filas

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Unidade 2: Teoria de Filas 
Modelos de Filas 
 
 
 
2.3-Modelo M/M/c 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c 
 
 Premissas: 
 
• Uma única fila e diversos servidores; 
 
• Tanto as chegadas quanto o atendimento são 
marcovianos (Distrib. Poisson ou Exponencial negativa); 
 
• Supõe-se que a capacidade de atendimento de cada um 
dos servidores é a mesma (ou seja = µ ); e 
 
• Estudo tanto para os casos de população finita e infinita. 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – População Infinita 
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As fórmulas para esse modelo (M/M/c) são 
complexas e difíceis de manipular e, assim, a 
preferência generalizada é pelo uso de 
gráficos. 
 
A seguir, mostramos o gráfico para se obter o 
número médio de clientes na fila (NF) em 
função do fator de utilização (ρ) e tendo como 
parâmetro a quantidade de servidores (c). 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – NF (número médio de clientes na fila) 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – NS (número médio de clientes sistema) 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c 
 
 Taxa de Utilização (ρ = λ/c.μ); 
 λ: ritmo de chegada; 
 c: quantidade de servidores; 
 μ: ritmo de atendimento de cada atendente. 
 
 Considerações: 
 Em ambos os gráficos a ordenada (eixo y) tem escala 
logarítmica; e 
 Em ambos, o valor da ordenada tende para o infinito quando 
ρ tende para 1. 
 
 
 
 
 
 
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Modelo M/M/c 
 
 Após o uso dos gráficos, as outras variáveis randômicas 
fundamentais podem ser obtidas pelas fórmulas de Little: 
 
• TF= NF/ λ 
 
• TS= NS/ λ 
 
 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aula Passada, lembras? 
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4) Uma fábrica tem um depósito de ferramentas aonde os 
operários vão receber as ferramentas especiais para a 
realização de determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo 
de chegada (λ = 1 operário por minuto) e o ritmo de 
atendimento (μ= 1,2 atendimentos por minuto) seguem o 
modelo marcoviano M/M/1. A fábrica paga R$ 9,00 por 
hora ao atendente e R$ 18,00 ao operário. Pede-se: O custo 
horário do sistema? 
 
• Custo horário= Custo do atendente (R$9,00) + custo 
operários (NS(5) x R$ 18,00) = R$ 99,00 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c 
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Modelo M/M/c 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c 
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Modelo M/M/c 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – Exercícios Antes (λ1, TS1=0,25 e 0,166h) x Depois 
(λ₂=16+14=30, TS2=0,117h) 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – Exercícios (TF e NF →∞, c=3; c=5 e TF=4,8´) 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – Pop. Finita 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – Pop. Finita 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – Fórmulas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – Fórmulas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – Fórmulas- Exemplo 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – Fórmulas- Exemplo 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c – Fórmulas- Exemplo 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c - Conclusões 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c - Conclusões 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/c - Conclusões 
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Lembre-se, para a situação de conforto, digo, 
pequenas filas (valor de ρ pequeno), pode-se 
utilizar o modelo M/M/c para uma primeira 
aproximação de dimensionamento. 
Biblioteca_1189646.pdf
 
 
 
 
CCE 0516 - Simulação da Produção e Teoria das Filas 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 
 
 
Fonte: 
 
1)Teoria das Filas e da Simulação, volume 2, Darci 
Prado, 5ª edição, Falconi; 
2)Pesquisa Operacional, curso introdutório, Daniel 
Augusto Moreira. 
 
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Unidade 2: Teoria de Filas 
 
O que é? 
 
 Teoria das filas é um método analítico que aborda o assunto 
por meio de fórmulas matemáticas, surgindo nos princípios 
do século XX (1908) em Copenhague na Dinamarca, através 
do Matemático A. K. Erlang, considerado o pai dessa Teoria, 
quando trabalhava em uma companhia telefônica estudando 
o problema de redimensionamento/ congestionamento de 
centrais em linhas telefônicas. 
 
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Unidade 2: Teoria de Filas 
 
O que é? 
 
 Teoria de filas consiste na modelagem analítica de processos ou 
sistemas que resultam em espera e tem como objetivo 
determinar e avaliar quantidades, denominadas medidas de 
desempenho, que expressam a produtividade/ operacionalidade 
desses processo. Entre essas medidas, podem-se citar: número 
de elementos na fila, tempo de espera pelo atendimento, 
tempo ocioso dos prestadores do serviço, probabilidade de se 
ter no máximo um número nº pré-fixado de usuários no 
sistema, P (N <= n), ... . 
 
 
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Unidade 2: Teoria de Filas 
 Potencialidade da Teoria de Filas 
 
• Identificação do modelo que se adequa ao sistema 
sob análise; 
 
• Determina-se as medidas de desempenho; 
 
• Analisa-se essas medidas por dois pontos de vista 
muitas vezes conflitantes: o do usuário e o da 
gerência; 
 
 
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Unidade 2: Teoria de Filas 
 Potencialidade da Teoria de Filas 
 
• Usuário: Tamanho médio da fila e os tempos médios 
de espera na fila e de permanência no sistema. (Cu: 
espera pelo serviço ou atendimento); 
 
• Gerência: Volume de serviço realizado, tempo médio 
de serviço e tempo médio ocioso dos servidores. (Cg: 
construção, manutenção, operação do sistema). Áreas 
destinadas às filas são adequadas? Prioridades para 
certos tipos de clientes? Qtos postos de atendimentos? 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria de Filas 
 Análise 
 
Um número de postos de atendimento em excesso produz custos 
gerenciais elevados, que se repassados aos usuários podem 
inviabilizar o serviço, mesmo com a vantagem de se aguardar pouco 
tempo por ele. 
 
Poucos postos de atendimento, entretanto, provocam a insatisfação 
do usuário, que se tiver outra opção, geralmente, abandona o 
sistema por não suportar um tempo de espera excessivo. Por isso, 
faz-se necessária a construção de uma função de custo total, Ct, que 
de alguma forma englobe os dois pontos de vista. Por exemplo: 
 
 Ct= a Cu + b Cg 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria de Filas 
CT = a Cu + b Cg 
Dimensionado segundo valor mínimo dessa função CT 
Fonte: Fogliatti et al. (2007) 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Exemplo: 
 
 Processo de atracação de navios em um porto. (legislação internacional ) 
 
 Custo Serviço: é o custo
de construir e manter em funcionamento os 
berços de atracação. (Serviço, Custo). 
 
 Custo Fila: é o custo que a administração do porto tem pelo 
pagamento das indenizações aos navios que esperam na fila. (serviço, 
Custo) 
 
 
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Unidade 2: Teoria de Filas 
 Um Balanço 
 
O melhor atendimento leva quase sempre a custos maiores, 
que surgem por causa de um treinamento melhor para as 
pessoas, pelo uso maior da tecnologia da informação, pela 
multiplicação de postos de trabalho ou ainda pela compra de 
máquinas e equipamentos mais sofisticados e, eventualmente, 
de melhor qualidade. 
 
Vale a pena incorrer nesses custos? Talvez sim, se estiver 
ocorrendo uma grande perda de clientes por causa do não 
atendimento e da presença das filas. 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Por que estudar? 
 
• As filas são estudadas porque em toda fila, embora nem 
sempre se perceba, existe embutido um problema econômico 
e este problema econômico surge porque em qualquer fila 
existem dois custos envolvidos: o custo da Fila e o custo do 
Serviço. 
 
• A teoria de filas pode ser usada para avaliar o desempenho 
operacional de sistemas em funcionamento ou para 
dimensionar eficientemente novos sistemas. 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Por que estudar? 
 
 O estudo dessas quantidade é importante na tomada de 
decisão quanto à modificação ou manutenção da 
operação do sistema no seu estado atual; facilita 
também o dimensionamento racional da infraestrutura, 
de recursos humanos e financeiros, de equipamentos e 
instalações, visando um melhor desempenho global. 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 Por que estudar? 
 
 Assim, nosso interesse como Engenheiros é, na maioria das 
vezes, dimensionar eficientemente: 
 
• A quantidade correta de equipamentos e de pessoas; 
 
• O melhor layout e fluxo dentro do sistema que está sendo 
analisado. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Objetivo: 
 
 Em aplicações, o estudo dos modelos de filas tem como objetivo a 
melhoria de desempenho do sistema, entendida, entre outros aspectos, 
como: melhor utilização dos recursos de serviço disponíveis, menor tempo 
de espera e mais rapidez no atendimento. 
 
 Que o sistema tenha um funcionamento eficiente (solução otimizada e/ou 
a mais adequada). Por fim, um determinado estudo pode: 
 
• Procurar a melhor qualidade do serviço prestado, a qualquer custo; ou 
 
• Menor custo dentro de uma faixa aceitável de qualidade para o serviço 
prestado. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Então, vamos ao estudo? 
 
 Ponto de partida: a correta escolha da qualidade esperada do 
atendimento, assim como os recursos disponíveis e as 
limitações de funcionamento. 
 
 Sendo uma modelagem, então, é feita de modo que não 
exista nenhum gargalo (ponto de estrangulamento no fluxo 
que implica numa perda inaceitável para o sistema como 
todo). 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 Conceitos: Sistema ou processo adequadamente 
dimensionado significa que está balanceado (balanced 
system), ou seja, sem gargalos. 
 
