Corrente Elétrica em Condutores

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Eletricidade II Página 3 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
 
 
 
 
 
 
Quando uma torneira é aberta, a água escorre para a pia. O movimento da água através 
do cano é devido à diferença de altura entre a caixa d′água e a torneira. 
 Óbvio, não acha? Isto é assunto para a hidrodinâmica, porém, algo parecido ocorre 
na eletricidade. 
 
 
Conceito de Corrente Elétrica 
 
 
 
 Como todos sabem, existem três estados da matéria: o sólido, o líquido e o gasoso. 
Aliás, existe um quarto estado, o plasma, que é raro, somente encontrado em altas temperatu-
ras e só foi descoberto há pouco tempo. 
Embora existam substâncias condutoras de eletricidade nestes três estados mais co- 
muns o interesse maior deste estudo recai sobre os condutores sólidos metálicos. 
 Nos materiais sólidos metálicos existem muitos elétrons fracamente ligados ao 
núcleo que se libertam de suas órbitas apenas pela ação da energia térmica a temperatura 
ambiente, tornando-se elétrons livres, e que movimentam-se aleatoriamente pelo condutor, 
como mostra a figura 4.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.1 – Movimento Aleatório dos Elétrons Livres num condutor 
 Sólido Metálico 
 
 
Exemplo: 
 
Aplicando-se uma diferença de potencial ou tensão entre dois pontos deste condutor, 
surge dentro dele um campo elétrico. 
 
 Em um centímetro cúbico de cobre, existem aproximadamente 1024 átomos. Se 
apenas um de cada cem átomos liberar um elétron a temperatura ambiente, neste centí- 
metro cúbico existirão 1022 elétrons livres, ou seja, 10.000.000.000.000.000.000.000 
elétrons livres movimentando-se aleatoriamente pelo cobre. 
 
Átomos do Condutor 
Elétrons Livres 
 4.1 – Corrente Elétrica 
Eletricidade II Página 4 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
Corrente Elétrica 
Genericamente, define-se corrente elétrica como sendo o movimento ordenado de car- 
gás elétricas, positivas ou negativas, no interior de um condutor qualquer, devido à ação de um 
campo elétrico. 
 
 No caso dos condutores sólidos metálicos, a definição fica como segue: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.2 – Corrente Elétrica num Condutor Sólido Metálico 
 
A corrente elétrica nos condutores sólidos metálicos, devido ao movimento dos elétrons 
livres num único sentido, é chamada de corrente de condução. 
Nas substâncias condutoras líqüidas (eletrólitos) e gasosas, as cargas elétricas são íons. 
Assim aplicando-se uma diferença de potencial entre dois pontos destes condutores, os íons po- 
sitivos movimentam-se ordenadamente no sentido do campo elétrico e os íons negativos no 
sentido oposto. 
 A corrente elétrica nos condutores líqüidos e gasosos, devido ao movimento de íons 
nos dois sentidos, é chamada de corrente de convecção. 
 
 OBSERVAÇÃO: 
 •••• Como nosso interesse maior está nos condutores sólidos metálicos, os mesmos serão 
 denominados, daqui em diante, apenas por condutores, salvo observação em contrário. 
 Mas, como se aplica uma diferença de potencial num condutor e para onde vão os 
elétrons quando o condutor acaba? 
 O exemplo a seguir, pode responder a estas duas perguntas. 
 
 
Corrente Elétrica nos Condutores Sólidos Metálicos 
 É o movimento ordenado dos elétrons livres no sentido contrário ao do campo elé- 
trico, ou seja, do potencial menor para o maior. 
 
Corrente de Elétrons 
VA VB 
VA > VB 
 
ddp = VA - VB 
E 
Eletricidade II Página 5 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
 
Exemplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, só existe corrente elétrica se houver uma diferença de potencial (tensão) entre 
dois pontos do condutor e um caminho fechado para ela circular. Este caminho fechado é 
chamado de circuito elétrico. 
 
 
 Sentido Convencional da Corrente Elétrica 
 
 Os primeiros estudos sobre corrente elétrica foram feitos nos gases e nos líqüidos e, por 
isso,o sentido adotado convencionalmente baseia-se neles. 
 
 Como nos condutores gasosos e líqüidos o movimento de cargas elétricas livres ocorre 
nos dois sentidos, por convenção, adotou-se que o sentido da corrente elétrica deve ser o mes- 
mo do deslocamento das cargas positivas, ou seja, o mesmo sentido do campo elétrico que deu 
origem e mantém este movimento. 
 
 Porém, nos condutores sólidos metálicos, só existe movimento de cargas negativas num 
único sentido. Assim, adaptando-se a convenção, tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Uma pilha de ação química é a fonte de alimentação de uma lâmpada. Ela fornece uma 
diferença de potencial elétrico que faz com que os elétrons livres do fio de cobre e do fila- 
mento da lâmpada sejam repelidos pelo pólo negativo, atravessem a lâmpada, e sejam atraí- 
dos pelo pólo positivo da pilha, sob a ação do campo elétrico. Assim, os elétrons livres cir- 
culam continuamente pelo fio e pela lâmpada, mantendo-a acesa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.3 – Como Circula a Corrente Elétrica 
 
 Sentido Convencional da Corrente Elétrica 
 A corrente elétrica convencional tem o sentido oposto ao do deslocamento dos elé- 
trons livres, ou seja, o mesmo sentido do campo elétrico, indo do potencial maior para o 
menor. 
Pi
lh
a 
 Pólo 
Positivo 
 Pólo 
Negativo 
 ddp 
 ou 
 tensão 
Eletricidade II Página 6 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
 
 Mas, como Einstein dizia: Tudo é relativo! 
 
 
 Portanto, pode-se entender que, ao invés de elétrons se moverem num determinado sen- 
tido, é como se cargas positivas imaginárias se movessem no sentido oposto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.4 – Sentido da Corrente Elétrica Convencional 
 
 
 A vantagem desta convenção está no fato de que, tanto no cálculo da intensidade da 
corrente elétrica como na resolução de circuitos, salvo algumas condições específicas, os valores 
numéricos serão positivos. 
 
 
 Intensidade de Corrente Elétrica 
 
 
 O movimento ordenado das cargas elétricas pode ser mais rápido ou mais lento em re- 
lação a um determinado intervalo de tempo, isto é, mais intenso ou menos intenso. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A figura 4.5 ilustra a definição de intensidade da corrente elétrica: 
 
 
Intensidade da Corrente Elétrica 
 A intensidade da corrente elétrica I é a quantidade de cargas elétricas ∆Q que 
atravessa a seção transversal de um condutor num intervalo de tempo ∆t. 
 
t
QI
∆
∆
= 
Corrente Elétrica Convencional 
VA VB 
VA > VBddp = VA - VB 
E 
Eletricidade II Página 7 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.5 – Intensidade da Corrente Elétrica 
 
 
 
 
 No SI, a unidade de carga elétrica é o Coulomb C e a de tempo é o segundo (s). Por- 
tanto, a unidade de corrente elétrica é C/s, também denominada Ampére (A), em homenagem 
a este cientista que estudou os efeitos da corrente elétrica. 
 Os submúltiplos e múltiplos mais usuais para corrente elétrica são: 
 
 
Submúltiplos Unidade Valor 
picoampére pA 10-12 A 
nanoampére nA 10-9 A 
microampére µA 10-6 A 
miliampére mA 10- 3 A 
Múltiplo Unidade Valor 
quiloampére kA 103 A 
 
 
 
 b) Num condutor, a corrente elétrica é de 500µA. Qual o tempo necessário para que uma car- 
 ga de 5mC atravesse sua seção transversal? 
 
 
 Tem-se: 
 
 I = 500µA = 500x10 –6 A e ∆Q = 5mC = 5x10 –3 C 
 
 Portanto: 
 
 ∆t = ∆Q ⇒ ∆t = 5x10 –3 = 10s 
 I 500x10 -6 
 
Ex.: a) A seção transversal de um condutor é 
é atravessado por uma carga de 0,5C em 2s. Qual 
a intensidade da corrente elétrica neste condutor? 
 Tem-se: 
 ∆Q = 0,5C e ∆t = 2s 
 Portanto: 
 
 I = ∆Q ⇒ I = 0,5 ⇒ I = 0,25A ou I=250mA 
 ∆t 2 
Corrente Elétrica Convencional 
VA VB 
VA > VB 
 
ddp = VA - VB 
Seção Transversal 
Eletricidade II Página 8 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
c) Num condutor , tem-se uma corrente elétrica de 50mA. Qual a carga elétrica e quan- 
tos elétrons passam por sua secão transversal a cada 3ms? 
 
