Apostila Sinais Senoidais-Tensão e Corrente Alternadas - CEFET
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Apostila Sinais Senoidais-Tensão e Corrente Alternadas - CEFET


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tempo (ms)
te
ns
ão
 (V
), 
co
rr
en
te
 (A
)
v(t) i(t)
 
Figura 6.3.5 \u2013 Curvas de tensão e corrente no indutor para o exemplo 6.3.2. 
 Tomando os fasores de tensão e corrente, podemos traçar o diagrama fasorial da figura 
6.3.6. 
 
o
C 012V \u2220=& 
o
L 9012,2I \u2212\u2220=& 
-90o
 
Figura 6.3.6 \u2013 Diagrama fasorial para o exemplo 6.3.2: corrente atrasada de 90o da tensão no indutor. 
6.3.3. Resposta em freqüência para o Indutor 
 A equação 
Lf2X
L
\u22c5\u22c5\u3c0\u22c5= 
 está associada com a equação de uma reta: 
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bxa)x(fy +\u22c5== 
 Assim, sendo a freqüência f a variável independente, temos: 
0f)L2(y +\u22c5\u22c5\u3c0\u22c5= 
 O coeficiente de inclinação (coeficiente angular) a é: 
L2a \u22c5\u3c0\u22c5= 
e sendo b = 0, a reta representada pela equação passa pela origem. 
 Podemos traçar o comportamento da reatância indutiva em função da freqüência, como 
mostra a figura 6.3.7. Quanto maior a indutância L, maior a inclinação para uma mesma faixa de 
freqüências, como mostra a figura 6.3.7. 
 
XL(\u3a9) L2 
L1 
f(Hz) 
L2>L1 
maior L 
 
Figura 6.3.7 \u2013 comportamento da reatância indutiva com a freqüência. 
6.3.4. Modelo do Indutor Real 
 O modelo de um indutor real está apresentado na figura 6.3.8, onde L é a indutância do 
indutor real, RS é a resistência série que representa as perdas nos condutores da bobina e no núcleo 
(correntes parasitas e Foucault). A capacitância CP é a capacitância parasita existente entre as 
espiras da bobina. A composição dos efeitos da indutância, da resistência e da capacitância é dada 
pela impedância8 equivalente do indutor real ZL, que é função da freqüência. Para freqüências altas o 
efeito da capacitância e da resistência série será mais pronunciado, reduzindo o efeito da indutância 
e podendo até o indutor real ter um comportamento mais capacitivo que indutivo em freqüências 
muito altas. 
 Neste trabalho consideramos o indutor ideal. 
 
ZL 
 
Figura 6.3.8 \u2013 modelo de um indutor real. 
 
8 impedância será estudada no item 6.4. 
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6.3.3. Exercícios: 
6.3.3.1) Calcular a reatância indutiva de um indutor de 200mH em freqüências de 60Hz e 500Hz. 
6.3.3.2) Em que freqüência está conectado um indutor de 100mH que tem reatância indutiva de 
150\u3a9? 
6.3.3.3) Dados os circuitos da figura 6.3.7, determine: 
a) a reatância indutiva de cada indutor e a total do circuito; 
b) a corrente fornecida pela fonte na forma trigonométrica e fasorial; 
c) a tensão e a corrente em cada indutor (forma fasorial e forma trigonométrica); 
d) formas de onda da tensão e da corrente da fonte e em cada indutor em função do tempo, 
num mesmo gráfico; 
e) diagrama fasorial completo. 
Dados: v1(t) = 220.sen(377.t+90o) ; v2(t) = 100.sen(1000.t+0o) ; v3(t) = 100.sen(1000.t-60o) 
 L1=200mH ; L2=30mH ; L3=20mH 
I) II) III) 
Figura 6.3.9 \u2013 circuitos para o exemplo 6.3.3.3. 
6.4. IMPEDÂNCIA 
 Em um circuito real a resistência elétrica, que é propriedade física dos materiais que o 
constituem, está sempre presente. Ela pode ser minimizada, mas não eliminada. Portanto, circuitos 
indutivos e capacitivos são, na verdade, redes do tipo RL e RC, cujas associações série, paralela ou 
mista, dependem da configuração dos circuitos e do processo de fabricação dos componentes do 
circuito. A combinação dos efeitos resistivos e reativos dá origem à Impedância dos circuitos. 
 Para um circuito de dois terminais A e B, representado por um bloco de carga alimentado 
por um fasor de tensão de entrada V& e um fasor de corrente de entrada I& , contendo qualquer 
elemento passivo (capacitor, indutor ou resistor) ou a combinação deles como mostra a figura 6.4.1. 
A relação entre a tensão e a corrente é dada pela Impedância (Z) do circuito. 
Impedância (Z) de um circuito é definida como a relação entre a tensão e a corrente que 
atravessa um bipolo de um circuito. 
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I&
VF 
+ 
V& Z 
A 
B 
carga 
 