 Entretanto é importante frisar que um sistema 
balanceado não é obrigatoriamente um sistema 
otimizado: garante-se, apenas, a prestação de uma certa 
qualidade de atendimento, mas não o atendimento 
ótimo. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Por derradeiro: 
 
 Esses estudos são chamados de Modelagem de Sistemas 
(Teoria das Filas e Simulação) e tem por objetivo obter o 
melhor dimensionamento e tendo como premissas: conhecer 
o cenário, as características e as necessidades de todos os 
envolvidos. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Assim, 
 
 Um sistema com fila é qualquer processo onde 
usuários oriundos de uma determinada população 
chegam para receber um serviço pelo qual esperam, 
se for necessário, saindo do sistema assim que o 
serviço é completado. 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
O que são filas? 
 Experiências diárias (filas em bancos, supermercados, 
cinemas, navios aguardando sua vez para entrar em portos,...) 
 
 E em ambientes de produção: 
 
 (caminhões em uma mineração  esperando, junto a uma 
carregadeira, a vez de serem carregados com minério); 
 
 (produtos e peças  podem estar aguardando 
processamento). 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Filas não são simpáticas 
 Não é agradável entrar em uma fila e esperar pelo serviço (o 
ideal seria chegar ao local e ser imediatamente atendido). 
 
 E quando a espera é longa? Ficamos aborrecidos/irritados. 
 
 E a famosa Lei de Murphy¹? Pela qual passamos a comparar o 
desempenho da nossa fila com outras. 
 
 “¹ a fila que anda é a outra, mas não adianta trocar de fila, pois 
a fila que anda é a outra”. *vídeo* 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Consequências: 
 Não compramos mais em determinado supermercado; 
trocamos de agência bancária,...,. 
 Filas são dispendiosas; 
 Altos custos, por exemplo, fila em determinado 
equipamento fabril pode ocasionar um aumento nos tempos 
do ciclo de produção, logo teremos atrasos no atendimento 
aos clientes. 
 Pela ótica do cliente, o ideal seria dimensionar sistemas para 
a não existência de filas. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 
Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 Características: 
 
 Clientes: provenientes de uma população; 
 
• Qdo população grande (infinita para efeitos práticos), a chegada de 
um novo cliente a uma fila não afeta a taxa de chegada de clientes 
subsequentes, assim as chegadas são independentes. Ex: 
funcionamento do metrô. ( > 30 ) 
 
• Qdo população pequena, o efeito existe e pode ser considerável.Ex: 
Em uma mineração, na qual uma carregadeira carrega minério em 
caminhões que chegam. Se existem 3 caminhões e,se ocorrer que 
todos eles estejam na fila da carregadeira, então não chegará mais 
nenhum outro caminhão à carregadeira.(<=30) 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 Características e Variáveis: 
 
 Assim, quando se estudam filas, o ritmo de chegada é uma 
importante variável randômica.Para quantificar esta variável 
se usa a letra grega λ (lambda) para significar ritmo médio de 
chegada e se usa IC para intervalo médio entre chegadas. 
 
 Por exemplo: λ = 20 clientes por minuto. 
 IC = 3 segundos. 
 
Obs: IC =0s (dois clientes chegando juntos) 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 Registra-se que um tipo raro de processo de chegada é o 
regular, ou seja, aquele em que não existe nenhuma variação 
entre os valores para os intervalos entre chegadas. Nesta 
situação, se dissermos que o intervalo entre chegadas é de 10 
segundos, teremos que rigorosamente a cada 10 segundos 
chega um novo cliente. Essa situação ocorre apenas em 
processos altamente automatizados. 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Características e Variáveis: 
 
 O processo de atendimento é também quantificado por uma 
importante variável randômica. Assim, o ritmo médio de 
atendimento
é identificado pela letra μ (mi) e se usa TA para tempo 
ou duração média do serviço ou atendimento. Assim, 
exemplificando: 
μ = 6 clientes por minuto; 
TA = 10 segundos por cliente. 
 
• É importante ressaltar que o valor desta taxa é considerado como 
se o servidor estivesse ocupado 100% do seu tempo. 
• Taxa (número de clientes / unid. tempo) 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Características e Variáveis: 
 
• A razão ρ (rho) é chamada de “Fator de Utilização do 
Servidor”, o qual representa a fração média do 
tempo em que o servidor está ocupado. Este fator é a 
base de cálculo da probabilidade de haver um 
número K de clientes no sistema, o qual definirá o 
tamanho da fila e o tempo médio que os clientes 
permanecem nela e no sistema ( ρ = λ / μ ). 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Características e Variáveis: 
 
• Processo de chegada e de atendimento: 
 
 Não basta apenas fornecer os valores médios: é necessário 
também mostrar como os valores se distribuem em torno da 
média. Assim, para caracterizar um processo de chegada 
devemos lançar mão de uma distribuição de frequência, 
como: a distribuição normal, a de Poisson, a exponencial, etc. 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Processo de atendimento: 
• Canais ou Postos de Atendimento: Finito (guichês) ou infinito 
(self-service: cliente e servidor são a mesma pessoa); 
 
• Capacidade do sistema: É o número máximo de usuários que 
o mesmo comporta (incluindo fila e atendimento); 
 
• Disciplina de Atendimento: É o critério estabelecido pela 
gerência do sistema, segundo o qual os usuários que se 
encontram na fila são atendidos quando um posto fica 
disponível, ex: FIFO. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Processo de atendimento: 
 
• Tamanho médio da fila: Característica da fila que mais 
consideramos ao nos defrontarmos com a opção de escolher 
uma fila. Ex: Supermercado. O ideal é fila zero, ou seja, cliente 
chega e é atendido. 
 
• Tamanho máximo da fila: quando e onde os clientes devem 
esperar, alguma área de espera deve existir (cadeiras de uma 
barbearia, banco, ... ). Sistemas dimensionados para um certa 
quantidade máxima de clientes. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Processo de atendimento: 
 
• Tempo médio de espera na fila: causa irritação; ideal é que 
não exista tempo de espera, mas esta nem sempre é a melhor 
situação do ponto de vista econômico. 
 
 Se entrarmos numa fila com 10 pessoas à nossa frente, o 
tempo de espera será igual ao somatório dos tempos de 
atendimento de cada um dos clientes à nossa frente ou, 
possivelmente, será igual a 10 vezes a duração média de 
atendimento. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas / Aleatória: 
• Assim, para as principais variáveis há um valor médio e uma 
distribuição de probabilidade, que mostra as chances de 
ocorrências dos valores. 
 
• Então, vejamos: 
 
 1) Duração média do atendimento é de 10 segundos, não estamos dizendo 
que todo atendimento é de 10 segundos. 
 
 2) Tamanho médio de uma fila é de 5 clientes, não estamos dizendo que o 
tamanho da fila é sempre de 5 clientes. 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
•É nula a probabilidade de 
atender um cliente em 
menos de 5 segundos. 
 
•A probabilidade de 
atender um cliente em 10 
segundos é de 18%. 
 
•A probabilidade de 
atender um cliente em 25 
segundos é 0,5%. 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Exercício Exemplificativo 
 
1) Clientes chegam a um posto de serviço a um ritmo de 24 
chegadas por hora (ou 1 cliente a cada 2,5 minutos) e são 
atendidos por um servidor capaz de atender 30 clientes por 
hora (ou 2,0 minutos para cada cliente). Pergunta-se haverá 
filas? 
λ = 24 clientes por hora ( ou IC = 2,5 minutos) 
μ = 30 clientes por hora ( ou TA = 2 minutos/cliente) 
 Capacidade de atendimento (μ) é superior ao ritmo de chegada (λ). 
 
 
34 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 
• Resumindo, portanto: a fila não se forma tão-
somente por um problema de capacidade de 
atendimento (µ), mas também devido à variabilidade 
tanto no intervalo entre chegadas (IC) de clientes 
como no tempo de atendimento (TA) desses clientes. 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Exercício Exemplificativo 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 No período de meia hora você verificou que chegaram ao 
sistema 12 pessoas. Os intervalos entre chegadas, a partir do 
instante zero, foram (valores em minutos): 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 O valor zero (linha intervalo) para o sexto cliente significa 
que ele chegou junto com o quinto (5º) cliente. 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 A linha “Momento” significa o instante da chegada do novo 
cliente, obtido a partir de acumulações da linha “Intervalo” 
acrescido de 1, para significar o início do próximo intervalo 
de tempo. Assim, o primeiro cliente chegou no início do 3° 
minuto, o segundo cliente chegou no início do 6º minuto, 
etc. 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 Assim, o valor médio dos intervalos abaixo é de 2,5 minutos 
e, portanto, o sistema funcionou com um ritmo médio de 24 
chegadas por hora. Ou seja: 
 λ = 24 clientes por hora. 
 IC = 2,5 minutos. 
 