 Tem-se: 
 
 I = 50ma = 50x10–3 A e ∆t = 3ms = 3x10–3 s 
 Portanto: 
 
 ∆Q = I . ∆t ⇒ ∆Q = 50x10–3 x 3x10–3 ⇒ ∆Q = 150x10–6 C = 150µC 
 
 Como ∆Q é a carga total que atravessa o condutor, e cada elétron tem uma carga ( em 
módulo) de 1,6x10-19C, dividindo-se a carga total pela carga de cada elétron, tem-se o número 
(n) de elétrons: 
 
 
14
19
6
10375,9
106,1
10150
×=
×
×
=
∆
=
−
−
eq
Q
n 
 
 
 Ou seja, um total de 937.500.000.000.000 elétrons passam pela seção transversal deste 
condutor a cada 3ms. 
 
Analogia entre Eletricidade e Hidráulica: 
 
 
 
 
 Condutor Elétrico (Fio).......................................... Condutor Hidráulico (Cano) 
 
Elétrons................................................................... Água 
 
Diferença de Potencial Elétrico (Tensão)............... Diferença de Potencial Gravitacional 
(Altura) 
 
Campo Elétrico........................................................ Campo Gravitacional 
 
Corrente Elétrica Convencional.............................. Fluxo de Água 
(do potencial maior para o menor) (da altura maior para a menor) 
 
Intensidade de Corrente Elétrica............................. Vazão 
(quantidade de Cargas/Tempo (Volume de Água/Tempo) 
 
Fonte de Tensão........................................................... Bomba Hidráulica 
 
 
Corrente Contínua e Alternada 
 
 Até este momento, estudou-se a corrente elétrica de forma genérica. Mas o movimento 
ordenado das cargas elétricas pode se dar de várias formas, dentre as quais, as mais importantes 
são: 
 
Eletricidade II Página 9 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
 Corrente Contínua – CC 
 
 A corrente contínua caracteriza-se pelo fato de fluir sempre num único sentido, em 
função da tensão aplicada ao condutor ter sempre a mesma polaridade. Se esta tensão for cons- 
tante, a corrente gerada também será, como mostra o gráfico da figura 4.6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.6 – Gráfico da Corrente Contínua Constante 
 
 
Exemplo: 
 
 Corrente fornecida por uma bateria de automóvel, cuja intensidade depende de quantos 
e quais circuitos a bateria está alimentando. 
 
 Corrente Alternada – CA 
 
 A corrente alternada caracteriza-se pelo fato de fluir ora num sentido, ora no sentido 
inverso, em função da tensão aplicada ao condutor inverter sua polaridade periodicamente. 
 A corrente alternada mais importante é a senoidal, como mostra o gráfico da figura 4.7. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.7 – Gráfico da Corrente Alternada Senoidal 
 
 
Exemplo: 
 
 A corrente fornecida pela rede elétrica é alternada, com forma senoidal e tem uma fre- 
quência de oscilação de 60 ciclos por segundo (60 Hertz). Isto significa que um condutor ligado 
nos pólos da rede faz com que a corrente elétrica circule alternadamente 60 vezes em cada senti- 
do e a cada segundo. 
I 
I(A) 
t 
i(A) 
Imáx 
Imin 
t 
Eletricidade II Página 10 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
 
 
 
 
 
 
O amperímetro é o instrumento utilizado para se fazer a medida da intensidade da 
corrente elétrica. Os símbolos elétricos utilizados para representar os amperímetros de corren- 
tes contínuas e alternada estão na figura 4.8. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Amperímetro ( CC ) Amperímetro ( CA ) 
 
 Figura 4.8 – Símbolos Elétricos dos Amperímetros 
 
 
 
 Um amperímetro possui normalmente várias escalas de correntes contínua e alternada, 
que permitem seu ajuste para medidas com a máxima precisão possível. A figura 4.9 representa 
o seletor de escalas de um amperímetro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.9 – Seletor de Escalas de um Amperímetro 
 
 
 
Como a corrente elétrica passa através dos condutores ou dos dispositivos ligados a 
eles, para a sua medida é preciso fazer a corrente passar também através do amperímetro. 
Assim, é necessário abrir o circuito no local da medida e ligar o amperímetro em série. 
 
 4.2 - Amperímetro 
 200µA = 
2mA = 
20mA = 
200mA = 
2A = 
Eletricidade II Página 11 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
 
 
 
 
 IMPORTANTE: 
 
 
 
 •••• Na medição de corrente contínua, deve-se ligar o amperímetro com seu pólo positivo 
 (+) no ponto de entrada da corrente convencional, para que a deflexão do ponteiro seja 
para a direita, como mostrou a figura 4.10. 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um amperímetro possui as seguintes escalas para CC e CA: 200µA, 20mA, 200mAe 
2A. Quais escalas medem com maior precisão as correntes: 150µA – CC, 12mA–CA, 
500mA–CC, 65mA–CA e 1,5A–CC? 
 
 Corrente a ser medida Melhor escala 
 150µA– CC 200µA–CC 
 12mA– CA 20mA–CA 
 500mA– CC2A–CC 
 65mA– CA 200mA–CA 
 1,5A– CC 2A–CC 
 
Eletricidade II Página 12 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
Galvanômetro de bobina móvel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. 11 - Galvanômetro 
 de bobina móvel 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (a) (b) 
 - 
 Figura 4.12 – (a) Amperímetro Bobina Móvel (b) Amperímetro Ferro Móvel 
 
 
O galvanômetro é um instrumento que pode medir corrente elétrica de 
baixa intensidade, ou diferença de potencial elétrico entre dois pontos. 
 
O multímetro, o principal instrumento de teste e reparo de circuitos eletrô- 
nicos,consiste basicamente de um galvanômetro, ligado a uma chave sele- 
tora, uma bateria e vários resistores internos, para optarmos pelo seu fun- 
cionamento como amperímetro, ohmímetro ou voltímetro. Os multímetros 
com galvanômetros são chamados de multímetros analógicos, em oposição 
aos multímetros digitais, que possuem um mostrador de cristal líquido (ver 
multímetros na página 14). 
 
O galvanômetro mais comum é o tipo conhecido como bobina móvel: 
uma bobina de fio muito fino é montada em um eixo móvel, e instalada 
entre os pólos de um imã fixo. Quando circula corrente elétrica pela 
bobina, se forma um campo magnético que interage com o campo do 
 imã, e a bobina gira, movendo um ponteiro, ou agulha, sobre uma 
escala graduada. Através de circuitos apropriados, o galvanômetro pode 
ler outras grandezas elétricas,como tensão contínua, tensão alternada, resis- 
tência, potência e outras. 
 
Outro tipo de galvanômetro é o ferro móvel: neste, a bobina é fixa, envol- 
vendo uma pequena peça de ferro ligada ao ponteiro, e capaz de girar 
conforme o campo magnético produzido pela bobina. O galvanômetro de 
ferro móvel é pouco usado, por ser menos sensível que o de bobina 
móvel, mas possui as vantagens de ser mais barato, mais robusto, e 
funcionar tanto com corrente contínua como com corrente alternada. 
 
O galvanômetro foi criado pelo físico e químico inglês Michael Faraday, 
que em sua época foi um dos primeiros cientistas a estudar a relação 
entre magnetismo e eletricidade. 
Galvanômetro de bobina móvel 
s N 
Amperímetros Analógicos 
Eletricidade II Página 13 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
 Amperímetro Digital 
 
 
 
 
 
 
 Alicate Amperímetro Digital C/Medidor 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amperímetro digital 
 
analisa o consumo de corrente 
 
Avalia a corrente contínua (100A) no circuito elétrico, indica se a bateria é 
carregada pelo alternador ou descarregada pelo circuito e também analisa 
o consumo de corrente de equipamentos pesados, como instalações de som 
em veículos. Em conjunto com o voltímetro (VL-10), possibilita boa avali- 
ação da situação de bateria, alternador e demais circuitos durante o uso. O 
AR-10 possui circuito eletrônico com microprocessador, utilizando tecno- 
logia SMD, o que resulta em durabilidade e mais recursos ao usuário; mos- 
trador com display de três dígitos de sete segmentos, que permite rápida 
visualização; e sensor tipo shunt (SAR-10) incluso. Indicado para monta- 
gem em painéis ou suportes/copos automotivos, é fabricado com diâmetro 
de 52mm e possui proteção na inversão de polaridade da alimentação. 
Como opcional, inclui interface serial para telemetria ou computador de 
bordo 
 
Características: 
-Leve, Compacto, Funcional; 
- Display LCD de 3 ½ Dígitos com indicação máxima de 1999; 
- Símbolo de Bateria Fraca; 
 
Escalas: 
- DC : 200mV, 2V, 20V, 200V, 1000V; 
- AC : 200V, 750V; 
- ACV : 200A, 750A; 
- ACA : 200A, 750A; 
- Ohms : 10, 200, 1000Ω 
- Teste de isolação : 100k Ω à 2000MΩ; 
- Teste de continuidade: 50+-25Ω; 
- Teste de Medição: 0ºC à 750ºC. 
Modelo: 
ET-3367 
Descrição: 
Instrumento digital portátil com mudança de faixa automático e leitura True RMS, de 
acordo com a categoria III 600V de segurança, LCD de 3 5/6 dígitos, congelamento 
de leitura e desligamento automático. Realiza medidas de tensão DC e AC, corrente 
DC e AC, resistência, temperatura, freqüência, capacitância e testes de diodo e conti- 
nuidade. 
 
