1126725 06 Aletas

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Aletas
Disciplina: Transferência de Calor
Engenharia Metalúrgica
Prof: Rogério Jorge Amorim
Aquecedores
Cooler de Computadores
Motores Refrigerados a ar
Radiadores Veiculares
Aletas – Transferencia de Calor em 
superfícies expandidas
O aumento da taxa de transferência de calor por convecção, segundo 
a equação:
 Aumentando-se o coeficiente de convecção h
 Reduzindo a temperatura do fluido T∞.
 Aumentando-se da área utilizando-se aletas.
Para uma aleta, assume-se:
 Condução unidimensional
 Regime permanente
 Condutividade térmica k constante
 Radiação desprezível
 Sem geração
𝑞 = ℎ𝐴 𝑇𝑆 − 𝑇∞
Aletas
qx qx + dx
dqconv
x
dx
ሶ𝐸𝑖𝑛 = ሶ𝐸𝑜𝑢𝑡ሶ𝐸𝑖𝑛 − ሶ𝐸𝑜𝑢𝑡+ ሶ𝐸𝑔= ሶ𝐸𝑠𝑡
𝑞𝑥 = 𝑞𝑥+𝑑𝑥 + 𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣
𝑞𝑥 = energia que entra por condução
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = energia que sai por condução
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = energia perdida por convecção
Pela lei de Fourier
𝑞𝑥 = −𝑘𝐴𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑥
Como:
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞𝑥 +
𝜕𝑞𝑥
𝜕𝑥
𝑑𝑥
Temos
𝑞𝑥+𝑑𝑥 = −𝑘𝐴𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑥
− 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝐴𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑑𝑥
Aletas
qx qx + dx
dqconv
x
dx
A taxa de calor por convecção é dada por:
𝑑𝑞𝑐𝑜𝑛𝑣 = ℎ𝑑𝐴𝑆 𝑇 − 𝑇∞
na qual 𝑑𝐴𝑆 é a área de superfície
infinitesimal
O que resulta em: 
−𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝐴𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + ℎ𝑑𝐴𝑆 𝑇 − 𝑇∞ = 0
Substituindo na equação
−𝑘𝐴𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑥
= −𝑘𝐴𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑥
− 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝐴𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑑𝑥 + ℎ𝑑𝐴𝑆 𝑇 − 𝑇∞
Se a área transversal da aleta for constante: 
𝐴𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 e 
𝑑𝐴𝑆 = 𝑃. 𝑑𝑥
Aletas
qx qx + dx
dqconv
x
dx
−𝑘𝐴𝑐
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
𝑑𝑥 + ℎ𝑑𝐴𝑆 𝑇 − 𝑇∞ = 0
Definindo:
𝑚2 =
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑐
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
−
ℎ
𝑘𝐴𝑐
𝑑𝐴𝑆
𝑑𝑥
𝑇 − 𝑇∞ = 0
𝜕2𝑇
𝜕𝑥2
−
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑐
𝑇 − 𝑇∞ = 0
𝑑𝜃
𝑑𝑥
=
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑑2𝜃
𝑑𝑥2
=
𝑑2𝑇
𝑑𝑥2
𝜃 = 𝑇 − 𝑇∞
𝜕2𝜃
𝜕𝑥2
−
ℎ𝑃
𝑘𝐴𝑐
𝜃 = 0
𝜕2𝜃
𝜕𝑥2
−𝑚2𝜃 = 0
Excesso de Temperatura 𝜽
Aletas
qx qx + dx
dqconv
x
dx
𝜃 𝑥 = 𝐶1𝑒
𝑚𝑥 + 𝐶2𝑒
−𝑚𝑥
𝜕2𝜃
𝜕𝑥2
−𝑚2𝜃 = 0
Equação diferencial de 2ª ordem
Solução
Condições de Contorno
𝜃 𝑥 = 0 = 𝑇𝐵 − 𝑇∞ = 𝜃𝐵𝑇 𝑥 = 0 = 𝑇𝐵
1ª Condição – Base da Aleta (𝑥 = 0)
2ª Condição – Ponta da Aleta (𝑥 = 𝐿)
Podem ser 4 diferentes condições
Aletas
A – Transferência de Calor convectiva 
qconv
ቤ−𝑘𝐴𝑐
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑥=𝐿
= ℎ𝐴𝑐 𝑇𝐿 − 𝑇∞
ቤ−𝑘𝐴𝑐
𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑥=𝐿
= ℎ𝐴𝑐𝜃𝐿
B – Aleta com ponta Adiabática
ቤ
𝑑𝑇
𝑑𝑥
𝑥=𝐿
= 0
ቤ
𝑑𝜃
𝑑𝑥
𝑥=𝐿
= 0
q = 0
Aletas
C – Temperatura da ponta fixa igual a TL
D – Aleta muito longa
𝜃 𝑥 = 𝐿 = 𝑇𝐿 − 𝑇∞ = 𝜃𝐿
𝑇 𝑥 = 𝐿 = 𝑇𝐿
TL
𝜃 𝑥 = 𝐿 = 𝑇∞ − 𝑇∞ = 0
𝑇 𝑥 = 𝐿 = 𝑇∞
T∞
Aletas
Conjunto de Aletas
Em geral, aletas são usadas em 
conjunto para que se retire uma 
quantidade maior de calor
Conjunto de Aletas
 O calor total que sai pelo 
conjunto é:
 𝑞𝑡 = 𝑁. 𝑞𝑓 + 𝑞𝑠 sendo,
 N Quantidade de aletas
 qf taxa de calor perdida por uma aleta
 qs taxa de calor perdida pela superfície 
da base por convecção
qf
qf
qf
qs
Conjunto de Aletas
 A taxa de calor perdida pela 
superfície da base por 
convecção qs é dada por:
 𝑞𝑠 = ℎ. 𝐴𝑏 . 𝜃𝑏
 𝐴𝑏 => Área da superficie exposta.
 Ou seja:
 𝑞𝑡 = 𝑁. 𝑞𝑓 + ℎ. 𝐴𝑏 . 𝜃𝑏
Conjunto de Aletas
 Assim, a eficiência global η0 da 
superfície aletada, definida como a 
razão entre a taxa de calor total e a 
taxa de calor máxima será
 𝜂0 =
𝑞𝑡
𝑞𝑀𝐴𝑋
=
𝑞𝑡
ℎ.𝐴𝑡.𝜃𝑏
 Sendo:
 𝐴𝑡 = 𝐴𝑏 + 𝑁.𝐴𝑠