: Wo = φ [Soρoωoo + Sgρgωog] (2.49) Como deduzido anteriormente: ρoωoo = mo Vo moo mo = moo Vo = moo BoV STCoo = ρSTCo Bo (2.50) ρgωog = mg Vg mog mg = mog Vg = ρSTCog V STC og BgV STCgg (2.51) 25 ρgωog = ρSTCo Rv Bg (2.52) Assim, Wo = φρ STC o [ 1 Bo So + Rv Bg Sg ] (2.53) e o termo de fluxo pode ser escrito como: −→ No = Np∑ j=1 (ρjωoj −→vj ) (2.54) −→ No = ρwωow −→vw + ρoωoo−→vo + ρgωog−→vg (2.55) −→ No = ρ STC o ( 1 Bo −→vo + Rv Bg −→vg ) (2.56) Dessa forma, a equação da difusividade, para o pseudo-componente óleo, é dada por: ∂ ∂t ( φ [ 1 Bo So + Rv Bg Sg ]) +∇ · ( 1 Bo −→vo + Rv Bg −→vg ) = RoWell ρSTCo (2.57) 2.2.3 Pseudo-componente gás A formulação, para o pseudo-componente gás, é a mesma que na formulação “Black Oil” convencional e é dada por: ∂ ∂t ( φ [ RsSo Bo + Sg Bg ]) +∇ · ( Rs Bo −→vo + 1 Bg −→vg ) = RgWell ρSTCg (2.58) Juntando as Eqs. (2.46), (2.57) e (2.58) são obtidas as equações conhecidas como “Formulação Black Oil Modificada”, dada por: 26 ∂ ∂t ( φSw Bw ) +∇ · ( 1 Bw .−→vw ) = RwWell ρSTCw ∂ ∂t ( φ [ 1 Bo So + Rv Bg Sg ]) +∇ · ( 1 Bo −→vo + Rv Bg −→vg ) = RoWell ρSTCo (2.59) ∂ ∂t ( φ [ RsSo Bo + Sg Bg ]) +∇ · ( Rs Bo −→vo + 1 Bg −→vg ) = RgWell ρSTCg 2.3 Formulação “Black Oil” modificada baseada nas concentrações mássicas As formulações “Black Oil” e “Black Oil Modificada” produzem um conjunto de equações onde as variáveis a serem resolvidas são as velocidades de cada fase, dada pela Lei de Darcy Modificada e as saturações de cada componente. O problema dessas formulações é que a saturação de cada componente é um número que varia entre zero e um, produzindo dificuldades computacionais na implementação. Dessa forma, pode-se escrever as saturações dos componentes em função das concentra- ções mássicas dos mesmos, que são números positivos sem limitante superior. 2.3.1 Definição das concentrações mássicas Pode-se definir as seguintes propriedades: Concentração mássica do componente i na fase j hij = Massa do Componente ina Fase j Volume Poroso (2.60) hij = mij Vp (2.61) Concentração mássica do componente i hi = Massa do Componente i Volume Poroso (2.62) hi = mi Vp = Np∑ j=1 hij (2.63) 27 Concentração mássica da fase j Hj = Massa da Fase j Volume Poroso (2.64) Hj = mj Vp = Nc∑ i=1 hij (2.65) Pode-se escrever as seguinte relações para a razão de solubilidade, Rs, e a razão de volatilidade, Rv: Rs = V STCgo V STCoo = mgo moo ρSTCo ρSTCg → Rs = hgo hoo ρSTCo ρSTCg (2.66) Rv = V STCog V STCgg = mog mgg ρSTCg ρSTCo → Rv = hog hgg ρSTCg ρSTCo (2.67) Utilizando as Eqs. (2.61), (2.63) e (2.65) é possível construir o seguinte sistema: ho = hoo + hog hg = hgo + hgg Ho = hoo + hgo Hg = hgg + hog (2.68) Com as Eqs. (2.66) - (2.68) é possível se escrever o seguinte sistema de equações lineares: 1 0 −1 1 0 0 0 1 0 0 1 −1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 −ρSTDg 0 0 ρSTDo Rv 0 ρSTDg Rs 0 0 −ρSTDo 0 0 hoo hog Ho hgo hgg Hg = 0 0 ho hg 0 0 (2.69) Resolvendo o sistema (2.69), encontram-se as seguintes relações: 28 hoo = ρSTDg ho − RvρSTDo hg ρSTDg (1− RsRv) (2.70) hgg = ρSTDo hg − RsρSTDg ho ρSTDo (1− RsRv) (2.71) hog = Rv ( ρSTDo hg − RsρSTDg ho ) ρSTDg (1−RsRv) (2.72) hgo = Rs ( ρSTDg ho − RvρSTDo hg ) ρSTDo (1−RsRv) (2.73) Ho = ( ρSTDo + ρ STD g Rs ) ( ρSTDg ho −RvρSTDo hg ) ρSTDo ρ STD g (1− RsRv) (2.74) Hg = ( ρSTDg + ρ STD o Rv ) ( ρSTDo hg −RsρSTDg ho ) ρSTDo ρ STD g (1− RsRv) (2.75) As Eqs. (2.70) - (2.75) são as concentrações mássicas do modelo “Black Oil” em função das propriedades dos fluidos. Observa-se que as deduções realizadas extendem-seao modelo “Black Oil Convencional”, se considerar Rv = 0. 2.3.2 Definiçao das saturações das fases em função das concen- trações mássicas Utilizando a definição de saturação, Eq. (1.15): So = V RCo Vp = BoV STC oo Vp (2.76) So = Bo ρSTCo hoo (2.77) Analogamente: Sg = Bg ρSTCg hgg (2.78) Sw = Bw ρSTCw hw (2.79) Substituindo as definições de concentração mássica: 29 So = Bo ( ρSTCg ho − RvρSTCo hg ) ρSTCo ρ STC g (1− RsRv) (2.80) Sg = Bg ( ρSTCo hg − RsρSTCg ho ) ρSTCo ρ STC g (1− RsRv) (2.81) Sw = Bw ρSTCw hw (2.82) Após as definições das saturações das fases água, óleo e gás, a formulação “Black Oil” baseada nas concentrações mássicas pode ser escrito substituindo as Eqs. (2.80) - (2.82) na Eq. (2.59): ∂ ∂t ( φhw ρSTCw ) +∇ · ( 1 Bw .−→vw ) = RwWell ρSTCw ∂ ∂t ( φho ρSTCo ) +∇ · ( 1 Bo −→vo + Rv Bg −→vg ) = RoWell ρSTCo (2.83) ∂ ∂t ( φhg ρSTCg ) +∇ · ( Rs Bo −→vo + 1 Bg −→vg ) = RgWell ρSTCg A equação de fechamento para a saturação deve ser escrita da seguinte forma: Bo ( ρSTCg ho −RvρSTCo hg ) ρSTCo ρ STC g (1− RsRv) + Bg ( ρSTCo hg − RsρSTCg ho ) ρSTCo ρ STC g (1− RsRv) + Bw ρSTCw hw = 1 (2.84) 30 3 Soluções dos Regimes Permanentes da Equação Radial da Difusividade Após deduzida a equação da difusividade utilizando o modelo composicional e o modelo “Black Oil”, esse capítulo tratará a solução da equação da difusividade ao redor de um poço produtor ou injetor, considerando que a pressão não varia com o tempo (regime permanente) ou considerando que a queda de pressão seja uniforme no reservatório (regime pseudo-permanente). 3.1 Equação da difusividade em coordenadas cilíndri- cas Conforme a Seção 1.5, a Eq. (1.32) governa o escoamento de um fluido multifásico em um reservatório. Repetindo essa equação por conveniência: ∂ ∂t {φSjρjωij + (1− φ) ρsωis}+∇ · ( −ρjωij ←→ K krj µj (∇Pj + ρj−→g )− φSj←→Dij∇ (ρjωij) ) = φSjrij + (1− φ) ris +RiWell Considerando que o fluido não interage com a rocha e que não há presença de termos fontes1, a Eq. (1.32) pode ser escrita como: ∂ ∂t {φSjρjωij} = ∇ · ( ρjωij ←→ K krj µj (∇Pj + ρj−→g ) + φSj←→Dij∇ (ρjωij) ) (3.1) 1Nesse caso a presença de um poço produtor ou injetor será modelado como condições de contorno da equação da difusividade. 