 
 
 
Eletricidade II Página 14 Eletrodinâmica - Corrente Elétrica 
 M U L T Í M E T R O S 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como funciona o multímetro analógico 
 
Trata-se de um instrumento que possui um ponteiro mon- 
tado sobre uma bobina móvel, a bobina móvel está fixada 
no meio de um campo magnético constituído de um imã 
permanente. 
No momento que uma corrente elétrica percorre o enrola- 
mento da bobina móvel surge um campo magnético na 
bobina, que interage com o campo magnético do imã, de- 
pendendo do sentido da corrente elétrica o ponteiro pode- 
rá se movimentar para a direita ou para a esquerda na 
escala do instrumento. 
Quando o instrumento está sem uso, o ponteiro estará em 
seu ponto de descanso, totalmente a esquerda da escala, 
ao realizar uma medição o ponteiro deverá se movimen- 
tar para a direita na escala. Se a movimentação do pontei- 
for para a esquerda entendemos que a polaridade das 
pontas em relação ao ponto de medição está invertido. 
Assim podemos afirmar que o nosso multímetro analógi- 
co é polarizado, então devemos tomar o cuidado para 
sempre utilizar a ponta vermelha no (+) positivo e a 
ponta preta (-) no negativo ao ponto de medição. 
 
 
 
Eletricidade Página 15 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 Mais um pouco de água ... 
 
 Ligando-se uma mangueira numa torneira, uma certa quantidade de água escorre pelo 
seu interior. Substituindo-se esta mangueira por outra de diâmetro bem menor, a água continua 
escorrendo , porém, com maior dificuldade. 
 
 Conclui-se, portanto, que a segunda mangueira oferece maior resistência à passagem da 
água e que esta resistência é uma característica da mangueira, pois depende de suas dimensões 
físicas (diâmetro e comprimento), do material com que é feita (rugosidade interna causa atrito) e 
até da temperatura (a dilatação modifica tanto o diâmetro quanto o comprimento da mangueira) 
 
 
Conceito de Resistência Elétrica 
 
 Em eletricidade, ocorre um fenômeno análogo. Alguns materiais oferecem resistência à 
passagem da corrente elétrica. Esta resistência é conseqüência do choque dos elétrons livres com 
os átomos da estrutura do material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 A resistência elétrica é a medida da oposição que os átomos de um material oferecem 
à passagem da corrente elétrica. Ela depende da natureza do material, de suas dimensões e da 
sua temperatura. 
Resistência Elétrica 
 4.3 – Resistência Elétrica 
Eletricidade Página 16 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 Efeito Joule 
 
 No choque com átomos, oselétrons transferem parte de sua energia cinética (relaciona- 
da ao movimento) para eles que, por sua vez, passam a vibrar com maior intensidade, fazendo 
com que haja um aumento da temperatura do material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para se transportar a corrente elétrica de um lugar para outro, devem-se utilizar conduto- 
res que oferecem o mínimo de resistência, para que não haja perdas de energia por efeito Joule. 
Por isso os fios condutores são feitos principalmente de cobre ou alumínio. 
 
 Mas existem situações nas quais a resistência à passagem da corrente elétrica é uma ne- 
cessidade, tanto pelo aquecimento que gera (chuveiros, ferros de passar roupas, aquecedores etc) 
como pela capacidade de limitar a corrente elétrica em dispositivos elétricos e eletrônicos. 
 
 Leis de Ohm 
 
 Um cientista chamado George Ohm, através de diversas experiências conseguiu relacio- 
nar entre si as seguintes grandezas em um mesmo material: tensão – corrente – resistência – 
dimensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 Efeito Joule é o nome dado ao fenômeno do aquecimento de um material devido à pas- 
sagem de uma corrente elétrica. 
Efeito Joule 
Eletricidade Página 17 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
Primeira Experiência de George Ohm: 
 
 
 
 
 A figura 4.13 representa uma montagem semelhante à realizada por Ohm: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.13 – Experiência de George Ohm 
 
 Ligando-se um pedaço de um determinado material em uma fonte de tensão variável, 
para cada valor de tensão V, mediu-se a corrente I correspondente, como mostra a seguinte tabe- 
la: 
 
 
 Tensão Corrente 
 V(V) I(A) 
 V1 I1 
 V2 I2 
 V3 I3 
 .... .... 
 Vn In 
 
 
 George Ohm notou, então, que a razão entre as tensões e correntes correspondentes re- 
sultava num valor constante, ou seja: 
 
 
 V1 = V2 = V3 = ... = Vn = constante 
 I1 I2 I3 In 
 
 Em seguida, ele repetiu várias vezes esta experiência, mudando tanto o material utiliza- 
do como suas dimensões, chegando aos seguintes resultados: 
 
 
 Materiais Dimensões Resultado 
 diferentes iguais constantes diferentes 
 iguais diferentes constantes diferentes 
V 
 
M
at
er
ia
l 
R
es
ist
iv
o
 
V 
I 
Eletricidade II Página 18 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Com estas conclusões, George Ohm enunciou duas leis fundamentais para a eletricidade 
denominadas Primeira e Segunda Leis de Ohm. 
 
 
 Primeira Lei de Ohm 
 A Primeira Lei de Ohm mostra de que forma a resistência, a tensão e a corrente estão re- 
lacionadas entre si. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Da Primeira Lei de Ohm, tem-se que: 
 
 
I
VR = 
 
Portanto, a unidade de medida de resistência elétrica é Volt / Ampére ou, simplesmente 
Ohm (Ω) , em homenagem a este cientista. 
 
 Graficamente, a Primeira Lei de Ohm fica assim representada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.14 – Representação Gráfica da Primeira Lei de Ohm 
 
 
 
 Assim, George Ohm chegou as duas conclusões importantes: 
 
 1º) A constante resultante da relação tensão / corrente corresponde à resistência 
 elétrica (R) do material; 
 
 2º) A resistência elétrica depende tanto do material como de suas dimensões. 
Primeira Lei de Ohm 
 A corrente elétrica I que passa por um material é diretamente proporcional à tensão 
V nele aplicada, e esta constante de proporcionalidade chama-se resistência elétrica R. 
 
 V = R . I 
I(A) 
V1 
 
I3 I2 I1 In 
V2 
 
V3 
Vn 
V(V) 
Eletricidade II Página 19 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 Pelo gráfico, pode-se observar que se trata de uma relação linear entre tensão e corrente 
uma vez que a resistência elétrica é uma constante. 
 Desta propriedade, surgiu um novo dispositivo muitíssimo importante para a eletricida- 
de e eletrônica: a resistência elétrica ou resistor, cujos símbolos elétricos mais utilizados estão re- 
presentados na figura 4.15. 
 
 
 
 
 
 Figura 4.15 – Símbolos do Resistor 
 
 
 
 Obs.: Devido a sua importância, o resistor será abordado com profundidade mais adian- 
te. 
 Com a resistência elétrica, é possível, então, controlar a intensidade da corrente elétrica 
fornecida por uma fonte de alimentação, isto é, quanto maior a resistência, menor a corrente, e 
vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
1. 
 Figura 4.16– Representação Esquemática da Primeira Lei de Ohm 
 
 
 Resumindo, a Primeira Lei de Ohm pode ser escrita matematicamente das três formas a 
seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para resistência elétrica, é também muito comum o uso dos seguintes submúltiplos e 
múltiplos de sua unidade de medida: 
 
 
 
 Submúltiplos Unidades Valor 
 miliohm mΩ 10-3 Ω 
 Multiplos Unidades Valor 
 quiloohm kΩ 103 Ω 
 Megaohm MΩ 106 Ω 
 Gigaohm GΩ 109 Ω 
 
ou 
V 
R 
V 
R 
I
VRou
R
VIouIRV ==⋅=
 
Eletricidade II Página 20 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 
 
Exemplos: 
 
a) Numa resistência elétrica, aplica-se uma tensão de 90V. Qual o seu valor, sabendo- 
se que a corrente que passa por ela é de 30 mA? 
 