Figura 6.4.1 \u2013 Fonte de Tensão alternada alimentando um circuito RLC 
I
VZ &
&= 
onde: 
V& \u2013 fasor tensão entre os terminais A e B (V); 
I& \u2013 fasor corrente entre os terminais A e B (A); 
Z \u2013 Impedância do bloco de carga entre os terminais A e B (\u3a9). 
 A impedância Z, dada pela relação entre tensão e corrente num circuito misto, 
representa a medida da oposição que este circuito oferece à passagem de uma corrente 
alternada. 
 Como os fasores V& e I& são números complexos, a impedância Z é também um número 
complexo, mas não é um fasor. 
 
\u2022 Para um circuito (ou bloco) resistivo puro: 
 Se o bloco de carga do circuito da figura 6.4.1 for composto apenas por um ou uma 
combinação de resistores ideais (circuito resistivo puro) e sabendo que a tensão e a corrente estão 
em fase num elemento resistivo, então: 
R0R0
I
V
0I
0V
I
VZ oo
ef
ef
o
ef
o
ef
R
R
R =\u2220=\u2220=\u2220
\u2220== &
&
 
 Nos terminais de um resistor ou de um circuito resistivo puro a impedância Z é igual à 
resistência R: 
RZR = 
 É, portanto, um número real positivo. 
 No plano cartesiano a representação de uma impedância de um resistor ideal é dada na 
figura 6.4.2. 
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Re 
Im 
ZR=R 
 
6.4.2 \u2013 Impedância de um resistor ideal: número real no plano cartesiano. 
 
\u2022 Para um circuito (ou bloco) indutivo puro: 
 Se o bloco de carga do circuito da figura 6.4.1 for composto apenas por um ou uma 
combinação de indutores ideais (circuito indutivo puro) e sabendo que a corrente está atrasada de 
90o da tensão num elemento indutivo puro, então: 
LjXj90X90
I
V
90I
0V
I
V
Z L
o
L
o
ef
ef
o
ef
o
ef
L
L
L \u22c5\u3c9\u22c5+=\u22c5+=+\u2220=+\u2220=\u2212\u2220
\u2220== &
&
 
 Num circuito ou bloco indutivo puro a impedância Z é igual à reatância indutiva XL: 
LjXjZ LL \u22c5\u3c9\u22c5+=\u22c5+= 
 É, portanto, um número imaginário positivo. 
 No plano cartesiano a representação de uma impedância de um indutor ideal é dada na 
figura 6.4.3. 
 
Re 
Im 
ZL=+j|XL| 
+90o
 
6.4.3 \u2013 Impedância de um indutor ideal: número imaginário positivo no plano cartesiano. 
 
\u2022 Para um circuito (ou bloco) capacitivo puro: 
 Se o bloco de carga do circuito da figura 6.4.1 for composto apenas por um ou uma 
combinação de capacitores ideais (circuito capacitivo puro) e sabendo que a corrente está 
adiantada de 90o da tensão num elemento capacitivo puro, então: 
Cj
1
j
X
Xj90X90
I
V
90I
0V
I
V
Z CC
o
C
o
ef
ef
o
ef
o
ef
C
C
C \u22c5\u3c9\u22c5==\u22c5\u2212=\u2212\u2220=\u2212\u2220=+\u2220
\u2220== &
&
 
 Nos terminais de um indutor ou num circuito capacitivo puro, a impedância Z é igual à 
reatância capacitiva XC: 
Cj
1
C
jXjZ CC \u22c5\u3c9\u22c5=\u22c5\u3c9
\u2212=\u22c5\u2212= 
 É, portanto, um número imaginário negativo. 
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 No plano cartesiano a representação de uma impedância de um capacitor ideal é dada na 
figura 6.4.4. 
 
Re 
Im 
ZC=-j|XC| 
-90o
 
6.4.4 \u2013 Impedância de um capacitor ideal: número imaginário negativo no plano cartesiano. 
 
\u2022 Para circuito (ou bloco) RLC misto: 
 Se o bloco de carga do circuito da figura 6.4.1 for composto pela combinação de elementos 
passivos (circuito misto), a tensão e a corrente terão ângulos