Apostila-Escoamento-Em-Meios-Porosos-Wagner-e-Bismarck-2014
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DisciplinaFluxo de Fluidos em Meios Porosos19 materiais180 seguidores
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\u2202r
)
=
qSTCo Boµ
2piKoh
(3.32)
P (r)\u2c6
P (rw)
dP =
qSTCo Boµ
2piKoh
r\u2c6
rw
1
r
dr (3.33)
2De fato a Eq. (3.29) é uma equação diferencial ordinária, mas está sendo tratada como uma
equação diferencial parcial a fim de generalizar o problema.
36
Assim:
P (r, t) = Pwf +
qSTCo Boµ
2piKoh
ln
(
r
rw
)
(3.34)
que pode ser escrito da seguinte forma:
P (r) = Pwf +
qSTCo Boµ
2piKoh
ln
(
r
rw
)
(3.35)
A Fig. 7 mostra como varia a pressão em função da distância radial do reservatório.
É possível observar que a pressão cai do valor da pressão inicial (raio externo do
reservatório) até o valor de pressão no fundo do poço (raio do poço).
Figura 7: Variação da pressão em função da distância radial do centro do poço, para
um reservatório produzindo no regime permanente.
3.2.2 Pressão média no regime permanente
Uma outra forma de se escrever essa equação é com base na pressão média do
reservatório, que é um parâmetro fácil de se obter em testes de pressão. A pressão
média em um ponto com distância r do centro do poço é definida com base em uma
média ponderada no volume compreendido entre o raio do poço e o raio r:
P (r, t) =
´ r
rw
P (r, t)dV´ r
rw
dV
(3.36)
onde V é o volume poroso de todo o reservatório, definido por:
V = \u3c6hpi
(
r2 \u2212 r2w
) (3.37)
37
Dessa forma a Eq. (3.36) pode ser escrita como:
P (r, t) =
2pih\u3c6
´ r
rw
P (r, t)rdr
2pih\u3c6
´ r
rw
rdr
(3.38)
P (r, t) =
(
2
r2 \u2212 r2w
) \u2c6 r
rw
P (r, t)rdr (3.39)
Substituindo a Eq. (3.34):
P (r, t) =
(
2
r2 \u2212 r2w
) \u2c6 r
rwell
[
Pwf +
qSTCo Boµ
2piKoh
ln
(
r
rw
)]
rdr (3.40)
P (r, t) = Pwf +
qSTCo Boµ
(r2 \u2212 r2w)piKoh
\u2c6 r
rw
ln
(
r
rw
)
rdr (3.41)
Utilizando integral por partes:
P (r, t) = Pwf +
qSTCo Boµ
2piKoh
[
ln
(
r
rw
)
r2
(r2 \u2212 r2w)
\u2212 1
2
]
(3.42)
A Eq. (3.42) mostra a pressão média em cada ponto do reservatório. Observe que
não existe termo temporal nessa equação, o que significa que a pressão não varia
com o tempo (regime permanente). Essa equação pode ser simplificada quando o
raio investigado é muito maior que o raio do poço (r \u226b rw), ou seja:
r2
(r2 \u2212 r2w)
\u2248 1 (3.43)
. Dessa maneira a Eq. (3.42) fica escrita como:
P (r, t) = Pwf +
qSTCo Boµ
2piKoh
[
ln
(
r
rw
)
\u2212 1
2
]
(3.44)
que é a forma comumente encontrada nos livros de engenharia de reservatório.
3.3 Solução do regime pseudo-permanente
O regime pseudo-permanente é uma aproximação muito útil, onde se assume que
a queda de pressão em todos os pontos do reservatório é constante com o tempo
38
(ROSA et al., 2006). A Fig. 8 mostra uma representação esquemática da variação da
pressão nesse regime. É possível perceber que uma vez que o reservatório atinge
um perfil de produção, todos os pontos decaem com o mesmo perfil. Esse regime
é válido quando um reservatório produz com mecanismo de gás em solução, para
tempos suficientemente longos.
Figura 8: Variação da pressão em função da distância radial do centro do poço, para
um reservatório produzindo no regime pseudo-permanente (ROSA et al., 2006).