 Ω=⇒
×
=⇒=
−
kRR
I
VR 3
1030
90
3 
 
b) Por uma resistência de1,5MΩ, passa uma corrente de 350nA. Qual o valor da tensão 
aplicada? 
 mVVVIRV 52510350105,1 96 =⇒×××=⇒⋅= − 
c) Conectando-se uma pilha de 1,5V em uma lâmpada, cuja resistência de filamento é 
de 100Ω, qual a corrente que passa por ela? 
 
 mAII
R
VI 15
100
5,1
=⇒=⇒= 
 
d) Num laboratório, foi realizada uma experiência semelhante à de George Ohm, para 
Se determinar o valor de um resistor desconhecido, cujos resultados aparecem na tabela a seguir. 
levando-se em consideração as especificações do voltímetro e do amperímetro utilizados, deter- 
minou-se o valor experimental do resistor. 
 
 Especificações dos Instrumentos 
 Voltímetro Amperímetro 
 erro de (±2%) erro de (±2%) 
 precisão 0,1V precisão de 0,1mA 
 
 
 
 Resultados Experimentais 
V(V) I(mA) 
2,00 1,69 
4.00 3,28 
6.00 5,52 
8,00 6,58 
10,00 8.42 
 
 
 Teoricamente, como a resistência elétrica é um valor constante, a divisão de cada tensão 
V por sua respectiva corrente I, deveria dar um único resultado de resistência R. Porém, no expe- 
rimento, além do erro previstopelos instrumentos, podem Ter havido erros de leitura. Portanto, 
para se determinar a resistência elétrica do resistor com maior precisão, construiu-se o gráfico V 
x I e traçou-se a curva média para, a partir dela, realizar o cálculo da resistência experimental, 
como mostra a figura 4.17. 
 
 
Eletricidade II Página 21 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 
 
 
 
V(V) 
 
 10 
 9 
V28 
 7 
 6 
 5 
 4 
 3 
 
 2 
 1 
 
 
I(mA)
 
 1 2 
 I1 
3 4 5 6 7 
 I2 
8 9 10 
 
 
Figura 4.17 – Gráfico Experimental da Primeira Lei de Ohm 
 
 
 
 Pelo gráfico, percebe-se que as medidas (6V↔5,52mA) estão um pouco fora da curva 
média, correspondendo, provavelmente, a erros de leitura. Porém, o traçado correto da curva mé- 
dia fez com que essas medidas fossem desconsideradas. 
 Pela curva média, foram escolhidos os seguintes dados para o cálculo da resistência ex- 
perimental: 
 
 
 V1 = 3V ⇒ I1 = 2,5ma e V2 = 9V ⇒ I2 = 7,5ma 
 
 ∆V = V2 – V1 = 9 – 3 = 6V e ∆I = I2 – I1 = 7,5 – 2,5 = 5mA 
 
 
 Pela Primeira Lei de Ohm, a resistência elétrica do resistor obtida experimentalmente, 
pôde ser calculada por: 
 
 Ω=⇒
×
=⇒
∆
∆
=
−
1200
105
6
exp3expexp RRI
VR 
 
V1 
V2 
 
Eletricidade II Página 22 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 Para verificar se o resultado obtido experimentalmente (Rexp = 1200Ω) pôde ser consi- 
derado correto e preciso, calcularam-se os erros percentuais entre este e os valores de resistências 
resultantes de cada medida individualmente (Rmed): 
I
VRref = 100%
exp
exp ×= −
R
RR
e
med
 
 Estes cálculos aparecem na tabela a seguir: 
 
 
 Como cada instrumento de medida tem um erro previsto de (± 2%), um erro aceitável 
para os resultados experimentais é de (± 4%). 
 O único resultado ruim ( -9,42%) foi exatamente o do ponto rejeitado pela curva média, 
enquanto que os demais estão dentro da margem total de erro previsto (± 4%). Portanto, o resul- 
tado experimental obtido pôde ser considerado válido. 
 
 Segunda Lei de Ohm 
 A Segunda Lei de Ohm mostra como a resistência elétrica está relacionada com suas di- 
mensões e com a natureza do material com que é feita. 
 
Segunda Experiência de George Ohm: 
 
 Usando materiais de mesma natureza, George Ohm analisou a relação entre a resistên- 
cia R, o comprimento L e a área A da seção transversal, e chegou às seguintes conclusões: 
 
 1º) Quanto maior o comprimento de um material, maior é a sua resistência elétrica; 
 2º) Quanto maior a área da seção transversal de um material, menor é a sua resistên- 
cia elétrica: 
 A fig. 4.18 mostra esquematicamente estas relações: 
Eletricidade II Página 23 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 Em seguida, ele analisou a relação entre a resistência R de materiais de naturezas dife- 
rentes, mas com as mesmas dimensões, chegando às seguintes conclusões: 
 
 1º) Cada tipo de material tem uma característica própria que determina sua resistência, 
independente de sua geometria. 
 2º) Esta característica dos materiais é a resistividade elétrica, representada pela letra 
grega ρρρρ (rô), cuja unidade de medida é ρρρρ(ΩΩΩΩ . m) . 
 Assim George Ohm enunciou a sua segunda lei: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura 4.19 mostra a resistividade elétrica de alguns materiais usados na fabricação de 
condutores, isolantes e resistências elétricas: 
 
 Classificação 
 
 Material 
 
 Resistividade 
 
Metais Prata 1,6 . 10-8 
 Cobre 1,7 . 10-8 
 Alumínio 2,8 . 10-8 
 Tungstênio 5,0 . 10-8 
 Platina 10,8 . 10-8 
 
 Ferro 12 . 10-8 
Ligas Latão 8,0 . 10-8 
 Constantã 50 . 10-8 
 
 Níquel-Cromo 110 . 10-8 
 Grafite 4.000 a 8.000 . 10-8 
Isolantes Água Pura 2,5 . 103 
 Vidro 1010 a 1013 
 Porcelana 3,0 . 1012 
 Mica 1013 1015 
 Baquelite 2,0 . 1014 
 Borracha 1015 a 1016 
 
 Ãmbar 1016 a 1017 
 (valores mèdios a 20ºC 
 Figura 4.19 - Tabela de Resistividade Elétrica 
 
 
 
Segunda Lei de Ohm 
 A resistência elétrica R de um material é diretamente proporcional ao produto de sua 
resistividade elétrica ρ pelo seu comprimento L, e inversamente proporcional à área A de sua 
seção transversal. 
 R = ρ . L 
 A 
 
Eletricidade II Página 24 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
Exemplos: 
 
a) Dois fios de cobre têm as seguintes dimensões: 
 
fio 1 ⇒ comprimento = 30 m , diâmetro = 2 mm 
fio 2 ⇒ comprimento = 15 m , diâmetro = 2 mm 
 
 Qual deles apresenta maior resistência elétrica? 
 
 fio 1 ⇒ comprimento = 30 m , diâmetro = 2 mm 
 
fio 1: 
 ⇒
⋅
⋅⋅=⇒
⋅
⋅=
−
−
23
8
12
1
1 )210.2(
30107,1
pipi
ρ R
r
LR 
 
 Ω=Ω= mR 34,16216234,01 
 
 fio 2: 
 
 ⇒
⋅
⋅⋅=⇒
⋅
⋅=
−
−
23
8
22
2
2 )210.2(
15107,1
pipi
ρ R
r
L
R 
 
 Ω=Ω= mR 17,8108117,02 
 
 Portanto, o fio 1 apresenta o dobro da resistência elétrica do fio 2, pois seu comprimento 
é duas vezes maior. 
 
b) Dois fios de cobre têm as seguintes dimensões: 
 
fio 1 ⇒ comprimento = 30 m , diâmetro = 2 mm 
fio 2 ⇒ comprimento = 30 m , diâmetro = 4 mm 
 
 Qual deles apresenta maior resistência elétrica? 
 fio 1: 
 )(34,1621 anteriorexemplodofiomesmomR Ω= 
 fio 2: 
⇒
⋅
⋅⋅=⇒
⋅
⋅=
−
−
23
8
22
2
2 )210.4(
30107,1
pipi
ρ R
r
L
R 
 
 
 Ω=Ω= mR 58,4004058,02 
 
 
 
 
 
Eletricidade II Página 25 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 Portanto, a resistência elétrica do fio 1 é quatro vezes maior do que a do fio 2, pois seu 
seu diâmetro é duas vezes menor (a resistência é inversamente proporcional a r2). 
 Pela ordem de grandeza dos resultados, dá para entender por que o cobre é um excelente 
condutor, uma vez que apresenta baixíssima resistência elétrica, mesmo para grandes compri- 
mentos. É por isso que os fabricantes fornecem a resistência dos fios condutores em Ω / km. 
 