31 Nesse caso, considera-se que o reservatório está inicialmente saturado com óleo e água conata e que essa água não se move, portanto acontece um fluxo de óleo na presença de água imóvel. Considerando que não há fluxo difusivo no reservatório e que a pressão capilar entre as fases seja nula, a Eq. (3.1) pode ser escrita para cada fase como: ∂ ∂t {φSwρw} = ∇ · ( ρw ←→ K krw µw (∇P + ρw−→g ) ) (3.2) ∂ ∂t {φSoρo} = ∇ · ( ρo ←→ K kro µo (∇P + ρo−→g ) ) (3.3) Como a água é considerada imóvel no problema, o fluxo advectivo para a água no meio poroso é nulo. Dessa forma, a Eq. (3.2) pode ser escrita como: ∂ ∂t {φSwρw} = 0 (3.4) ou seja: ∂ ∂t {φSwρw} = Sw ∂ ∂t (φρw) + φρw ∂Sw ∂t = 0 (3.5) Assim: ∂Sw ∂t = − Sw φρw ∂ ∂t (φρw) (3.6) ∂Sw ∂t = − Sw φρw [ φ ∂ρw ∂t + ρw ∂φ ∂t ] (3.7) ∂Sw ∂t = −Sw [ 1 ρw ∂ρw ∂P ∂P ∂t + 1 φ ∂φ ∂P ∂P ∂t ] (3.8) Considerando que a água e a rocha sejam pouco compressíveis, é possível utilizar o conceito de compressibilidade: cj = − 1 ρj ( ∂ρj ∂P ) T=cte (3.9) 32 Dessa forma: ∂Sw ∂t = −Sw [cw + cf ] ∂P ∂t (3.10) onde cw e cf são, respectivamente, as compressibilidades da água e da formação. Assumindo que o meio poroso seja saturado somente com óleo e água: So + Sw = 1 (3.11) ∂So ∂t = −∂Sw ∂t (3.12) Logo a Eq. (3.10) pode ser escrita como: ∂So ∂t = Sw ∂P ∂t [cw + cf ] (3.13) Derivando o lado esquerdo da Eq. (3.3): ∂ ∂t (φSoρo) = Soρo ∂φ ∂t + φSo ∂ρo ∂t + φρo ∂So ∂t (3.14) Utilizando novamente os conceitos de compressibilidade: ∂ ∂t (φSoρo) = Soρocfφ ∂P ∂t + φSoρoco ∂P ∂t + φρo ∂So ∂t (3.15) Substituindo a Eq. (3.13): ∂ ∂t (φSoρo) = Soρocfφ ∂P ∂t + φSoρoco ∂P ∂t + φρoSw [cw + cf ] ∂P ∂t (3.16) Rearranjando: ∂ ∂t (φSoρo) = ρoφ ∂P ∂t (cf + Soco + Swcw) (3.17) Definindo a compressibilidade efetiva do sistema como: ct = cf + Soco + Swcw (3.18) 33 a Eq. (3.17) é escrita como: ∂ ∂t (φSoρo) = ctρoφ ∂P ∂t (3.19) Substituindo a Eq. (3.19) na Eq. (3.3): ctρoφ ∂P ∂t = ∇ · ( ρo ←→ K kro µo (∇P + ρo−→g ) ) (3.20) Considerando o meio isotrópico e homogêneo, o tensor de permeabilidades pode ser aproximado por uma permeabilidade média. Considerando o fluido levemente compressível, é possível dizer que o fator volume-formação do fluido e a viscosidade não variam com a pressão, dessa forma: ∂P ∂t = Ko ctφµo ∇ · (∇P + ρo−→g ) (3.21) onde Ko = K.kro. A Eq. (3.21) é valida para qualquer sistema de coordenadas. A Fig. 6 mostra um esboço do problema estudado. É possível perceber que a utilização de coordenadas cilíndricas é mais adequada ao problema. Figura 6: Escoamento ao redor de um poço. O gradiente da pressão em coordenadas cilíndricas é dado por: ∇P = 〈 ∂P ∂r ; 1 r ∂P ∂θ ; ∂P ∂z 〉 (3.22) Considerando o escoamento totalmente radial, a gravidade não influencia no es- 34 coamento, e a queda de pressão se dá apenas na direção radial, assim: ∇P = 〈 ∂P ∂r ; 0; 0 〉 (3.23) −→g = 〈0; 0; 0〉 (3.24) Assim a Eq. (3.21) fica escrita como: ∂P ∂t = Ko ctφµo ∇ · 〈 ∂P ∂r ; 0; 0 〉 (3.25) O produto interno em coordenadas cilíndricas para um vetor qualquer −→b é definido como: ∇ · −→b = 〈 1 r ∂ (rbr) ∂r ; 1 r ∂ (bθ) ∂θ ; ∂bz ∂z 〉 (3.26) Dessa forma a Eq. (3.25) adquire a seguinte forma: 1 r [ ∂ ∂r ( r ∂P ∂r )] = ctφµo Ko ∂P ∂t (3.27) A Eq. (3.27) é a equação da difusividade na forma radial, utilizada quando se deseja estudar o comportamento do fluxo no reservatório nas regiões próximas ao poço. Nas próximas seções serão estudadas algumas soluções dessa equação. 3.2 Solução do regime permanente O regime permanente é caracterizado pela não variação da pressão com o tempo de produção (ROSA et al., 2006). Esse padrão de escoamento é muito raro, ocorrendo quando o reservatório é muito grande, ou quando existe uma alimentação externa do reservatório causado por um aquífero. Como a pressão não varia com o tempo: ∂P ∂t = 0 (3.28) Assim o problema pode ser escrito da seguinte forma: 35 ∂ ∂r ( r ∂P ∂r ) = 0 (E.D.P) P (r, t0) = Pi (C.I.) (3.29) P (re, t) = Pi (C.C.E) P (rwell, t) = Pwf (C.C.I) 3.2.1 Solução da pressão no regime permanente Na Eq. (3.29), a sigla E.D.P mostra a equação diferencial parcial que será resol- vida2; C.I. indica a condição inicial do reservatório, e expressa que no tempo inicial a pressão de todo o reservatório era constante; C.C.E expressa a condição de contorno externa, nesse caso a pressão na fronteira externa é igual a pressão inicial do reser- vatório; e C.C.I é a condição de contorno interna, e nesse caso indica que a pressão na face do poço é constante. Utilizando a “Lei de Darcy” na condição de contorno interna, e considerando que no regime transiente a vazão no poço é constante: qSTCo = 2piKoh Boµ ( r ∂P ∂r ) (3.30) Será utilizada a seguinte convenção: a vazão produzida pelo poço é positiva e a vazão injetada é negativa. Resolvendo a Eq. (3.29): ( r ∂P ∂r ) = cte (3.31) Utilizando a Eq. (3.30): ( r ∂P∂r ) = qSTCo Boµ 2piKoh (3.32) P (r)ˆ P (rw) dP = qSTCo Boµ 2piKoh rˆ rw 1 r dr (3.33) 2De fato a Eq. (3.29) é uma equação diferencial ordinária, mas está sendo tratada como uma equação diferencial parcial a fim de generalizar o problema. 36 Assim: P (r, t) = Pwf + qSTCo Boµ 2piKoh ln ( r rw ) (3.34) que pode ser escrito da seguinte forma: P (r) = Pwf + qSTCo Boµ 2piKoh ln ( r rw ) (3.35) A Fig. 7 mostra como varia a pressão em função da distância radial do reservatório. É possível observar que a pressão cai do valor da pressão inicial (raio externo do reservatório) até o valor de pressão no fundo do poço (raio do poço). Figura 7: Variação da pressão em função da distância radial do centro do poço, para um reservatório produzindo no regime permanente. 