 
 
 
 
40 
Unidade 2: Teoria das Filas 
• Atendimento: Por outro lado, os dados anotados para cada 
atendimento são os seguintes ( valores em minutos): 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
O valor médio dos dados abaixo é 2,0 minutos e, 
portanto, podemos dizer que o servidor tem uma 
capacidade de atender 30 clientes por hora. Ou seja: 
42 
μ = 30 clientes por hora 
TA = 2 minutos. 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 Finalmente, o sistema funcionou conforme figura abaixo: 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Os tempos de fila foram: 
 
 
 
 
 Total de clientes atendidos: 12. 
 Tempo média na fila(TMF)= (3+4+3+1+3+2)/12 pessoas =1,33. 
 Número médio na fila (NMF)=(3+4+3+1+3+2)/35’ =0,46. 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Uma constatação curiosa!! 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Uma abordagem amadora 
 Imagine agora que o mesmo problema fosse 
proposto ao leitor da seguinte forma: clientes 
chegam a um posto de serviço a um ritmo de 24 
chegadas por hora (ou 1 cliente a cada 2,5 minutos) 
e são atendidos por um servidor capaz de atender 
30 clientes por hora (ou 2,0 minutos para cada 
cliente). Pergunta-se, haverá fila? 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 De posse apenas desses dados, a nossa tendência é 
inferir que o sistema se comportara conforme figura 
abaixo, na qual tanto o processo de chegada como o 
de atendimento são regulares e, portanto, não 
haverá formação de filas. 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 Processos como esse são raros na vida real. Assim, 
a existência de filas ocorre em decorrência do fato 
de que os processos não são regulares e a 
aleatoriedade ocasiona tanto filas quanto longos 
períodos de inatividade para o servidor. 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 Uma comparação interessante entre as 
figuras 2.3 (slide 42) e 2.4 (slide 46) : 
• Caso o processo fosse regular, todos os clientes 
teriam sido atendidos em 32 minutos. 
• Devido ao fato de o processo ser randômico, houve 
filas e o tempo total foi de 35 minutos. 
• Esse foi o preço pago pela aleatoriedade do 
processo. 
 
 
49 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 Vamos observar melhor o preço pago pela 
aleatoriedade do processo: 
 
• O prazo total foi acrescido em 3 minutos (35’-32’); 
 
• O prazo médio de atendimento individual (2 
minutos) foi acrescido pelo tempo médio de fila de 
1,33 minuto. Ou seja, na média um cliente gasta 
3,33 minutos dentro do banco (sistema). 
 
 
50 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 Por fim, quando efetuamos dimensionamento de 
sistemas, procuramos minimizar tais efeitos pela 
modificação de fluxos, pela colocação de mais 
atendentes, pela utilização de melhores atendentes, 
etc. Certamente, dentro de uma ótica de prestar o 
atendimento adequado dentro de uma faixa de 
custos adequada. 
 
51 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 
52 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 
53 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 
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Biblioteca_1229760.pdf
Unidade 2: Teoria de Filas 
Disciplinas de Atendimento 
• FIFO (First-In-First-Out) ou FCFS (first come, first 
served): primeiro cliente a chegar à fila será o 
primeiro a ser atendido. 
• LIFO (Last-In-First-Out) ou LCFS (last come, first 
served): o último cliente a chegar à fila é o primeiro 
a ser atendido. Ex: Retirada de compras do carrinho no 
supermercado para passagem no caixa. 
• SIRO (Service-In-Random-Order): Ordem aleatória. 
Ex: Contemplação de consórcios e a seleção de ganhadores em 
concursos populares. 
1 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
Disciplinas de Atendimento 
 
• SPT (Shortest-Processing-Time first): o cliente a 
ser atendido em primeiro lugar será aquele cujo 
tempo de atendimento é menor. 
 
• PR (Priority Rules): o atendimento faz-se de 
acordo com as regras de prioridades pré-
estabelecidas. Ex: Internação hospitalar ou cirurgias. 
2 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
• Sistemas Estáveis 
 
A abordagem matemática das filas pela teoria de 
filas exige estabilidade no fluxo de chegada e no 
processo de atendimento, ou seja, os valores de 
λ e μ devem se manter constante no tempo. Do 
contrário, devemos nos valer da simulação por 
computador. 
3 
Unidade 2: Teoria das Filas 
•Funcionamento de um 
banco; 
 
•Fluxo de chegada de 
clientes varia durante o 
horário bancário. Ou seja, 
não existe estabilidade 
para o ritmo de chegada 
no período das 10 às 16h; 
 
• Filas x Simulação ( λ e μ 
não constantes no tempo); 
• λ e µ constantes no 
tempo, então, filas. 
 
4 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
Ou seja, não existe estabilidade para o ritmo de 
chegada no período das 10:00 às 16:00h, portanto 
não podemos analisar seu funcionamento pela teoria 
das filas, a menos que usemos alguns artifícios, por 
exemplo, retalhar o período global em períodos 
parciais. 
 
 Infelizmente, isso torna ainda mais complexa a 
abordagem pela teoria das filas. Conforme dissemos, 
para esses casos a simulação por computador é a 
ferramenta adequada. 
5 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
Outra exigência para que o processo seja estável 
é que os atendentes sejam capazes de atender o 
fluxo de chegada. No caso de “uma fila e um 
atendente” isso significa dizer que μ > λ ( a 
capacidade de atendimento é maior que o ritmo de 
chegada). Caso isso não ocorra, o tamanho da fila 
aumentará infinitamente. 
 
 
6 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
Resumindo: 
Sistemas Estáveis: 
 
 Fluxo médio de entrada (λ) constante; 
 
 
 Ritmo médio de atendimento (μ) constante; 
 
 μ > λ (uma fila e um atendente) . 
 
 
 
7 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
Em processos randômicos estáveis, μ e λ 
representam valores médios e, para entender a 
razão da ocorrência de filas, quando μ > λ é 
necessário ter em mente que sempre é possível a 
ocorrência de fatos “ruins”, por exemplo: 
 
i. Em determinado instante podem chegar mais 
clientes que a capacidade de atendimento daquele 
momento, gerando filas temporárias. 
8 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
Em processos randômicos estáveis, μ e λ 
representam valores médios e, para entender a 
razão da ocorrência de filas, quando μ > λ é 
necessário ter em mente que sempre é possível a 
ocorrência de fatos “ruins”, por exemplo: 
 
ii. O atendimento de determinado cliente pode ser 
muito mais moroso que a média, obrigando os clientes 
que chegam posteriormente a ficar em fila. 
9 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
 
Por fim, em sistema estáveis, todas as 
características randômicas das filas se mantêm 
estáveis o tempo todo, significando que oscilam 
em torno de um valor médio. Isso se aplica a 
tamanho médio da fila, tempo médio da fila, 
tempo médio de espera, tempo médio de 
atendimento, etc. 
10 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
DIMENSIONANDO FILAS 
 
Conforme afirmamos anteriormente, estudamos 
filas para dimensionar sistemas com o objetivo de 
prestar um melhor atendimento aos clientes ou 
para obter uma redução de custos do 
funcionamento do sistema. Assim, as 
considerações a seguir valem para qualquer 
situação: sistemas estáveis ou não. 
11 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
A escolha inicial: A qualidade do atendimento 
 
Essa escolha geralmente está ligada à capacidade 
de atendimento a ser implantada e que deverá 
atender os clientes que chegam. As opções são: 
 
• Atendimento para a média de chegada; 
• Atendimento para o pico de chegada; 
• Atendimento para momentos especiais. 
 
12 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
Obtenção de dados: o tamanho da amostra 
 
Para estudar um sistema, é necessário ter alguns 
dados para, de posse deles, deduzir os outros 
necessários ao dimensionamento. Para efetuar 
um correto dimensionamento, é necessário que 
os dados sejam confiáveis. Para isso, a escolha de 
um correto tamanho de amostra é fundamental. 
A não observância desse item pode confundir, 
porque produz diferentes valores para uma 
mesma variável. 
13 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
Obtenção de dados: o tamanho da amostra 
 
Por exemplo, em um sistema estável podemos ter 
um tempo médio de espera na fila de 5 minutos. 
Para chegar a essa conclusão, foi necessário 
observar o funcionamento do sistema durante 
um longo período, no qual inúmeros clientes 
foram atendidos. Se observarmos apenas o 
atendimento de uns poucos clientes, poderemos 
encontrar um valor bastante diferente para o 
tempo médio de espera na fila. 
14 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
Tipo da fila e quantidade de servidores 
 
Quando desejamos dimensionar um sistema, 
podemos escolher diversas opções para o 
atendimento: 
• Uma única fila e um único servidor; 
• Uma única fila e diversos servidores; 
• Diversas filas e os correspondentes servidores; 
• Filas especiais; 
• Alteração dinâmica no sistema de atendimento. 
15 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A escolha entre
as opções anteriores vai 
depender das características do sistema em 
estudo, pois o que pode ser ótimo em uma 
situação pode ser péssimo em outra ou, então, 
inadequado. 
16 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
 Em situações em que a distribuição do tempo de 
atendimento pode variar dentro de uma larga faixa 
de valores, não se recomenda o uso de diversas 
filas, e sim uma fila única. 
 