 
 c) Calcular o comprimento de um fio de níquel-cromo de 2mm de diâmetro, cuja resis- 
tência elétrica é de 100Ω. 
 
 
 mLLARL
A
LR 6,285
10110
)2/102(100 2
8
3
=⇒
×
⋅⋅⋅
=⇒
⋅
=⇒⋅=
−
−pi
ρ
ρ 
 
 
 Influência da Temperatura na Resistência Elétrica 
 
 
Um outro fator que influencia o valor da resistência elétrica é a temperatura do ambiente 
onde a mesma se encontra. Isto é muito importante nos projetos de equipamentos que traba- 
lham em condições adversas de temperatura ( muito altas ou muito baixas ), como no caso dos 
projetos aeronáuticos ( aviões e foguetes). 
Como um material dilata-se ou contrai-se com a temperatura, conseqüentemente, ela 
muda a energia cinética (mobilidade) dos elétrons livres do material, alterando sua resistividade, 
conforme a expressão a seguir:onde: 
 
ρ [Ω . m] = resistividade do material à temperatura T 
 
ρ0 [Ω . m] = resistividade do material à temperatura T0 
 
∆T [ºC] = T – T0 = variação da temperatura 
 
α [ºC –1] = coeficiente de temperatura do material 
 
 
 Para se descobrir a resistividade ρ de um material a uma temperatura T, deve-se usar co- 
mo referência uma resistividade ρ0 a uma temperatura T0. A tabela a seguir mostra o coeficiente 
de temperatura de alguns materiais. 
 
 
 
 
 
( )T∆⋅+⋅= αρρ 10 
Eletricidade II Página 26 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 
 
 Classificação Material αααα[ºC-1] 
 Metais Prata 0,0038 
 Alumínio 0,0039 
 Platina 0,0039 
 Cobre 0,0040. 
 
 Tungstênio 0,0048 
 Ligas Níquel-Cromo 0,00017 
 Niquelina 0,00023 
 Latão 0,0015. 
 Grafite - 0,0002 a 
 
 - 0,0008 
 Figura 4.20 – Tabela de Coeficiente de Temperatura 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
 •••• Nos metais puros, a resistência aumenta com o aumento da temperatura (coeficientes 
 de temperatura positivos); 
 •••• A grafite e algumas ligas metálicas, como a constantã, o níquel-cromo, a niquelina e 
 manganina, apresentam uma variação muito pequena de resistência numa determina- 
 da faixa de temperatura (coeficientes de temperatura próximos de zero), sendo por 
 isso muito utilizadas na fabricação de resistores. 
 •••• No gases ionizados e na grafite, a resistência diminui com o aumento da temperatura 
 (coeficientes de temperatura negativos). 
 
Exemplo: 
 
 Um fio de cobre tem as seguintes dimensões: comprimento = 2m e diâmetro = 0,5mm. 
 Determinar a sua resistência a 20º C e a 250º C, considerando-se que, nestas condições, 
suas dimensões praticamente não se alteram. 
 
 Pela tabela de resistividade (figura 4.19), tem-se que: 
 
 ρ0 = 1,7 . 10– 8 Ω . m 
 
 Portanto, a resistência do fio a 20º C será: 
 ( ) Ω=⇒⋅⋅⋅⋅=⇒= −
−
⋅
173,0
2/105,0
2107,1 023
8
000 RRA
LR
pi
ρ 
 
 Pela tabela da figura 4.20, o coeficiente de temperatura para o cobre vale: 
 α = 0,0040 º C–1 
 
 Á temperatura de 250º C, a resistividade e a resistência do fio passarão a ser de: 
 
Eletricidade II Página 27 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 ( ) ( )[ ] ⇒−+⋅×=⇒∆⋅+⋅= − 20250.0040,01107,11 80 ραρρ T 
 
 m⋅Ω×= −810264,3ρ 
 
 Ω=⇒
⋅⋅
⋅×=⇒⋅=
−
− 332,0)2105,0(
210264,3 23
8 RR
A
LR
pi
ρ 
 
 Nota-se, portanto, que o aumento de temperatura praticamente dobrou a resistência do 
fio de cobre. 
 
 
 Condutância e Condutividade Elétrica 
 
 A condutância, ao contrário da resistência, expressa a facilidade com que a corrente 
elétrica circula por um condutor. Ela é simbolizada pela letra G. 
 Matematicamente, a condutância é definida como: 
 
 
R
G 1= 
 
 A unidade de medida de condutância é Siemens (S) ou, também, (ΩΩΩΩ-1). 
 
 Da mesma forma, defini-se também condutividade σσσσ como sendo o inverso da resisti- 
vidade, que representa a característica do material relacionada à sua condutância, ou seja: 
 
 
 
ρ
σ
1
= 
 
 A unidade de medida de condutividade é (ΩΩΩΩ . m)-1 ou (S/m). 
 
 
 
Curiosidade: Supercondutividade 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Os supercondutores são materiais que conduzem eletricidade sem oferecer resistência. 
Eles podem ser considerados condutores ideais. O fenômeno da supercondutividade foi apresen- 
tado pela primeira vez em 1911, pelo físico holandês Kammerlingh Onnes. O sr. Onnes utilizou 
mercúrio resfriado até a temperatura do gás Hélio, ou seja, alguns graus acima do zero absoluto 
(zero absoluto é o zero da escala Kelvin de temperatura, e corresponde a 273,15ºC negativos). 
Nesta temperatura tão, a supercondutividade não poderia ser utilizada na prática. Mas, o físico 
Suiço Karl Alexander Müller conseguiu a supercondutividade utilizando uma cerâmica com óxi- 
do de cobre a temperatura de 35K, aproximadamente –238ºC. Isto lhe rendeu o Prêmio Nobel 
de física em 1987, juntamente com o Sr. J. Georg Bednorz. A partir daí, vários laboratórios es- 
palhados pelo mundo começaram a estudar a supercondutividade. A descoberta mais recente 
que se tem notícia, é a de se ter conseguido a supercondutividade em uma cerâmica a 123K ou 
-150ºC. A descoberta da supercondutividade é um avanço tecnológico revolucionário, compará- 
vel à descoberta da pròpria eletricidade, podendo vir a gerar um impacto em nossas vidas tal co- 
mo gerou o transistor, o computador etc. 
Eletricidade II Página 28 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
Resistores 
 
 Em eletricidade e em eletrônica, a resistência elétrica tem muitas aplicações. Por isso, 
existem os dispositivos denominados resistores, que são construídos com materiais condutores 
de alta resistividade, para oferecerem maior resistência à passagem da corrente elétrica. 
 
 Os primeiros resistores a serem utilizados em circuitos eletrônicos eram construídos a 
partir de fios condutores de alta resistividade. Com os avanços da tecnologia, estes componentes 
começaram a receber formatos mais adequados, e com a descoberta de novos materiais, mais re- 
sistentes às altas temperaturas, eles passaram a ter tamanhos menores. 
 Hoje, existem resistores dos mais variados tipos. A seguir, são apresentados os mais co- 
muns: 
 Resistores de Fio 
 
 Trata-se de um fio condutor de alta resistividade enrolado numa base cilíndrica de porce 
lana. O comprimento e o diâmetro do fio determinam sua resistência elétrica. Nas extremidades 
do fio, são soldados os dois terminais. Em seguida, é aplicada uma camada de material isolante 
para evitar a entrada de umidade e poeira. 
 
 
 Estes condutores, devido a sua construção robusta e ao fato de suportarem maiores tem- 
peraturas, são empregados onde estas características são exigidas. 
 Normalmente, tais resistores são fabricados com resistências baixas, da ordem de unida- 
des de Ohm, e possuem alta tolerância, de 10 a 20%. 
 
 Resistor de Filme de Carbono 
 Trata-se de uma base de porcelana, sobre a qual é depositada uma fina película de car- 
bono (filme). Nesta película, são feitos os sulcos que alteram suas dimensões, alterando sua re- 
sistência. Nas extremidades da película são soldados os dois terminais. Em seguida, é depositada 
uma camada de material isolante, para evitar a entrada de umidade e poeira. Finalmente, impri- 
mem-se os anéis coloridos que servem para informar o valor da resistência, como será visto mais 
adiante. 
Eletricidade II Página 29 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 
Resistor de Filme Metálico 
 
 Tem a mesma estrutura do resistor de carbono, só que a película é uma liga metálica ní- 
quel-cromo. Através desta, obtêm-se valores mais precisos de resistência, ou seja, tolerâncias 
menores, da ordem de 1 a 2%. Esses resistores são fabricados para uma faixa ampla de resistên- 
cias, de dezenas de Ohm a dezenas de Megaohm. 
 
