Apostila-Escoamento-Em-Meios-Porosos-Wagner-e-Bismarck-2014
93 pág.

Apostila-Escoamento-Em-Meios-Porosos-Wagner-e-Bismarck-2014


DisciplinaFluxo de Fluidos em Meios Porosos19 materiais179 seguidores
Pré-visualização13 páginas
podemos enxergar a transformada de Laplace
como uma espécie de função peso (JUNQUEIRA, 2011). Quando o valor de u tende a
zero, a função no campo de Laplace é definida por f (u) =
´
\u221e
0
f (t) dt, ou seja, a função
no campo de Laplace depende do comportamento da função f(t) em todo o domínio.
Quando u tende ao infinito, a função no campo de Laplace só possui influência das
porções iniciais da função f(t), ou seja, quando t é pequeno. Dessa forma é possível
associar que quanto u\u2192\u221e, t\u2192 0 e quando u\u2192 0, t\u2192\u221e.
Uma propriedade muito útil da transformada de Laplace é que ela é um operador
linear, ou seja, a transformada satisfaz a seguinte condição:
L{af (t) + bg (t)} = aL{f (t)}+ bL{g (t)} (B.3)
89
Figura 22: Representação esquemática da transformada de Laplace, como uma fun-
ção peso.
Existem diversas tabelas de transformação, como a mostrada pela Fig. 23.
Além das transformadas descritas na Fig. 23, vale a pena destacar duas transfor-
madas que são muito úteis:
1.Transformada da Função Derivada
A transformada de Laplace de uma função derivada é muito útil pois depende da
condição inicial da derivada da função. Essa transformada é definida como:
L
{
\u2202f(t)
\u2202t
}
=
\u221e\u2c6
0
\u2202f(t)
\u2202t
e\u2212utdt =
[
f(t)e\u2212ut
\u2223\u2223\u221e
0
+
\u2c6
\u221e
0
uf(t)e\u2212utdt (B.4)
L
{
\u2202f(t)
\u2202t
}
= uL{f(t)} \u2212 f(0) (B.5)
Observe que a função derivada foi extinta no campo de Laplace e a condição
inicial do problema tem que ser levado em consideração.
2.Transformada da Função Integral
A transformada da função integral pode ser calculada utilizando a transformada
da função derivada. Do teorema fundamental do cálculo, pode-se fazer:
90
Figura 23: Tabela compacta de transformadas de Laplace. Adaptado de Abramowitz
e Stegun (1964).
f(t) =
\u2202
\u2202t
(\u2c6 t
0
f(t)dt
)
(B.6)
Aplicando-se a transforma de Laplace e utilizando-se a transformada da função
derivada:
L{f(t)} = L
{
\u2202
\u2202t
(\u2c6 t
0
f(t)dt
)}
= uL
{\u2c6 t
0
f(t)dt
}
\u2212
\u2c6 0
0
f(t)dt
Daí:
L
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
t\u2c6
0
f(t)dt
\uf8fc\uf8fd
\uf8fe = 1uL{f(t)} (B.7)
Observa-se que a função integral também foi extinta no campo de Laplace.
91
APÊNDICE C -- Funções Modificadas de
Bessel
Segundo Abramowitz e Stegun (1964) as funções modificadas de Bessel são so-
luções da seguinte equação diferencial ordinária:
z2
d2w
dz2
+ z
dw
dz
\u2212 (z2 + \u3bd2)w = 0 (C.1)
onde \u3bd é um número inteiro, conhecido como ordem da função de Bessel. As soluções
da Eq. (C.1) são conhecidas como funções de Bessel modificadas, dadas por I\u3bd(z)
(função modificada de Bessel do 1º tipo), e K\u3bd(z) (função modificada de Bessel do 2º
tipo).
Quando \u3bd \u2265 0 e z > 0 as funções modificadas de Bessel são números reais
positivos. A Fig. 24 mostra as funções modificadas de Bessel plotadas no plano real.
C.1 Notação Z\u3bd das funções modificadas de Bessel
A notação Z\u3bd representa I\u3bd , e\u3bdpiiK\u3bd ou uma combinação linear dessas duas fun-
ções. Essa notação é muito útil para se calcular as funções modificadas de Bessel de
ordem superior. Calculando-se a notação Z\u3bd para as funções de Bessel do primeiro
tipo:
ZI0 (z) = I0(z) (C.2)
ZI1 (z) = I1(z) (C.3)
Calculando-se para as funções do segundo tipo:
92
Figura 24: Funções modificadas de Bessel Io, I1, K0 e K1, plotadas no plano
real(ABRAMOWITZ; STEGUN, 1964).