 É o caso de bancos, correios, etc., em que sempre 
pode ocorrer que alguns clientes apresentem uma 
carga de serviço muito grande, portanto o tempo de 
atendimento para eles será exageradamente maior 
que a média. Sendo assim, uma fila única com 
diversos atendentes é a melhor solução. 
17 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
Em outas situações, é conveniente modificar 
dinamicamente a quantidade de atendentes 
conforme aumente ou diminua o fluxo de 
chegada de clientes. Bancos têm usado esse 
expediente, tornando disponíveis atendentes 
extras nos horários de pico. (verdade para o usuário?) 
18 
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
 
Às vezes a fila única é impraticável, como no caso 
de supermercados. Aqui a existência de “caixas 
expressos”, para clientes com poucos itens de 
compra, representa uma maneira de prestar um 
bom serviço, além de conquistar clientes que, do 
contrário, não se sujeitariam a filas morosas para 
adquirir poucos itens. ( solteiros, famílias cada vez menores, recessão 
econômica, etc.) 
19 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 Vamos continuar com as considerações conceituais, agora 
com enfoque matemático, no qual apresentaremos as 
chamadas variáveis randômicas fundamentais. 
 
λ = Ritmo médio de chegada; 
µ = Ritmo média de atendimento; 
c = Capacidade de atendimento ou quantidade de atendentes. 
20 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
21 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
22 
 Variáveis referentes ao sistema: 
 
• TS = Tempo médio de permanência no sistema; 
• NS = Número médio de clientes no sistema; 
 
 Variáveis referentes ao processo de chegada: 
 
• λ = Ritmo médio de chegada; 
• IC = Intervalo médio entre chegadas; 
• Por definição: IC = 1/ λ. 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
23 
 Variáveis referentes à fila: 
 
• TF = Tempo médio de permanência na fila; 
• NF = Número médio de clientes na fila; 
 
 Variáveis referentes ao processo de atendimento: 
 
• TA = Tempo médio de atendimento ou de serviço; 
• c = Capacidade de atendimento ou quantidade de 
atendentes; 
• NA= Número médio de clientes que estão sendo atendidos; 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
24 
 
 Variáveis referentes ao processo de atendimento 
(cont.): 
 
• µ = Ritmo médio de atendimento de cada atendente; 
 
• Por definição: TA= 1/µ. 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
25 
 
 Relações Básicas: 
 
• NS= NF + NA; 
 
• TS= TF + TA; 
 
Pode-se demonstrar também que: 
 
• NA= λ/µ= TA/IC 
 
• Logo, 
 
• NS= NF+ NA = NF+(λ/µ) ou = NF + (TA/IC) 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
26 
 
 Taxa de utilização dos atendentes (conceito): 
 
• Para o caso de uma fila/um atendente, chamamos de 
taxa de utilização do atendente a expressão: 
 ρ = λ / μ , na qual λ = ritmo médio de chegada e μ = 
ritmo médio de atendimento. (c=1) 
 
• Já para o caso de uma fila/vários atendentes, a 
expressão se torna: 
 ρ = λ / c.μ, em que c é o número de atendentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
27 
 
 Taxa de utilização dos atendentes (conceito): 
 
• Assim, ρ representa a fração média do tempo em 
que cada servidor está ocupado. 
 
 Ex: Sistema com 1 atendente, λ = 4 clientes/hora, 
µ = 10 clientes/hora, dizemos, então, que a taxa de 
utilização é 0,40 e podemos afirmar que o atendente 
fica 40% do tempo ocupado e consequentemente 
60% do tempo livre. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
28 
 
 Taxa de utilização dos atendentes (conceito): 
 Visto que estudaremos apenas sistemas estáveis (os 
atendentes sempre serão capazes de atender o fluxo 
de chegada, ou seja, µ > λ (sistemas estáveis), 
logo,sempre teremos ρ < 1. 
 
 E quando ρ = 1? 
 
 R: O atendente trabalhará 100% do tempo! (Máquina?) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
29 
 
 Intensidade de tráfego ou número mínimo de atendentes (i): 
 
• Chamaremos de intensidade de tráfego a expressão, usada na 
indústria telefônica: 
 
 i = l λ / μ l = l TA / IC l , medido em “erlangs”. Em que i é o 
próximo valor inteiro que se obtém, ou seja, o valor absoluto. 
 
• Na prática i representa o número mínimo de atendentes 
necessários para atender um dado fluxo de tráfego. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
30 
 
 Intensidade de tráfego ou número mínimo de 
atendentes , i = l λ / μ l = l TA / IC l ; 
 
• Por exemplo, se λ = 10 clientes/hora e TA= 3 minutos, 
qual seria o valor de i ? (0,5, logo 1 atendente é suficiente). 
 
• Agora, se o fluxo aumentar λ = 50 clientes/hora e TA= 
3 minutos, então, i? (2,5, logo 3 atendentes). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
31 
 
 Fórmulas de Little 
 J.D.C.Little demonstrou que, para um sistema 
estável (μ > λ) de filas, temos: 
 
• NF = λ x TF 
• NS = λ x TS 
 
 Fórmulas importantíssimas, pois fazem referências a 
quatro das mais importantes variáveis randômicas de 
um sistema de filas: NS, NF, TS e TF. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
32 
 
 Fórmulas de Little (cont.) 
 
• NF = λ x TF 
• NS = λ x TS 
 
• É importante salientar que as fórmulas acima 
independem da quantidade de servidores e do 
modelo de fila, pois são fórmulas básicas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
33 
 
 O aluno pode observar que existe uma semelhança 
entre as fórmulas de Little e a fórmula sobre 
velocidade da física clássica: 
 
• Little: λ = NF/ TF; 
 
• Física: velocidade = espaço / tempo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
34 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
35 
Exercício: ( NF=5,2 clientes, NS= 6 clientes e NA=0,8 cliente.) 
 
1. Em uma fábrica observou-se o 
funcionamento de uma dado setor, em que λ 
= 20 clientes por hora, µ = 25 clientes por 
hora e TS = 0,3 hora.
Pede-se o tamanho 
médio da fila (NF), o número médio de 
clientes no sistema (NS) e o número médio 
de clientes que estão sendo atendidos (NA)? 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Por little, λ= 0,5 chegada por minuto. 
36 
 
 
 
2. Em uma mineração cada caminhão efetua 
um ciclo em que é carregado de minério por 
uma das carregadeiras, desloca-se para o 
britador (sistema em estudo) onde efetua o 
descarregamento e retorna às carregadeiras. 
Verificou-se que o tempo médio (TS) dos 
caminhões junto ao britador é de 12 minutos 
e que, em média, existem 6 caminhões (NS) 
nesse setor. Qual a taxa de chegada de 
caminhões? 
 
 
 
 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
37 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
38 
• Ciclo 
 Chamamos de ciclo o tempo gasto para que um 
caminhão, partindo de um ponto de referência 
qualquer, percorra todo o sistema e volte ao mesmo 
ponto. Consequentemente, esse também é o tempo 
necessário para que todos os caminhões passem 
pelo mesmo ponto. 
 
• Duração do ciclo = (quantidade de caminhões)/ λ 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
39 
 
 3. No mesmo sistema do exercício 2 
(mineração/britador), existindo um total de 30 
caminhões em serviço, qual a duração do 
ciclo, sabendo que λ= 0,5 chegada por 
minuto? 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
40 
4. No mesmo sistema do exercício 3 
(mineração/britador), qual o tempo fora do sistema 
(TFS)? Observa-se que o sistema em estudo é o 
britador. Dado do exercício 2, TS = 12 minutos. 
 
 
TFS + TS = Ciclo 
 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
41 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Variáveis Randômicas Fundamentais 
42 
Um caminhão está fora do sistema quando não 
ocupa o espaço citado. 
 
 Assim: 
 
• Um ciclo corresponde à soma do tempo dentro do 
sistema (TS=12) mais o tempo fora do sistema (TFS). 
Logo: 
TFS + TS = Ciclo 
 
Unidade 2: Teoria das Filas 
**Substituir NS por NF na 1º fórmulas de Little 
43 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Postulados Básicos (μ > λ, estabilidade) 
44 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Lista de Exercício - Exercício 1 
45 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 Exercício 2 
46 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 Exercício 3 
47 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 Exercício 4 
48 
Biblioteca_1256964.pdf
Biblioteca_1251414.pdf
 Prof. Carlos Roberto 
 
Lista Inicial de Exercícios – Teoria de Filas 
1) Em uma praça de pedágio chegam 1200 automóveis a cada hora. Pode-se dizer que 
a taxa média de chegada em minutos é de: 
 
2) Não constitui uma variável aleatória discreta 
 
A) Número de dias com sol em um ano; 
B) Medida em centímetro de uma mesa; 
C) Número de clientes dentro de um supermercado; 
D) Quantidade de lápis dentro de um estojo; 
E) Número de clientes numa fila. 
3) Uma copiadora num escritório recebe cerca de 50 papéis por hora, satisfazendo uma 
distribuição aproximada de Poisson. O atendimento é feito numa razão de 80 por 
hora. Calcule a ocupação do sistema. 
 
4) Dos vetores abaixo qual é vetor de probabilidade? a = (1/3 0 - 1/6 1/2 1/3) b = 
(1/3 0 1/6 1/2 1/3) c = (1/3 0 0 1/6 1/2) d = (0 0 0 0 0) e = (1 1 1 1 1) 
 
5) Durante um período de observação de 1 hora, 40.000 pacotes foram encaminhados 
por um terminal que tem a capacidade de atender 200 pacotes por segundo. Qual a 
utilização do terminal? 
 
6) Uma recepcionista num escritório recebe cerca de 50 ligações por hora, satisfazendo 
uma distribuição aproximada de Poisson. O atendimento é feito numa razão 
de 80 por hora. Calcule o tempo médio de atendimento? 
 