A queda de pressão no reservatório é constante, assim:
\u2202P
\u2202t
= \u3b1 (3.45)
onde \u3b1 é uma constante qualquer. Como o reservatório é selado, não há fluxo na
fronteira externa, desse modo:
q (re) = 0 (3.46)
Utilizando a Lei de Darcy:
2piKoh
µ
(
r
\u2202P
\u2202r
)\u2223\u2223\u2223\u2223
r=re
= 0 (3.47)
(
r
\u2202P
\u2202r
)\u2223\u2223\u2223\u2223
r=re
= 0 (3.48)
Assim, o sistema que governa o regime pseudo-permanente é dado por:
39
1
r
[
\u2202
\u2202r
(
r
\u2202P
\u2202r
)]
=
ct\u3c6µo
Ko
\u2202P
\u2202t
(E.D.P)
P (r, t0) = Pi (C.I.) (3.49)
\u2202P
\u2202r
\u2223\u2223\u2223\u2223
r=re
= 0 (C.C.E)
P (rw, t) = Pwf(t) (C.C.I)
3.3.1 Solução da pressão no regime pseudo-permanente:
A Eq. (3.49) pode ser escrita da seguinte forma:
\u2202
\u2202r
(
r
\u2202P
\u2202r
)
=
ct\u3c6µo\u3b1
Ko
r (3.50)
Integrando os dois lados da equação entre o poço e o limite do reservatório:
re\u2c6
rw
\u2202
\u2202r
(
r
\u2202P
\u2202r
)
dr =
re\u2c6
rw
ct\u3c6µo\u3b1
Ko
r.dr (3.51)
(
r
\u2202P
\u2202r
)\u2223\u2223\u2223\u2223
r=re
\u2212
(
r
\u2202P
\u2202r
)\u2223\u2223\u2223\u2223
r=rw
=
ct\u3c6µo\u3b1
Ko
(r2e \u2212 r2w)
2
(3.52)
Utilizando a Lei de Darcy:
qSTCo =
2piKoh
Boµ
(
r
\u2202P
\u2202r
)\u2223\u2223\u2223\u2223
r=rw
(3.53)
qSTCo Boµ
2piKoh
= \u2212ct\u3c6µo\u3b1
Ko
(r2e \u2212 r2w)
2
(3.54)
Logo:
\u3b1 = \u2212 q
STC
o Bo
ctpi\u3c6h (r2e \u2212 r2w)
(3.55)
Note que pi\u3c6h (r2e \u2212 r2w) é o volume poroso do reservatório, logo a Eq. (3.55) ex-
pressa o balanço de materiais nesse reservatório. Resolvendo a E.D.P.:
40
\u2202
\u2202r
(
r
\u2202P
\u2202r
)
= \u2212 q
STC
o Boµo
pih (r2e \u2212 r2w)Ko
r (3.56)
r
\u2202P
\u2202r
= \u2212 q
STC
o Boµo
pih (r2e \u2212 r2w)Ko
r2
2
+ C1 (3.57)
Utilizando a condição de contorno externa:
C1 =
qSTCo Boµo
pih (r2e \u2212 r2w)Ko
r2e
2
(3.58)
Assim:
\u2202P
\u2202r
=
qSTCo Boµo
2pih (r2e \u2212 r2w)Ko
(
r2e
r
\u2212 r
)
(3.59)
Integrando entre o poço e um raio qualquer:
P (r)\u2c6
Pwf (t)
dP =
r\u2c6
rw
qSTCo Boµo
2pih (r2e \u2212 r2w)Ko
(
r2e
r
\u2212 r
)
dr (3.60)
P (r) = Pwf(t) +
qSTCo Boµo
2pihKo
[
r2e
(r2e \u2212 r2w)
ln
(
r
rw
)
\u2212 1
2
(r2 \u2212 r2w)
(r2e \u2212 r2w)
]
(3.61)
A Eq. (3.61) expressa a variação da pressão em função do raio para um reserva-
tório no regime pseudo-permanente.
