Lista 25 Teorema do Valor Médio

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Lista 25 - Teorema do Valor Médio e a Regra de L´Hospital.
1) Mostre (usando o Teorema do Valor Médio) que, em algum momento
durante uma viagem de um automóvel de 1 hora, o velocímetro marca o valor
equivalente à velocidade média da viagem.
2) Se f contínua em [a; b] e f derivável em (a; b) com f 0(c) = 0 para todo
c 2 (a; b) então f é uma constante.
Dica: Aplica o teorema do valor médio em f usando o intervalo [a; x] :
Regra de L´Hospital: se f e g são deriváveis em a e f(a) = g(a) = 0
e g0(a) 6= 0 então lim
x!a
f(x)
g(x) =
f 0(a)
g0(a) : Caso ainda temos f
0(a) = g0(a) = 0 e
g00(a) 6= 0 então lim
x!a
f(x)
g(x) = limx!a
f 0(x)
g0(x) =
f 00(a)
g00(a) e assim por diante.
A prova é desse resultado é bem simples:
lim
x!a
f(x)
g(x) = limx!a
f(x)�0
g(x)�0 = limx!a
f(x)�f(a)
g(x)�g(a) = limx!a
f(x)�f(a)
g(x)�g(a)
1
x�a
1
x�a
= lim
x!a
f(x)�f(a)
x�a
g(x)�g(a)
x�a
=
f 0(a)
g0(a) :
Exemplos:
a) Calcule lim
x!2
x2�4
sen(x�2) . Como para x = 2; o numerador e o denominador se
anulam temos
lim
x!2
x2�4
sen(x�2) = limx!2
2x
cos(x�2) = 4
b) Calcule lim
x!0
e7x�x�1
x2+x . Como para x = 0; o numerador e o denominador se
anulam temos
lim
x!0
e7x�x�1
x2+x = limx!0
7e7x�1
2x+1 = 7
c) Calcule lim
x!0
ln(x+1)
sen(x) . Como para x = 0; o numerador e o denominador se
anulam temos
lim
x!0
ln(x+1)
sen(x) = limx!0
1
(x+1)
cos(x) = 1
3) Primeiro veri…que a condição f(a) = g(a) = 0 e g0(a) 6= 0 e depois calcule
os limites:
a) lim
x!0
ln(x+1)
tan x
b) lim
x!4
e(x�4)�1
sen(x�4)
c) lim
x!0
e7x�8x�1
x2+x
1