7) Um ortodontista programa seus pacientes para um atendimento a cada 15 minutos e 
limita sua capacidade em 10 pacientes por dia. Ele leva 12 minutos atendendo o 
primeiro, mas a cada paciente, demora um minuto a mais. Determine o número 
médio de pacientes em espera e o tempo médio que cada paciente fica esperando, 
supondo que todos chegam exatamente na hora marcada. (Resolva via gráfico) 
 
8) Quando a taxa de atendimento é inferior a taxa de chegada podemos dizer que 
temos: 
 A) Sistema com a fila num processo decrescente; 
 B) Sistema sem filas; 
 C) Instabilidade total do sistema, com a fila crescendo sem parar; 
 D) Estabilidade do sistema com a fila de tamanho constante; 
 E) Tempo de atendimento inconstante. 
 
9) O exemplo que melhor representa o modelo de disciplina da fila tipo LIFO é: 
 
A) Atendimento no banco segundo caixa com prioridade; 
B) Senha distribuída por ordem de chegada num restaurante; 
C) Distribuição aleatória de resultados do vestibular; 
D) Atendimento no banco segundo caixa com prioridade; 
E) Retirada de compras do carrinho no Supermercado para passagem no caixa. 
 
10) Não é considerada variável de decisão importante para a análise do desempenho de 
um sistema é: 
 
A) Número de clientes na fila; 
B) Ociosidade dos atendentes; 
C) Tempo que um cliente permanece na fila; 
D) Número de clientes no sistema; 
E) Tempo que um cliente permanece fora do sistema. 
 Prof. Carlos Roberto 
 
11) Um caixa único de um Banco atende em média 5 clientes a cada 30 minutos. Sabe-
se que entram no banco para atendimento no caixa, 8 clientes por hora. Qual o 
número médio de clientes no sistema (NS)? 
 
12) Pessoas chegam a uma bilheteria de um cinema a um ritmo de 15 por hora. O tempo 
médio de atendimento da bilheteria é de 3 minutos. Qual o tempo médio de espera 
na fila? 
 
13) Um posto bancário emprega um caixa. Chegam, em média, 20 clientes por hora. O 
atendimento demora, em média, 2 minutos. Qual o número médio de clientes no 
banco (NS)? 
 
14) Um caixa único de um Banco atende em média 5 clientes a cada 30 minutos. Sabe-
se que entram no banco para atendimento no caixa, 8 clientes por hora. Qual o 
tempo médio gasto no sistema por cliente? 
 
15) Durante um período de 1 hora, um servidor de nomes de um sistema distribuído 
recebeu 10.800 consultas. O tempo médio de resposta observado para cada consulta 
foi de 1/4 s. Qual o número médio de consultas no servidor (NS)? 
 
16) Pessoas chegam a uma bilheteria de um cinema a um ritmo de 15 por hora. O tempo 
médio de atendimento da bilheteria é de 3 minutos. Qual o tamanho da fila? 
 
17) Num posto de saúde temos uma atendente. Chegam, em média, 20 pacientes por 
hora. O atendimento demora, em média, 2 minutos. Quanto tempo cada paciente 
pode estimar que vai esperar na fila? 
 
18) Um caixa único de um Banco atende em média 5 clientes a cada 30 minutos. Sabe-
se que entram no banco para atendimento no caixa, 8 clientes por hora. Qual a 
probabilidade de ter 2 clientes no sistema(P2) ? 
 
19) Carlos é aluno da Universidade Estácio e presta alguns serviços para complementar 
sua renda. Ele recebe solicitações de serviço a cada cinco dias (λ) em média, mas o 
tempo entre solicitações segue uma distribuição exponencial. O tempo para concluir 
um trabalho também segue uma distribuição exponencial com média de 4 dias (TA). 
Qual é a probabilidade do Carlos ficar sem serviço? 
 
20)
Prof. Carlos Roberto 
 
Gabarito 
 
1) 20 automóveis/minuto; 
2) Letra “b”; 
3) 62,50%; 
4) Letra “c”; 
5) 5,6%; 
6) 45 segundos; 
7) 0,205 pacientes e 3 minutos e 30 segundos; 
8) Letra “c”; 
9) Letra “e”; 
10) Letra “e”; 
11) 4 clientes; 
12) 09 minutos; 
13) 02 clientes; 
14) 30 minutos; 
15) 03 consultas; 
16) 2,25; 
17) 04 minutos; 
18) 12,8%; 
19) 1/5; 
20) 
 λ µ NF 
Fábrica 20 30 1,33 
Inspeção 20 40 0,50 
Reparo 08 15 0,61 
 
 
Lista Modelo: M/M/1 – Teoria de Filas 
1) O número médio de carros que chegam a um posto de informações é igual a 10 
carros/hora. Assumir que o tempo médio de atendimento por carro seja de 4 minutos, e 
ambas as distribuições de intervalos entre chegadas e tempo de serviço sejam exponenciais. 
 
Responder as seguintes questões: 
 
a - Qual a probabilidade do posto de informações estar livre? 1/3 
b - Qual a quantidade média de carros esperando na fila? 4/3 
c - Qual o tempo médio que um carro gasta no sistema?1/5 h ou 12’ 
d - Quantos carros serão atendidos em média por hora?15 carros/hora 
 
2) Supondo-se que a chegada de um navio ao berço portuário siga a distribuição de Poisson, 
com uma taxa de 6 navios por dia. A duração média de atendimento dos navios é de 3 
horas, seguindo-se a distribuição exponencial. Calcule os seguintes valores: 
 
a – Qual a probabilidade de um navio chegar ao porto e não esperar para atracar? Po=25% 
b – Qual é a quantidade média de navios na fila do porto? NF=2,25 navios 
c – Qual é a quantidade média de navios no sistema portuário? NS= 3navios 
d – Qual é a quantidade média de navios utilizando o porto? NS-NF=3-2,25=0,75 navio 
e - Qual é o tempo médio de um navio na fila? TF= 0,375 dia ou 9 horas 
f – Qual deve ser a taxa de chegada de um navio para que o tempo médio na fila seja de 3 
horas? λ = 4 navios/dia, TF= 3h ou 1/3 dia 
g – Qual é a probabilidade do berço portuário estar em uso? (1- Po)=2/3 
 
 
 Prof. Carlos Roberto 
 
3) Uma distribuidora de combustíveis utiliza caminhões para transportar o seu produto. 
Sabendo-se que esta empresa só tem um ponto de abastecimento dos caminhões, que os 
ritmos de chegada e de atendimento seguem as distribuições do modelo Markoviano, que a 
taxa de chegada dos caminhões é de 4 unidades por hora, que a taxa de atendimento é de 5 
unidades por hora, que os custos horários do funcionário que abastece o veículo é de 5,00 
unidades monetárias e do motorista é de 12,00 unidades monetárias, calcule o custo 
horário do sistema (CHS) e a probabilidade do funcionário que abastece ficar sem nenhum 
caminhão para abastecer. chs=53,00 e Po=20% 
 
 
 
4) Um técnico de laboratório gasta 30 minutos em média para reparar relés. Considerar que 
o tempo distribui-se conforme uma distribuição marcoviana. Os relés chegam à recepção do 
laboratório segundo a distribuição de Poisson a uma taxa média de 10 relés por dia. 
Considerar um turno de 8 horas de trabalho. Eles são reparados de acordo com a ordem de 
chegada. 
 
a) Qual a folga média do técnico por dia de trabalho? Po=0,375 
b) Em média, quantos relés se encontram na oficina aguardando reparação? NF=1,04 
aparelhos 
 
 
5) Em uma mineradora verificou-se que o tempo médio dos caminhões junto a um sistema 
de carregadeiras tipo M/M/1 é de 3 minutos e que, em média, existem 6 caminhões neste 
sistema. Qual é a taxa de chegada dos caminhões? Resp. 2 caminhões/minuto 
 
 
6) Numa sala de espera, com 1 médico atendendo, há 15 clientes em média. A taxa de 
chegada é de 1 cliente a cada 30 segundos. Qual é o tempo médio de espera dos clientes na 
sala? Os clientes são atendidos por ordem de chegada (FIFO). Resp.: 7,5 minutos 
 
 
7) Um sistema para atendimentos está associado a 100 computadores. O tempo médio para 
resposta à requisição do computador ao sistema de atendimento é de 0,6 segundos. No 
horário de pico são efetuadas 20 consultas/minuto. Qual é a probabilidade do sistema de 
atendimento estar livre? Resp. 80% 
 
 
8) Um operador logístico recebe, em média, 4.000 itens de produtos em uma hora. O ponto 
de entrada desses itens é único para recebimento e avaliação crítica. Existe um único 
atendente para este ponto de entrada. Ele tem capacidade para atender 4.200 itens por 
hora, em média. Sabendo-se que a chegada e o atendimento podem ser representados por 
distribuição de Poisson, determine: 
 
a) Qual a fração média do tempo que o atendente está ocupado? 95% 
b) Qual a quantidade média dos itens na fila? NF=19 itens 
c) Qual a quantidade média dos itens no sistema? NS=20 itens 
d) Qual o tempo médio dos itens na fila? TF=17,28s 
e) Qual o tempo médio dos itens no sistema? TS=18s 
f) Qual a probabilidade de não existirem itens no sistema? 5% 
g) Qual deverá ser a taxa de chegada dos itens para uma redução do tempo no sistema de 
30%? 3914,3 itens/h 
 