3.2.2 Pressão média no regime permanente Uma outra forma de se escrever essa equação é com base na pressão média do reservatório, que é um parâmetro fácil de se obter em testes de pressão. A pressão média em um ponto com distância r do centro do poço é definida com base em uma média ponderada no volume compreendido entre o raio do poço e o raio r: P (r, t) = ´ r rw P (r, t)dV´ r rw dV (3.36) onde V é o volume poroso de todo o reservatório, definido por: V = φhpi ( r2 − r2w ) (3.37) 37 Dessa forma a Eq. (3.36) pode ser escrita como: P (r, t) = 2pihφ ´ r rw P (r, t)rdr 2pihφ ´ r rw rdr (3.38) P (r, t) = ( 2 r2 − r2w ) ˆ r rw P (r, t)rdr (3.39) Substituindo a Eq. (3.34): P (r, t) = ( 2 r2 − r2w ) ˆ r rwell [ Pwf + qSTCo Boµ 2piKoh ln ( r rw )] rdr (3.40) P (r, t) = Pwf + qSTCo Boµ (r2 − r2w)piKoh ˆ r rw ln ( r rw ) rdr (3.41) Utilizando integral por partes: P (r, t) = Pwf + qSTCo Boµ 2piKoh [ ln ( r rw ) r2 (r2 − r2w) − 1 2 ] (3.42) A Eq. (3.42) mostra a pressão média em cada ponto do reservatório. Observe que não existe termo temporal nessa equação, o que significa que a pressão não varia com o tempo (regime permanente). Essa equação pode ser simplificada quando o raio investigado é muito maior que o raio do poço (r ≫ rw), ou seja: r2 (r2 − r2w) ≈ 1 (3.43) . Dessa maneira a Eq. (3.42) fica escrita como: P (r, t) = Pwf + qSTCo Boµ 2piKoh [ ln ( r rw ) − 1 2 ] (3.44) que é a forma comumente encontrada nos livros de engenharia de reservatório. 3.3 Solução do regime pseudo-permanente O regime pseudo-permanente é uma aproximação muito útil, onde se assume que a queda de pressão em todos os pontos do reservatório é constante com o tempo 38 (ROSA et al., 2006). A Fig. 8 mostra uma representação esquemática da variação da pressão nesse regime. É possível perceber que uma vez que o reservatório atinge um perfil de produção, todos os pontos decaem com o mesmo perfil. Esse regime é válido quando um reservatório produz com mecanismo de gás em solução, para tempos suficientemente longos. Figura 8: Variação da pressão em função da distância radial do centro do poço, para um reservatório produzindo no regime pseudo-permanente (ROSA et al., 2006). A queda de pressão no reservatório é constante, assim: ∂P ∂t = α (3.45) onde α é uma constante qualquer. Como o reservatório é selado, não há fluxo na fronteira externa, desse modo: q (re) = 0 (3.46) Utilizando a Lei de Darcy: 2piKoh µ ( r ∂P ∂r )∣∣∣∣ r=re = 0 (3.47) ( r ∂P ∂r )∣∣∣∣ r=re = 0 (3.48) Assim, o sistema que governa o regime pseudo-permanente é dado por: 39 1 r [ ∂ ∂r ( r ∂P ∂r )] = ctφµo Ko ∂P ∂t (E.D.P) P (r, t0) = Pi (C.I.) (3.49) ∂P ∂r ∣∣∣∣ r=re = 0 (C.C.E) P (rw, t) = Pwf(t) (C.C.I) 3.3.1 Solução da pressão no regime pseudo-permanente: A Eq. (3.49) pode ser escrita da seguinte forma: ∂ ∂r ( r ∂P ∂r ) = ctφµoα Ko r (3.50) Integrando os dois lados da equação entre o poço e o limite do reservatório: reˆ rw ∂ ∂r ( r ∂P ∂r ) dr = reˆ rw ctφµoα Ko r.dr (3.51) ( r ∂P ∂r )∣∣∣∣ r=re − ( r ∂P ∂r )∣∣∣∣ r=rw = ctφµoα Ko (r2e − r2w) 2 (3.52) Utilizando a Lei de Darcy: qSTCo = 2piKoh Boµ ( r ∂P ∂r )∣∣∣∣ r=rw (3.53) qSTCo Boµ 2piKoh = −ctφµoα Ko (r2e − r2w) 2 (3.54) Logo: α = − q STC o Bo ctpiφh (r2e − r2w) (3.55) Note que piφh (r2e − r2w) é o volume poroso do reservatório, logo a Eq. (3.55) ex- pressa o balanço de materiais nesse reservatório. Resolvendo a E.D.P.: 40 ∂ ∂r ( r ∂P ∂r ) = − q STC o Boµo pih (r2e − r2w)Ko r (3.56) r ∂P ∂r = − q STC o Boµo pih (r2e − r2w)Ko r2 2 + C1 (3.57) Utilizando a condição de contorno externa: C1 = qSTCo Boµo pih (r2e − r2w)Ko r2e 2 (3.58) Assim: ∂P ∂r = qSTCo Boµo 2pih (r2e − r2w)Ko ( r2e r − r ) (3.59) Integrando entre o poço e um raio qualquer: P (r)ˆ Pwf (t) dP = rˆ rw qSTCo Boµo 2pih (r2e − r2w)Ko ( r2e r − r ) dr (3.60) P (r) = Pwf(t) + qSTCo Boµo 2pihKo [ r2e (r2e − r2w) ln ( r rw ) − 1 2 (r2 − r2w) (r2e − r2w) ] (3.61) A Eq. (3.61) expressa a variação da pressão em função do raio para um reserva- tório no regime pseudo-permanente. 3.3.2 Pressão média no regime pseudo-permanente Da mesma forma que no regime permanente, a pressão média em um ponto do reservatório é um parâmetro muito mais fácil de ser medido através de um teste de pressão. Dessa forma, utilizando o conceito de pressão média: P (r) = ´ r rw P (r)dV´ r rw dV = 2 (r2 − r2w) ˆ r rw P (r)rdr (3.62) Utilizando a Eq. (3.61): 41 P (r) = 2 (r2 − r2w) ˆ r rw { Pwf(t)+ + qSTDo Boµo 2pihKo [ r2e (r2e − r2w) ln ( r rw ) − 1 2 (r2 − r2w) (r2e − r2w) ]} rdr (3.63) Rearranjando a equação: P (r) = 2 (r2 − r2w) ˆ r rw { rPwf(t) + qSTDo Boµo 2pihKo r2e (r2e − r2w) [ r. ln ( r rw )] − q STD o Boµo 4pihKo (r2e − r2w) [ r ( r2 − r2w )]} dr (3.64) É possível dividir a integra da Eq. (3.64) em três integrais: I1 = rˆ rw rPwf(t)dr (3.65) I2 = rˆ rw qSTDo Boµo 2pihKo r2e (r2e − r2w) ( r ln ( r rw )) dr (3.66) I3 = − rˆ rw qSTDo Boµo 4pihKo (r2e − r2w) [ r ( r2 − r2w )] dr (3.67) Resolvendo as integrais, chega-se aos seguintes resultados: I1 = Pwf(t) 2 ( r2 − r2w ) (3.68) I2 = qSTDo Boµo 2pihKo r2e (r2e − r2w) [ r2 2 ln ( r rw ) − 1 4 ( r2 − r2w )] (3.69) I3 = −q STD o Boµo 16pihKo [ (r2 − r2w)2 (r2e − r2w) ] (3.70) Substituindo os valores das integrais na Eq. (3.64): 42 P (r) = 2 (r2 − r2w) { Pwf(t) 2 ( r2 − r2w ) + qSTDo Boµo 2pihKo r2e (r2e − r2w) [ r2 2 ln ( r rw ) − 1 4 ( r2 − r2w )] − µoq STD o Bo 16pihKo [ (r2 − r2w)2 (r2e − r2w) ]} (3.71) P (r) = Pwf(t) + qSTDo Boµo 2pihKo r2e (r2e − r2w) [ r2 (r2 − r2w) ln ( r rw ) − 1 2 ] − µoq STD o Bo 8pihKo [ (r2 − r2w) (r2e − r2w) ] (3.72) Simplificando: P (r) = Pwf(t) + qSTDo Boµo 2piKoh r2e (r2e − r2w) [ r2 (r2 − r2w) ln ( r rw ) − 1 4 (r2 − r2w) r2e − 1 2 ] (3.73) A Eq. (3.73) expressa a pressão média em função do raio do reservatório, para o regime pseudo-permanente. Essa equação pode ser simplificada utilizando-se a seguinte aproximação: r2 (r2 − r2well) ≈ 1 (3.74) De fato essa aproximação é valida quando r ≫ rwell. Dessa maneira a Eq. (3.73) adquire a seguinte forma: P (r) = Pwf(t) + qSTDo Boµo 2piKoh [ ln ( r rw) − 3 4 ] (3.75) que é a expressão comumente apresentada nos livros de engenharia de reservatórios. 43 3.3.3 Pressão em função do raio e do tempo no regime pseudo- permanente Como pode ser observado nas Eqs. (3.61) e (3.73), o termo Pwf(t) é função do tempo de abertura do reservatório. Como definido anteriormente, a queda de pressão em função do tempo no reservatório é constante, dessa forma: ∂P ∂t = ∂P ∂t = α (3.76) onde P é a pressão média de todo o reservatório. Substituindo o valor de α: ∂P ∂t = − q STD o Bo ctpiφh (r2e − r2w) (3.77) Integrando a equação: P (t)ˆ Pi dP = − tˆ 0 qSTDo Bo ctpiφh (r2e − r2w) dt (3.78) onde Pi é a pressão inicial do reservatório. Dessa forma, a pressão média do reserva- tório em função do tempo é dada por: P (t) = Pi − q STD o Bo ctpiφh (r2e − r2w) t (3.79) A pressão média de todo o reservatório variando no tempo, deve ser igual a pres- são média de todo o reservatório variando com a distância radial, ou seja: P (t) = P (re) (3.80) Substituindo a Eq. (3.73): Pi − q STD o Bo ctpiφh (r2e − r2w) t = Pwf(t) + qSTDo Boµo 2piKoh r2e (r2e − r2w) [ r2e (r2e − r2w) ln ( re rw ) − 1 4 (r2e − r2w) r2e − 1 2 ] (3.81) 44 Pwf(t) = Pi − q STD o Boµo 2piKoh r2e (r2e − r2w) [ r2e (r2e − r2w) ln ( re rw ) − 1 4 (r2e − r2w) r2e − 1 2 ] − q STD o Bo ctpiφh (r2e − r2w) t (3.82) A Eq. (3.82) expressa a pressão na face do poço em função do tempo de abertura do reservatório. Dessa forma, combinando as Eqs. (3.82) e (3.61) é possível encontrar um expressão que calcula a pressão em qualquer ponto do reservatório e em qualquer tempo de produção: P (r, t) = Pi − q STD o Boµo 2piKoh r2e (r2e − r2w) [ r2e (r2e − r2w) ln ( re rw ) − 1 4 (r2e − r2w) r2e + ln ( r rw ) − 1 2 (r2 − r2w) r2e − 1 2 ] − q STD o Bo ctpiφh (r2e − r2w) t (3.83) 45 4 Solução do Regime Transiente da Equação Radial da Difusividade A solução do regime transiente foi colocada em um capítulo a parte devido a com- plexidade matemática das deduções e principalmente porque as soluções desenvol- vidas para esse regime possuem aplicações práticas na análise de testes de pressão em poços de petróleo. As soluções desenvolvidas nesse capítulo são independentes do sistema de unidades utilizado e das dimensões e propriedades do reservatório. Dessa forma, uma boa prática é se desenvolver uma forma adimensional da equação da difusividade, onde as soluções serão válidas para qualquer sistema de unidades. 4.1 Adimensionalização da equação da difusividade ra- dial A Equação da Difusividade em coordenadas radiais, Eq. (3.27), foi definida como: 1 r [ ∂ ∂r ( r ∂P ∂r )] = ctφµo Ko ∂P ∂t (4.1) O sistema de variáveis serão modificados da seguinte forma: P t r η ↓ ↓ ↓ ↓ PD tD rD 1 (4.2) onde o subscrito D indica que a variável está na forma adimensional e η é a constante de difusividade, definida como: 46 η = Ko ctφµo (4.3) 4.1.1 Adimensionalização do raio (r) O raio r pode ser escrito na forma adimensional utilizando-se o raio do poço como parâmetro, da seguinte forma: rD = r rw (4.4) Dessa forma, utilizando-se a regra da cadeia, a derivada parcial da pressão em relação ao raio adimensional pode ser escrito como: ∂P ∂r = ∂P ∂rD ∂rD ∂r = 1 rw ∂P ∂rD (4.5) Substituindo na Eq. (4.1): 1 rwrD [ ∂ ∂r ( rD ∂P ∂rD )] = ctφµo Ko ∂P ∂t ∂ ∂t ( φ [ RsSo Bo + Sg Bg ]) +∇· ( Rs Bo −→vo + 1 Bg −→vg ) = RgWell ρSTCg (4.6) Derivando novamente em relação ao raio adimensional: ∂ ∂r ( rD ∂P ∂rD ) = ∂ ∂rD ( rD ∂P ∂rD ) ∂rD ∂r = 1 rw ∂ ∂rD ( rD ∂P ∂rD ) (4.7) Assim a Equação da Difusividade com o raio adimensional pode ser escrita como: 1 r2wrD [ ∂ ∂rD ( rD ∂P ∂rD )] = ctφµo Ko ∂P ∂t ∂ ∂t ( φ [ RsSo Bo + Sg Bg ]) +∇· ( Rs Bo −→vo + 1 Bg −→vg ) = RgWell ρSTCg (4.8) 4.1.2 Adimensionalização do tempo (t) Para se adimensionalizar o tempo, observa-se que a seguinte constante possui dimensão de tempo: 47 [ r2w η ] = [ r2wctφµo Ko ] = [L2] [P−1] [1] [P.T ] [L2] = [T ] (4.9) onde L, P e T expressam as dimensões de comprimento, pressão e tempo, respecti- vamente. Dessa forma: tD = t( r2wctφµo Ko ) (4.10) Derivando a pressão em relação ao tempo adimensional: ∂P ∂t = ∂P ∂tD ∂tD ∂t = Ko r2wctφµo ∂P ∂tD (4.11) Substituindo na Eq. (4.8): 1 rD [ ∂ ∂rD ( rD ∂P ∂rD )] = ∂P ∂tD (4.12) 4.1.3 Adimensionalização da pressão (P ) Para se adimensionalizar a pressão, utiliza-se a Lei de Darcy radial calculada no poço: qSTCo = 2piKoh Boµ ( r ∂P ∂r )∣∣∣∣ r=rw (4.13) Adimensionalizando o raio: qSTCo = 2piKoh Boµ ( rD ∂P ∂rD )∣∣∣∣ rD=1 (4.14) ( rD ∂P ∂rD )∣∣∣∣ rD=1 = qSTCo Boµ 2piKoh (4.15) Logo, observa-se que o lado direito da equação possui dimensão de pressão. Em aplicações práticas, é melhor trabalhar com a variação da pressão do que com a pressão no reservatório, dessa forma seria interessante se escrever a pressão adi- mensional em função de ∆P , onde: 48 ∆P = Pi − P (r, t) (4.16) Como a vazão produzida pelo poço é positiva e a vazão injetada é negativa. a pressão pode ser adimensionalizada da seguinte forma: PD = −(Pi − P ) 2piKoh qSTDo Boµ (4.17) Calculando as derivadas parciais da pressão em relação ao tempo e ao raio adi- mensionais: ∂P ∂tD = ∂P ∂PD ∂PD ∂tD = qSTDo Boµ 2piKoh ∂PD ∂tD (4.18) ∂P ∂rD = ∂P ∂PD ∂PD ∂rD = qSTDo Boµ 2piKoh ∂PD ∂rD (4.19) Substituindo na Eq. (4.12): 1 rD [ ∂ ∂rD ( rD ∂PD ∂rD )] = ∂PD ∂tD (4.20) A Eq. (4.20) representa a equação da difusividade na forma radial adimensional, observa-se que ela é muito parecida com a forma dimensional. O próximo passo é adimensionalizar as condições de contorno. 