QUESTAO matematica1 produtosnotaveis fatoracao

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PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
1. (Ufrgs 2016) Se x y 13+ = e x y 1,⋅ = então 2 2x y+ é 
a) 166. 
b) 167. 
c) 168. 
d) 169. 
e) 170. 
 
2. (G1 - utfpr 2016) Simplificando a expressão 
2
2 2
(x y) 4xy ,
x y
+ −
−
 com x y,≠ obtém-se: 
a) 2 4 xy− 
b) x y
x y
−
+
 
c) 2xy
x y+
 
d) 2xy− 
e) 4xy
x y
−
−
 
 
3. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) O valor da expressão 
2 2 2 2
1 1 2 2
x y x y xy ,
x y x y
− −
− −
   − +
⋅      + −   
 em que x e 
y ∗∈  e x y≠ e x y,≠ − é 
a) 1− 
b) 2− 
c) 1 
d) 2 
 
4. (Espm 2015) Em relação ao número 48N 2 1,= − pode-se afirmar que: 
a) ele é primo 
b) ele é par 
c) ele é múltiplo de 7 
d) ele não é múltiplo de 242 1+ 
e) ele não é divisível por 9 
 
5. (G1 - ifsc 2015) Leia e analise as seguintes afirmações: 
 
I. 2 2 2(a b) a b ,+ = + para quaisquer a e b reais. 
II. 2 2a b a b,+ = + para quaisquer a e b reais. 
III. a b a b,⋅ = ⋅ para quaisquer a e b naturais. 
IV. a a a ,
b c b c
= +
+
 para quaisquer a, b e c racionais diferentes de zero. 
V. a c ad bc ,
b d bd
+
+ = para quaisquer a, b, c, e d racionais diferentes de zero. 
 
Assinale a alternativa CORRETA. 
a) Apenas as afirmações II, III, IV e V são verdadeiras. 
b) Apenas as afirmações II, III e V são verdadeiras. 
c) Apenas as afirmações I, III e IV são verdadeiras. 
d) Apenas as afirmações III e V são verdadeiras. 
e) Todas as afirmações são verdadeiras. 
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PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
 
6. (Uece 2015) As soluções, em , da equação 4 3 2cos x 4cos x 6cos x 4cos x 1 0− + − + = 
são 
 
Sugestão: use o desenvolvimento do binômio 4(p q) .− 
a) x 2k ,π= onde k é um inteiro qualquer. 
b) x (2k 1) ,π= + onde k é um inteiro qualquer. 
c) x k ,π= onde k é um inteiro qualquer. 
d) x (4k 1) ,π= + onde k é um inteiro qualquer. 
 
7. (G1 - cftmg 2015) Simplificando a fração algébrica 
2 2
2 2
x y 2x 2y ,
x y
− + +
−
 sendo x e y 
números reais, tais que x y 0+ ≠ e x y 4,− = obtém-se o valor 
a) 1,5 
b) 1,0 
c) 0,5 
d) 0,0 
 
8. (Cefet MG 2015) Se 1x 3
x
+ = e 6 3 28x 4x y 0,+ ≠ então o valor numérico da expressão 
 
9 6 2 3 2
6 3 2
4x 2x y 4x 2y
8x 4x y
+ + +
+
 
 
é igual a 
a) 4. 
b) 7. 
c) 9. 
d) 12. 
e) 18. 
 
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PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [B] 
 
2 2 2 2x y 13 (x y) 13 x y 2 x y 169+ = ⇒ + = ⇒ + + ⋅ ⋅ = 
 
Como x y 1,⋅ = temos: 
2 2 2 2x y 2 1 169 x y 167+ + ⋅ = ⇒ + = 
 
Resposta da questão 2: 
 [B] 
 
Simplificando a expressão, tem-se: 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
(x y) 4xy x 2xy y 4xy x 2xy y (x y) (x y)
(x y) (x y) (x y)x y x y x y
+ − + + − − + − −
= = = =
+ ⋅ − +− − −
 
 
Resposta da questão 3: 
 [A] 
 
Resolvendo a expressão do enunciado, tem-se: 
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
2 22 2
2
1 1 y x
xy x y xy x yx y x y xy x y x y
1 1 y xx y x y x y x yx y x y
x y xy
y xxy x yy x xy 1
y x x y x y 1xy
− −
− −
 − −          ⋅ + ⋅ +− +   ⋅ = ⋅ = ⋅                 ++ ⋅ − + ⋅ −+ −        +        
  − ⋅ + −  ⋅ ⋅ = ⋅      + + ⋅ −     ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
y x (y x)1 1 (x y) 1
x y x y x y x y x y
+ ⋅ − − ⋅ −
⋅ = = = −
+ − + ⋅ − −
 
 
Resposta da questão 4: 
 [C] 
 
Desenvolvendo a expressão dada, tem-se: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
48 24 24 12 12 24 6 6 12 24
48 3 3 6 12 24
12 24
N 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
N 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
N 7 9 65 2 1 2 1
= − = − ⋅ + = − ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= − = − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +
= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ +
 
 
Logo, pode-se concluir que o número N não é primo (pois é divisível por 7, 9 e 65, pelo menos), 
não é par (pois é resultado de multiplicações de números ímpares), é múltiplo de 242 1,+ é 
divisível por 9 e é múltiplo de 7. 
 
Resposta da questão 5: 
 [D] 
 
[I] Falsa, pois 2 2 2(2 3) 2 3 .+ ≠ + 
[II] Falsa, pois 2 23 4 3 4.+ ≠ + 
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PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
[III] Verdadeira. 
[IV] Falsa, 1 3 4 .
4 4 8
+ + ≠ 
[V] Verdadeira. 
 
Apenas as afirmações [III] e [V] são verdadeiras. 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
Substituindo cos x por a, tem-se: 
4 3 2a 4a 6a 4a 1 0,− + − + = o qual é o polinômio resultante de 
4(a 1) (a 1) (a 1) (a 1) (a 1) 0− = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − = 
 
Assim, percebe-se facilmente que a raiz de tal polinômio é 1. Ou seja, 
cos x 1
x 360 2π
=
= ° =
 
 
Como a função cosseno é periódica, podemos dizer que a cada 360° tem-se uma nova raiz da 
função, ou seja, a cada 2k ,π onde k é um inteiro qualquer. 
 
Resposta da questão 7: 
 [A] 
 
( )
2 2
2 2
x y 2x 2y (x y) (x y 2) (x y) 2 4 2 1,5
(x y) (x y) x y 4x y
− + + + ⋅ − + − + +
= = = =
+ ⋅ − −−
 
 
Resposta da questão 8: 
 [C] 
 
Desde que 1x 3,
x
+ = temos 
 
2
2 2
2
2
2
1 1x 3 x 2 9
x x
1x 7.
x
 + = ⇒ + + = 
 
⇔ + =
 
 
Logo, segue que 
 
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PRODUTOS NOTÁVEIS E FATORAÇÃO 
 
9 6 2 3 2 6 3 2 3 2
6 3 2 3 3 2
3 2 6
3 3 2
3
3
2
2
4x 2x y 4x 2y 2x (2x y ) 2(2x y )
8x 4x y 4x (2x y )
(2x y )(2x 2)
4x (2x y )
1 1x
2 x
1 1 1x x 1
2 x x
1 3 6
2
9.
+ + + + + +
=
+ +
+ +
=
+
 
= + 
 
  = + − +  
  
= ⋅ ⋅
=
 
 
 
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