 
Biblioteca_1022443.pdf
1 
 
ROTEIRO DE ESTUDO SIMPLIFICADO 
SIMULAÇÃO DA PRODUÇÃO E TEORIA DAS FILAS 
OBJETIVOS 
 
Estabelecer a aprendizagem da simulação como meio auxiliar à tomada de decisão entre 
tantas possibilidades, como: empresa, loja, comércio, serviços, produção. 
ORIENTAÇÕES GERAIS 
 
Nesta disciplina, discutiremos a importância da tomada de decisão em ambientes que são 
interdependentes de pessoas, como esperas para atendimentos  hospitais, lojas, 
comércio, serviços, controles da produção entre outros. 
As Filas, no contexto geral, são dispendiosas e não são simpáticas, tanto para o prestador 
de serviço, fornecedor, indústria quanto para o cliente ou consumidor final. 
Desse modo, é fundamental que você reserve tempo e consolide sua dedicação no 
processo de aprendizado e no acompanhamento das atividades da disciplina em sala de 
aula e no processo de autoestudo, a partir das indicações feitas neste roteiro de estudo. 
PLANO DE ESTUDO 
 
Unidade 1: Introdução 
O conteúdo inicial desta disciplina está direcionado para a introdução dos temas, 
contemplando, nesta fase, os conceitos de Simulação e conceitos de Filas (Teoria das 
Filas). 
Todos, de algum modo já esperamos em filas em bancos, para pagamentos em 
supermercados, aguardando a conta do restaurante, loja de departamentos, filas para a 
compra de carne, à espera de um produto comprado pela internet, fila do ônibus, de 
saída para o trabalho ou trânsito em época de feriado, entre tantos outros exemplos. 
Todos esses itens podem ser analisados conforme os estudos de tempos e movimentos 
de Taylor, na área da Administração Científica, quando as indústrias não faziam o controle 
e o monitoramento da produção dos operários. 
Há de se observar, por outro lado, que pessoas são imprevisíveis e têm horários variados, 
predefinidos em um sistema (como uma cidade, um estado, em aeroportos, rodovias 
etc.). 
 
 
2 
 
INDICAÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO 
Introdução e conceitos básicos: 
ARAÚJO, Eduardo; FLORES, Juliano; JAEGER, Luís. Teoria das Filas. Disponível em: 
https://pt.slideshare.net/jerfrs/teoria-das-filas-39504122 Acesso em: 25 mai. 2017. 
GARAY, Aldo William Medina. Introdução aos processos estocáticos. Disponível em: 
http://www.ime.unicamp.br/~hlachos/ME323-Teoria%20Filas.pdf, acesso em: 20 mai. 
2017. 
PARREIRA JÚNIOR, Walteno Martins. Teoria das filas e simulações. Disponível em: 
http://www.waltenomartins.com.br/ap_mad_fila.pdf, acesso em 20 mai. 2017. 
QUADROS, André; BASÍLIO, Viviane; LORENZO, Juliana et al. Teoria das Filas. Disponível 
em: https://pt.slideshare.net/vivibasilio2/teoria-das-filas Acesso
em 25 mai. 2017. 
 
Sumário de livro: 
PRADO, Darci. Teoria das Filas e da Simulação. São Paulo: Falconi, 2004. 
Nesse link você pode verificar o sumário do livro e a indicação do livro na bibliografia. O 
sumário traz informações importantes quanto ao livro e assuntos ligados da disciplina. 
Disponível em: https://www.falconi.com/wp-
content/uploads/2013/05/Sumario_Teoria_Filas.pdf Acesso em: 25 mai. 2017. 
TAYLOR, Frederick W. Princípios da Administração Científica. São Paulo: Atlas, 1995. 
Disponível em: http://www.enfoquenet.com.br/administracao-2/principios-da-
administracao-cientifica-frederick-w-taylor/ Acesso: 25 mai. 2017 
 
Vídeo: 
Teoria das Filas. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=ybZe4spMFfk 
Acesso em: 25. Mai. 2017. 
 
Artigos: 
CAMELO, Gustavo Rossa; COELHO, Antônio Sérgio; BORGES, Renata Massoli; SOUZA, 
Rosimeri Maria de Souza. Teoria das filas e da simulação aplicada ao embarque de 
minério de ferro e manganês no Terminal Marítimo de Ponta da Madeira. Disponível 
em: http://www.abepro.org.br/biblioteca/enegep2010_tn_sto_129_830_14824.pdf 
Acesso em 25 mai. 2017. 
_________________________________________________________________________ 
 
 
3 
 
Unidade 2: Simulação de sistemas  Teoria das filas 
Conforme Andrade (1998), um sistema de filas é caracterizado por seis componentes. A 
Teoria de Filas é um ramo da Pesquisa Operacional que estuda as relações entre as 
demandas em um sistema e os atrasos sofridos pelo usuário desse sistema (ARENALES et 
al. 2007). 
A Teoria de Filas é um ramo da probabilidade que estuda a formação de filas, por meio de 
análises matemáticas precisas e propriedades mensuráveis das filas. (WIKIPÉDIA) 
A Teoria das Filas pode nos ajuda a encontrar um ponto de equilíbrio entre a satisfação 
do “cliente” e a “viabilidade econômica” para uma empresa de produtos ou serviços. 
A simulação é uma técnica utilizada tanto para projeto e avaliação de novos sistemas, 
como para reconfiguração física ou mudanças no controle e/ou nas regras de operação de 
sistemas existentes. As suas aplicações têm crescido em todas as áreas, auxiliando os 
gestores na tomada de decisão em problemas complexos e possibilitando melhor 
conhecimento dos processos nas organizações (SAKURADA; MIYAKE, 2009). Winston 
(1993) define que um sistema é um conjunto de entidades que agem e interagem com 
um determinado propósito. 
Linhas de Produção é a área que tem apresentado a maior quantidade de aplicações de 
modelagem. Inúmeros cenários se encaixam neste item, desde empresas manufatureiras 
até minerações. 
 
INDICAÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO 
ESTUDO COMPROBATÓRIO da Teoria das Filas pela Simulação de Eventos Discretos. 
Disponível em: http://www.aedb.br/seget/arquivos/artigos08/244_Fabio_Seget.pdf 
Acesso em: 25 mai. 2017. 
GUINEA, Jon Cambra; SILVA, Pedro Matos. Simulação de Sistemas. Noções sobre Teoria 
das Filas. Disponível em: 
http://www.ime.unicamp.br/~sandra/MS614/handouts/apresentacao22set2016.pdf 
Acesso em: 25 mai. 2017. 
SAKURADA, Nelson; MIYAKE, Dario Ikuo. Aplicação de simuladores de eventos discretos 
no processo de modelagem de sistemas de operações de serviços. Disponível em: 
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0104-
530X2009000100004&lng=pt&nrm=iso Acesso em: 25 mai. 2017. 
_________________________________________________________________________ 
Unidade 3  Teoria das filas 
Nesse roteiro, discutiremos introdução de Sistemas de Filas  O modelo M/M/1 e O 
modelo M/M/c. 
Indicamos um vídeo com dois exercícios com os Modelos O modelo M/M/1 e M/M/c. 
4 
 
O material didático anterior também é um indicativo para esse estudo. 
 
INDICAÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO 
SIMULAÇÃO de Sistemas. Disponível em: 
http://simulacao.net/arquivos/02teoriadasfilas.pdf Acesso em: 25 mai. 2017. 
 
Artigo: 
FONTANELLA, Gisele; MORABITO, Reinaldo. Modelagem por meio de Teoria de Filas do 
tradeoff entre investir em canais de atendimento e satisfazer o nível de serviço em 
provedores internet. V.4, n.3, p. 278-295, dez. 1997. Disponível em: 
http://www.scielo.br/pdf/gp/v4n3/a03v4n3.pdf Acesso em: 25 mai. 2017. 
 
Vídeo: 
Teoria das filas (Ex: M/M/1) Parte 1. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=9XxTMe5iHwo Acesso em 25 mai. 2017. 
Teoria das filas (Ex: M/M/1) Parte 2. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=qHwymNUf7FY Acesso em 25 mai. 2017. 
Teoria das filas  M/M/1 (1º exercício resolvido). Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=9hK2m5RVcCY Acesso em: 25 mai. 2017. 
Teoria das filas - M/M/1 (2º exercício resolvido). Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=ukjRRnw5oX0 Acesso em: 25 mai. 2017. 
_________________________________________________________________________ 
Unidade 4  O Método de Monte Carlo 
“O Método ou a Simulação de Monte Carlo ou Método de Monte Carlo (MMC) é uma 
metodologia estatística que se baseia em uma grande quantidade de amostragens 
aleatórias para se chegar em resultados próximos de resultados reais. Isso quer dizer que 
ele permite que você faça testes com variáveis um número suficientemente grande de 
vezes para ter, com mais precisão, a chance de algum resultado acontecer. 
Como fazer uma Simulação de Monte Carlo 
Para situações com algum nível de incerteza e para utilizar a simulação de Monte Carlo 
são quatro passos: 
1. Modelar o problema; 
2. Gerar valores aleatórios para as incertezas do problema; 
3. Substituir as incertezas por valores para calcular o resultado; 
4. Obter uma estimativa para a solução do problema. 
5 
 
Por ser um método muito matemático e que demanda softwares específicos para a 
grande quantidade de simulações, pode ser possível fazer simplificações no para obter 
resultados práticos sem um trabalho muito grande”. ÁVILA, Rafael. O que é a simulação 
de Monte Carlo. Disponível em: http://blog.luz.vc/como-fazer/simulacao-de-monte-
carlo/ Acesso em: 25 mai. 2017. 
 
INDICAÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO 
SCHMIDT, Mateus. O Método de Monte Carlo. Disponível em: 
https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=4&cad=rja&uact=
8&ved=0ahUKEwj1nsS7qoLUAhWEipAKHWRsC84QFghIMAM&url=http%3A%2F%2Fw3.uf
sm.br%2Flabtmc%2Fj%2Findex.php%3Foption%3Dcom_phocadownload%26view%3Dcate
gory%26download%3D53%3Ao-metodo-de-monte-carlo-aplicacoes-do-algoritmo-de-
metropolis-no-modelo-de-ising%26id%3D3%3Amaterial-dos-
seminarios%26Itemid%3D27&usg=AFQjCNHqrDYea-NhuTCzSOjmgIeli_UH7g Acesso em 
25 mai. 2017. 
SIMULAÇÃO de Monte Carlo. Disponível em: http://blog.luz.vc/como-fazer/simulacao-de-
monte-carlo/#sthash.34xI5XaN.dpuf Acesso em: 25 mai. 2017. 
 
Planilhas (versões demonstração e pagas): 
Estudo de viabilidade. Disponível em: https://luz.vc/planilhas-empresariais/planilha-de-
estudo-de-viabilidade-economica Acesso em: 25 mai. 2017. 
 
Vídeos: 
Distribuição de Probabilidade  Simulação de Monte Carlo no Excel. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=rFtyUpTz3v0 Acesso em: 25 mai. 2017. 
Introdução à Simulação de Monte Carlo & Otimização Estocástica. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=u9Oy0z69tK8 Acesso em: 25 mai. 2017. 
Método de Monte Carlo para Simulações no Excel. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=ajsTUHZ8c4Y Acesso em: 25 mai. 2017. 
_________________________________________________________________________
6 
 
Unidade 5  Processos estocásticos e elementos fundamentais das filas 
Processos de chegada e de atendimento 
“"Fila é qualquer agregado de sujeitos (no caso, clientes) que espera a função de um 
serviço (atendimento, pelo caixa)" (ESCUDERO, Laureano F. Aplicaciones de la teoría de 
colas. Bilbao, España, Ediciones Derroto, 1972). 
 "A formação da fila ocorre quando a demanda corrente de clientes excede à oferta 
corrente de serviços" (HILLER, R. S.; LIEBERMAN, G. J. Introduction to operations 
research. São Francisco, Holden-Day, Inc., 1967). 
Mesmo que a fila não siga a forma geral  um cliente atrás de outro e se apresente como 
um aglomerado frente ao ponto de serviço, ainda assim é uma fila, se houver o 
pressuposto de uma ordem de atendimento”. AMIDANI, Luiz Ricardo. A teoria das filas 
aplicada aos serviços bancários. Rev. adm. empres. vol.15 nº5 São Paulo set/out. 1975. 
 
Processos Estocásticos 
“O caráter aleatório dos fenômenos das filas de espera indica, como principal 
instrumento de investigação, o cálculo de probabilidade” (LEE, Alec M. Applied queueing 
theory. New York, St. Martin's, 1966). É importante conhecer o comportamento teórico 
de chegadas e saídas, e as distribuições adequadas para tratar estes eventos no sistema 
em exame. 
Tanto para as chegadas, como para o tempo de serviço, pode-se pensar numa sequência 
de intervalos aleatórios definidos por chegadas ou saídas; a sucessão desses intervalos vai 
nos dizer qual a distribuição de probabilidade para estas variáveis.” AMIDANI, Luiz 
Ricardo. A teoria das filas aplicada aos serviços bancários. Rev. adm. empres. vol.15 nº5 
São Paulo set/out. 1975. 
 
INDICAÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO 
AMIDANI, Luiz Ricardo. A teoria das filas aplicada aos serviços bancários. Rev. adm. 
empres. vol.15 nº5 São Paulo set/out. 1975. Disponível em: 
http://www.scielo.br/scielo.php?script=sci_arttext&pid=S0034-75901975000500003 
Acesso em: 25 mai. 2017. 
DOILE, Luiz Fernando Pacheco. Teoria de filas: analisando o fluxo de atendimento e o 
número de atendentes em um supermercado. Disponível em: 
http://hdl.handle.net/10183/29741 Acesso em: 25 mai. 2017. 
 
SILVA, Ramon Gomes; OLIVEIRA, Alef Berg; FARIAS, Thulio de Oliveira; SILVA, Igor Cruz. 
Aplicação da teoria das filas no sistema de filas de uma empresa do ramo de panificação 
de médio porte. Disponível em: 
7 
 
http://www.abepro.org.br/biblioteca/TN_STO_211_252_26684.pdf Acesso em: 25 mai. 
2017. 
_________________________________________________________________________ 
Unidade 6  Elementos de uma fila 
“A teoria das filas de espera é um método estatístico que permite estimar as demoras 
que ocorrem quando um serviço tem de ser proporcionado a clientes cuja chegada se dê 
ao acaso, como, por exemplo, fregueses que esperem para ser atendidos numa loja e 
automóveis que se congestionem num posto de pedágio.” TORRES, Oswaldo Fadigas. 
Elementos da teoria das filas. Rev. adm. empres. vol.6 nº 20 São Paulo jul/set. 1966 
São estruturas de dados do tipo FIFO (first-in first-out), em que o primeiro elemento a ser 
inserido, será o primeiro a ser retirado, ou seja, os itens são adicionados no fim e 
removidos no início. 
 
INDICAÇÃO DE MATERIAL DIDÁTICO 
FARIAS, Ricardo. Estrutura de dados e algoritmos. Disponível em: 
http://www.cos.ufrj.br/~rfarias/cos121/filas.html Acesso em: 25 mai. 2017. 
FILAS. Disponível em: http://www.di.ufpb.br/liliane/aulas/filas.html Acesso em: 25 mai. 
2017. 
TORRES, Oswaldo Fadigas. Elementos da teoria das filas. Disponível em: 
http://www.scielo.br/pdf/rae/v6n20/v6n20a05.pdf Acesso em: 25 mai. 2017. 
TORRES, Oswaldo Fadigas. Elementos da teoria das filas. Rev. adm. empres. vol.6 nº20 
São Paulo jul/set. 1966. Disponível em: http://www.scielo.br/scielo.php?pid=S0034-
75901966000300005&script=sci_arttext Acesso em: 25 mai. 2017. 
SOUZA. Adriano Teixeira. Estrutura de dados. Disponível em: 
https://pt.slideshare.net/adrianots/estrutura-de-dados-filas Acesso em: 25 mai. 2017. 
 
Vídeos: 
Estrutura de dados  Filas. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=ju8jdYwd8lo Acesso em: 25 mai. 2017. 
Estrutura de dados  Pilhas e Filas. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=RMSDm-Rgavk Acesso em: 25 mai. 2017. 
Estrutura de dados aula 01. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=QPDgwEENvD8 Acesso em: 25 mai. 2017. 
Estrutura de dados aula 02. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=eY6AQWBcWxM Acesso em: 25 mai. 2017. 
8 
 
Estrutura de dados aula 03. Disponível em: 
https://www.youtube.com/watch?v=WYp8f8QSZQY Acesso em: 25 mai. 2017. 
 
BIBLIOGRAFIA 
 
ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. Introdução à pesquisa operacional. Rio de Janeiro: 
LTC  Livros Técnicos e Científicos, 2000. 
ALBERNAZ, Marco Aurélio. Teoria das Filas  Apontamentos da Disciplina Pesquisa 
Operacional II. Rio de Janeiro: Pontifícia Universidade Católica, 2004. 
COSTA, Luciano Cajado. Teoria das Filas. São Luís: Universidade Federal do Maranhão, 
Centro Tecnológico. Disponível em: 
http://www.deinf.ufma.br/~mario/grad/filas/TeoriaFilas_Cajado.pdf Acesso em: 21 mai 
2017. 
COSTA, Renato Aurélio Castro. Determinação de Estoques. Dissertação de Mestrado. 
Curitiba: Universidade Federal do Paraná, 2003. 
FOGLIATTI, Maria Cristina; MATTOS, Neli Maria Costa. Teoria de filas. Rio de Janeiro: 
Interciência, 2007. 
GRIGOLETTI, Pablo Souza. Cadeias de Markov. Pelotas: Escola de Informática  
Universidade Católica de Pelotas, 2004. 
PEREIRA, Cláudia Rossana Velosa. Uma Introdução às Filas de Espera. Mestrado em 
Matemática. Portugal: Universidade da Madeira  Departamento de Matemática e 
Engenharias, 2009. 
PRADO, Darci Santos do. Teoria das Filas e da Simulação. Belo Horizonte: INDG 
Tecnologia e Serviços LTDA, 2004. 
PRADO, Darci. Teoria das Filas e da Simulação. 5. ed. Série Pesquisa Operacional  vol. 2. 
São Paulo: Falconi, 2014. 
 