4.1.4 Adimensionalização das condições de contorno A condição inicial para o reservatório pode ser escrita como: PD (rD, tD = 0) = 0 (4.21) A condição de contorno interna, considerando vazão constante, pode ser escrita como: ( rD ∂PD ∂rD )∣∣∣∣ rD=1 = −1 (4.22) A condição de contorno externa para uma reservatório infinito pode ser escrita como: 49 lim rD→∞ PD (rD, tD) = 0 (4.23) Observa-se que as condições de contorno são todas lineares, dessa forma o sistema de adimensionalização escolhido foi capaz de simplificar o problema matemático. 4.1.5 Sistema de unidades A Eq. (4.1) está deduzida no sistema internacional de unidades. Esse sistema de unidades não é muito prático na indústria do petróleo. Assim, devem ser impostas as seguintes conversões de unidades: a = caqBoµ 2pih (4.24) η = cbk φµct (4.25) CD = C cacb (4.26) onde CD é o coeficiente de estocagem adimensional que será definido com detalhes no Capítulo 5. Os coeficientes ca e cb são os coeficientes de conversão de unidades e possuem os seguintes valores: Sistema de unidades Petrobras (PETROSI): ca = 119.5690cb = 3.484e− 4 (4.27) Sistema de unidades americano (OILFIELD): ca = 887.1860cb = 2.6374e− 4 (4.28) 50 4.2 Solução do tipo linha-fonte (Transformada de Boltz- mann) A aproximação da linha-fonte considera que o raio do reservatório é muito maior que o raio do poço, desse modo, o poço pode ser visto como sendo apenas uma linha produzindo ou injetando fluidos no reservatório. Utilizando essas aproximações, é possívelse escrever o seguinte conjunto de equações para esse problema: 1 rD [ ∂ ∂rD ( rD ∂PD ∂rD )] = ∂PD ∂tD (E.D.P.) PD (rD, tD = 0) = 0 (C.I.) (4.29) lim rD→∞ PD (rD, tD) = 0 (C.C.E)( rD ∂PD ∂rD )∣∣∣∣ rD→0 = −1 (C.C.I) 4.2.1 Definição da equação da difusividade na forma de Boltz- mann A transformada de Boltzmann consiste em se encontrar uma solução da E.D.P. da forma P = P (ξ), onde: ξ = ArBDt C D (4.30) sendo A, B e C constantes reais. Calculando as derivadas parciais em relação ao tempo e ao raio adimensionais: ∂PD (ξ) ∂tD = ∂PD (ξ) ∂ξ ∂ξ ∂tD = ACrBDt (C−1) D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.31) ∂PD (ξ) ∂rD = ∂PD (ξ) ∂ξ ∂ξ ∂rD = ABr (B−1) D t C D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.32) Substituindo as derivadas parciais na Eq.(4.29): 1 rD [ ∂ ∂rD ( rDABr (B−1) D t C D ∂PD (ξ) ∂ξ )] = ACrBDt (C−1) D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.33) 51 1 rD [ ∂ ∂rD ( ABrBDt C D ∂PD (ξ) ∂ξ )] = ACrBDt (C−1) D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.34) [ ∂ ∂rD ( Bξ ∂PD (ξ) ∂ξ )] = ACrB+1D t (C−1) D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.35) [ ∂ ∂rD ( ξ ∂PD (ξ) ∂ξ )] = AB−1CrB+1D t (C−1) D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.36) Utilizando a regra do produto: [ ξ ∂ ∂rD ( ∂PD (ξ) ∂ξ ) + ∂ξ ∂rD ∂PD (ξ) ∂ξ ] = AB−1CrB+1D t (C−1) D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.37) [ ξ ( ∂2PD (ξ) ∂ξ2 ∂ξ ∂rD ) + ∂ξ ∂rD ∂PD (ξ) ∂ξ ] = AB−1CrB+1D t (C−1) D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.38) ∂ξ ∂rD [ ξ ( ∂2PD (ξ) ∂ξ2 ) + ∂PD (ξ) ∂ξ ] = AB−1CrB+1D t (C−1) D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.39) ABr (B−1) D t C D [ ξ ∂2PD (ξ) ∂ξ2 + ∂PD (ξ) ∂ξ ] = AB−1CrB+1D t (C−1) D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.40) [ ξ ∂2PD (ξ) ∂ξ2 + ∂PD (ξ) ∂ξ ] = B−2Cr2Dt −1 D ∂PD (ξ) ∂ξ (4.41) ξ ∂2PD (ξ) ∂ξ2 + ∂PD (ξ) ∂ξ ( 1−B−2Cr2Dt−1D ) = 0 (4.42) Fazendo a seguinte substituição: ξN = −B−2Cr2Dt−1D (4.43) Dessa forma, a Eq. (4.42) pode ser escrita como: ξ ∂2PD (ξ) ∂ξ2 + ∂PD (ξ) ∂ξ ( 1 + ξN ) = 0 (4.44) onde: 52 ξ = N √ B−2 (−C) r2Dt−1D (4.45) Comparando com a Eq. (4.30): B −2 N (−C) 1N r 2 N D t −1 N D = Ar B Dt C D (4.46) Encontra-se os seguintes valores das constantes A, B e C: A = B −2 N (−C) 1N = ( 2 N )−2 N ( 1 N ) 1 N (4.47) B = 2 N (4.48) C = − 1 N (4.49) Observa-se que a Eq. (4.44) é uma E.D.O. de segunda ordem, assim, com a transformada de Boltzmann foi possível se transformar uma E.D.P. de segunda ordem em uma E.D.O. de segunda ordem. Para se completar o sistema de equações do problema é necessário se escrever as condições de contorno na forma de Boltzmann: • Condição de Contorno Interna C.C.I.: lim rD→0 ( rD ∂PD (ξ) ∂rD ) = −1 (4.50) lim rD→0 ( rD ∂PD (ξ) ∂ξ ∂ξ ∂rD ) = −1 (4.51) lim rD→0 ( Bξ ∂PD (ξ) ∂ξ ) = −1 (4.52) Observa-se que quando rD → 0, ξ → 0, assim: lim ξ→0 ( ξ ∂PD (ξ) ∂ξ ) = − 1 B (4.53) 53 • Condição de Contorno Externa C.C.E.: lim rD→∞ PD (ξ) = 0 (4.54) Quando rD →∞, ξ →∞, assim: lim ξ→∞ PD (ξ) = 0 (4.55) 4.2.2 Solução da equação da difusividade na forma de Boltzmann Utilizando as equações desenvolvidas anteriormente, é possível se escrever o se- guinte conjunto de equações: ξ d2PD (ξ) dξ2 + dPD (ξ) dξ ( 1 + ξN ) = 0 (E.D.O) lim ξ→0 ( ξ dPD (ξ) dξ ) = − 1 B (C.C.I) (4.56) lim ξ→∞ PD (ξ) = 0 (C.C.E) Para se resolver a Eq. (4.56), utiliza-se a seguinte transformação: y = dPD (ξ) dξ (4.57) Dessa forma: ξ dy dξ + y ( 1 + ξN ) = 0 (4.58) [ 1 ξ + ξ(N−1) ] dξ = −1 y dy (4.59) Como N é um número inteiro positivo, é possível se integrar a Eq. (4.59)1: ln (ξ) + ξN N + C0 = −ln (y) (4.60) 1De fato a EDP original não depende de N , logo a solução da Eq. (4.59) também não depende. Assim, uma forma mais fácil de se resolver essa equação é considerar N = 1. 