Apostila Sinais Senoidais-Tensão e Corrente Alternadas - CEFET
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Apostila Sinais Senoidais-Tensão e Corrente Alternadas - CEFET


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\u22c5\u22c5= V \u21d2 o0220V \u2220=& V 
b) )30tsen(210)t(i o+\u3d6\u22c5\u22c5= A \u21d2 o3010I \u2220=& A 
c) )15tcos(50)t(v o\u2212\u3c9\u22c5= mV \u21d2 o75
2
50V \u2220=& mV 
 
Exemplo 5.3.3: transforme para o domínio do tempo os seguintes fasores: 
a) o60110I \u2220=& \u3bcA \u21d2 )60tsen(2110)t(i o+\u3d6\u22c5\u22c5= \u3bcA 
b) o4520V \u2212\u2220=& V \u21d2 )45tsen(220)t(v o\u2212\u3d6\u22c5\u22c5= V 
5.4. OPERAÇÕES MATEMÁTICAS COM FASORES E DIAGRAMAS FASORIAIS 
 A representação fasorial é importante na análise de circuitos elétricos pois permite realizar 
facilmente diversas operações matemáticas entre tensões, correntes e potências, sem usar a função 
do domínio do tempo (expressões trigonométricas) ou a representação gráfica da onda. 
 A representação trigonométrica permite algumas operações matemáticas usando 
equações chamadas identidades trigonométricas, mas dificultam os cálculos. 
 Considerando que sinais senoidais de tensão e de corrente podem ser representados 
através de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados por números complexos, podemos 
operá-los através da álgebra aplicável aos números complexos. Feito isso podemos converter 
novamente o fasor resultante para o domínio do tempo e encontrarmos novamente uma função 
senoidal. A figura 5.4.1 representa esse procedimento. 
Fasores podem ser operados através da álgebra dos números complexos. 
 
Domínio do Tempo 
Função Instantânea 
v(t) = VP.sen(\u3c9t ± \u3b8) 
i(t) = IP.sen(\u3c9t ± \u3b8) 
Domínio Fasorial 
FASOR 
ief
vef
II
VV
\u3b8±\u2220=
\u3b8±\u2220=
&
&
 
Operação 
Algébrica 
de 
Números 
Complexos 
Formas de Onda 
Domínio do Tempo 
Função Instantânea 
v(t) = VP.sen(\u3c9t ± \u3b8) 
i(t) = IP.sen(\u3c9t ± \u3b8) 
Formas de Onda 
Domínio Fasorial 
FASOR 
ief
vef
II
VV
\u3b8±\u2220=
\u3b8±\u2220=
&
&
 
 
Figura 5.4.1 \u2013 seqüência para operações algébricas de sinais senoidais usando fasores. 
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Observação: Na notação fasorial a função seno é sempre a referência e a freqüência não é 
representada, portanto: 
A álgebra fasorial para sinais senoidais é aplicável somente para sinais de mesma freqüência. 
 
A representação fasorial através de números complexos na forma retangular e na forma polar, 
permite todas as operações matemáticas mais direta e facilmente e segue as mesmas regras para 
operações com números complexos estudadas em matemática. 
 
Observação: É possível transformar números complexos da forma de polar para a forma retangular 
e vice-versa. Por exemplo, podemos transformar um fasor tensão na forma polar para a forma 
retangular e vice-versa, como demonstrado na figura 5.4.2. 
 
 22ef yxV +=& x
yarctg=\u3b8
FORMA RETANGULAR FORMA POLAR 
x = Vef.cos\u3b8 y = Vef.sen\u3b8 
jyxV +=&\u3b8\u2220= efVV& 
 
Figura 5.4.2 \u2013 transformação de polar em retangular e vice versa. 
 O diagrama fasorial permite somente operações gráficas de adição e subtração. Elas 
podem ser realizadas pelo mesmo processo usado para soma e subtração de vetores através do 
Método do Paralelogramo. Assim como para os vetores, podemos efetuar a soma de dois fasores 
de forma gráfica ou analítica, como mostra a figura 5.4.3: 
V2 
V1 VR 
\u3b1 \u3d5 
 