Biblioteca_1229761.pdf
Unidade 2: Teoria de Filas 
 
 
 
Modelos de Filas 
1 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Notação de um Sistema com Fila por Kendall (1953) 
 A/B/c/D/E 
 
 A e B (Literais); c e D (Numéricos); E (Disciplina de 
atendimento). 
 A: Tempo entre chegadas sucessivas (distribuição dos 
intervalos); 
 B: Tempo de Atendimento/Serviço; 
 c: Capacidade de Atendimento ou quantidade de atendentes; 
 D: Capacidade máxima do sistema (nº máximo de clientes no 
sistema); 
 
 
 
2 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Escolhas mais comuns de A e B, podem-se citar: 
 
 D: Distribuição determinística ou degenerada; 
 
 M: Distribuição exponencial (Poisson ou Markoviana); 
 
 Ek: Distribuição Erlang do tipo K; 
 
 G: Distribuição geral (não especificada). 
 
 
 
3 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Simplificação de notação 
 
• Omitem as letras D e E. ( Ex: A/B/C) 
 
Nesse caso, assume-se um sistema com capacidade 
infinita (D) e disciplina de atendimento FIFO (E). 
 
 Ex: M/G/1/∞/FIFO ou M/G/1 
 
 
 
 
4 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Aproveitando o exemplo..... 
 Ex: M/G/1/∞/FIFO ou M/G/1 
 
 Representa um sistema onde os tempos entre 
chegadas sucessivas seguem uma distribuição 
exponencial (M), o tempo de atendimento, uma 
distribuição
geral (G) e há um (1) único posto de 
atendimento, o sistema possui capacidade infinita e 
a disciplina de atendimento empregada é a FIFO. 
 
 
 
 
5 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Mais um exemplo..... 
 Ex: M/E₃/4/8/LIFO 
 
 Representa um sistema onde os tempos entre chegadas 
sucessivas seguem uma distribuição exponencial (M), o 
tempo de atendimento, uma distribuição Erlang do tipo 3 
(E₃), existem 4 postos de atendimento em paralelo, o 
sistema comporta no máximo 8 usuários (quatro na fila e 
quatro sendo atendidos) e a disciplina de atendimento 
empregada é a LIFO. 
 
 
 
 
6 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Outro exemplo..... 
 Ex: M/E2/5/20/FIFO 
 
 Representa um sistema onde os tempos entre 
chegadas sucessivas seguem uma distribuição 
exponencial (M), o tempo de atendimento, uma 
distribuição Erlang do tipo 2 (E2), existem 5 
atendentes, o sistema comporta no máximo 20 
usuários e a disciplina de atendimento empregada é 
a FIFO. 
 
 
 
 
7 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Exemplo: Caracterize 
8 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Resposta: M/M/3/∞/FIFO. 
 
 
 
9 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Processo de Chegada 
e de Atendimento 
• 60 anotações sobre a 
chegada de veículos a um 
pedágio; 
•Os valores da tabela 
mostram quantos veículos 
chegaram a cada intervalo de 
1 minuto entre 7 e 8 horas da 
manhã; 
•Chegaram 120 veículos; 
•Logo, λ= (120/60) = 2 
veículos/minuto; 
• Menor valor: zero 
chegada/minuto( 9 vezes); 
•Maior valor: 8 
chegadas/minuto( 1 vez); 
 
10 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Processo de Chegada 
e de Atendimento 
• Uso da Estatística; 
•Desejamos não apenas 
conhecer o valor médio, 
mínimo e máximo, como 
também saber como os 
valores se distribuem em 
torno da média; 
• Frequência Absoluta x 
Relativa (análise adequada); 
• Fre.abs: 3 veículos(chegada) 
foi de 9; 
•Freq. Relativa (3 veículos) = 
0,15 ou 15%. 
 
•∑=60, nº total de observações. 
11 
Unidade 2: Teoria das Filas 
12 
Unidade 2: Teoria das Filas 
•Qual é a distribuição 
estatística que mais se 
aproxima dos dados reais 
anterior? 
•Critério de aceitação: teste 
de excelência de ajustamento 
baseado no quadrado de x. 
•Assim, a distribuição que 
mais se aproxima é a de 
Poisson . 
•A distribuição de Poisson 
tem se mostrado aplicável a 
inúmeros tipos de processos 
de chegadas na vida prática 
e, assim, seu uso é bastante 
difundido em modelagem de 
filas. 
13 
Unidade 2: Teoria das Filas 
14 
Fórmula da 
Distribuição de 
Poisson 
• F(x) é a frequência relativa 
(ou probabilidade) em que 
ocorrem x chegadas na 
unidade de tempo; 
• Distribuição discreta, 
definida apenas para valores 
inteiros de x; 
• Curvas por questão didática, 
pois a rigor não existe curva 
(valore inteiros); 
•Poisson tende para 
distribuição Normal à medida 
que cresce o valor de λ. 
15 
Fórmula Matemática da Distribuição Exponencial 
Negativa 
• F(t) é a função 
densidade, sendo λ 
o ritmo de chegada 
e t o tempo. 
 
16 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Poisson 
17 
Distribuição de Poisson 
 
 
 
 
 
18 
Unidade 2: Teoria das Filas 
19 
Unidade 2: Teoria das Filas 
20 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Exponencial Negativa 
21 
• Exemplo: Dado que λ = 2 chegadas por 
minuto ou 0,033 chegadas por segundo ou IC 
= 30 segundos. 
• A) Qual a probabilidade de que o intervalo 
entre duas chegadas seja de até 30 segundos 
(0,5 min), seguindo a distribuição exp. 
negativa? 
• Resposta: F(0,5)= 2.e-2.0,5 =0,735 ou 73,5% 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Exponencial Negativa 
22 
• Exemplo: Dado que λ = 2 chegadas por 
minuto ou 0,033 chegadas por segundo ou IC 
= 30 segundos. 
• B) Cálculo da probabilidade de que o intervalo 
entre duas chegadas seja maior que 30 
segundos, conforme distribuição exp. 
negativa? 
• Resposta: 1 - F(0,5)= 1- 2.e-2.0,5 = 0,265 ou 
26,5% 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Exponencial Negativa 
23 
• Exemplo: Dado que λ = 2 chegadas por 
minuto ou 0,033 chegadas por segundo ou IC 
= 30 segundos. 
• C) Cálculo da probabilidade de que o intervalo 
entre duas chegadas esteja compreendido 
entre 12 e 24 segundos (isto é, entre 0,2 e 0,4 
minutos)? Resposta: F(0,2) - F(0,4)= 2.e-2.0,2 - 
2.e-2.0,4 = 1,341 - 0,899 = 0,442 ou 44,2%. 
Unidade 2: Teoria das Filas 
 
 
Modelo M/M/1 
 
 
 
24 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 
 
 Premissas: 
• Tanto as chegadas quanto o atendimento são 
marcovianos (Poisson ou Exponencial negativa); 
 
• Temos um único atendente; 
 
• Estudo tanto para os casos de população finita e 
infinita. 
 
 
 
 
25 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 
26 
Unidade 2: Teoria das Filas *erro no TF 
Modelo M/M/1 - Fórmulas População Infinita (>30) 
27 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 
 
• Taxa de Utilização (ρ= λ/μ) 
 
 Relação entre o ritmo médio de chegada (λ) e o ritmo médio 
de atendimento (μ). 
 
 λ < μ, sistemas estáveis, assim, ρ < 1. 
 
 
 
 
 
 
28 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Gráfico (NF x ρ) 
29 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 
 
 Relacionamento entre NF e ρ: 
 
• NF= λ² / μ( μ- λ) = ρ²/ 1-ρ, se ρ →1 (λ = μ), a fila tende a 
aumentar infinitamente. 
 
• Em situações práticas, quando isso ocorre (por exemplo, pelo 
crescimento do ritmo de chegada causada por um aumento 
da demanda), deve-se ficar alerta, pois, se NF cresce 
exponencialmente, isso significa que o mesmo ocorrerá com o 
tempo na fila (TF) e com o tempo no sistema (TS). 
 
 
 
 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aplicações práticas 
31 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aplicações práticas * TA 
32 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aplicações práticas 
33 
Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aplicações práticas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
Modelo M/M/1 - Aplicações práticas 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
EXERCÍCIOS: M/M/1 
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Unidade 2: Teoria das Filas 
EXERCÍCIOS: M/M/1 P(3) ou P(4) 
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Unidade 2: Teoria das Filas * NS 
EXERCÍCIOS: M/M/1 
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4) Uma fábrica tem um depósito de ferramentas no qual os 
operários vão receber as ferramentas especiais para a realização 
de determinada tarefa. Verificou-se que o ritmo de chegada (λ = 
1 operário por minuto) e o ritmo de atendimento (μ= 1,2 
atendimentos por minuto) seguem o modelo marcoviano 
M/M/1. A fábrica paga R$ 9,00 por hora ao atendente e R$ 18,00 
ao operário. Pede-se: 
 
a) O custo horário do sistema? 
 
Sabe-se que o custo horário do sistema é igual à soma do custo horário do 
atendente mais o custo horário dos operários que, por ficarem no sistema (na fila 
ou sendo atendido pelo servidor), não estão produzindo em seus postos de 
trabalho. Logo, 
Custo horário= Custo do atendente + custo operários (NS x R$)