 Potenciômetro 
 O potenciômetro é um resistor variável de três terminais, sendo dois ligados às extremi- 
dades da resistência, e um ligado a um cursor móvel,que pode deslocar-se sobre um material 
resistivo. A resistência entre as suas extremidades é fixa, porém, entre qualquer extremidade e 
o terminal ligado ao cursor, a resistência é variável (de zero até o valor máximo especificado), 
pois depende da posição em que o cursor se encontra (distância entre a extremidade e o termi- 
nal do cursor). 
 
 Uma haste giratória ou deslizante é acoplada ao cursor, permitindo a variação da resis- 
tência manualmente. 
 
 Dependendo do material resistivo utilizado, o potenciômetro pode ser fabricado para 
resistências máximas desde unidades de Ohm até centenas de Megaohm. 
 
 O potenciômetros são utilizados principalmente em circuitos nos quais deseja-se variar 
determinadas grandezas controladas por corrente ou tensão elétrica como, por exemplo, o volu- 
me de um rádio, o contraste de uma televisão, a temperatura de um forno elétrico etc. 
 
 Trimpot 
 
 O trimpot é também um resistor variável, porém difere do potenciômetro no aspecto 
construtivo e nas aplicações. 
 
 Construtivamente, o cursor é acoplado a uma base plana giratória vertical ou horizontal, 
dificultando o acesso manual. 
 
 
Eletricidade II Página 30 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 As aplicações mais comuns dos trimpots são os circuitos em que não se deseja mudar 
constantemente suas resistências como, por exemplo, instrumentos que precisam ser calibrados 
para funcionarem adequadamente. Uma vez calibrados, não se mexe mais nos trimpots. Por isso, 
os trimpots ficam alojados internamente nos aparelhos. 
 
 
 
 Valores Comerciais de Resistores 
 
 
 Comercialmente, são encontrados resistores com valores padronizados, denominados 
valores nominais. A tabela seguinte mostra as raízes de cada série, cujos valores nominais são 
seus múltiplos e submúltiplos. 
 
 
 
 
 
 Séries de Valores Comerciais de Resistores 
1º Série - Resistores de 5%, 10% e 20% de Tolerância 
10 12 15 18 22 27 33 39 
47 56 68 82 
2º Série - Resistores de 2% e 5% de Tolerância 
10 11 12 13 15 16 18 20 
22 24 27 30 33 36 39 43 
47 51 56 62 68 75 82 91 
 
 Figura 4.27 - Série de Valores Comerciais de Resistores 
 
 
 
Eletricidade II Página 31 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observação: 
 •••• Em circuitos eletrônicos, é comum representar o valor de resistores como 4k7Ω, ao 
invés de 4,7kΩ. 
Código de Cores para Resistores 
 
 Alguns tipos de resistores de dimensões grandes têm o valor de suas resistências e tole- 
râncias escritos diretamente no corpo. Porém, como muitos resistores tem dimensões muito pe- 
quenas, seus valores foram codificados através de anéis coloridos. 
 
 Os resistores das 1º e 2º séries possuem 4 anéis e os resistores da 3º série possuem 5 
anéis (resistores de precisão), como mostra a figura 4.28. 
 
 
 
 
3º Serie – Resistores de Precisão de 1% e 2% de Tolerância 
100 102 105 107 110 113 115 118 
121 124 127 130 133 137 140 143 
147 150 154 158 162 165 169 174 
178 182 187 191 196 200 205 210 
215 221 226 232 237 243 249 255 
261 267 274 280 287 294 301 309 
316 324 332 340 348 357 365 374 
383 392 402 412 422 432 442 453 
464 475 487 499 511 523 536 549 
562 576 590 604 619 634 649 665 
681 698 715 732 750 768 787 806 
825 845 866 887 909 931 953 976 
Figura 4.27 - Série de Valores Comerciais de Resistores (continuação) 
 São valores comerciais de resistores: 
 
 1º Série ⇒ 4,7kΩ ± 20% ⇒ 3,76kΩ ≤ R ≤ 5,64kΩ 
 
 2º Série ⇒ 220Ω ± 5% ⇒ 209Ω ≤ R ≤ 231Ω 
 
 3º Série ⇒ 53,6Ω ± 1% ⇒ 53,064Ω ≤ R ≤ 54,136Ω 
 
 
Eletricidade II Página 32 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
Cada um destes anéis tem um significado que, quando analisados em conjunto, informa 
o valor do resistor em Ohm e a sua tolerância. 
 A figura 4.29 mostra o significado de cada anel e de cada cor. Esta tabela serve para re- 
sistores de 4 e 5 anéis. Para os resistores de 4 anéis, basta ignorar a coluna referente ao terceiro 
anel (3º algarismo significativo). 
 
 
 
 Cor 1º Alg. 
 Sign. 
 2º Alg. 
 Sign. 
 3º Alg. 
 Sign. 
 Múltiplo Tolerância 
 Preto 0 0 X 1 
 Marrom 1 1 1 X 10 
 ± 1% 
 Vermelho 2 2 2 
 X 102 ± 2% 
 Laranja 3 3 3 
 X 103 
 Amarelo 4 4 4 
 X 104 
 Verde 5 5 5 
 X 105 
 Azul 6 6 6 
 X 106 
 Violeta 7 7 7 
 
 
 Cinza 8 8 8 
 Branco 9 9 9 
 Ouro 
 X 10-1 ± 5% 
 Prata 
 X 10-2 ± 10% 
 Ausência 
 ± 20% 
Figura 4.29 – Código de Cores para Resistores 
 
 
 
Eletricidade II Página 33 Eletrodinâmica – Resistência Elétrica 
Na maioria dos resistores, o primeiro anel é o que se encontra mais próximo a uma das extre- 
midades do componente. Quando isto não estiver visível, o primeiro anel é aquele que não 
possui uma das seguintes cores: preto, ouro e prata. 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Outro dado importante a respeito do resistor, é a potência que ele pode dissipar sem se 
danificar. 
 A potência está relacionada com o produto da tensão x corrente ( cuja unidade é o 
Watt), e que esta especificação é padronizada em função do tamanho do resistor, ou seja, quanto 
menor o tamanho do dispositivo, menor a sua potência máxima de dissipação. Em muitos resis- 
tores de tamanho grande, a potência pode estar escrita no próprio dispositivo. 
 Comercialmente, existem resistores desde 1/8 de Watt até centenas de Watt. 
 
 
 Qual o valor dos resistores abaixo? 
a) Vermelho – Violeta – Amarelo – Ouro 
 
 Como se trata de um resistor de 4 anéis, deve-se ignorar a coluna referente ao 3º alga- 
rismo significativo, já que neste caso, o 3º anel do resistor corresponde ao fator multiplicativo. 
Assim, tem-se: 
 
 Vermelho – Violeta – Amarelo – Ouro 
 2 7 x 104 ±±±± 5% 
 Portanto o valor deste resistor é de: 
 
 27 x 104 = 270.000 = 270kΩ ± 5% 
 
 b) Marrom - Preto - Vermelho - Laranja - Marrom 
 
 Marrom - Preto - Vermelho - Laranja - Vermelho 
 1 0 2 x 103 ±±±± 2% 
 
 Portanto, o valor deste resistoré de: 
 
 102 x 103 = 102.000 = 102kΩ ± 2% 
 
c) Violeta - Marrom - Verde - Prata - Marrom 
 
 Violeta - Marrom - Verde - Prata - Marrom 
 7 1 5 x10-2 ±±±±1% 
 
 Portanto, o valor deste resistor é de: 
 
 715 x 10-2 = 7,15Ω ± 1% 
 
Eletricidade Página 34 Eletrodinâmica – Potência Elétrica 
 
 
 
 
 Sempre que uma força produz movimento, diz-se que ela realizou um trabalho, ou que 
ela transformou sua energia acumulada em energia cinética (relacionada ao movimento). 
 Portanto, pode-se dizer que o trabalho realizado é igual à energia transformada ou, ain- 
da, que energia é a capacidade de realizar trabalho. 
 Já foi visto anteriormente, que uma ddp aplicada entre dois pontos num condutor, cria 
um campo elétrico que faz com que os elétrons livres se movimentem ordenadamente na forma 
de corrente elétrica. 
 Como ddp é força-eletromotriz (f.e.m. – força que move elétrons), é claro que ela tam- 
bém realiza trabalho, ou seja, transforma a energia potencial elétrica em energia cinética. 
 Também já foi visto que, quando um condutor resiste à passagem da corrente elétrica, 
ele se aquece. Isto significa que a energia cinética dos elétrons, devido aos choques como os á- 
tomos do condutor, transforma-se em energia térmica ou calor. 
 Como o calor gerado pelo condutor ou pela resistência nem sempre é aproveitado, é 
muito comum dizer que eles gastam a energia recebida ou, simplesmente, a dissipam. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.33 – Transformação da Energia Potencial em Cinética e em Calor 
 
 Portanto, em eletricidade, a transformação de energia está relacionada tanto com a 
tensão, que produz o movimento dos elétrons, como também com a corrente, que gera o calor. 
 