3.3.2 Pressão média no regime pseudo-permanente
Da mesma forma que no regime permanente, a pressão média em um ponto do
reservatório é um parâmetro muito mais fácil de ser medido através de um teste de
pressão. Dessa forma, utilizando o conceito de pressão média:
P (r) =
´ r
rw
P (r)dV´ r
rw
dV
=
2
(r2 \u2212 r2w)
\u2c6 r
rw
P (r)rdr (3.62)
Utilizando a Eq. (3.61):
41
P (r) =
2
(r2 \u2212 r2w)
\u2c6 r
rw
{
Pwf(t)+
+
qSTDo Boµo
2pihKo
[
r2e
(r2e \u2212 r2w)
ln
(
r
rw
)
\u2212 1
2
(r2 \u2212 r2w)
(r2e \u2212 r2w)
]}
rdr (3.63)
Rearranjando a equação:
P (r) =
2
(r2 \u2212 r2w)
\u2c6 r
rw
{
rPwf(t) +
qSTDo Boµo
2pihKo
r2e
(r2e \u2212 r2w)
[
r. ln
(
r
rw
)]
\u2212 q
STD
o Boµo
4pihKo (r2e \u2212 r2w)
[
r
(
r2 \u2212 r2w
)]}
dr (3.64)
É possível dividir a integra da Eq. (3.64) em três integrais:
I1 =
r\u2c6
rw
rPwf(t)dr (3.65)
I2 =
r\u2c6
rw
qSTDo Boµo
2pihKo
r2e
(r2e \u2212 r2w)
(
r ln
(
r
rw
))
dr (3.66)
I3 = \u2212
r\u2c6
rw
qSTDo Boµo
4pihKo (r2e \u2212 r2w)
[
r
(
r2 \u2212 r2w
)]
dr (3.67)
Resolvendo as integrais, chega-se aos seguintes resultados:
I1 =
Pwf(t)
2
(
r2 \u2212 r2w
) (3.68)
I2 =
qSTDo Boµo
2pihKo
r2e
(r2e \u2212 r2w)
[
r2
2
ln
(
r
rw
)
\u2212 1
4
(
r2 \u2212 r2w
)] (3.69)
I3 = \u2212q
STD
o Boµo
16pihKo
[
(r2 \u2212 r2w)2
(r2e \u2212 r2w)
]
(3.70)
Substituindo os valores das integrais na Eq. (3.64):
42
P (r) =
2
(r2 \u2212 r2w)
{
Pwf(t)
2
(
r2 \u2212 r2w
)
+
qSTDo Boµo
2pihKo
r2e
(r2e \u2212 r2w)
[
r2
2
ln
(
r
rw
)
\u2212 1
4
(
r2 \u2212 r2w
)]
\u2212 µoq
STD
o Bo
16pihKo
[
(r2 \u2212 r2w)2
(r2e \u2212 r2w)
]}
(3.71)
P (r) = Pwf(t) +
qSTDo Boµo
2pihKo
r2e
(r2e \u2212 r2w)
[
r2
(r2 \u2212 r2w)
ln
(
r
rw
)
\u2212 1
2
]
\u2212 µoq
STD
o Bo
8pihKo
[
(r2 \u2212 r2w)
(r2e \u2212 r2w)
]
(3.72)
Simplificando:
P (r) = Pwf(t) +
qSTDo Boµo
2piKoh
r2e
(r2e \u2212 r2w)
[
r2
(r2 \u2212 r2w)
ln
(
r
rw
)
\u2212 1
4
(r2 \u2212 r2w)
r2e
\u2212 1
2
]
(3.73)
A Eq. (3.73) expressa a pressão média em função do raio do reservatório, para
o regime pseudo-permanente. Essa equação pode ser simplificada utilizando-se a
seguinte aproximação:
r2
(r2 \u2212 r2well)
\u2248 1 (3.74)
De fato essa aproximação é valida quando r \u226b rwell. Dessa maneira a Eq. (3.73)
adquire a seguinte forma:
P (r) = Pwf(t) +
qSTDo Boµo
2piKoh
[
ln
(
r
rw