ZK0 (z) = e
0piiK0 = K0 (C.4)
ZK1 (z) = e
piiK1 = \u2212K1 (C.5)
C.2 Relações de recorrência
Segundo Abramowitz e Stegun (1964), utilizando-se a notação Z\u3bd é possível se
definir as seguintes fórmulas de recorrência:
Z\u3bd\u22121(z)\u2212 Z\u3bd+1(z) = 2\u3bd
z
Z\u3bd(z) (C.6)
\u2202Z\u3bd(z)
\u2202z
= Z\u3bd\u22121(z)\u2212 \u3bd
z
Z\u3bd(z) (C.7)
Z\u3bd\u22121(z)\u2212 Z\u3bd+1(z) = 2\u2202Z\u3bd(z)
\u2202z
(C.8)
93
\u2202Z\u3bd(z)
\u2202z
= Z\u3bd+1(z) +
\u3bd
z
Z\u3bd(z) (C.9)
Combinando as Eqs. (C.2) - (C.9) é possível se deduzir as seguintes relações:
\u2202I0 (z)
\u2202z
= I1 (z) (C.10)
\u2202I1 (z)
\u2202z
= I0 (z)\u2212 I1 (z)
z
(C.11)
\u2202K0 (z)
\u2202z
= \u2212K1 (z) (C.12)
\u2202K1 (z)
\u2202z
= \u2212K0 (z)\u2212 K1 (z)
z
(C.13)
C.3 Derivadas das funções modificadas de Bessel
Utilizando-se a notação Z\u3bd, segundo Abramowitz e Stegun (1964), é possível se
escrever as derivadas de qualquer ordem das funções modificadas de Bessel:
(
1
z
d
dz
)k
{z\u3bdZ\u3bd(z)} = z\u3bd\u2212kZ\u3bd\u2212k(z) (C.14)
(
1
z
d
dz
)k {
z\u2212\u3bdZ\u3bd(z)
}
= z\u2212\u3bd\u2212kZ\u3bd+k(z) (C.15)
Combinando a Eq. (C.14) com as Eqs. (C.2) - (C.5) é possível se escrever as
seguintes relações:
d
dz
(z.I1(z)) = z.I0(z) (C.16)
d
dz
(z.K1(z)) = \u2212z.K0(z) (C.17)
Utilizando a regra do produto nas Eqs. (C.16), (C.17) é possível se deduzir as Eqs.
(C.11) e (C.13) respectivamente.
	1 Equação da Difusividade
	1.1 Hipótese do contínuo
	1.2 Definição de fases e componentes
	1.3 Formulação da equação de conservação da massa
	1.3.1 Taxa de acúmulo
	1.3.2 Taxa de entrada de matéria
	1.3.3 Taxa de saída de matéria
	1.3.4 Produção de matéria
	1.4 Formulação da equação composicional da difusividade
	1.4.1 Termo de acúmulo
	1.4.2 Termo de fluxo
	1.4.3 Termo fonte
	1.5 Lei de Darcy multifásica
	2 Formulação ``Black Oil'' da Equação da Difusividade
	2.1 Formulação ``Black Oil'' convencional
	2.1.1 Pseudo-componente água:
	2.1.2 Pseudo-componente óleo
	2.1.3 Pseudo-componente gás
	2.2 Formulação ``Black Oil'' modificada
	2.2.1 Pseudo-componente água
	2.2.2 Pseudo-componente óleo
	2.2.3 Pseudo-componente gás
	2.3 Formulação ``Black Oil'' modificada baseada nas concentrações mássicas
	2.3.1 Definição das concentrações mássicas
	2.3.2 Definiçao das saturações das fases em função das concentrações mássicas
	3 Soluções dos Regimes Permanentes da Equação Radial da Difusividade
	3.1 Equação da difusividade em coordenadas cilíndricas
	3.2 Solução do regime permanente
	3.2.1 Solução da pressão no regime permanente 
	3.2.2 Pressão média no regime permanente
	3.3 Solução do regime pseudo-permanente
	3.3.1 Solução da pressão no regime pseudo-permanente:
	3.3.2 Pressão média no regime pseudo-permanente
	3.3.3 Pressão em função do raio e do tempo no regime pseudo-permanente
	4 Solução do Regime Transiente da Equação Radial da Difusividade
	4.1 Adimensionalização da equação da difusividade radial
	4.1.1 Adimensionalização do raio (r)
	4.1.2 Adimensionalização do tempo (t)
	4.1.3 Adimensionalização da pressão (P)
	4.1.4 Adimensionalização das condições de contorno
	4.1.5 Sistema de unidades
	4.2 Solução do tipo linha-fonte (Transformada de Boltzmann)
	4.2.1 Definição da equação da difusividade na forma de Boltzmann
	4.2.2 Solução da equação da difusividade na forma de Boltzmann
	4.3 Solução do tipo linha-fonte (Transformada de Laplace)
	4.3.1 Equação da difusividade no campo de Laplace
	4.3.2 Solução da equação da difusividade no campo de Laplace
	4.3.3 Transformada inversa da solução linha-fonte no campo de Laplace
	4.4 Algoritimo de Gaver-Stehfest
	5 Solução Reservatório Radial Infinito com Estocagem e Dano
	5.1 Solução reservatório infinito com poço de raio finito
	5.2 Efeito de dano de formação
	5.2.1 Conceito de fator de película
	5.2.2 Conceito de raio equivalente
	5.3 Efeito de estocagem no poço 
	5.4 Solução reservatório infinito com estocagem e dano
	5.5 Análise de testes de pressão por curvas tipo
	6 Solução Reservatório Radial Selado com Estocagem e Dano
	6.1 Solução reservatório finito com estocagem e dano
	6.2 Curvas Tipo para a solução do reservatório selado
	Apêndice A \u2013 Função Exponencial Integral
	Apêndice B \u2013 Transformada de Laplace
	Apêndice C \u2013 Funções Modificadas de Bessel
	C.1 Notação Z das funções modificadas de Bessel
	C.2 Relações de recorrência
	C.3 Derivadas das funções modificadas de Bessel