Apostila Sinais Senoidais-Tensão e Corrente Alternadas - CEFET
187 pág.

Apostila Sinais Senoidais-Tensão e Corrente Alternadas - CEFET


DisciplinaEletricidade4.181 materiais19.111 seguidores
Pré-visualização40 páginas
função que este fasor 
representa é: 
v(\u3b1) = Vp . sen (\u3b1 ± \u3b8) 
ou em função do tempo: 
v(t) = Vp . sen (\u3c9.t ± \u3b8) 
Exemplo 5.2.1: Representar graficamente os sinais senoidais através do diagrama fasorial e de sua 
projeção senoidal: 
v(t) = 10.sen(100t + 0o) V 
i(t) = 5.sen(100t + 45o) A 
Solução: O fasor V correspondente ao sinal senoidal v(t) deve ser posicionado sobre o eixo x, pois o 
seu ângulo de fase inicial é \u3b8=0o, e deve ter módulo igual a 10 unidades da escala adotada, como 
mostra a figura 5.2.4. O fasor I correspondente ao sinal senoidal i(t) deve ser posicionado a +45o a 
partir do eixo x e deve ter módulo de 5 unidades da escala adotada, como mostra a figura 5.2.4. 
 
 
x \u2013 eixo real 
 y \u2013 eixo imaginário 
10 
5
45o
 \u3c9 
fasor V
fasor I 
0 
 
Figura 5.2.4: diagrama fasorial para os exemplos 5.2.1 e 5.2.2. 
Observação: Um diagrama fasorial pode conter um ou vários Fasores (vários sinais senoidais) 
desde que sejam todos de mesma freqüência. 
Exemplo 5.2.2: Do diagrama fasorial da figura 5.2.4, obter a defasagem entre os sinais senoidais 
correspondentes aos fasores V e I: 
Solução: o fasor corrente I está adiantado de 45o do fasor tensão, pois \u3c6=45o-0o=45o. Também 
podemos dizer que a tensão está atrasada de 45o da corrente. 
Exemplo 5.2.3: Um fasor de tensão de módulo 10 descreve uma rotação completa em 0,02s 
partindo da posição inicial -30o. Determine: 
a) o diagrama fasorial para o instante inicial e obtenha o comportamento senoidal desse sinal; 
b) o ângulo em que a tensão é 10V. 
c) a freqüência angular e a expressão matemática para as variações instantâneas desse sinal; 
d) o valor da tensão no instante t=0s; 
Solução: o fasor tem módulo de 10V e parte de -30o (ou \u2013\u3c0/6 rad). Sua representação gráfica fica 
como apresentada na figura 5.2.5(a). Como a fase inicial é de \u3b8=-30o a senóide começa o seu 
semiciclo positivo no ângulo \u3b1=+30o. 
SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 
Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 
60
 O valor de pico positivo (10V) ocorrerá em 90o+\u3b1=120o e assim por diante, como mostra o 
gráfico da figura 5.2.5(b). 
 Como a rotação é completada após 0,02s, a freqüência angular pode ser determinada por: 
s/rad16,314
02,0
2
T
2f2 =\u3c0=\u3c0=\u3c0=\u3c9 
 A função instantânea para este sinal é dada por: 
)
6
t16,314(sen10)t(senV)t(v P
\u3c0\u2212\u22c5=\u3b8+\u3c9= 
 No instante t=0s a função senoidal assume o valor: 
55,010)
6
(sen10)
6
016,314(sen10)
6
t16,314(sen10)t(v =\u22c5=\u3c0\u2212=\u3c0\u2212\u22c5=\u3c0\u2212\u22c5= 
 Também podemos obter o valor inicial de v(t) para t=0 através da projeção do fasor sobre o 
eixo vertical (y) do diagrama fasorial: 
5)5,0(10)30cos(10)0(y)0(v o =\u2212\u22c5=\u2212\u22c5== 
 
\u3c9t(o) 
390o 210o 
+10 
-10 
0\u3c0 \u2022 
\u2022 
\u2022 
\u2022 
10 
\u3b1 
-30o 120o 
\u3c9 
30o 
-5 
(a) (b) 
v(0)=-5 
v(\u3c9t) y 
 
Figura 5.2.5: solução do exemplo 5.2.3. (a) diagrama fasorial e (b) forma de onda 
5.3. REPRESENTAÇÃO FASORIAL COM NÚMEROS COMPLEXOS 
 Como vimos, um método mais prático e eficiente para representação gráfica de sinais 
senoidais faz uso de um vetor radial girante denominado Fasor. Para que estes fasores permitam 
facilidade nas operações algébricas dos sinais que eles representam, como na aplicação dos 
métodos de análise de circuito elétricos de corrente alternada, é necessária uma ferramenta 
matemática para representar tais fasores. Esta ferramenta faz uso dos números complexos e de sua 
álgebra. 
 Como estudado no capítulo 4, um número complexo representado na forma retangular (ou 
forma cartesiana) é um número composto por uma parte real e uma parte imaginária: 
C = x + jy 
 Um número complexo representado na forma polar é composto por um módulo de um vetor 
radial e um ângulo (ou argumento). 
C = z \u2220 \u3b8 
onde: 
SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 
Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 
61
x \u2013 número real 
y \u2013 número imaginário 
j \u2013 operador imaginário ( j = \u2212 1 ) 
z \u2013 módulo 
\u3b8 - ângulo ou argumento. 
 Um fasor é um vetor radial traçado desde a origem cujo módulo (comprimento) é constante 
e corresponde ao valor de pico do sinal senoidal e cujo ângulo formado com o eixo das abscissas 
corresponde à fase inicial \u3b8 do sinal senoidal no instante inicial t = 0. 
 Se este fasor, que é um vetor radial, for traçado num plano cartesiano complexo, como 
mostrado na figura 5.3.1, podemos perceber que ele forma um triângulo retângulo com o eixo real x e 
podemos representá-lo matematicamente através de números complexos, tanto na forma polar como 
na forma retangular. 
 
x \u2013 eixo real 
 y \u2013 eixo imaginário 
x 
\u3b8 
 \u3c9 
0 
y 
z 
cateto oposto 
cateto adjacente 
hipotenusa 
 
Figura 5.3.1 \u2013 representação de um fasor no plano cartesiano complexo. 
 Portanto, uma função senoidal no domínio do tempo dada por: 
)tsen(V)t(v p \u3b8±\u22c5\u3c9\u22c5= 
pode, então ser passada para o chamado domínio fasorial e transformada num fasor representado 
através de um número complexo na forma polar, tal que o módulo corresponde a um valor fixo que 
identifique a senóide como o valor de pico ou o valor eficaz (que é proporcional ao valor e pico e 
constante) e o argumento corresponde ao ângulo de fase inicial: 
\u3b8±\u2220= pVV& 
ou 
\u3b8±\u2220=
2
V
V p& 
\u3b8±\u2220= efVV& 
onde: 
V& - fasor representado por um número complexo; 
Vp \u2013 valor de pico (amplitude) do sinal senoidal de origem; 
\u3b8 - ângulo de fase inicial do sinal senoidal de origem. 
Um fasor é um número complexo na forma polar. 
 
SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 
Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 
62
Importante: como o valor eficaz (rms), em vez do valor de pico, é usado mais freqüentemente na 
especificação e análise de dispositivos e circuitos elétricos de corrente alternada e que, para sinais 
senoidais é válida e constante a relação: 
2VV efp \u22c5= , 
a representação fasorial de sinais senoidais de tensão e corrente pode usar o valor eficaz como 
módulo do fasor, permanecendo o mesmo ângulo de fase para o argumento. Assim: 
Fasor Tensão: vefVV \u3b8\u2220=& 
onde: 
V& - fasor tensão (Volts); 
Vef \u2013 tensão eficaz (Volts); 
\u3b8v \u2013 ângulo de fase inicial do sinal senoidal de tensão (graus ou radianos) 
 
 A aplicação desse raciocínio também é válido para sinais senoidais de corrente, então: 
Fasor Corrente: iefII \u3b8\u2220=& 
onde: 
I& - fasor corrente (Ampères); 
Vef \u2013 corrente eficaz (Ampères); 
\u3b8i \u2013 ângulo de fase inicial do sinal senoidal de corrente (graus ou radianos) 
 Como um fasor é um número complexo, também podemos representá-lo na forma 
retangular, usando as projeções x e y, como mostra a figura 5.3.1. A conversão de um fasor na forma 
polar para a forma retangular e vice-versa através dos procedimentos apresentados no capítulo 4. 
Exemplo 5.3.1: Na figura 5.2.4, considerando-se o eixo x como eixo real e o eixo y como eixo 
imaginário, representar os fasores através de números complexos, na forma polar e na forma 
retangular. 
Solução: para o fasor V o seu módulo é 10 e o seu ângulo é 0o, então na forma polar: 
oo 007,70
2
10V \u2220=\u2220=& V 
e para o fasor I o seu módulo é 5 e o seu ângulo é +45o, então na forma polar: 
oo 4554,345
2
5I +\u2220=+\u2220=& A 
para obtermos a forma retangular devemos obter as projeções dos fasores nos eixos x e y. Assim 
para o fasor V: 
07,7
2
100cos
2
10x o ==\u22c5= 
00sen
2
10y o =\u22c5= 
então: 
0j07,7V +=& V 
e para o fasor I: 
SINAIS SENOIDAIS: TENSÃO E CORRENTE ALTERNADAS 
Prof. Fernando L. R. Mussoi CEFET/SC - Gerência Educacional de Eletrônica 
63
5,245cos
2
5x o =\u22c5= 
5,245sen
2
5y o =\u22c5= 
então 
5,2j5,2I +=& A 
Exemplo 5.3.2: transforme para o domínio fasorial os sinais senoidais: 
a) )t377sen(311)t(v