 Conceito de Potência Elétrica 
 
 A rapidez com que a tensão realiza trabalho ao deslocar elétros de um ponto para ou- 
tro é denominada potência elétrica, representada por P. 
 
 Potência elétrica é, portanto, o trabalho ττττ realizado num intervalo de tempo ∆t ou a 
energia elétrica E consumida num intervalo de tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
Potência Elétrica 
Energia Térmica 
Energia 
Cinética 
Energia Potencial 
 
t
E
t
P
∆
=
∆
=
τ
 
Pilha 
Resistor 
Eletricidade Página 35 Eletrodinâmica – Potência Elétrica 
A unidade de trabalho e de energia no SI é o Joule (J). Logo, a unidade de potência 
Elétrica é Joule/segundo, também denominada Watt (W), em homenagem ao cientista James 
Watt. 
 Para melhor entender o que vem a ser a potência, vamos fazer a seguinte analogia: 
 Imagine uma corrida de 100 metros com barreiras, na qual o atleta Pedro cruzou a 
reta final em 18 segundos e o atleta Lucas em 25 segundos. 
 Se os dois realizaram o mesmo trabalho ou gastaram a mesma energia, como Pedro 
foi mais rápido, significa que ele foi mais potente que Lucas. 
 Da mesma forma, um motor é mais potente que outro, quando ele gira mais rapida- 
mente ou consegue movimentar cargas mais pesadas, isto é, num mesmo intervalo de tempo, 
ele transforma mais energia elétrica em mecânica do que o outro. 
 Em eletricidade, isto também acontece com uma fonte de alimentação. A fonte mais 
potente é aquela que transfere mais energia ao circuito, ou seja, que fornece mais corrente. 
 Isto significa que a potência elétrica está diretamente relacionada com a tensão e a 
corrente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.34 – Potência de uma Fonte de Alimentação 
 
 
 
 Se o circuito for uma simples resistência elétrica, a potência fornecida pela fonte será 
totalmente dissipada por ela (transformando-a em calor), isto é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 4.35 – Potência Dissipada por uma Resistência Elétrica 
 
 
 
 A potência elétrica fornecida por uma fonte de alimentação a um circuito qualquer, 
é dada pelo produto de sua tensão pela corrente gerada. 
Potência Elétrica 
IVP ⋅= 
Circuito 
 
Elétrico 
Eletricidade Página 36 Eletrodinâmica – Potência Elétrica 
 Pela 1º Lei de Ohm, tem-se que: 
( ) ( )II
R
VIouIIRV =⋅= 
Substituindo-se (I) na equação da potência, tem-se: 
 
2
IRPIIRPIVP ⋅=⇒⋅⋅=⇒⋅= 
 
 Substituindo-se (II) na equação da potência, tem-se: 
 
R
VP
R
VVPIVP
2
=⇒⋅=⇒⋅= 
 Assim, a potência dissipada por uma resistência elétrica pode ser calculada por qual- 
quer uma das seguintes fórmulas: 
 
R
VPIRPIVP
2
2
=⋅=⋅= 
 Os submúltiplos e múltiplos mais usuais para potência são: 
 
 
Submúltiplos Unidade Valor 
microwatt µW 10-6 W 
miliwatt mW 10-3 W 
Múltiplos Unidade Valor 
quilowatt kW 103 W 
Megawatt MW 106 W 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Um resistor de 47Ω é ligado a uma fonte de alimentação de 10V. Calcular a potên- 
cia dissipada pelo resistor. 
Tem-se: 
 Ω== 4710 ReVV 
 Portanto: 
 WPP
R
VP 13,2
47
1022
=⇒=⇒= 
 b) Qual a resistência de uma lâmpada incandescente especificada para 110V/100W, e 
qual a corrente que circula por ela quando ligada corretamente? 
 
 Ω=⇒=⇒=⇒= 121
100
110222 RR
P
VR
R
VP 
 
AII
V
PIIVP 91,0
110
100
=⇒=⇒=⇒⋅= 
Eletricidade II Página 37 Eletrodinâmica - Fusível 
 
 Fusível 
 
 O fusível é um dispositivo utilizado para proteger equipamentos eletroeletrônicos e 
instalações elétricas de possíveis aumentos indesejáveis de correntes. 
 O princípio de funcionamento de um fusível está baseado no efeito Joule. Ele consiste 
basicamente num fio metálico à base chumbo ou estanho que, por terem pontos de fusão muito 
baixos, um aumento de corrente pode provocar um aquecimento suficiente para derretê-los. 
 Este fio é alojado em invólucros de vários tipos, sendo os mais comuns o de vidro (u- 
sado em equipamento eletroeletrônicos), o de cartucho de papelão e o de porcelana (os dois úl- 
timos são usados em instalações elétricas residenciais). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Um equipamento eletrônico consome, em condições normais, uma potência de 15W 
quando alimentado com 10V. Especificar o valor do fusível de proteção, sabendo-se que o fa- 
bricante doequipamento garante que o mesmo não se danifica, caso a sobrecarga não ultra- 
passe 50% de sua corrente normal de consumo. 
 A
V
PI 5,1
10
15
=== 
Uma sobrecarga de 50% significa: 
AII conssobr 75,0155,0.5,0 =×== 
Portanto, a corrente máxima que o equipamento suporta é de: 
AIII sobrconsmáx 25,275,05,1 =+=+= 
Assim, um fusível adequado para proteger o equipamento é o de 2A, como mostra a 
figura 4.37. 
 
Contatos Metálicos 
Invólucro de Vidro 
Condutor de Estanho 
Fusível 
Símbolo 
Figura 4.36 – Fusível de Vidro e Símbolo Elétrico 
 
 
 
 Equipamento 
Figura 4.37 – Proteção do Equipamento 
E 
2A 
Eletricidade II Página 38 Eletrodinâmica – Consumo de Energia Elétrica 
 Consumo de Energia Elétrica 
 
 
 Como foi visto anteriormente, potência dissipada é energia consumida num intervalo 
de tempo (P = E / ∆t). 
 Mas toda energia tem um preço, portanto, nunca é demais aprender a quantificá-lo. 
 Da equação acima, tem-se que a energia elétrica consumida por um circuito elétrico 
qualquer num determinado intervalo de tempo é: 
 
 
 
 
 [ J ] ou [W.s) 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Em instalações residenciais e industrias, a unidade de energia mais usual é o 
quilowatt-hora (kWh). 
 No estado de S. Paulo, por exemplo, o custo do consumo de kWh é escalonado pro- 
gressivamente em três faixas, como mostra a tabela a seguir: 
 
 
 
 Custo Aproximado do kWh (Eletropaulo) 
 
 
 Faixa de Consumo Custo 
(kWh) (U$) 
0 – 30 0,02 
31 – 100 0,05 
101 – 200 0,09 
Acima de 200 0,12 
 
 
 Desta forma, é possível calcularmos o quanto gastamos diariamente com energia elé- 
trica, para desfrutarmos dos bens que a eletricidade nos oferece, e o quanto desperdiçamos com 
luzes acesas indevidamente, com novelas assistidas por paredes e sofás vazios etc. 
 
 
 
tPE Α⋅= 
 Uma pilha comum pode fornecer uma energia de aproximadamente 10Wh. Sabendo- 
se que um aparelho Walkman consome 2W em média, por quanto tempo você poderá ouvir 
suas músicas prediletas com uma única pilha? 
 htt
P
E
ttPE 5
2
10
=∆⇒=∆⇒=∆⇒∆⋅= 
 
Eletricidade II Página 39 Eletrodinâmica – Consumo de Energia Elétrica 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Faixa de Consumo Consumo Real Custo Total por Faixa 
(kWh) (KWh) Custo x Consumo (U$) 
0 – 30 30 30 x 0,02 = 0,60 
31 – 100 70 70 x 0,05 = 3,50 
101 – 200 100 100 x 0,09 = 9,00 
Acima de 200 376 376 x 0,12 = 45,12 
Totais 576 58,22 
 
 
 Que tal gastar quase U$60,00 por mês somente para os seus banhos? Adicione os 
banhos do resto de sua família, um pouco de TV, geladeira, forno de microondas etc. e veja 
quantas horas de trabalho são necessárias para... 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se você é uma pessoa super-higiênica, que gosta de tomar banho super-quente duas 
vezes ao dia, mas também é extremamente tranqüila, pois demora duas horas por banho, vê- 
ja quanto você gasta mensalmente por ser asseado e assíduo. 
 Os chuveiros mais comuns consomem, em média, 4.800W (na posição inverno). 
 Quanto tempo por mês você gasta cantando no chuveiro? 
 
 hdiasbanhodetempot 120304 =×=×=∆ 
 
Qual a energia elétrica consumida pelo seu chuveiro em um mês? 
 
kWHEEtPE 576120800.4 =⇒×=⇒∆⋅= 
 
Quanto você paga mensalmente por isso? 
 