Figura 5.4.3 \u2013 soma de fasores pelo método do paralelogramo 
 Analiticamente, efetuamos a soma através da aplicação da equação trigonométrica: 
\u3b1\u22c5\u22c5\u22c5++= cosVV2VVV 212221R 
 O ângulo do fasor resultante pode ser dado por: 
\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u3b1\u22c5+
\u3b1\u22c5=\u3d5 \u2212
cosVV
senVtan
21
21 
Exemplo 5.4.1: some e subtraia os sinais senoidais )45t377sen(220)t(v o1 +\u22c5\u22c5= e 
)30t377sen(240)t(v o2 \u2212\u22c5\u22c5= : 
Solução: transformando em fasores, temos: o1 4520V \u2220=& V e o2 3040V \u2212\u2220=& V. 
Como devemos somar e subtrair os sinais, devemos operar estes números complexos na forma 
retangular. Assim, transformando para a forma retangular: 
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14,14j14,14V1 +=& V e 20j64,34V2 \u2212=& V. 
Fazendo a operação de soma temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) 86,5j78,4820j14,14j64,3414,1420j64,3414,14j14,14VV 21 \u2212=\u2212++=\u2212++=+ && V 
Fazendo a operação de subtração temos: 
( ) ( ) ( ) ( ) 14,34j5,2020j14,14j64,3414,1420j64,3414,14j14,14VV 21 +\u2212=++\u2212=\u2212\u2212+=\u2212 && V 
Transformando os resultados das operações para a forma polar, obtemos os fasores: 
o
21 85,613,49VV \u2212\u2220=+ && V 
o
21 12082,39VV \u2220=\u2212 && V 
Reescrevendo os sinais senoidais no domínio do tempo, temos: 
)85,6t377sen(213,49)t(v)t(v o21 \u2212\u22c5\u22c5\u22c5=+ V 
)120t377sen(282,39)t(v)t(v o21 +\u22c5\u22c5\u22c5=\u2212 V 
A partir dos sinais senoidais no domínio do tempo, as formas de onda podem ser traçadas, como 
indica a figura 5.4.4. 
 Podemos perceber como a álgebra fasorial facilita as operações com os sinais senoidais 
que, na forma trigonométrica, apresentam maior complexidade. 
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
graus
te
ns
ão
 (V
)
v1 v2 v1+v2 v1-v2
 
Figura 5.4.4 \u2013 gráfico para o exemplo 5.4.1. 
Exemplo 5.4.2: Some os fasores do exemplo 5.4.1 aplicando as equações trigonométricas. 
13,4975cos402024020cosVV2VVV o2221
2
2
2
1R =\u22c5\u22c5\u22c5++=\u3b1\u22c5\u22c5\u22c5++= 
o1
21
21 15,23
75cos2040
75sen20tan
cosVV
senVtan =\u239f\u23a0
\u239e\u239c\u239d
\u239b
\u22c5+
\u22c5=\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
\u3d5\u22c5+
\u3d5\u22c5=\u3d5 \u2212\u2212 
 
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este ângulo é o ângulo entre a resultante e o vetor V1, então deve ser corrigido para obtermos o 
ângulo a partir do eixo x: 
ooo 85,615,2330 \u2212=+\u2212=\u3c6 
então a resultante é: 
o
R 85,613,49V \u2212\u2220=& 
 A figura 5.4.5 mostra a soma gráfica dos fasores do exemplo 5.4.2. 
 
20 
40 
49,13 
+45o 
-30o 
-6,85o
V1 
V2 
V1+V2 
 
Figura 5.4.5 \u2013 Soma gráfica dos fasores do exemplo 5.4.2. 
5.5. TABELA RESUMO 
 De acordo com o que estudamos, podemos concluir que há quatro maneiras de 
representarmos um sinal senoidal: através do gráfico da forma de onda, do diagrama fasorial, da 
expressão matemática trigonométrica e dos fasores. 
 A forma de onda é a representação mais visual, mostrando a variação periódica do sinal 
através dos gráficos em função do tempo ou em função do ângulo. O osciloscópio é o instrumento 
utilizado para visualizarmos a forma de onda de um sinal elétrico de tensão. 
 O diagrama fasorial é uma forma gráfica simplificada de representarmos o sinal senoidal, 
permitindo fazermos operações gráficas de soma e subtração entre vários sinais de tensão ou entre 
sinais de corrente. 
 A expressão matemática na forma trigonométrica representa a função de forma completa, 
mostrando todos os detalhes do sinal e permite a determinação dos seus valores instantâneos. 
 A representação de sinais senoidais através dos fasores utiliza os números complexos e é 
a forma mais simplificada da função, contendo apenas a amplitude e o ângulo de fase inicial do sinal. 
Essa representação permite facilmente operações de soma, subtração, multiplicação e divisão entre 
vários sinais elétricos. 
 A tabela 5.5.1 apresenta um resumo das representações matemáticas para os sinais 
senoidais de tensão e corrente. 
 
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Tabela 5.5.1 \u2013 Representações Matemáticas de Sinais Senoidais 
 Tensão (V) Corrente (A) 
Valor Instantâneo 
Domínio do Tempo 
Forma Trigonométrica 
)tsen(V)t(v vp \u3b8±\u22c5\u3c9\u22c5= )tsen(I)t(i ip \u3b8±\u22c5\u3c9\u22c5= 
Fasor 
Domínio Fasorial 
Forma Polar 
vefVV \u3b8\u2220=& iefII \u3b8\u2220=& 
Fasor 
Domínio Fasorial 
Forma Retangular 
(Cartesiana) 
vefvef senVjcosVV \u3b8\u22c5\u22c5+\u3b8\u22c5=& iefief senIjcosII \u3b8\u22c5\u22c5+\u3b8\u22c5=&
Valor Eficaz 
(Médio Quadrático, RMS) 2
V
V pef = 2
I
I pef = 
5.6. EXERCÍCIOS: