Lista-C1V-SI1-5

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Ca´lculo a uma Varia´vel
Professora: Maite´ Lista 5
1. Calcule a integral e, em seguida, derive as respostas para conferir
os resultados:
(a)
∫
dx
x3
(b)
∫
(ax4 + bx3 + 3c)dx
(c)
∫
(2x2 − 3)2dx
(d)
∫ (√
2y − 1√
2y
)
dy
(e)
∫
x3
√
xdx
(f)
∫ (
9t2 +
1√
t3
)
dt
(g)
∫ (
1√
x
+
x
√
x
3
)
dx
(h)
∫
dx
sen2x
(i)
∫ √
2dt
3t2 + 3
(j)
∫
x5 + 2x2 − 1
x4
dx
2. Encontre uma primitiva F, da func¸a˜o f(x) = x2/3 +x, que satisfac¸a
F (1) = 1.
3. Determine a func¸a˜o f(x) tal que
∫
f(x)dx = x2 +
1
2
cos 2x+ c.
4. Encontre uma primitiva da func¸a˜o f(x) =
1
x2
+ 1 que se anule no
ponto x = 2.
5. Encontre uma func¸a˜o tal que f ′(x) + senx = 0 e f(0) = 2.
6. Calcule as seguintes integrais, usando o me´todo da substituic¸a˜o:
(a)
∫
xdx
5
√
x2 − 1
(b)
∫
dt
(2 + t)2
(c)
∫
(x3 − 2)1/7x2dx
(d)
∫
tgx sec2 xdx
(e)
∫
senx
cos5 x
dx
(f)
∫
ex cos 2exdx
(g)
∫
3dx
x ln2 3x
(h)
∫
(sen4x+ cos 2pi)dx
(i)
∫
xe3x
2
dx
(j)
∫
et
et + 4
dt
(k)
∫
e1/x + 2
x2
dx
(l)
∫
(e2t + 2)1/3e2tdx
(m)
∫
sen4x cosxdx
(n)
∫
x
2
cosx2dx
(o)
∫
3
√
senθ cos θdθ
(p)
∫
exdx
e2x + 16
(q)
∫
sen(5θ − pi)dθ
(r)
∫
8x
√
1− 2x2dx
7. Calcule as seguintes integrais, usando o me´todo de integrac¸a˜o por
partes:
(a)
∫
x sen5xdx
(b)
∫
te4tdt
(c)
∫
x ln 3xdx
(d)
∫
ex cos
x
2
dx
(e)
∫
cosec3xdx
(f)
∫
xcosec2xdx
(g)
∫
(x− 1)e−xdx
(h)
∫
x2exdx
(i)
∫
(x− 1) sec2 xdx
(j)
∫
x5ex
2
dx
(k)
∫
ln(1− x)dx
(l)
∫
(x+ 1) cos 2xdx
(m)
∫
cos3 xdx
(n)
∫ √
x lnxdx
(o)
∫
ln3 2xdx
(p)
∫
x2 lnxdx
(q)
∫
e3x cos 4xdx
(r)
∫
ln(x2 + 1)dx
(s)
∫
x cos2 xdx
(t)
∫
1
x3
e1/xdx
8. Calcule as seguintes integrais trigonome´tricas:
(a)
∫
cos3 x dx
(b)
∫
sen2x cos x dx
(c)
∫
sen6x cos3 x dx
(d)
∫
sen5 2x dx
(e)
∫
sen3x cos2x dx
(f)
∫
sen5x cos3 x dx
9. Calcule as integrais definidas:
(a)
∫ 2
−1
x(1 + x3)dx
(b)
∫ 6
1
dx
x6
dx
(c)
∫ 1
0
dy√
3y + 1
dy
(d)
∫ 0
−3
(x2 − 4x+ 7)dx
(e)
∫ 4
0
2t
√
t dt
(f)
∫ 3pi/4
pi/4
senx cosx dx
10. Calcule as a´reas:
(a) Entre o gra´fico de y =
2x, a reta x = 4 e o eixo
Ox
(b) Entre o gra´fico de y =
x2 + 4x+ 3 e o eixo Ox
(c) Entre o gra´fico de y =
−x + 3, o eixo Ox e o
eixo Oy
(d) Entre o gra´fico de y =
x2 − 1 e o eixo Ox