54 y = C0 ξ e −1 N ξN (4.61) Utilizando a condição de contorno interna: lim ξ→0 ( C0e −1 N ξN ) = − 1 B (4.62) C0 = − 1 B (4.63) Dessa forma: y = dPD (ξ) dξ = − 1 Bξ e −1 N ξN (4.64) B.dPD = −1 ξ e −1 N ξNdξ (4.65) Integrando, e utilizando a condição de contorno externa: PDˆ 0 B.dPD = − ξˆ ∞ 1 ξ e −1 N ξNdξ (4.66) Para se facilitar esse cálculo, é possível se definir a seguinte substituição: ξN N = µ (4.67) ξ(N−1)dξ = dµ (4.68) Assim, a Eq. (4.66) pode ser escrita como: B.PD = − µˆ ∞ 1 ξN e−µdµ = − µˆ ∞ 1 Nµ e−µdµ (4.69) Utilizando a definição de B (Eq. (4.48)): 55 PD = 1 2 ∞ˆ µ 1 µ e−µdµ (4.70) A Eq. (4.70) é conhecida como função exponencial integral, descrita no Apêndice A, tal que: 1 2 ∞ˆ µ 1 µ e−µdµ = −1 2 Ei(−µ) (4.71) Lembrando que: µ = ξN N = r2D 4tD (4.72) Logo, a pressão adimensional é dada por: PD (rD, tD) = −1 2 Ei ( − r 2 D 4tD ) (4.73) A Eq. (4.73) expressa a solução do regime transiente em coordenadas radiais adimensionais, utilizando-se a aproximação da linha-fonte. Observa-se que a solução não depende do valor de N utilizado, o que de fato é uma verdade pois a substituição de Boltzmann não poderia afetar a solução da equação original. Utilizando a apro- ximação logarítmica para a função exponencial integral, conforme o Apêndice A, a solução aproximada pode ser escrita como: PD (rD, tD) ≈ 1 2 ln ( 4tD eγr2D ) (4.74) onde γ é a constante de Euler-Mascheroni, cujo valor numérico é γ ≈ 0, 5772156649. A Fig. 9 compara a solução exata, dada pela função exponencial integral, com a solução dada pela aproximação logarítmica em função do parâmetro tD/r2D. É possível perceber que a medida que o tempo avança, os erros introduzidos pela aproximação logarítmica diminuem. 56 Figura 9: Comparação entre a solução exata, e a solução dada pela aproximação logarítmica. 4.3 Solução do tipo linha-fonte (Transformada de La- place) A solução do tipo linha-fonte será deduzida novamente, porém utilizando-se a transformada de Laplace para se verificar que é um método eficiente de solução de equações diferenciais parciais. A transformada de Laplace está discutida no Anexo B. 4.3.1 Equação da difusividade no campo de Laplace O problema da equação da difusividade transiente, utilizando-se a aproximação da linha-fonte em coordenadas adimensionais é dada pela Eq. (4.29), repetido aqui por conveniência. 57 1 rD [ ∂ ∂rD ( rD ∂PD ∂rD )] = ∂PD ∂tD (E.D.P) PD (rD, tD = 0) = 0 (C.I.) (4.75) lim rD→∞ PD (rD, tD) = 0 (C.C.E)( rD ∂PD ∂rD )∣∣∣∣ rD→0 = −1 (C.C.I) Para se resolver essa equação no campo de Laplace, a equação e as condições de contorno devem ser convertidas para o campo de Laplace. A transformada de Laplace leva a variável tD, tempo adimensional, para o campo de Laplace, aplicando a seguinte transformação linear, tem-se: L{PD(rD, tD)} = PD(rD, u) (4.76) onde u é a variável correspondente ao tempo no campo de Laplace. Uma das proprie- dades úteis da transformada de Laplace é a transformada da função derivada, definida como: L { ∂PD (rD, tD) ∂rD } = ∂PD ∂rD == uPD(rD, u)− PD(rD, tD = 0) (4.77) Como observado, a transformada de Laplace só afeta as funções que dependem do tempo adimensional. Aplicando a transformada na equação diferencial parcial: 1 rD [ ∂ ∂rD ( rD ∂PD ∂rD )] = L { ∂PD ∂tD } = uPD(rD, u)− PD(rD, tD = 0) (4.78) Aplicando a transformada de Laplace em todas as condições de contorno: 1 rD [ ∂ ∂rD( rD ∂PD ∂rD )] = uPD(rD, u)− PD(rD, tD = 0) (E.D.P) PD (rD, u = 0) = 0 (C.I.) (4.79) lim rD→∞ PD (rD, u) = 0 (C.C.E)( rD ∂PD ∂rD )∣∣∣∣ rD→0 = −1 u (C.C.I) 58 A Eq. (4.79) é a equação que governa o problema do escoamento radial infinito, utilizando-se a aproximação do tipo linha-fonte. 4.3.2 Solução da equação da difusividade no campo de Laplace Utilizando a regra do produto na derivada da Eq. (4.79): ∂2PD ∂r2D + 1 rD ∂PD ∂rD = uPD(rD, u)− PD(rD, tD = 0) (4.80) Como a pressão adimensional no inicio do problema é nula (condição inicial no campo real), tem-se: ∂2PD ∂r2D + 1 rD ∂PD ∂rD = uPD(rD, u) (4.81) A fim de obter uma E.D.P. cuja solução é conhecida, deve-se fazer a seguinte substituição de variáveis: z = rD √ u (4.82) Assim: ∂PD (rD, u) ∂rD = ∂PD (z) ∂z ∂z ∂rD = √ u ∂PD (z) ∂z (4.83) ∂2PD (rD, u) ∂r2D = u ∂2PD (z) ∂z2 (4.84) Substituindo na Eq. (4.81): u ∂2PD (z) ∂z2 + u z ∂PD (z) ∂z = uPD(rD, u) (4.85) z2 ∂2PD (z) ∂z2 + z ∂PD (z) ∂z − z2PD(rD, u) = 0 (4.86) A Eq. (4.86) é a equação modificada de Bessel de ordem zero, discutida no Anexo C. Sua solução é dada por: 59 PD (z) = AI0 (z) +BK0 (z) (4.87) onde A e B são duas constantes reais e positivas. Para se determinar o valor dessas constantes é necessário se utilizar as condições de contorno. Utilizando a condição de contorno externa: lim rD→∞ PD (rD, u) = lim z→∞ PD (z) = 0 (4.88) Como a função I0 (z) tende ao infinito quando seu argumento tende ao infinito, a constante A deve ser igual a zero. Assim: PD (z) = BK0 (z) (4.89) Utilizando a condição de contorno interna: ( rD ∂PD ∂rD )∣∣∣∣ rD→0 = −1 u (4.90) ( z ∂PD (z) ∂z )∣∣∣∣ z→0 = −1 u (4.91) As derivadas das funções de Bessel estão descritas no Anexo C, dessa forma: (−B.z.K1 (z))|z→0 = − 1 u (4.92) B (z.K1 (z))|z→0 = 1 u (4.93) De acordo com Abramowitz e Stegun (1964): lim z→0 (z.K1(z)) = 1 (4.94) Daí: B = 1 u (4.95) 60 Substituindo o valor de B na Eq. (4.89), tem-se: PD (rD, u) = 1 u K0 ( rD √ u ) (4.96) A Eq. (4.96) expressa a variação da pressão adimensional no campo de Laplace, para um reservatório radial e infinito, considerando a aproximação do tipo linha-fonte. Na próxima seção será utilizada a transformada inversa de Laplace para se escrever a solução no campo real. 4.3.3 Transformada inversa da solução linha-fonte no campo de Laplace Para se inverter a Eq. (4.96), aplica-se a propriedade da transformada de Laplace em uma função do tipo integral, definido por: L tˆ 0 f(α)dα = 1uL{f(t)} (4.97) Se considerarmos que: PD (rD, u) = L{PD (rD, tD)} = 1 u L{f(t)} (4.98) Então: PD (rD, tD) = tˆ 0 f(α)dα (4.99) Substituindo a Eq. (4.96): PD (rD, tD) = tˆ 0 L−1 {K0 (rD√u)} dα (4.100) Mas, como pode ser visto no Anexo B: L−1 {K0 (rD√u)} = 1 2tD exp ( − r 2 D 4tD ) (4.101) 61 Assim: PD (rD, tD) = tDˆ 0 1 2tD exp ( − r 2 D 4tD ) dtD (4.102) Substituindo, µ = r2D 4tD → dµ = − r 2 D 4t2D dtD = −µdtD tD (4.103) PD (rD, tD) = −1 2 tDˆ 0 1 µ e−µdµ (4.104) A Eq. (4.104) é a função exponencial integral, discutida no Anexo A, dessa forma, a solução da pressão adimensional calculada pela transformada de Laplace, é dada por: PD = −1 2 Ei ( − r 2 D 4tD ) (4.105) Observa-se que é o mesmo resultado obtido através da transformada de Boltz- mann, o que já era esperado, pois o método de solução de uma E.D.P. não pode influenciar no resultado. 