Os 576 kWh gastos no mês serão, para efeito de cálculo de custo, divididos em 4 par- 
tes, preenchendo as 4 faixas de consumo: 
Eletricidade II Página 40 Eletrodinâmica - Exercícios Propostos 
 
 
 
 
 
Corrente Elétrica 
 
4.1 Por que é preciso uma ddp para haver corrente elétrica num condutor? 
 
 R= ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________ 
 
 
4.2 Qual a relação entre o movimento dos elétrons livres, o sentido do campo elétrico e a 
 ddp em um condutor sólido metálico? 
 
 R= ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
4.3 Qual é o sentido convencional da corrente elétrica nos condutores sólidos metálicos? 
 
 R= ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
 
4.4 Qual a intensidade da corrente elétrica num condutor, se em 3 minutos passam por ele 
 10C? 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
4.5 Sabendo-se que por um condutor passam 22x1027 elétrons por minuto, qual o valor da 
 corrente correspondente? 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
Eletricidade II Página 41 Eletrodinâmica - Exercícios Propostos 
 
4.6 A intensidade da corrente elétrica num condutor é 10mA. Qual a carga elétrica que 
 passa por este condutor a cada 5 minutos? 
 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade II Página 42 Eletrodinâmica - Exercícios Propostos 
 
 
 
 
 
Resistência Elétrica 
 
4.9 O que é resistência elétrica e quais as características de um material que a definem. 
 
 R= ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________ 
 ___________________________________________________________________ 
 
4.10 O que é efeito Joule e por que ele ocorre? 
 
 R= ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________
 ___________________________________________________________________ 
 
4.11 Num circuito, um resistor de 75kΩ é submetido a uma tensão de 15V. Qual a corrente 
 que passa por este resistor? 
 
 R=4.12 Qual o valor da resistência de um resistor que, quando submetido a uma tensão de 7V, 
deixa passar uma corrente de 12,5mA? 
 10C? 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
4.13 Qual o valor da tensão que, aplicada em um resistor de 820Ω, faz passar por ele uma 
 corrente de 40mA? 
 
 R= 
 
 
 
 
 
Exercícios Propostos 
Eletricidade II Página 43 Eletrodinâmica - Exercícios Propostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pela curva média, foram escolhidos os seguintes dados para o cálculo da resistência 
experimental: 
 
 V1 = ____V I1 = ____µA e V2 = ____V I2 = ____µA 
 Dados 1 
 ∆V = V2 – V1 = _______V e ∆I = I2 – I1 = ______µA 
 
 Pela Primeira Lei de Ohm, a resistência elétrica do resistor obtida experimentalmente, 
pôde ser calculada por: 
 
 
I
VR
∆
∆
=exp 
 
 V1 = ____V I1 = ____µA e V2 = ____V I2 =____µA 
 Dados 2 
 ∆V = V2 – V1 = ________V e ∆I = I2 – I1 = _________µA 
 
 
I
VR
∆
∆
=exp 
 
 Cálculo dos erros percentuais entre o valor experimental e os valores de resistências 
resultantes de cada medida individualmente ( Rmed ): 
 
 100
exp
exp ×
−
==
R
RR
e
I
VR medoomed 
 Tabela com os erros percentuais ( e% ) 
 
VR (V) IR (µA) Rmed (µA) e% 
1,00 29,87 
2,00 62,34 
3,00 88,56 
4,00 168,76 
5,00 148,05 
0 20 40 60 80 100 120 140 160 
IR(µA)
 
VR(V) 
5 
4 
3 
2 
1 
VR (V) IR (µA) 
1,00 29,87 
2,00 62,34 
3,00 88,56 
4,00 168,76 
5,00 148,05 
 
a) Construa o gráfico do experimento; 
b) Determine o valor experimental do 
 resistor; 
c) Calcule o erro percentual entre o 
 valor obtido experimentalmente e 
 os valores de resistências obtidos 
 por cada medida realizada; 
d) Analisar os resultados obtidos 
 4.14 – Num laboratório de eletrônica, foi feita uma experiência para a determinação da resistência 
 elétrica de um resistor desconhecido, usando um voltímetro na escala 6V (±5%) e um 
 microamperímetro na escala de 200µA(±5%), chegando-se à seguinte tabela: 
 
Eletricidade II Página 44 Eletrodinâmica – Exercícios Propostos 
4.15 Qual a resistência de uma barra de alumínio de 10m, com seção transversal retangular 
 de 2cm x 4mm? 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.16 Qual deve ser o comprimento de um fio de cobre com 2mm de diâmetro, para que sua 
 resistência seja de 200Ω? 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.17 Qual a relação entre as resistências de dois fios de cobre de mesmo comprimento, sendo 
que um tem o dobro do diâmetro do outro? 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade II Página 45 Eletrodinâmica – Exercícios Propostos 
4.19 Um aluno mediu experimentalmente a resistência de dois pedaços de grafite de lapiseira 
de 5cm de comprimento, sendo um do tipo 0,5mm e outro 0,7mm. Explique as conclusões 
 às quais ele chegou quanto ao valor das resistências das duas grafites, sabendo-se que 
 foram fabricadas com um mesmo material de resistividade ρ=5000.10-8Ω.m. 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.20 O filamento de tungstênio de um aquecedor elétrico tem as seguintes dimensões: com- 
primento = 8m e diâmetro = 1mm. Determine a temperatura do filamento quando o 
 aquecedor estiver ligado, sabendo-se que, nestas condições, suas dimensões pratica- 
 mente não se alteram e sua resistência vale 3Ω. 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade II Página 46 Eletrodinâmica – Exercícios Propostos 
4.22 Quais valores abaixo correspondem a resistores comerciais e quais suas possíveis tole- 
râncias? 
 
 
 I – 6,8kΩ II – 35kΩ III – 2700Ω IV – 19,1kΩ V – 468kΩ 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.23 Qual a faixa de valores em Ohm, garantida pelo fabricante, dos resistores: 150Ω ± 20% e 
150Ω ± 1% ? 
 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
4.24 Num resistor de 39kΩ ± 5%, aplicou-se uma tensão de 78V e mediu-se uma corrente de 
 1,94mA. Sabendo-se que os instrumentos utilizados eram de grande precisão e que não 
 houve erros de leitura nas medidas, explique o resultado obtido. 
 
 
 R= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Eletricidade II Página 47 Eletrodinâmica – Exercícios Propostos 
4.25 Determine os valores nominais e as tolerâncias dos resistores que tem os seguintes 
 anéis em seu corpo: 
 a) laranja, laranja, laranja, prata 
 b) azul, cinza, preto 
 c) violeta, verde, marrom, ouro 
 d) marrom, vermelho, amarelo 
 e) verde, azul, verde, prata 
 f) marrom, preto, vermelho, ouro 
 g) marrom, preto, vermelho, vermelho 
 h) amarelo, verde, laranja, vermelho, marrom 
 i) laranja, marrom, azul, preto, marrom 
 j) marrom, cinza, violeta, laranja, vermelho 
 k) azul, branco, cinza, ouro, marrom 
 l) vermelho, amarelo, branco, prata, marrom 
 
 R= 
 a) _________________________________ 
 b) _________________________________ 
 c) _________________________________ 
 d) _________________________________ 
 e) _________________________________ 
 f) _________________________________ 
 g) _________________________________ 
 h) _________________________________ 
 i) _________________________________ 
 j) _________________________________ 
 k) _________________________________ 
 l) _________________________________ 
 
 
4.26 Determine as cores dos anéis dos resistores a seguir: 
 
 a) 12kΩ ± 1% f) 2,37Ω ± 1% 
 b 470kΩ ± 10% g) 3,57kΩ ± 2% 
 c) 1800Ω ± 2% h) 10,7Ω ± 1% 
 d) 3M9Ω ± 10% i) 5620Ω ± 1% 
 e) 3K3Ω ± 20% j) 86,6kΩ ± 2% 
 
 R= 
 a) ___________________________________________________________________ 
 b) ___________________________________________________________________ 
 c) ___________________________________________________________________ 
 d) ___________________________________________________________________ 
 e) ___________________________________________________________________ 
 f) ___________________________________________________________________ 
 g) ___________________________________________________________________ 
 h) ___________________________________________________________________ 
 i) ___________________________________________________________________