2 Números Complexos e Fasores(1)

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Número Complexos 
Introdução a Fasores
Engenharia Elétrica
Circuitos Elétricos II
2018
Natal, Prof. Jan Erik, Msc.
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Número Complexo
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Números Complexos
Introdução
Em nossa análise dos circuitos de corrente contínua, vimos a necessidade de calcular
somas algébricas de tensões e de correntes.
A questão agora é: como se calcula a soma algébrica de duas ou mais tensões (ou
correntes) senoidais? Por isso, o objetivo é induzir um sistema de números complexos
que, quando aplicado a formas de onda senoidais, resulta em uma técnica, de aplicação
rápida, direta e precisa, para determinar a soma algébrica de formas de onda.
conjunto dos números complexos compreende todos os reais e os chamados
números imaginários, representados por pares ordenados, nos quais a abscissa é um
número real e a ordenada, um múltiplo real da raiz quadrada de –1. Em matemática, a
unidade imaginária ( −1) é indicada por i, e, em eletricidade, para não confundirmos
com a corrente elétrica, por j:
𝒋 = −𝟏
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Números Complexos
Forma Cartesiana e Polar
Em uma representação de números complexos, um número pode ser representado na
forma polar e na forma cartesiana:
Em que:
𝑧 = 𝑎 + 𝑗𝑏
𝑧 = |𝑍|∠𝜑 (forma polar)
(forma cartesiana)
𝑍 = 𝑎2 + 𝑏2
𝜑 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝑏
𝑎
(módulo)
(fase)
𝑎 = 𝑍. cos(𝜑)
𝑏 = 𝑍. 𝑠𝑒𝑛(𝜑)
𝑧 = 𝑍𝑒𝑗𝜑 (forma exponencial)
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Números Complexos
Exercícios
Dado os números complexo (na forma cartesiana) abaixo, represente-os no plano
complexo e encontre sua representação na forma polar.
𝑎) 𝐴 = 3 + 𝑗4
b) 𝐵 = 0 − 𝑗6
c) 𝐶 = −10 − 𝑗20
Dado os números abaixo na forma polar, encontre sua representação na forma cartesiana. 
𝑎) 𝐴 = 5,65∠45𝑜
b) 𝐵 = 10∠60𝑜
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Operações com Números Complexos
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Números Complexos
Soma e Subtração
Para a operação de soma e subtração de números complexos, em circuitos
elétricos, usa-se a forma cartesiana.
Sejam dois números complexos:
𝑧1 = 𝑎1 + 𝑗𝑏1 𝑧2 = 𝑎2 + 𝑗𝑏2e
O resultado da soma entre eles será dada como:
𝑧1 + 𝑧2 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑗(𝑏1+𝑏2)
E da subtração será:
𝑧1 − 𝑧2 = 𝑎1 − 𝑎2 + 𝑗(𝑏1−𝑏2)
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Números Complexos
Multiplicação e Divisão
Para a operação de multiplicação e divisão de números complexos, em
circuitos elétricos, usa-se a forma polar.
Sejam dois números complexos:
𝑧1 = 𝑍1∠𝜑1 e
O resultado da multiplicação entre eles será dada como:
𝑧1. 𝑧2 = 𝑍1. 𝑍2∠(𝜑1 + 𝜑2)
E da divisão será:
𝑧1
𝑧2
=
𝑍1
𝑍2
∠(𝜑1 − 𝜑2)
𝑧2 = 𝑍2∠𝜑2
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Números Complexos
Exercícios
Dado os números complexos abaixo:
Calcule o seguinte:
𝑧1 = 4 + 𝑗4 𝑧2 = 5 + 𝑗8,66
𝑧1. 𝑧2
𝑧1 + 𝑧2
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Fasores
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Fasores
Conceito
O Fasor é um número complexo usado para representar a amplitude e a fase de
uma função senoidal. O conceito se baseia na identidade de Euler a função
exponencial à função trigonométrica:
𝑒𝑗𝜑 = cos(𝜃) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜃)
cos 𝜑 = ℜ{𝑒𝑗𝜃}
sen 𝜑 = ℑ{𝑒𝑗𝜃}
Usando a expressão geral no domínio do TEMPO para circuito alternados:
𝑣(𝑡) = 𝑉𝑚. cos(𝜔𝑡 + 𝜑)
Pode ser rescrita como:
𝑣 𝑡 = 𝑉𝑚.ℜ 𝑒𝑗 𝜔𝑡+𝜑 = 𝑉𝑚ℜ 𝑒𝑗 𝜔𝑡 𝑒𝑗 𝜑 = ℜ 𝑉𝑚. 𝑒𝑗 𝜑
Usando o conceito de transformada fasorial, em que precisamos somente representa a
amplitude e fase, temos finalmente a representação no domínio da FREQUÊNCIA:
𝐕 = Vm. ejφ → 𝐕 = Vm∠φ
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Fasores
Definições – forma polar
▪ A transformada fasorial sempre se referirá a uma função cosseno.
▪ Exclui-se a representação da frequência, pois a frequência de saída de
um circuito será a mesma frequência de entrada, mudando somente a
amplitude e o ângulo de fase.
▪ Usar fasores deixa os cálculos em operações algébrica e não mais com
cálculos trigonométricos.
▪ Uma das forma mais comum de usar o fasor é a forma polar:
𝐕 = Vm∠φ
Fasor
Amplitude
Ângulo de fase
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Fasores
Definições – forma retangular ou complexa
▪ Outra forma bastante usada para fasores é a forma retangular.
▪ O sinal positivo (+) significa que o fasor está adiantado, e o sinal
negativo(-) significa que ele está em atraso.
𝐕 = R ± jX
Fasor
Parte real
Parte imaginária
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Exercícios
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Exercícios
Exercícios
1 – se y1=20 cos 𝑤𝑡 − 30 e y2=40cos(𝑤𝑡 + 60), expresse y=y1+y2 como uma única 
função cossenoidal.
a) resolva o problema utilizando identidades trigonométricas
b) resolva o problema usando fasores
2 – Determine as transformadas fasoriais das seguintes funções trigonométricas:
a) 𝑣 = 170 cos 377𝑡 − 40° 𝑉
b) 𝑖 = 10 𝑠𝑒𝑛 1000𝑡 + 20° 𝐴
c) 𝑖 = 5 cos 𝑤𝑡 + 36,87° + 10 cos 𝑤𝑡 − 53,13° 𝐴
3 – Determine as expressões no domínio do tempo correspondentes aos seguintes 
fasores:
a) 𝑉 = 86,3∠26° 𝑉
b) 𝐼 = 10∠30° + 25∠60° 𝑚𝐴