4.4 Algoritimo de Gaver-Stehfest A solução da pressão adimensional no campo de Laplace , Eq. (4.96), foi invertida para o espaço real utilizando-se métodos analíticos de cálculo. Porém, a maioria das soluções que serão encontradas são muito complexas para serem invertidas. Para se resolver esse problema, alguns autores desenvolveram técnicas numéricas de inver- são de uma função no campo de Laplace. O algorítimo de Gaver-Stehfest é um algorítimo extremamente rápido e eficiente para funções sem variações bruscas, ou oscilações (KRYLOV; SKOBLIïž Aïž¡, 1969). Esse algorítimo é dado por: 62 f (t) = ln (2) t n∑ j=1 VjF ( ln (2) t j ) (4.106) onde Vj são os coeficientes desse método, calculados por: Vj = (−1)(1+ n 2 ) min(i,n2 )∑ k=int[ i+12 ] k(1+ n 2 ) (2k)!( n 2 − k)! (k!)2 (j − k)! (2k − j)! (4.107) onde n é o número pár de termos utilizados no somatório. Em tese, quanto maior o valor de n, mais preciso será o algoritmo. Porém, devido a falta de precisão da máquina (calculadora ou computador), quando n é grande, os valores do numerador e do denominador do somatório da Eq. (4.107) não são corretamente representados e, consequentemente, a precisão do cálculo da divisão fica prejudicada. Os valores comumente utilizados são 8 ≤ n ≤ 16. Os autores deste trabalho sugerem utilizar n = 14. 63 5 Solução Reservatório Radial Infinito com Estocagem e Dano No Capítulo 4 foram deduzidas as equações que governam o escoamento tran- siente considerando um poço de raio nulo e um reservatório de extensão infinita. A consideração de poço com raio nulo implica em erros consideráveis durante a interpre- tação de testes de formação, assim nesse tópico serão considerados os fenômenos que influenciam os primeiros períodos de um teste de formação, que são os fenô- menos de poço e de dano de formação. As soluções serão realizadas no campo de Laplace, e os resultados serão todos invertidos utilizando-se o algorítimo de Stehfest (Seção 4.4). 5.1 Solução reservatório infinito com poço de raio fi- nito Nesse caso, a condição de contorno interna do tipo linha fonte deverá ser substi- tuída para a seguinte condição de contorno: ( rD ∂PD ∂rD )∣∣∣∣ rD=1 = −1 (5.1) e as equações que governam esse fenômeno, escritas no campo de Laplace, são: 64 1 rD [ ∂ ∂rD ( rD ∂PD ∂rD )] = uPD(rD, u)− PD(rD, tD = 0) (E.D.P) PD (rD, u = 0) = 0 (C.I.) (5.2) lim rD→∞ PD (rD, u) = 0 (C.C.E)( rD ∂PD ∂rD )∣∣∣∣ rD=1 = −1 u (C.C.I) A solução do sistema (5.2) foi discutida na Seção 4.3.2, e é dada por: PD (z) = AI0 (z) +BK0 (z) (5.3) onde A e B são duas constantes reais e positivas. Para se determinar o valor das constantes é necessário se utilizar as condições de contorno. Utilizando a condição de contorno externa: lim rD→∞ PD (rD, u) = lim z→∞ PD (z) = 0 (5.4) Conforme o Apêndice C, a função I0 (z) tende ao infinito quando seu argumento tende ao infinito, portanto a constante A deve ser igual a zero. Assim: PD (z) = BK0 (z) (5.5) Para se determinar o valor da constante B, aplica-se a condição de contorno in- terna: ( rD ∂PD ∂rD )∣∣∣∣ rD=1 = ( rD ∂BK0 (z) ∂rD )∣∣∣∣ rD=1 = −1 u (5.6) Utilizando-se a regra da cadeia: ( BrD ∂K0 (z) ∂z ∂z ∂rD )∣∣∣∣ rD=1 = −1 u (5.7) Lembrando que: z = rD √ u (5.8) 65 (−B√urDK1 (z))∣∣rD=1 = −1u (5.9) B √ uK1 (√ u ) = 1 u (5.10) B = 1 u √ uK1 ( √ u) (5.11) Dessa forma, a perda de pressão adimensional para um poço de raio finito, no campo de Laplace, é dado por: PD (z) = K0 (rD √ u) u √ uK1 ( √ u) (5.12) A Fig. 10 mostra uma comparação entre a solução aproximada pela linha fonte e a solução real dada por um poço de raio finito durante a abertura de um poço. É possível perceber que a solução linha fonte se estende para a região dentro do poço, causando a diferença entre os modelos no início da produção. A solução do tipo raio finito consegue perceber as variações de pressão nos arredores do poço com uma precisão superior para pequenostempos de produção. Figura 10: Comparação entre a solução do tipo linha fonte, e a solução para um poço finito. 66 5.2 Efeito de dano de formação A operação de perfuração de um poço de petróleo é um processo que causa modi- ficações nas propriedades físicas do reservatório, onde as zonas mais afetadas são as zonas nos arredores do poço. Geralmente a invasão dos fluidos de perfuração e com- pletação, as operações de cimentação e canhoneio reduzem a permeabilidade efetiva do reservatório. Essa zona de baixa permeabilidade é chamada de zona danificada. A Fig. 11 mostra uma comparação entre a queda de pressão entre um reservatório normal e um danificado. É possível perceber que a presença de uma zona danificada acentua a perda de pressão na região próxima ao poço. Figura 11: Efeito do dano de formação no perfil de pressão de um reservatório. 5.2.1 Conceito de fator de película Considerando um escoamento permanente e utilizando-se a lei de Darcy radial, a queda de pressão causada pela zona danificada é dada por: 2piksh qµ [P (r = rs)− Ps(r = rw)] = ln ( rs rw ) (5.13) onde ks é a permeabilidade da zona alterada e Ps(r = rw) é a pressão calculada na parede do poço, considerando o dano na formação. Se essa zona não estivesse danificada, a queda de pressão ao redor do poço pode ser calculada por: 67 2pikh qµ (P (r = rs)− P (r = rw)) = ln ( rs rw ) (5.14) Combinando as duas equações, é possível se obter a seguinte relação: 2pikh qµ (Ps(r = rw)− P (r = rw)) = ( k ks − 1 ) ln ( rs rw ) (5.15) O fator Ps(r = rw)− P (r = rw) pode ser visto como a variação da pressão sentida pelo poço devido ao dano na formação. Dessa forma, considerando que toda a perda de carga ocorra na parede do poço, é possível definir o fator de película (do inglês skin) como sendo: S = 2pikh qµ (Ps(r = rw)− P (r = rw)) (5.16) Observa-se que o skin expressa a perda de carga adicional causada pelo dano na formação, em unidades adimensionais. A Fig. 12 mostra a perda de carga adicional causada pelo fator de película. Observa-se que toda a perda de carga é convertida em condição de contorno interna na face do poço. Figura 12: Perda de carga adicional, causado pela utilização do fator de película. A Eq. (5.16) pode ser escrita em termos adimensionais, definida por: 68 PwD(tD) = PD(rD = 1, tD)− S ( rD ∂PD ∂rD ) rD=1 (5.17) onde PwD(tD) é a pressão adimensional no interior do poço, já considerando o efeito do fator de película. 5.2.2 Conceito de raio equivalente A solução aproximada, para tempos longos o suficiente para que a hipótese da linha-fonte seja válida, é dada pela Eq. (4.74), ou seja: PD (rD, tD) = 1 2 ln ( 4tD eγr2D ) (5.18) Substituindo na Eq. (5.17): PwD = PD(rD = 1)− S ( rD ∂PD ∂rD ) rD=1 (5.19) PwD = 1 2 ln ( 4tD eγ ) + S (5.20) que pode ser escrita da seguinte forma: PwD = 1 2 ln ( 4tD eγe−2S ) (5.21) A Eq. (5.21) expressa a variação da pressão no fundo do poço em função do tempo adimensional e do fator de película. Escrevendo essa equação em variáveis dimensionais: Pwf = 1 2 ln ( 4kt ctφµoeγr2we −2S ) (5.22) É possível se definir o conceito de raio equivalente, dado por: r∗w = rwe −S (5.23) O conceito do raio equivalente consiste em se encontrar um raio equivalente para 69 um poço produzir com as mesmas características de um reservatório danificado. Al- guns autores acreditam que essa representação é numericamente mais estável pois evita-se utilizar a condição de salto imposta pelo fator de película. Observa-se que a variação da pressão no fundo do poço, utilizando-se esse conceito é dada por: Pwf = 1 2 ln ( 4kt ctφµoeγr∗2w ) (5.24) PwD = 1 2 ln ( 4t∗D eγ ) (5.25) 5.3 Efeito de estocagem no poço Uma das hipóteses consideradas até esse momento era que o fluido escoando no reservatório era levemente compressível ou incompressível. Assim, quando se abre um poço pela primeira vez, os fluidos estão comprimidos dentro do poço e a produ- ção é causada pela descompressão desses fluidos. Nesse momento está ocorrendo a produção, na superfície, mas na, face do poço, não ocorre entrada de fluido oriundo do reservatório ainda. Esse fenômeno de descompressão inicial dos fluidos no poço é chamado de efeito de estocagem e atua como uma espécie de região de sombra em testes de formação, pois os sensores de pressão estão detectando a queda de pres- são que não está sendo causada por produção de fluidos do reservatório. Felizmente, em um tempo relativamente curto o regime de escoamento dentro do poço se torna permanente e a estocagem deixa de influenciar os dados de testes de pressão. Durante um teste de pressão, o poço é colocado em fluxo devido a existência de uma válvula de abertura, que pode estar localizada na superfície, ou no fundo do poço. A Fig. 13 mostra uma representação esquemática de um poço de petróleo. É possível perceber que o efeito de estocagem é mais intenso quando o poço entra em produção do que quando o poço fecha a produção. Isso se deve ao fato da medição da vazão ser realizada na superfície e o fechamento da produção ser realizada no fundo, aumentando o volume permitido para expansão do fluido durante a abertura. Utilizando a lei da conservação da massa, na forma integral, dentro do poço: d dt ˆ V C ρdV + ˆ SC (ρu) dA = 0 (5.26) 70 Figura 13: Representação esquemática de um poço de petróleo. Considerando que só há entrada de massa na face do poço e saída de massa na válvula de abertura do poço: ρwfqwf − ρvalv.qvalv. = d dt ˆ V C ρdV (5.27) A densidade pontual, em cada ponto do poço, pode ser substituída por uma den- sidade média, assim: ρwfqwf − ρvalv.qvalv. = d (ρVw) dt (5.28) onde Vw é o volume compreendido entre a base do poço e a válvula de abertura do mesmo. Como foi assumido que o fluido era pouco compressível, ou seja, compres- sibilidade constante, é possível considerar que a variação da densidade média dos fluidos dentro do poço é igual a variação da densidade do fluido na face da formação. Daí: dρ dt = dρwf dt (5.29) Assim: 71 ρwfqwf − ρvalv.qvalv. = Vw dρwf dt (5.30) Considerando que a pressão na face da formação varie apenas com o tempo: ρwfqwf − ρvalv.qvalv. = Vw dρwf dP dP dt (5.31) Utilizando a definição de compressibilidade: cf = 1 ρwf ∂ρwf ∂Pwf (5.32) é possível escrever: ρwfqwf − ρvalv.qvalv. = Vwcfρwf dPwf dt (5.33) qwf − ρvalv. ρwf qvalv. = Vwcf dPwf dt (5.34) Lembrando que ρvalv. é a massa específica do fluido medido na saída da válvula. Considerando que a válvula está na superfície, do conceito de fator volume-formação, tem-se: qwf −Bwfqvalv. = Vwcf dPwf dt (5.35) onde Bwf é o fator volume-formação do fluido na face do poço com o reservatório. Considerando que esse fluido seja o próprio fluido do reservatório e que esse seja óleo, então Bwf = Bo. A vazão na face do poço pode ser calculada utilizando-se a lei de Darcy, dada por: qwf = 2pikh µ ( r ∂P ∂r ) r=rw (5.36) Dessa maneira: 2pikh µ ( r ∂P ∂r ) r=rw = qoBo + Vwcf dPwf dt (5.37) 72 O parâmetro Vwcf é conhecido como coeficiente de estocagem, dada pela letra C, assim: 2pikh Boqo.µ ( r ∂P ∂r ) r=rw = 1 + C qoBo dPwf dt (5.38) A Eq. (5.38) modela o efeito de estocagem no poço, considerando variáveis di- mensionais. Adimensionalizando a equação é possível escrever: − ( rD ∂PD ∂rD ) rD=1 = 1− CD dPwD dtD (5.39) onde PwD é a pressão adimensional no fundo do poço; e CD, o coeficiente de estoca- gem adimensional, definido por: CD = C φhctr2w (5.40) Observa-se que as Eqs. (5.17) e (5.39) formam um conjunto
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